Breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen

Breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen
TAL-team
Uitgeverij: Wolters-Noordhoff
Woord vooraf
Er is veel onderwijstijd gemoeid met deze leerstofonderdelen en niet zelden is het rendement van deze
investeringen teleurstellend.
In de praktijk leidt dit tot een keuze voor differentiatie in niveaugroepen, temporisering en de roep om
minimumdoelen. Onderliggend probleem is echter de uitlijning van de leerstof. Het gaat om veel
leerstof, die over een beperkt aantal leerjaren wordt verdeeld met het gevolg dat er van meet af aan
tempodruk wordt gevoeld. Hierdoor komt het ontwikkelen van een goede inzichtelijke basis al snel in
het gedrang – met name voor de zwakke rekenaars. Het investeren in kerninzichten leidt tot beter
resultaat.
Er wordt gekozen voor differentiatie binnen interactief onderwijs aan de gehele groep . Hierdoor
proberen we zo veel mogelijk leerlingen een zo hoog mogelijk niveau te laten bereiken. Het onderwijs
zal dan zo moeten worden ingericht dat alle leerlingen een kans krijgen om zich verder te ontwikkelen.
Het is belangrijk dat er regelmatig situaties worden gecreëerd die leerlingen uitdagen om over
moeilijke kwesties na te denken.
De beschrijving van deze leerlijn is anders dan die van de andere uitgaven van het tal-team. De
leerlijnbeschrijving is meer globaal van karakter en het accent ligt op de beschrijving van de
didactische kern. Voorbeeldlessen zijn te vinden op:
http://www.fi.uu.nl/talbovenbouw/lessen.html
Inleiding en overzicht
De kerndoel voor het onderdeel breuken, kommagetallen, procenten en verhoudingen is als volgt
geformuleerd:
De leerlingen leren structuur en samenhang van aantallen, gehele getallen, kommagetallen, breuken,
procenten en verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en er in praktische situaties mee te rekenen.
De concrete doelen liggen vast in de rekenmethode en in de toetsen, die de school hanteert. Het is op
dat niveau dat leerkrachten stellen dat het programma voor veel leerlingen niet haalbaar is.
Als oplossing kiezen sommige scholen voor niveaugroepen, die in eigen tempo door de stof gaan. Het
gevaar van deze aanpak is dat sommige leerlingen nooit toekomen aan aan bepaalde onderwerpen van
groep 7 en 8 en aan het eind van de basisschool nog nauwelijks met procenten en kommagetallen
hebben gewerkt. Gezien het belang van procenten en kommagetallen in het dagelijks leven en de
verwachtingen van het vervolgonderwijs is dit een zeer ongewenste situatie.
Talteam bepleit een andere oplossing: nadruk verleggen van ‘kunnen’ naar begrijpen’. We moeten er
niet van uit gaan dat straks alle leerlingen de stof uiteindelijk als een vrij formeel systeem van regels
en procedures gaan beheersen. We zullen moeten erkennen dat een groot deel van de leerlingen wel
inzichtelijk met breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen kan leren werken, maar alleen
op een concreet niveau, binnen betekenisvolle contexten en met vertrouwde getallen.
Als we het onderwijs gaan inrichten op het aanleren van rekenprocedures in plaats van het
ontwikkelen van inzicht komt het zwaartepunt te liggen op zelfstandig oefenen. De tijdsdruk zorgt er
voor dat leerkrachten te weinig tijd nemen voor klassengesprekken en discussies. Klassengesprekken
en discussies zorgen echter voor de verdieping van het inzicht en niet de rijtjes sommen.
De verschuiving die het TAL-team bepleit komt er op neer dat er minder hoge eisen worden gesteld
aan het beheersingsniveau dat de leerlingen zouden moeten bereiken. Daar staat tegenover dat er
hogere eisen worden gesteld aan het redeneren . In de praktijk komt het er op neer dat er meer tijd
wordt besteed aan klassengesprekken en discussies en minder aan het zelfstandig oefenen.
Het is echter een relatieve verschuiving. Naast ‘begrijpen’ blijft ‘kunnen’ belangrijk.
Het overkoepelende begrip bij het leerstofgebied ‘breuken, procenten, kommagetallen en
verhoudingen’ is dat van verhouding. Ook breuken, procenten en kommagetallen beschrijven in zekere
zin verhoudingen. Breuken geven de verhouding aan tussen een deel en een geheel. Procenten geven
de verhouding tot een bepaald totaal dat op 100 gesteld wordt. Kommagetallen zijn vaak meetgetallen,
die de verhouding aangeven ten opzichte van een bepaalde maat.
In dit boek wordt dus soms over verhoudingen gesproken als overkoepelend begrip en soms wordt met
verhouding de typische bovenbouwleerstof rond verhoudingen (verhoudingstabellen) bedoeld.
Kinderen nemen al vroeg verhoudingen waar (als de auto zo groot is – gebaar met handen- is een boot
zoooo groot). Dit is een kwalitatieve beschrijving. Later leren de leerlingen verhoudingen kwantitatief
te beschrijven, maar niet direct in de vorm van zoveel staat tot zoveel. Vaak worden verhoudingen
gevangen in één getal; vijf keer zo groot; 2 keer zo klein enz.. In veel gevallen zitten verhoudingen
nog dieper verborgen in wat Freudenthal ‘meet- of verhoudingsgetallen’ noemt. Freudental betoogt dat
getallen in verschillende vormen aan de leerlingen verschijnen:
- naamgetal: wanneer getallen als label worden gebruikt (bussen: lijn 14)
- telgetal: volgorde van de getallen in de telrij en het door- en terugtellen daarbinnen
- aantalgetal: hoeveelheid als kenmerk van een verzameling telbare objecten (kardinaal aspect)
- meetgetal: ‘hoe groot’ of ‘hoe duur’ enz. en daarbij worden standaardmaten of andere
referenties gebruikt om zaken in perspectief te plaatsen.
- Rekengetal: dit wordt gekoppeld aan onderwijs. Het betreft werken met getallen los van
praktische contexten. Hier gaat het om regels, eigenschappen en relaties tussen getallen.
Bij meten kijk je ‘hoe vaak iets past’. Wanneer een meter bijv. 7 keer op een bepaalde lengte past
spreken we van 7 meter. Die ‘7’ geeft in feite een verhouding weer: de verhouding tussen de lengte
van 1 meter en de gemeten lengte. Vandaar dat meetgetallen ook verhoudings-getallen genoemd
kunnen worden. Verhoudingen kunnen expliciet gebonden zijn aan een standaardmaat, maar kunnen
ook verwijzen naar andere eenheden: ‘de helft van de bevolking’ ‘driekwart reep’. De ‘helft’ en
‘driekwart’ zijn in deze voorbeelden ook verhoudingsgetallen. Eigenlijk zijn breuken in toepassingen
altijd verhoudingsgetallen. Het is dan ook niet verwonderlijk dat Freudenthal tot de conclusie komt dat
de meeste getallen, die we in het dagelijks leven gebruiken, meet- of verhoudingsgetallen zijn.
Het feit dat breuken, procenten en kommagetallen zo dicht bij elkaar staan maakt het mogelijk om bij
rekenen in alledaagse situaties van de ene vorm naar de andere over te stappen op een andere en weer
terug. Voor beelden:
- bij 75% denken we aan driekwart
- 59% is 59 van de 100
- 20 van de 60 herkennen we als 1/3
De overstap van de ene vorm naar de andere helpt ons situaties beter te begrijpen en maakt het
rekenwerk vaak ook veel gemakkelijker. De breuken nemen daarbij een centrale plaats in. Het is
essentieel dat leerlingen leren zien hoe breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen onderling
samenhangen. Het is de ruggengraat voor het inzicht dat ze moeten ontwikkelen.
Naast de samenhang is het ook belangrijk dat de leerlingen de verschillen leren doorzien. Als we zo
gemakkelijk van de ene vorm naar de andere kunnen overstappen, waarom gebruiken we dan breuken,
procenten, kommagetallen en verhoudingen naast elkaar?
Leren rekenen start vanuit redeneren in concrete, praktische situaties. Het werken met getallen is in
eerste instantie nog helemaal gebonden aan de specifieke context. Later kunnen getallen los komen
van zulke situaties en in het denken van het kind een wereld op zich gaan vormen.
In het begin van het leerproces hebben getallen nog geen opzichzelfstaande betekenis. Getallen
bestaan voor hen slechts als benoemde getallen (4 blokjes). Later ontstaat het besef dat ‘4 erbij 4’ altijd
8 oplevert, ongeacht waar de getallen naar verwijzen (blokjes of ijsjes enz.). In de loop van de tijd leert
het kind steeds meer relaties tussen getallen en die getallen krijgen daardoor geleidelijk aan betekenis
op zich. Getallen hebben op dat moment geen directe relatie meer met blokjes enz..
Bij breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen moet zich een vergelijkbaar proces
ontwikkelen. Het wordt toegelicht aan de hand van breuken. In het begin zijn ook de breuken
benoemde getallen: de leerlingen wat driekwart van een strook, een reep, een pizza is. Ook hier moet
de overstap gemaakt worden van benoemde getallen naar opzichzelfstaande, niet benoemde getallen.
Dat betekent dat ‘driekwart’ raakt ingebed in getalrelaties als ‘3/4=1/2+1/4’ ‘ ¾=1-1/4’ enz.. Deze
overstap is pas zinvol als leerlingen zich voldoende hebben kunnen oriënteren op de betekenis van
breuken. In het onderwijs wordt hier vaak niet voldoende tijd voor genomen. De overstap wordt dan
gemaakt voordat de leerlingen er daadwerkelijk aan toe zijn en voordat zij zelf een netwerk van
relaties tussen breuken hebben kunnen vormen. Vaak worden er dan vervolgens concrete
voorstellingen – zoals breukencirkels - gebruikt om het gat te vullen. Op deze manier wordt de zaak
echter op zijn kop gezet. In plaats van dat leerlingen via redeneren en generaliseren ontdekken welke
relaties er tussen breuken ontstaan, lezen ze die relaties af van een geïdealiseerd model. De taal die de
leraar en de leerlingen gebruiken kan hier tot misverstanden leiden. Een leerkracht die zegt ‘een vierde
en een vierde is samen een half’ kan daarbij de relatie tussen opzichzelfstaande, niet benoemde
breuken bedoelen, terwijl leerlingen alleen een relatie tussen concrete objecten zien. Voor hen
betekent ‘een vierde en een vierde is een half’ hetzelfde als ‘twee stukjes van een kwart cirkel uit de
breukendoos zijn samen even groot als het stukje van een halve cirkel’. Deze leerlingen bevinden zich
voor de breuken nog op het niveau van de benoemde getallen. In het gesprek tussen leraar en leerling
wordt dit niet zichtbaar omdat beiden dezelfde taal lijken te spreken.
Uiteindelijk moeten kinderen ook kennis ontwikkelen die losstaat van concrete situaties. Ze moeten de
stap maken naar breuken als ‘niet benoemde getallen’. De kennis die ze in de loop van de tijd
ontwikkelen over de relaties tussen de verschillende soorten breuken noemen we een relatienet.
Leerlingen ontwikkelen een relatienet het beste vanuit redeneren en rekenen in contextsituaties, dus
vanuit situaties met benoemde breuken. Al doende ontwikkelen leerlingen een relatienet waarmee ze
eenvoudige breukenproblemen kunnen oplossen. Het is verstandig om in de opgaven die we hen
voorleggen – net als bij het aanvankelijk rekenen – te beginnen met eenvoudige gevallen. Als de
leerlingen niet te veel breukrelaties voorgeschoteld krijgen wordt de kans groter dat ze de relaties
onthouden en opnemen in het relatienet. Geleidelijk aan kan het relatienet worden uitgebreid. Net als
bij natuurlijke getallen moet op een gegeven moment de overstap gemaakt worden naar procedures.
Sommige leerlingen zullen deze overstap niet kunnen maken. Het lukt hen wel om opgaven met
eenvoudige breuken op te lossen, maar dat doen ze dan vanuit de specifieke relaties die ze kennen en
niet op grond van rekenprocedures. Het is ook niet noodzakelijk dat alle leerlingen die overstap
maken. Wel moeten ze de gelegenheid krijgen om voor de algemene procedures van optellen,
aftrekken, vermenigvuldigen en delen van breuken na te denken. Situaties die aanleiding kunnen
geven tot ontwikkelen van procedures moeten regelmatig terugkomen. Dat biedt de leerlingen, die de
eerste keer niet aangehaakt hebben de kans om het alsnog te doen. Bovendien geldt voor alle
leerlingen dat één keer uitvinden of snappen hoe het zit niet voldoende is. Ook voor de betere
leerlingen geldt dat ze het zelfde een paar keer moeten begrijpen voordat het beklijft.
In het leerproces spelen modellen een belangrijke rol. In eerste instantie liggen de modellen nog heel
dicht bij de contextsituatie. Een banketstaaf die moet worden verdeeld kan voorgesteld worden als een
strook. Of een strook papier dat moet worden gevouwen is zelf een context. Het tekenen van een
strook, getallenlijn, cirkel enz. dient voor als ondersteuning van het redeneren. Na verloop van tijd
kunnen leerlingen ook redeneren aan de hand van modellen buiten een concrete contextsituatie om. Ze
kunnen bijvoorbeeld beredeneren dat 3/5 groter is dan een ½ deel omdat 3/5 een strook verdeelt in een
groot stuk en een klein stuk. Modellen ontwikkelen zich langzamerhand tot opzichzelfstaande
hulpmiddelen voor het redeneren over breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen. De band
met de concrete situatie blijft echter van groot belang.
Er is verschil tussen het modelgebruik zoals hierboven beschreven en het werken met kant-en-klare
modellen zoals breukenstokken en breukencirkels. Bij het werken met concreet materiaal als
breukenstokken bestaat de kans dat het aflezen van relaties de plaats inneemt van het redeneren over
relaties.
We kunnen zeggen dat modellen zich ontwikkelen van modellen van concrete situaties naar modellen
voor het redeneren. Tegelijkertijd ontwikkeld zich – ondersteund door de modellen – een netwerk aan
getalrelaties. Als zo’n relatienet is gevormd betekent dat op zich weer dat de modellen op een ander
niveau gebruikt kunnen worden.
In dit boek wordt de nadruk gelegd op het gebruik van de dubbele strook en de dubbele getallenlijn.
Dat wil niet zeggen dat andere modellen niet aan bod mogen komen maar het heeft voordelen om deze
twee modellen centraal te stellen. Deze twee modellen brengen namelijk via twee schalen heel
duidelijk de relatie met de grootheid waar het om gaat in beeld.
Een voorbeeld is de procentenstrook. Een schaal geeft bijv. het aantal ondervraagden aan en de andere
schaal de percentages.
Als we leerlingen inzicht willen bijbrengen mogen we ook fundamentele vragen over de functie van
breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen niet uit de weg gaan. Voorbeelden van zulke
vragen zijn:
- waarom gebruiken we naast breuken ook procenten?
- Wat is het voordeel van kommagetallen boven breuken?
- Wat hebben verhoudingen en breuken met elkaar te maken?
- Wat hebben verhoudingen en procenten met elkaar te maken?
Het zijn dit soort vragen dat de basis legt voor echt begrip van wat breuken, procenten, kommagetallen
en verhoudingen zijn. Dit zijn vragen die je moet gebruiken bij de introductie van deze getallen. Niet
achteraf, wanneer de leerlingen al bekend zijn met het onderwerp. Het komt er op neer dat we
kinderen als het ware kommagetallen en procenten als het ware opnieuw laten uitvinden. We spreken
dan van geleid uitvinden.
Volgens Freudenthal moeten we de kinderen de kans geven om de uitvindingen van onze voorouders
als het ware nog eens over te doen. Het gaat dan om het doormaken van een proces – onder leiding van
de leerkracht – waarin ze bijvoorbeeld zelf ontdekken dat kommagetallen handig zijn en waarom ze
dat zijn. Omdat de leerkracht een essentiële rol speelt spreken we van geleid heruitvinden.
Bij inzicht in de structuur van kommagetallen gaat het om inzicht in evenredigheden, in
maatwisseling en in de orde van grootte van kommagetallen. Het cijferen met kommagetallen behoort
niet tot de kern.
Een goed voorbeeld is:
Wij zouden direct gaan vermenigvuldigen. Voor kinderen is dit niet vanzelfsprekend. Voor hen is de
vraag: Wat zou je ongeveer moeten betalen??
Door de open formulering en de concrete context krijg je antwoorden als:
- 0,762 is minder dan 1 kilo en dan moet je ook minder dan € 1,20 betalen
- Kilo kost € 1,20. Dan kost 100 gram 12 cent. Kost dit iets meer dan 7x 12 cent
- 0,762 kg is iets meer dan ¾ kilo. Dus kost het iets meer dan ¾ van € 1,20
Daarna moeten de leerlingen hun oplossing beargumenteren. Dan blijkt dat er heel wat inzicht bij
komt kijken:
- hoe zie je aan een kommagetal dat het kleiner is dan ‘1’. Het echt begrijpen waarom dit zo is
vraagt wezenlijk inzicht in de structuur van de kommagetallen. Uiteraard kun je ook het
regeltje zeggen, maar dan krijgt de leerling geen inzicht.
- Het bedenken dat minder dan 1 kilo betekent dat je minder dan € 1,20 betaalt vraagt inzicht in
evenredigheid.
- Voor het omzetten van 0,762 kg in grammen is inzicht in maatwisseling nodig.
- Bedenken dat 0,762 bijna ¾ is, vraagt niet alleen dat leerlingen 0,75 koppelen aan ¾ maar ook
het zien van de relatie tussen 0,762 en 0,75. Dat heeft te maken inzicht in de orde van grootte
van kommagetallen.
Differentiatie
Het probleem van differentiatie speelt bij kommagetallen, breuken, procenten en verhoudingen nog
meer dan bij andere leerstof en nog meer dan in andere leerjaren.
In zekere zin is het programma voor de bovenbouw overladen. Er komen veel onderwerpen aan bod en
het is niet reëel te verwachten dat alle leerlingen die stof op een vrij formeel en abstract niveau gaan
beheersen.
Tempodifferentiatie, waarbij een deel van de leerlingen langzamer door het rekenboek gaat, is geen
oplossing. Een consequentie daarvan kan namelijk zijn dat leerlingen op het einde van de basisschool
wel uitentreure geoefend hebben met optellen van breuken terwijl ze nauwelijks iets weten van
procenten en kommagetallen. Optellen van breuken is in de dagelijkse praktijk geen belangrijke
vaardigheid, terwijl kommagetallen en procenten dat wel zijn.
Het gevoel van overladenheid heeft vooral te maken met de eisen die we stellen ten aanzien van het
formeel redeneren. Op dat punt zijn er enorme verschillen tussen leerlingen. Bij introductie van
kommagetallen en procenten zijn er soms leerlingen, die het systeem direct doorzien en er al snel op
een abstract niveau mee kunnen redeneren, terwijl andere leerlingen nooit verder komen dan werken
met kommagetallen of procenten in heel concrete situaties. We zullen zulke verschillen tot op een
bepaalde hoogte moeten accepteren en dat betekent dat de doelen van het reken- en
wiskundeonderwijs moeten worden bijgesteld. Het uitgangspunt moet zijn dat leerlingen op de
basisschool een elementair begrip ontwikkelt van onderwerpen als breuken, kommagetallen, procenten
en verhoudingen, maar dat we daarbij tegelijkertijd accepteren dat een aantal leerlingen er alleen
binnen concrete situaties mee leert rekenen. Wel moeten we zo veel mogelijk stimuleren het systeem
ook op een meer formeel niveau te doorzien.
Dat bijstellen van doelen rondom deze onderdelen van het rekenonderwijs houdt in dat we ons moeten
bezinnen op de sommen, die we de leerlingen laten oefenen, want die veronderstellen vaak een
abstract niveau van redeneren.
Wanneer we alle leerlingen alle oefeningen in het rekenboek laten maken, oefenen ze veel in het
maken van kale breukenopgaven. Die kale opgaven en de rekenoperaties die daarbij horen hebben
echter weinig betekenis voor ze. Dit leidt er toe dat ze fouten gaan maken. De leerkracht kan besluiten
dat ze nog meer moeten oefenen, maar hierdoor wordt het inzicht niet verhoogd.
In de bovenbouw stoot men vaak te snel door naar het formele rekenen. Dat leidt er toe dat leerlingen
bezig zijn met het inoefenen van rekenregels zonder dat ze begrip hebben van wat daaronder ligt. Er
moet gekozen worden voor het centraal stellen van ontwikkelen van inzicht. Dat betekent dat er meer
tijd moet worden uitgetrokken voor klassengesprekken, want inzicht ontstaat vooral door gesprekken
en discussies. Het gaat dan om de redenering waarop de kinderen hun oplossing baseren. De tijd, die
hiervoor moet worden vrijgemaakt, kan worden gevonden door minder nadruk te leggen op het
inoefenen van rekenprocedures.
Hoofdstuk 2: Samenhang
Breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen zijn verschillende beschrijvingen van iets wat
we in zekere zin als hetzelfde kunnen beschouwen (3/5 van een reep; 3 op de 5 automobilisten; 605 uit
water; 0,6 km tot camping; drie delen zand op twee delen cement).
Hoe komt het dat er verschillende manieren zijn om dezelfde verhouding te noteren? In het verleden
ontstond er steeds een nieuwe notatiewijze, die goed paste bij een specifieke situatie of een bepaalde
manier van rekenen. Die verschillen tussen situaties spelen ook nu een rol.
Breuken, procenten en kommagetallen geven verhoudingen weer. We spreken van verhoudingen als er
sprake is van een lineair verband tussen twee (of meer) getalsmatige beschrijvingen. Lineair (of
rechtevenredig) betekent: als het ene getal met een bepaalde factor wordt vergroot of verkleind, dan
wordt het andere getal met dezelfde factor vergroot of verkleind. Een dergelijk lineair verband komt
vaak voor. Denk aan:
- prijs en gewicht
- benzineverbruik
- ingrediënten
- schaalmodel van bijv. een vliegtuig
- schaduw
In de verhoudingsbeschrijving ‘2 van de 3’ of ‘1 op 32’ worden beide getallen genoemd, terwijl
breuken, procenten en kommagetallen de verhouding als het ware samenvatten in één getal. 7/25 meter
betekent dat deze lengte en de lengte van een meter zich verhouden als 7/25:1 Zo betekent 0,28 m.
ook dat de gemeten lengte en één meter zich verhouden als 28/100:1.
Procenten, breuken en kommagetallen willen de verhoudingsgetallen dus op een beknaopte manier
vastleggen.
Toen de Egyptenaren rond ongeveer 1700 voor Christus breuken ontwikkeleden, gebruikten ze alleen
stambreuken (breuken met steeds 1 als teller). Hieronder staat 1/7
De Egyptische notatie werd tot ver in de middeleeuwen gebruikt. Waar niet direct een mooie
stambreuk beschikbaar was, week men uit naar een optelling van stambreuken. Waarom werden tellers
ongelijk aan 1 niet eerder ingevoerd? Een mogelijke verklaring is dat stambreuken eerst moeten
worden opgevat als telbare objecten, voordat je de ‘tellers’ zinvol kunt invoeren.
Wanneer je veel met een bepaalde stambreuk werkt zal het handelingsaspect naar de achtergrond
verdwijnen en kan de stambreuk een status krijgen van zelfstandige maat. Bij ¼ liter slagroom denken
we niet meer aan het in vieren delen van een liter. Het is een bepaalde hoeveelheid geworden. Het
handelingsaspect is helemaal verdwenen. Wel realiseren we ons de verhouding: 1 liter is 4x zoveel als
¼ liter. Wanneer zich een nieuwe maat heeft gevormd kunnen we ook gaan afpassen. Pas dan is het
zinvol breukentaal uit te breiden naar het introduceren van breuken met tellers ongelijk aan 1, want
deze nieuwe breuken beschrijven dan ook het aantal keren dat is afgepast. Het éen-zoveelste-deel’
moet dus eerst het karakter krijgen van een zelfstandige maat.
Procenten zijn ontstaan binnen het rekenen met geld. In eerste instantie werd rente en belasting
uitgedrukt in een verhouding. Rente kon bijvoorbeeld worden aangegeven als: op iedere 300 dukaten
worden 5 dukaten als rente gegeven. Bij invoering van het nieuw belastingstelsel in 1569 werd gesteld
dat iedere tiende penning aan de belasting moest worden betaald, dus één op elke tien penningen.
Werken met zulke verhoudingsgetallen heeft als nadeel dat het vergelijken van verhoudingen lastig is.
Is twee van de drie bijvoorbeeld meer of minder dan drie van de vijf? Om dit probleem op te lossen
ging men gebruikmaken van een gestandaardiseerde verhouding door ‘op de honderd’ te gaan rekenen.
Het Franse ‘per cent’ werd verbasterd tot ‘procent’, wat staat voor een verhouding waarbij een van de
getallen op 100 is gesteld.
Pas rond 1600 kwam men op het idee van tiendelige breuken. Het voordeel van tiendelige breuken of
kommagetallen is dat je er mee kunt rekenen alsof het gewone getallen zijn. Bovendien kun de
verfijning op een eindeloze manier doorzetten: als 3,6 niet precies genoeg is ga je naar 3,64. Het is een
mooi, elegant systeem dat de decimale structuur van de gehele getallen doortrekt naar de andere kant.
Het verschil tussen kommagetallen en procenten is dat procenten als het ware altijd op zichzelf blijven
staan. Met kommagetallen kun je net zo werken als met hele getallen. Je kunt een kommagetal bij een
ander getal optellen of aftrekken.
Procenten en kommagetallen laten zich gemakkelijker vergelijken dan breuken en verhoudingen:
- aan beschrijvingen als 1/3 en 2/5 zie je niet direct wat meer is. Wanneer je van breuken
kommagetallen maakt 0,333 en 0,4 zie je dat wel.
- het is gemakkelijk om 33% en 40% puur sap te vergelijken dan ‘1 van 3’ of ‘2 van 5’ delen sap te
zeggen
- Over de vraag of 33% van een bedrag meer of minder dan 40% is hoeft niemand meer na te denken.
Procenten zijn op 100 genormeerd. Dat maakt het vergelijken gemakkelijk en we zien aan het
percentage ook direct hoeveel iets meer of minder is.
Inzicht in de samenhang tussen breuken, kommagetallen, procenten en verhoudingen leidt tot het
handig kunnen overstappen van de ene vorm van beschrijven naar de andere. Die samenhang wordt
weergegeven in onderstaand schema.
Didactisch perspectief
Het is belangrijk dat leerlingen zelf een netwerk van relaties kunnen vormen. Je mag niet te snel de
sprong maken naar breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen als opzichzelfstaande, niet
benoemde getallen. Kinderen moeten de relaties tussen deze onderdelen zelf ontdekken om te
begrijpen waarom op het ene moment voor procenten wordt gekozen en op een ander moment voor
breuken. Het is dus een proces van heruitvinden. Om de leerlingen daar de kans toe te geven moeten
we ze passende situaties voor leggen.
De samenhang komt naar voren wanneer bijv. breuken en procenten worden gevisualiseerd in een
strook, of wanneer hele getallen, breuken en kommagetallen een plaats krijgen op dezelfde dubbele
getallenlijn. Deze modellen helpen kinderen bij het ontwikkelen van een taal voor breuken, procenten,
kommagetallen en verhoudingen. Omdat deze modellen door de leerstofonderdelen als het ware
gedeeld worden, kan zich een gemeenschappelijke taal ontwikkelen. Dat stelt echter eisen aan de
leraar, die in gesprek met de leerlingen de relaties moet expliciteren. Het zichtbaar maken van de
samenhang stelt ook eisen aan de opbouw van de leerstof, want daarin moet de herkomst van de
begrippen verkend worden. Uiteindelijk vormt ook de zakrekenmachine een middel om de leerlingen
over de relaties tussen breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen na te laten denken.
Breuken, procenten en kommagetallen zijn verhoudingsgetallen die meestal pas betekenis krijgen als
duidelijk is waarop ze betrekking hebben. Wat breuken betreft komt dat bijv. duidelijk naar voren op
de benzinemeter. De tank is voor ongeveer ¾ gevuld. Hoer ver kun je daarmee rijden? Dat hangt o.a.
af van hoeveel benzine er in de tank gaat. De dubbele getallenlijn maken de relaties tussen de liters en
de breuken expliciet. Binnen de contextsituatie is het steeds duidelijk waar een breuk, kommagetal of
percentage naar verwijst en de situatie helpt de leerling om correcte operaties te kiezen.
Op een hoger niveau kunnen modellen de functie overnemen.
Goed gekozen contextsituaties maken de overstap naar het werken met een strook of een ander model
gemakkelijker.
De leerlingen kennen de strook ook als visualisering bij het downloaden of kopiëren van een
programma. Ze zijn daarop hoeveel procent al binnen is/ gekopieerd is.
In dit boek wordt vooral aandacht besteed aan het strookmodel en de dubbele getallenlijn. Voor
procenten en kommagetallen zijn de strook of de getallenlijn de meest voor de hand liggende
representatievormen. Ze hebben als voordeel dat het verhoudingsaspect tussen breuken, procenten en
dergelijke tot uitdrukking kan worden gebracht door boven en onder verschillende getallen te zetten.
Bovendien lenen deze modellen zich niet alleen voor het weergeven van concrete situaties, maar
kunnen ze ook heel goed worden benut voor het visueel ondersteunen van het redeneren met
getalrelaties. Door de stroken en de dubbele getallenlijn bij zowel breuken, procenten, kommagetallen
als verhoudingen te gebruiken maken we de samenhang tussen de leerstofgebieden duidelijk.
Naar een model voor getalsmatig redeneren.
Een belangrijke reden om de strook als model centraal te stellen is de mogelijkheid om via de strook
getalrelaties te verkennen. Dat gebeurt al direct bij het met de leerlingen besproken hoe je een strook
gemakkelijk in 8 gelijke stukken kunt verdelen: in gedachten herhaald halveren. Ook bij het
vergelijken van breuken biedt het denken aan de strook ondersteuning (1/3 en 3/10 wat is groter).
Met de overgang van contextgebonden breuken naar breuken als zelfstandig object verandert de
functie van het model. De strook wordt nu een middel om te laten zien hoe je getalsmatig hebt
geredeneerd. Dit getalsmatig beredeneren met stroken versterkt het begrip van de samenhang tussen de
breuken, kommagetallen, procenten en verhoudingen. De strook is uiteindelijk niet langer een
abstractie van een context, maar een middel om het denken dat steunt op getalrelaties te ordenen. De
strook of de dubbele getallenlijn vergemakkelijkt daarmee de overstap van breuken en verhoudingen
naar kommagetallen en procenten.
Relatienet en samenhang
Het doel van het leren van breuken, kommagetallen, procenten en verhoudingen is dat de leerlingen
een netwerk van getalrelaties ontwikkelen. Een dergelijk netwerk ligt aan de basis van het redeneren
over deze onderwerpen. Het is erg belangrijk om leerlingen voldoende getalrelaties te laten verwerven
zodat het redeneren – vaak via schattend of globaal rekenen – mogelijk wordt gemaakt. Het werken
aan een dergelijk relatienet draagt bij aan het vergroten van getalgevoeligheid van leerlingen. Er zijn
waarschijnlijk weinig leerlingen waarvoor 25 geen bijzonder getal is. 25 roept direct relaties op met
andere getallen (past 4x in 100; 5x5; ¼ van 100 enz.). Het is goed om na te gaan welke andere
bijzondere getallen leerlingen kennen. Wanneer leerlingen op deze manier een netwerk van bijzondere
getallen opbouwt, zal blijken dat de relaties uit dit netwerk op allerlei plekken bruikbaar zijn.
Hoofdstuk 3: Kerninzichten verhoudingen
Bij verhoudingen gaat het in de bovenbouw van de basisschool om het redeneren en rekenen met
evenredige verbanden. Het is belangrijk dat leerlingen leren herkennen waar sprake is van een
evenredig verband en waar niet. Het rekenen met verhoudingen heeft vaak ten doel situaties
vergelijkbaar te maken. In dit opzicht is er een grote verwantschap met breuken, procenten en
kommagetallen. Bij rekenen met verhoudingen speelt de verhoudingstabel een grote rol. Leerlingen
moeten niet alleen met de tabel kunnen werken als hij al gegeven is, maar ze moeten ook kunnen
herkennen waar zo’n verhoudingstabel van toepassing is.
Kerninzichten
Er is een breed scala van wiskundige beschrijvingen met breuken, procenten, kommagetallen en
verhoudingen. Een kwart van de mensen; 1 op de vier mensen; 25% van de mensen.
Het TAL-team stelt een programma voor dat niet gericht is op beheersing van de procedures, maar op
het doorzien van de onderliggende principes. Het accent wordt daarbij verlegd van kunnen – uitvoeren
van procedures- naar begrijpen.
Kerninzichten geven aan waar het onderwijs zich vooral op zou moeten richten.
Overal verhoudingen
- vergroten en verkleinen van foto’s
- prijzen vergelijken: 3 halen 2 betalen; telefoontarieven enz.
- recepten voor 4 of 6 personen
- kansen vergelijken
- grafieken en diagrammen
De lijst kan uiteraard nog veel langer worden. Ook in de rekenles draait het zo vaak om verhoudingen,
dat ‘verhoudingen’ geen duidelijke eigen plaats lijken te hebben. Vaak worden de activiteiten niet alks
verhouding benoemd. Dit boek beperkt zich tot de verhoudingen in de bovenbouw.
Bij verhoudingen in de bovenbouw draait het er vaak om dat bij gegeven getallen andere getallenparen
moeten worden gezocht, die dezelfde verhouding beschrijven. Een van de standaard hulpmiddelen is
de verhoudingstabel.
Redeneren met evenredigheden
We kunnen verhoudingen op allerlei manieren formuleren (auto rijd 1 op 18; 2 van de 10; 18 km per
uur enz.) Aan de basis van verhoudingen ligt het begrip evenredigheid. 1 op de 18 houdt in dat je voor
36 km. 2 liter nodig hebt enz.. In een verhoudingstabel is dat mooi te zien.
De verhoudingstabel
De verhoudingstabel is een ideaal hulpmiddel voor handig en inzichtelijk rekenen omdat de tabel
uitnodigt tot het noteren van tussenstappen. Als iemand bijv. 15 km per uur fietst kun je gemakkelijk
zien hoe lang hij over 20 km. doet.
Nog niet zo lang geleden werden verhoudingsproblemen genoteerd als ’15:20=60:?” Dit is
manipuleren met getallen, wat door veel leerlingen niet begrepen werd.
De verhoudingstabel is zowel een denkmodel als een kladblaadje. De tabel helpt bij het reeneren met
verhoudingen en is tegelijkertijd een handig rekenhulpmiddel. Het is belangrijk dat de leerlingen
steeds realiseren waar de getallen voor staan. Het is erg belangrijk dat ze redeneren vanuit context. Het
is dan ook belangrijk dat steeds de eenheid wordt opgeschreven. Dat kan in elke kolom of in de regel
vooraan.
De verhoudingstabel heruitvinden
Om de verhoudingstabel goed te leren begrijpen is het goed dat de leerlingen deze opnieuw geleid
‘uitvinden’ .Het gaat dan uiteraard niet om het heruitvinden van de tabelvorm-notatie. Het gaat daarbij
om de keuze voor een systematische manier van noteren en uitvinden hoe je handig kunt rekenen met
de verhoudingstabel. Kinderen moeten zich gaan realiseren dat de systematische manier van noteren
grote voordelen heeft. Kinderen zijn geneigd om lijstjes te maken. Het vergelijken is dan moeilijker.
Daarna moeten kinderen zelf uitzoeken welke stappen ze binnen een tabel kunnen maken en welke
niet. Een notatie met pijlen van de ene kolom naar de andere helpt de redenering te verduidelijken. Het
is handig als leerlingen een taal ontwikkelen om te beschrijven wat ze hebben gedaan.
Verhoudingsgewijs vergelijken
Voor kinderen is het verschil tussen ‘absoluut vergelijken’ (in die stad worden 1000 fietsen per jaar
gestolen en in die 1500) en het ‘verhoudingsgewijs vergelijken’ (aantal inwoners van beide steden er
bij betrekken en dan per 1000 inwoners omrekenen) niet vanzelfsprekend. Het is belangrijk dat we de
leerlingen vaak genoeg in situaties moeten brengen waarin de stap naar verhoudingsgewijs vergelijken
door de leerlingen zelf gezet moet worden.
Samengestelde grootheden
Er zijn situaties waarbij het gaat om verhoudingen tussen een deel en het totaal (3 van de 24 kinderen).
Bij zo’n verhouding gaat het maar over één grootheid.
Er zijn ook situaties waarin verhoudingen tussen verschillende grootheden in getallen worden
vastgelegd (aantal km per liter). Dan spreken we van samengestelde grootheden. De combinatie van
‘aantal liters’ en ‘aantal km’ leidt tot een nieuwe grootheid: benzineverbruik.
De verhoudingstabel vereenvoudigt het rekenen met samengestelde grootheden sterk, want in zo’n
tabel werk je met afzonderlijke grootheden (liters en km) in plaats van direct met de samengestelde
grootheid (benzineverbruik).
Niet evenredig
We spreken van verhoudingen als er sprake is van evenredig verband tussen grootheden. Evenredige
verbanden komen vaak voor. Maar dat wil niet zeggen dat er geen verbanden zijn die niet evenredig
zijn. Telefoonkosten is daarvan een voorbeeld. Bij telefoontikken geldt dat er een starttarief is.. Het is
dus niet zo dat een gesprek van 4 minuten 2x zo veel kost als een gesprek van 2 minuten. Een ander
voorbeeld van een niet-evenredige relatie is die tussen lengte en oppervlakte. Wanneer je de lengte van
een foto (10 bij 15) vergroot naar 20 bij 30 wordt de oppervlakte 4x zo groot.
Globale leerlijn verhoudingen
Een van de deelleerlijnen betreft de verhoudingstabel. Het gaat hierbij om:
- introduceren verhoudingstabel
- gevoeligheid ontwikkelen voor het herkennen van situaties waarin de verhoudingstabel van
nut kan zijn.
- Ontwikkelen van strategieën voor het handig gebruiken van de verhoudingstabel.
Een deelleerlijn die hier heel dicht tegenaan ligt is is die van het gebruik van de verhoudingstabel voor
het rekenen met procenten en kommagetallen. Het gaat hierbij zowel om het omzetten van
verhoudingen in procenten als het rekenen met procenten. Verhoudingen kunnen worden omgezet in
procenten door om te rekenen naar ‘zo veel op de honderd’ (150 van de 750).
De verhoudingstabel is ook goed bruikbaar voor het rekenen met procenten als zodanig (hoeveel is
35% van 120)
Een andere deelleerlijn betreft verhoudingsgewijs vergelijken. Een belangrijke eerste stap is hier het
maken van een verschil tussen absoluut en relatief vergelijken.
En als laatste: aandacht besteden aan niet-evenredigheid.
Hoofdstuk 4: Kerninzichten breuken
Breuken komen voort uit deel- en meetsituaties en hebben in contexten vrijwel altijd het karakter van
meet- of verhoudingsgetallen, die verwijzen naar deel-geheelrelaties.
Historisch gezien gaan breuken vooraf aan procenten, verhoudingen en kommagetallen. Breuken zijn
de basis voor het begrijpen van de andere drie domeinen.
Breuken als fundament
Breuken op de basisschool
In het dagelijks leven zijn breuken bijna helemaal verdrongen door procenten en kommagetallen.
Moeten ze dan nog wel als leerstof op de basisschool worden aangeboden? In tegenstelling tot breuken
kun met kommagetallen op een rekenmachientje werken, je kunt kommagetallen onderling makkelijk
vergelijken en je kunt via het aantal cijfers achter de komma elke gewenste nauwkeurigheid kiezen.
Procenten hebben dezelfde voordelen.
Volgens het TAL-team moeten breuken toch een plek in het basisonderwijs houden. Hun argumenten:
- mensen rekenen en redeneren vaak in breukentermen (72% van 600 wordt als ongeveer ¾
uitgerekend)
- breuken geven betekenis aan procenten en kommagetallen
- breuken spelen een belangrijke rol bij het hoofdrekenen met procenten en kommagetallen
- begrip van breuken is een belangrijk fundament voor het begrijpen van procenten en
kommagetallen
Het concept van breuken sluit heel direct aan op de manier van denken van jonge kinderen. Een
dropveter delen met een broertje: ieder krijgt de helft.
Wanneer we direct beginnen met kommagetallen en procenten beginnen we met verfijning/ een
concept van bovenaf. We geven kinderen geen kans om de concepten zelf te ontwikkelen.
Hoeveel moeten kinderen van breuken weten?
Het uitgangspunt voor het opnemen van de breuken in het leerstofaanbod van de basisschool is: begrip
van breuken vormt het fundament voor het rekenen met procenten en kommagetallen.
Een dergelijk uitgangspunt stelt grenzen aan wat met betrekking tot breuken aan de orde moet komen.
Wat kinderen precies moeten weten en kunnen is niet zo eenvoudig aan te geven. Het gaat vooral om
het niveau waarop ze iets moeten weten of kunnen. Kinderen moeten bijvoorbeeld weten dat 1/6 de
helft van 1/3 is en dat 1/3 twee keer in 2/3 past. Dat is verwant aan sommen als 1/2x1/3= en 2/3:1/3=
maar zeker niet hetzelfde. De sommen vereisen de beheersing van zeer strakke rekenprocedures,
terwijl de relatie tussen 1/3 en 2/3 en relatie tussen zesden en derden echt basiskennis is.
In dit hoofdstuk wordt gesproken over kerninzichten die alle kinderen nodig hebben. In hoofdstuk 7
wordt aandacht besteed aan de betere leerlingen. Daar wordt ook beschreven hoe we voorkomen dat
we deze kinderen te kort doen.
Meten
Situaties met breuken kunnen we grofweg verdelen in verdeel- en meetsituaties. Breuken ontstaan
wanneer het aantal te verdelen dingen niet gelijk is aan het aantal personen dat een deel wil krijgen of
aan een veelvoud van het aantal personen. Breuken komen ook voort aan de behoefte van een fijnere
maat. Er zijn nog steeds melkpakjes van een halve liter. En pakjes slagroom van een kwart liter.
Verfijnen door steeds te helft te nemen ligt blijkbaar voor de hand.
Nu staat er vaak ook hoeveel cl. het is. Vroeger, toen er nog geen decimale maat was, werden maten
via allerlei verschillende breuken onderverdeeld.
Meten biedt een natuurlijke context voor het ontwikkelen van breuken. Als bij het meten met een
strook de hele strook een te grove maat blijkt ligt verfijning door te vouwen voor de hand. Via
dubbelvouwen krijg je vanzelf halven, kwarten en achtsten, maar in principe kan een strook ook in
derden of vijfden worden verdeeld. Vanuit meten is de notatie met tellers groter dan 1 ontstaan. De
stap van stambreuk (1/2; 1/3; ¼ enz.) naar breuken als 2/3; ¾ is groter dan hij misschien lijkt. Vanuit
contextsituaties is niet direct behoefte aan zulke breuken, want je kunt heel goed af met ‘2 stukjes van
1/3’. De notatie 2/3 maakt het mogelijk de breuk als een op zich zelf staand getal te beschouwen, dat
los staat van het delen of verdelen. De notatie 2/3 heeft een dubbele betekenis:
- het weerspiegelt een handeling. Het staat voor 2 stukjes van 1/3 waarbij 1/3 die maat is
- staat voor de verhouding ‘2 staat tot 3’ , de relatie tussen deel en geheel.
Verdelen
Verdeelsituaties bieden een andere ingang voor het ontwikkelen van breuken. Bij verdelen duiken de
breuken op verschillende manieren op:
- als 3 personen samen iets verdelen krijgt ieder 1/3
- er kan een rest overblijven waarbij iedereen nog recht houdt op een deel daarvan (2 1/3)
- het zogeheten ‘eerlijk verdelen’ leidt vanuit een deling tot een breuk: bij 3 pannenkoeken met
vieren krijgt iedereen ¾ pannenkoek. Dus 3:4=3/4
Het lijkt verstandig om te kiezen voor een meersporige benadering en zowel meet- als verdeelsituaties
met leerlingen verkennen.
Ontwikkelen van een relatienet
Binnen een contextsituatie zijn breuken altijd het zoveelste deel van iets:
- deel van één ding: ¾ van de tank is vol
- deel van een verzameling: 2/4 van de kinderen heeft donker haar
- deel van een hoeveelheid: er zit nog ¾ van 40 liter in de tank
- deel van een maat: ¾ km; ¾ uur
Het gaat steeds om deel- heelrelaties. Dat geldt ook voor bijv. 3/2 – een breuk groter dan 1- want in de
contextsituatie draait het uiteindelijk om ½ die overblijft.
Breuken zijn verhoudingsgetallen, wat met zich meebrengt dat het voor iedereen duidelijk moet zijn
om welke verhouding het gaat. Vaak wordt dat weggelaten omdat het al uit de contextsituatie blijkt.
Maar kinderen kunnen daaruit de conclusie trekken dat ¾ of 2/3 op zichzelf staan. Laat daarom in het
begin kinderen expliciet opschrijven waar die breuk betrekking op heeft (3/4 pizza= ½ pizza+1/4
pizza). Een tweede reden om het expliciet te laten opschrijven: Een notatie als ‘3/4=1/2+1/4’
suggereert ten onrechte dat kinderen als kunnen redeneren met breuken los van de context, op abstract,
formeel niveau. In het begin is het redeneren van kinderen echter sterk aan context gebonden.
Een relatienet rond breuken
Uiteindelijk moeten kinderen ook kennis ontwikkelen, die los staat van concrete situaties. Dat wil
echter niet zeggen dat dan de link met concrete situaties verdwenen is. Als het goed is kunnen
kinderen zelf situaties bedenken die ‘bewijzen’ dat het klopt en die redenering ondersteunen met een
tekening (strook of cirkel). De kennis die kinderen ontwikkelen over de relaties tussen de
verschillende breuken noemen we een relatienet. Leerlingen eind groep 6 weten redelijk wat over
eenvoudige breuken (1/2; 1/3 enz.) In groep 7 en 8 breidt de kennis van breukenfeitjes zich steeds
verder uit. Die kennis komt geleidelijk aan ook op een hoger en formeler niveau. Dergelijke kennis is
dan niet meer gekoppeld aan specifieke contextsituaties, maar het is wel kennis over specifieke
breuken. Een leerling die kan berekenen dat ¾ minder is dan 4/5 hoeft niet in staat te zijn te
beredeneren dat 14/15 minder is dan 15/16. Een relatienet wordt niet ontwikkeld door kale sommen,
maar door het gebruik van contextsituaties, dus vanuit situaties met benoemde breuken (1/3 pizza)
Handig snijden
Kinderen vinden het moeilijk om een cirkel of een strook in bijv. 4 gelijke delen te verdelen. Bij een
strook komen ze vaak in de problemen omdat ze de eerste stukken te groot nemen. Er zou in het
onderwijs ruimte moeten zijn om kinderen zelf handige manieren van verdelen te leren ontdekken.
Wanneer kinderen de meetkunde van eerlijk verdelen onderzoeken, verkennen ze immers ook de
relatie tussen de breuken.
Eerlijk verdelen van meer dan 1 object
Ook opgaven waarin meer dan 1 object moet worden verdeeld zijn geschikt om relaties tussen breuken
te laten onderzoeken. Er zijn verschillende manieren waarop 4 kinderen samen 3 pizza’s kunnen
verdelen. Je krijgt dan verschillende oplossingsmethoden, die allemaal goed zijn. De sommen die de
kinderen dan opschrijven hebben steeds betrekking op de beredenering. Door het onderzoeken van
verdeelsituaties ontwikkelen kinderen een relatienet rond breuken dat hen in staat stelt om te rekenen
met breuken zonder dat ze expliciete rekenregels hoeven te leren. Kinderen hebben daar lange tijd
genoeg aan. Algemeen geldende rekenprocedures kunnen later aan de orde komen.
Meten met een strook
Bij meten ontstaat de behoefte aan breuken wanneer de maat niet past en we de uitkomst toch
nauwkeurig willen beschrijven. De meest natuurlijke oplossing is het herhaald halveren. Leerlingen
doen dit spontaan. Ze duiden soms iets aan als de helft van de helft. Wanneer ze meer bekend zijn met
de breukentaal kunnen ook andere noemers een rol gaan spelen. Dan kunnen voorgestructureerde
stroken of staven worden geïntroduceerd.
Modellen voor rekenen met breuken
Strook en getallenlijn.
Een kwart van de Nederlandse bevolking. Het betreft hier een verhouding tussen een kwart en het
geheel en een verhouding tussen 4 miljoen en 16 miljoen.
De strook kan de dubbele relatie goed weergeven.
www.rekenweb.nl computerprogramma ‘eerlijk verdelen’
Kinderen vooral met de strook als model goed uit de voeten, omdat ze er gemakkelijk deel-geheel
redeneringen in kunnen weergeven. De dubbele getallenlijn is abstracter. Het ‘geheel’ is daar een punt
op de lijn.
Het feit dat dat punt naar een lengte verwijst (bijv. 1 meter) raakt al snel op de achtergrond. Zeker als
het begin van de getallenlijn niet getekend wordt zoals hierboven.
De cirkel
De tijd van de houten cirkels, die in segmenten is verdeeld ligt ver achter ons. Maar de pizza en de
pannenkoek hebben hun plek ingenomen. Het voordeel van een cirkel is het snel kunnen interpreteren
van het plaatje. Maar de cirkel gebruiken als denkmodel is moeilijker.
Rekenen met breuken
Vergelijken van breuken
Kinderen moeten eenvoudige breuken met elkaar kunnen vergelijken en zeggen welke breuk het
grootste is. Ze moeten ook kunnen beredeneren waarom twee breuken ‘even groot’ zijn. Daarbij gaat
het expliciet om het beredeneren en niet om het aflezen. Breukenstokken en de breukenkast zorgen er
voor dat de leerlingen ‘wat ze zien’ als maatstaf nemen. Ze moeten echter kunnen vertellen waarom
2/3 evenveel is als 4/6. Stroken moeten functioneren als een denkmodel. Wat je precies ziet is niet
belangrijk. Het gaat er om dat het tekenen van zo’n strook je helpt om een redenering te vinden.
Hoever kinderen komen in dat redeneren is per kind verschillend. De meeste kinderen in groep 7 en 8
kunnen redeneren met derden en vierden. Een deel van de leerlingen raakt zo vertrouwd met de
breukenwereld dat achtsten en negenden even concreet zijn dan derden en vierden.
Optellen en aftrekken
Het rekenen met breuken heeft op zichzelf maar een beperkte praktische waarde. Het is het fundament
voor procenten en kommagetallen. Als je vanuit dat gezichtspunt kijkt naar de vaardigheden die de
kinderen onder de knie moeten krijgen is er slechts een bescheiden behoefte aan oefenactiviteiten. Ook
optellen en aftrekken kunnen grotendeels beperkt worden tot redeneringen binnen een concrete
context. Optellen en aftrekken steunen sterk op het zoeken naar gelijknamige breuken. Ook het eerlijk
verdelen kan leiden tot een serie sommen die het verdeelresultaat beschrijven. Wanneer leerlingen
breuken met elkaar kunnen vergelijken door ze gelijknamig te maken is de stap naar optellen en
aftrekken maar klein.
Vermenigvuldigen met breuken
Zolang vermenigvuldigen met breuken als herhaald optelling kunnen worden geïnterpreteerd hebben
leerlingen er weinig moeite mee. Vier mensen eten ieder ¾ pizza (4x3/4=12/4 dus 3 pizza’s). Hier
wordt een heel getal met een breuk vermenigvuldigd. Situaties waarin de breuk de vermenigvuldiger
zou zijn ( je hebt ¾ meter stof nodig. 1 meter kost €8,00) herkennen kinderen vaak niet als een
vermenigvuldiging. Vanuit de context kunnen de kinderen de opgave waarschijnlijk wel aan, maar als
de getallen lastiger zijn gaat het fout (3/4 m. stof nodig. € 8,50 per meter). Wat vermenigvuldigen met
een breuk extra moeilijk maakt is dat kinderen vermenigvuldigen associëren met groter worden.
Interpreteren als het ‘zoveelste deel van iets’ als een vermenigvuldiging is voor kinderen moeilijk. ¾
x iets is niet te interpreteren als een herhaalde optelling. Leerlingen moeten dus gaan zien dat
vermenigvuldigen niet uitsluitend herhaald optellen is. Het kan ook een factor zijn. De schaal 1:8 wil
zeggen dat het in werkelijkheid 8x zo groot is. 8x is dus een vergrotingsfactor. Activiteiten rondom
schaal en vergroten zijn geschikt om om het concept van vermenigvuldigen te verbreden.
Delen
Een breuk gedeeld door een heel getal heeft voor de leerlingen meer betekenis dan een heel getal
gedeeld door een breuk. Delen wordt geassocieerd met kleiner maken.
De globale leerlijn
Deelleerlijnen:
- Ontwikkelen van breukentaal. Begin groep 6 kennen leerlingen op informele wijze breuken
als een half en een kwart. Er wordt gestart met het systematisch exploreren van situaties waar
breuken uit voortkomen. Verdeelsituaties leiden tot allerlei verschillende breuken. Een
belangrijke stap in het ontwikkelen van de breukentaal is de verzelfstandiging van ‘het
zoveelste deel’ tot een maat. Zo spreken we eerst van 1/6 deel van een banketstaaf en later 1/6
banketstaaf. Daarna volgt de uitbreiding van breuken met tellers ongelijk aan één (5/6). Het is
van belang dat kinderen zo snel mogelijk los komen van de handeling van het maken en tellen
van partjes. Ze moeten breuken gaan zien als beschrijving van deel-geheelrelaties, waarbij 2/5
verwijst naar de verhouding ‘2 van de 5’. De leerling kan zich op basis van die verhouding
realiseren dat 2/5 kleiner is dan ½
- Beredenerend gelijknamig maken. Het verdelen wordt ook gebruikt om het gelijknamig
maken voor te bereiden. Dit gebeurt via de discussie hoe je bijv. een banketstaaf handig kunt
opdelen. In zessen … eerst de helft en dan die helft in drie gelijke stukken. Het onderzoeken
van de relaties van delen in zessen, in drieën en halveren bereidt voor op het gelijknamig
maken van derden, zessen en halven.
- Getalrelaties. Het ontwikkelen van getalrelaties vindt vooral plaats in activiteiten rond het
eerlijk verdelen. Het computerprogramma ‘eerlijk verdelen’ is hier goed in te zetten. Maar het
is ook erg belangrijk dat in de klas de gebruikte strategieën besproken worden.
- Beredeneren van operaties. Bij het opereren met breuken worden twee routes gevolgd: het
beredeneren van de operaties en het ontwikkelen van getalrelaties. Voorop staat het
ontwikkelen van getalrelaties. Redeneren met breuken leidt tot het ontwikkelen van
getalrelaties, maar moet ook een uitweg bieden wanneer lln. geen getalrelaties paraat hebben.
Het beredeneerd optellen en aftrekken van breuken bouwt voort op het beredeneert
gelijknamig maken. Bij vermenigvuldigen onderscheiden we situaties die gemakkelijk
geïnterpreteerd kunnen worden als herhaald optellen en situaties waarbij dat problematisch is.
- Aanzetten tot ontwikkelen van procedures. Het meer routinematig uitvoeren van bewerkingen
zien we voor een deel van de leerlingen als een mogelijke uitloop. Wordt verder uitgewerkt in
hoofdstuk 7
Hoofdstuk 5: Kerninzichten procenten
Bij het globaal rekenen met procenten spelen eenvoudige breuken een belangrijke rol door als
referentiepunten te fungeren. Bij het rekenen op een rekenmachientje speelt de relatie met
kommagetallen een grote rol. Procenten bieden een gestandaardiseerde manier om verhoudingen te
beschrijven.
Een schaal van 0 tot 100
Het belangrijkste nadeel van breuken is dat ze onderling zo lastig te vergelijken zijn (is 4/5 meer of
minder dan 2/3). Procenten zijn gemakkelijk te vergelijken 80% en 67%.
Procenten zijn vaste getallen op een schaal van 0 tot 100. Die schaal is niet toevallig. 0-100 past in ons
getalsysteem, zodat we percentages gemakkelijk kunnen omzetten in kommagetallen. Een schaal tot
100 is verfijnd genoeg voor de meeste situaties. In die situaties waar procenten te grof zijn kunnen we
werken met cijfers achter de komma of overschakelen op ‘promille’.
Introductie van procenten
Bij de introductie van procenten is het gewenst dat de kinderen al vertrouwd zijn met ‘honderdsten’ in
gewone breukennotatie. “Een honderdste” moet betekenis krijgen voor de leerlingen en dat gebeurt
niet wanneer in groep 6 alleen met derden en vierden is gewerkt en vervolgens ‘honderdsten’ in een
andere schrijfwijze te presenteren. Leerlingen moeten al gewerkt hebben met breuken als 20/100 en
25/100 en moeten kunnen beredeneren waarom deze breuken gelijkwaardig zijn aan 1/5 of ¼. Het
computerprogramma ‘in kaart’ kan hierbij een nuttige rol spelen.
Twee benaderingen bij de introductie.
De introductie van procenten gebeurt vaak vanuit kortingspercentages. Een argument daarbij is dat
kinderen al bekend zijn met de context ‘korting’. Er wordt dan begonnen met ronde percentages als
10%, 20% en 25%. Bij deze percentages is gemakkelijk een verband te leggen met breuken. Maar
waarom zijn er dan percentages uitgevonden als ze alleen maar een andere manier van noteren t.o.v.
breuken inhouden?
Er zijn twee benaderingen bij de introductie van procenten mogelijk:
- introductie als nieuwe manier om deel-geheelrelaties te noteren. Er wordt in het begin het nut
van de procentennotatie in het midden gelaten.
- Introduceren als een uitvinding, als het antwoord op een probleem.
De introductie volgens de tweede benadering start met een discussie over de beperkingen van de
gewone breuken. Je moet steeds andere breuken met elkaar vergelijken 4/5 en 1/3 enz.. De conclusie
is dan dat het handiger is om met één type breuk te werken. Waarschijnlijk komt ook naar voren dat
‘honderdsten’ een verfijndere schaal is dan andere breuken. Deze benadering komt er dus op neer dat
het werken met breuken eerst wordt uitgebreid met ‘honderdsten’ en dat de leerlingen de voor- en
nadelen van werken met honderdsten verkennen. De procentennotatie wordt daarna geïntroduceerd als
een handigere manier van noteren. Het programma ‘breukenstrook’ op rekenweb is goed bruikbaar.
Modellen
Het belangrijkste model bij procenten is de strook. Boven de strook worden de percentages geschreven
en er onder de corresponderende aantallen, of andersom. Het voordeel van de strook is dat het body
heeft, oppervlakte. Voor kinderen is het dan gemakkelijker om in termen van ‘geheel’ en het
‘zoveelste deel’ te praten. De dubbele getallenlijn is abstracter.
In de leerlijn procenten zou de nadruk op flexibel hoofdrekenen moeten liggen. Al doende kunnen
leerlingen vervolgens ontdekken dat er een methode is die altijd werkt – een algoritme- namelijk eerst
uitrekenen hoeveel 1procent is. Ze ontdekken dan ook dat de 1%-regel niet altijd de gemakkelijkste
manier is. Maar die 15-regel is wel weer erg belangrijk voor het rekenen op een zakrekenmachientje.
De procententabel
Naast de strook kan ook de verhoudingstabel als hulpmiddel worden gebruikt. De procententabel biedt
evenals de strook en de dubbele getallenlijn de mogelijkheid om aantallen en percentages aan elkaar te
koppelen. Het biedt net als de strook en de dubbele getallenlijn de mogelijkheid om allerlei
tussenstappen te maken. Een verschil is echter dat in de tabel de getallen in een willekeurige volgorde
mogen worden gezet. Dat heeft als nadeel dat het rekenen een meer abstractere vorm heeft. Tabel en
strook kunnen naast elkaar functioneren, maar bij de keuze voor één model heeft de strook de
voorkeur.
Rekenen met procenten
Vertalen naar breuken
Het is belangrijk dat kinderen percentages kunnen omzetten naar breuken en omgekeerd. Ze moeten
dat kunnen omdat percentages en breuken in het dagelijks leven vaak naast elkaar worden gebruikt.
Ook draagt dit omzetten naar breuken bij aan het vertrouwd raken met de orde van grootte van
percentages en dus aan het getalinzicht. Ze kunnen dan bijv. 64% interpreteren als ‘meer dan de helft,
maar minder dan tweederde’. De relatie met breuken moet gelegd worden via redeneren. De strook
speelt hierbij een grote rol. Door te tekenen leren de kinderen dat 25% de helft is van 50% enz..
23% van 674
In het rekenonderwijs zijn we geneigd om te werken met ronde getallen en mooie percentages om het
voor de kinderen niet te moeilijk te maken. We missen dan de kern van wat procenten ons bieden. Ze
helpen ons juist om grip te krijgen op verhoudingen met grote of onhandige getallen. Dat wil niet
zeggen dat sommen als ‘20% van 80’ vermeden moeten worden. Maar er moet ook aandacht zijn voor
sommen als ‘155 van de 674’
Procenten op de zakrekenmachine
Leerlingen moeten met hun getallenkennis (relatienet) en de strook als model procentopgaven kunnen
oplossen. Bij wat moeilijkere getallen moeten ze in staat zijn om via globaal rekenen een schatting te
maken. Toch is het belangrijk dat leerlingen op een gegeven moment om procentopgaven op een
rekenmachine op te lossen. Veel rekenmachines hebben een procentknop, maar hoe die werkt is vaak
niet direct inzichtelijk. Wie de rekenmachine incidenteel gebruikt voor het uitrekenen van
procentopgaven kan dat beter doen met de knoppen ‘delen’ en ‘vermenigvuldigen’. De 1%-regel is
dan belangrijk.
De globale leerlijn
Bij de start van werken met procenten moeten de leerlingen de daarvoor noodzakelijke elementaire
breukenkennis hebben vergaard. Procenten worden gekoppeld aan ‘honderdsten’, wat betekend dat
kinderen vertrouwd moeten zijn met deze breuken. Het ligt voor de hand pas met procenten te starten
wanneer kommagetallen, althans ‘gewone tiendelige breuken’ aan de orden zijn geweest.
Introductie
De eerste activiteiten rondom procenten betreffen het omzetten van deel-geheelrelaties of
verhoudingen in procenten. Vervolgens wordt de procentenstrook ontwikkeld als het primaire model
voor procenten. Deze wordt eerst geïntroduceerd als hulpmiddel om het vergelijken en redeneren rond
de orde van grootte te ondersteunen. Nadat de procentenstrook is geïntroduceerd als middel om
percentages voor te stellen wordt de procentenstrook ook gebruikt als rekenmiddel. Een verhouding
als ’72 van de 120’ kan bijvoorbeeld in een reeks van stappen in een percentage worden omgezet.
Percentages nemen
17% van 360. Dit kan met de procentenstrook. Je laat dan zien hoe je denkt/redeneert. Dat is de
volgende stap in het proces. Natuurlijk kan hier op de verhoudingstabel worden gebruikt. Het is van
belang dat de leerling steeds weet waar het percentage naar verwijst. In deze fase komen ook opgaven
aan bod rond bijtellen en afhalen. Wanneer dit leidt tot overschrijding van 100% kan de dubbele
getallenlijn geïntroduceerd worden.
Twee typen verhoudingstabellen
Er zijn verhoudingstabellen, die deel-geheelrelaties beschrijven (percentage is ‘zo veel op de 100) en
verhoudingstabellen waarin één van de getallenrijen percentages weergeeft. Ter verduidelijking:
hoeveel is 36 van de 120 euro?
Rekenen met de zakrekenmachine
Wanneer de leerlingen voldoende vertrouwd zijn met handig en flexibel redeneren met procenten
wordt het gebruik van de zakrekenmachine onderwerp van onderzoek. Hierbij wordt voortgebouwd bij
inzichten die leerlingen hebben opgedaan bij het omzetten van breuken in kommagetallen op de
zakrekenmachine. We beginnen met de 15-regel. Ook kan bij ‘789 van de 5690’ uitgerekend worden
door te delen. De uitkomst 0,14 wordt dan geïnterpreteerd als 14%
Hoofdstuk 6: Kerninzichten kommagetallen
Bij kommagetallen wordt de kern gevormd door het idee van systematisch verfijnen met een factor 10.
Kommagetallen moeten goed zijn ingebed in het redeneren met ‘gewone tiendelige breuken’ en het
werken met maten uit het metriek stelsel. Een belangrijke steunpilaar bij het werken met
kommagetallen is de ‘maatwisseling’: via de omweg van een andere maat kun je uitwijken naar het
rekenen met hele getallen.
Verfijnen
Kennen is nog niet doorzien
Kinderen maken al vroeg kennis met kommagetallen. Ze weten dat € 2,45 staat voor 2 euro en 45
eurocent. 0,7 liter op een fles , jouw lengte van 1,54 meter enz.. Binnen dergelijke contexten zijn
kommagetallen voor kinderen waarschijnlijk niet meer dan getallen die op een bijzondere manier
geschreven worden. Ze zien nog niet dat de cijfers achter de komma zorgen voor een meer precieze
beschrijving en ze realiseren zich ook niet dat we in principe onbeperkt door kunnen gaan met cijfers
toevoegen. Geldbedragen zijn waarschijnlijk de kommagetallen die de kinderen het vaakste
tegenkomen, maar geld is eigenlijk geen goede context als het gaat om de structuur van de
kommagetallen. Leerlingen rekenen met geld door de cijfers voor en achter de komma te interpreteren
als opzichzelfstaande getallen. Bij geld zie ook nooit €2,4 en het aantal cijfers achter de komma is daar
beperkt tot 2.
Inzicht in de structuur
Wat is groter 1,9 of 1,65 Vaak zullen kinderen kiezen voor 1,65 want 65 is toch groter dan 9. Het
weglaten van de 0 op het eind van een kommagetal maakt het zo lastig. Ook de zakrekenmachine laat
de 0 bij een optelling weg. We moeten dus vaak getallen vergelijken die een verschillend aantal cijfers
achter de komma hebben. Rekenen met kommagetallen zitten vol met procedures. Snappen kinderen
waarom bij een optelling de komma’s precies onder elkaar moeten staan (ook bij verschillend aantal
cijfers achter de komma)? De procedure voor cijferend vermenigvuldigen met een komma is nog
moeilijker te doorzien. Het meer laten oefenen is niet de oplossing. De leerlingen moeten inzicht
ontwikkelen in de structuur van de kommagetallen. Het is belangrijk dat de kinderen het verband
tussen de kommagetallen en de gewone breuken van tienden en honderdsten blijven zien.
De introductie van kommagetallen
Een tiende van een tiende
Vaak gaat men bij de introductie uit van wat de leerlingen al weten: geldnotatie; inhoudsmaten en
lengtematen. Het gevaar bestaat dat de leerkracht al snel denkt dat de leerlingen alles snappen. Maar
bij nieuwe situaties zal blijken dat hun inzicht van het systeem van kommagetallen nog veel lacunes
vertoont.
Omdat meten, metriek en kommagetallen nauw met elkaar verbonden zijn, kunnen we kommagetallen
introduceren vanuit meetproblemen. Een mogelijke vorm wordt geschetst in de lessenserie één tiende
van een tiende’ blz. 112-113 van dit boek.
Steeds terugkomen op de betekenis
Vragen die regelmatig aan de orde moeten komen:
- wat is de relatie tussen 1,6 en 1,65?
- waarom schrijven we soms 1,60 en laten niet altijd de 0 weg op het eind?
- Waarom vertelt de rekenmachine ons dat ¼ gelijk is aan 0,25 maar krijgen we voor 1/3 zo’n
gek getal als 0,33333?
- Maakt het wat uit of je 3,8 in plaats van 3,80 intoetst op het rekenmachientje?
- Bestaan er getallen als 0,00002, wat betekenen ze en is dat groter of kleiner dan 0?
- Wat gebeurt er als je 0,04 met 10 vermenigvuldigt?
Rekenen met kommagetallen
Getalrelaties
Ook het rekenen met kommagetallen steunt op het repertoire aan getalrelaties waarover leerlingen al
beschikken. Op het moment dat kommagetallen aan bod komen zouden leerlingen moeten weten:
- 1/5=2/10
- 4x25=100 ; 4x2 ½ =10
Het is ook handig wanneer kinderen over een meer of minder uitgebreid relatienet beschikken rond de
getallen als 20, 25, 33 1/3 en 12 ½ (2x20; 4x 20 enz.)
Optellen en aftrekken met kommagetallen
Het rekenen met hele getallen en kommagetallen lijkt op elkaar en dat maakt het rekenen er mee
eenvoudiger dan met breuken. Een voorwaarde is echter dat de leerlingen de structuur van de
kommagetallen doorzien. Pas als de leerlingen begrijpen wat kommagetallen zijn, wordt de regel
‘komma’s recht onder elkaar’ meer dan een willekeurige afspraak. In de praktijk wordt voor het
rekenen met kommagetallen het rekenmachientje gebruikt. Het is dus niet nodig om leerlingen
uitgebreid te laten oefenen met cijferen. De oefeningen die we ze zonder rekenmachine geven moeten
gericht zijn op het vergroten van inzicht in de structuur van kommagetallen. Voorbeeldsom: 0,14 +
0,7= Lln. zijn geneigd om 0,21 te zeggen. Twee mogelijkheden. Laat het kommagetal omzetten in
gewone breuken of plaats de som in een meetcontext 0,14 liter en 0,7 liter. Dat laatste is te vertalen in
14 cl en 7 dl van dl moet je weer cl. maken. Geef veel sommen in een context. Dan kan die context
aangegrepen worden om het uit te leggen. Maar ook regelmatig de relatie met een gewone breuk
leggen is erg belangrijk.
Vermenigvuldigen met kommagetallen.
Een som als 5x0,132= levert weinig problemen op. Dat kunnen ze zien als herhaald optellen. Maar
waar staat 0,132 voor in de som 0,132x5= Net als bij vermenigvuldigen met breuken is het hier lastig
dat de uitkomst kleiner wordt. Kinderen associëren vermenigvuldigen heel sterk met groter worden.
Uit onderzoeken blijkt dat dit soort problemen met kommagetallen veel voorkomt.
Een verschil met breuken is dat bij het rekenen met kommagetallen vaak maatwisseling mogelijk is,
waardoor gegeven getallen kunnen worden omgezet in een meer vertrouwdere vorm (stof kost € 6,00
p.m en we willen 0,65 m. 100cm kost 600 eurocent… 1 cm kost 6 eurocent …) De meeste leerlingen
hebben bij het vermenigvuldigen met kommagetallen contextsituaties nodig.
Delen met kommagetallen
Delen van 2 hele getallen levert op een zakrekenmachine vaak een kommagetal op. Geld verdelen is
een mogelijke context om dit verschijnsel te onderzoeken. Als 4 kinderen samen €5,00 mogen
verdelen krijgt iedereen € 1,25. Dat klopt dus met het rekenmachientje. Anders is het als 4 kinderen €
8,00 mogen verdelen. Ze krijgen € 2,00 Het rekenmachientje geeft aan: 2 Zo ook bij € 1,50 op
rekenmachientje 1,5.
De bewerkingen die kinderen leren voor hele getallen kunnen op verschillende manieren worden
doorgetrokken naar het rekenen met kommagetallen:
- afpassen. 2:0,25 Hoe vaak past 0,25 in €2,00
- delen zien als het omgekeerde van een vermenigvuldiging 2:0,25 ….. ..x0,25=2
- handiger getallen zoeken. Je mag bij delen met hele getallen alle twee getallen met hetzelfde delen of
vermenigvuldigen
De rekenmachine centraal
De rekenmachine moet centraal staan bij het rekenen met kommagetallen. Tijd besteden aan rekenen
met kommagetallen heeft weinig zin. In het voortgezet onderwijs mogen ze al vanaf dag 1 het
rekenmachientje gebruiken. Willen leerlingen het rekenmachientje goed kunnen gebruiken zullen ze
toch veel inzicht in de kommagetallen moeten hebben.
De globale leerlijn



getalrelaties rond delers van 100 en duizend (20,25,125,250 enz.) vormen de basis voor het
handig en inzichtelijk rekenen met kommagetallen. Deze getal relaties kunnen ook in de vorm
van deel-geheelrelaties aan de orde komen (driekwart km is 750 meter)
gewone tiendelige breuken. Kommagetallen zijn in wezen gewone tiendelige breuken, die op
een specifieke manier geschreven worden. De basis ligt in het rekenen met de gewone breuken
met noemers 10, 100 en 1000. Ook kan gekozen worden voor het verbinden van de ervaringen
opgedaan in de contexten geld en lengtematen.
Kommanotatie en het rekenen met kommagetallen. Pas wanneer de leerlingen vertrouwd zijn
met het rekenen met tienden, honderdsten en duizendste wordt de kommagetalnotatie
geïntroduceerd. Beter gezegd: de notatie wordt uitgelegd. Kinderen zijn al met de notatie
bekend bij geldrekenen en het metriek stelsel. De stap die hier gemaakt moet worden is die
van ‘getallen voor en achter de komma als twee verschillende soorten getallen waarvoor een
ruilregel bestaat’ naar ’kommagetallen als een representatie van een systeem van noemers met
oplopende machten van 10’ In deze fase wordt het relatienet uitgebreid met relaties met
gewone breuken ¼=0,25 enz. Bij het rekenen met kommagetallen wordt vervolgens geruime
tijd expliciet gebruik gemaakt van breukbetekenis of maatwisseling. Er moet vermeden

worden dat leerlingen op een trucmatige manier met kommagetallen gaan werken. Wanneer de
betekenis van kommagetallen doorzien wordt zal het optellen en aftrekken geen probleem zijn.
Hetzelfde geldt voor vermenigvuldigen en delen die als herhaald optellen of herhaald
aftrekken gezien kunnen worden.
Rekenen op een zakrekenmachine. Eerst komt het uitvoeren van eenvoudige berekeningen aan
bod. Later wordt het rekenen met kommagetallen op de zakrekenmachine ook ingezet voor
allerlei toepassingssituaties. Dit omvat onder meer het omzetten van breuken en verhoudingen
in kommagetallen via delingen.
Hoofdstuk 7: Differentiatie
Zeker bij de onderdelen breuken, procenten, verhoudingen en kommagetallen zullen de leerkrachten
van de bovenbouw worden geconfronteerd met de grote verschillen tussen leerlingen. De moeilijk taak
is om rekening te houden met de verschillen en de zwakke en de goede rekenaars niet te kort te doen.
Veel teams/leerkrachten kiezen voor niveaugroepen. De meest verregaande vorm is het opdelen van de
klas in drie of meer groepen, die iedere aparte instructie krijgen. Dit lijkt het TAL-team geen
verstandige aanpak. De tijd van de leerkracht wordt ingenomen door drie of meer instructiemomenten.
De leerkracht mist dan de rust en de tijd om indien nodig diepgaand op een onderwerp in te gaan. Het
niveau van de instructie blijft dan vaak steken in op het niveau van uitleggen hoe een som moet. De
nadruk ligt dan op het oefenen van procedures in plaats van op het inwikkelen van begrip.
Differentiatie in de rekenles kan beter worden gerealiseerd door alle leerlingen mee te laten doen aan
klassengesprekken, maar wel onderscheid maken bij het zelfstandig werken. Een dergelijke
differentiatieopzet kent een aantal elementen:
 Klassengesprekken. Een of hooguit twee keer per week is er een klassengesprek met de hele
groep, gericht op het ontwikkelen van inzicht. We bedoelen hier een discussie met veel
inbreng van leerlingen. Vaak zal het startpunt een wat lastiger rekenprobleem zijn, waarbij de
aanpak nog niet vastligt. De leerlingen krijgen de tijd om in groepjes naar de oplossing te
zoeken en in de discussie daarna worden de aanpakken vergeleken. Het rekenprobleem dienst
als aanleiding om kinderen hun inzichten onder woorden te laten brengen. De discussie zorgt
er voor dat kinderen hun inzichten aanscherpen of nieuwe ideeën ontwikkelen. Het gesprek
moet gericht zijn op de kernideeën en niet op de procedures.
 Zelfstandig werken. Bij het zelfstandig werken maken de leerlingen niet allemaal dezelfde
opgaven. Terwijl de leerlingen aan hun taak bezig zijn kan de leerkracht aparte instructie
geven aan een klein groepje.
 Rekenen op eigen niveau. Belangrijk is dat leerlingen op hun eigen niveau kunnen werken. Zo
wel bij klassengesprekken als ook bij zelfstandig werken. Leerlingen die moeite hebben met
procenten mogen de opgaven bijv. met de procentenstrook uitrekenen. Van de goede
rekenaars mag verwacht worden dat ze het model kunnen gebruiken om hun oplossing uit te
leggen.
Klassengesprekken vanuit de inbreng van leerlingen
Klassengesprekken starten bijna altijd vanuit een contextprobleem. Uiteindelijk gaat het niet om dat
probleem, maar om de ideeën die de kinderen ontwikkelen door over zulke problemen te discussiëren.
Leerlingen moeten alle ruimte krijgen om hun ideeën onder woorden te brengen. Klassengesprekken
vormen het hart van het reken- en wiskundeonderwijs. Tijdens die gesprekken worden ideeën
bijgesteld en worden ontdekkingen gedaan. Als het goed gaat vindt de discussie vooral tussen de
leerlingen plaats. De rol van de leerkracht is het herformuleren van suggesties van kinderen en zorgt er
voor dat de discussie gaat over de wezenlijke zaken en dat bij voorkeur aan de hand van de ideeën die
de leerlingen inbrengen.
Er zijn grote verschillen tussen de leerlingen. Sommige kinderen weten de oplossing al direct, terwijl
anderen de discussie over de oplossing misschien niet eens kunnen volgen. Hoe kun je er dan als
leerkracht voor zorgen dat ieder kind zo veel mogelijk leert van de rekenproblemen die we ze
voorzetten? Wat aanwijzingen:
 presenteer opgaven op een open manier. Een echt contextprobleem kan altijd op verschillende
manieren worden opgelost. De leerkracht moet dat laten doorklinken in de manier waarop ze
het probleem introduceert: het gaat niet om het vinden van de oplossing maar om het zelf
bedenken van de aanpak. Ook zwakke leerlingen kunnen dan antwoord op de vraag vinden als
we maar niet eisen dat ze het precieze antwoord geven.
 Probeer de redeneringen van leerlingen te begrijpen. Je moet als leerkracht willen weten hoe
kinderen denken. Laat je als leerkracht niet beïnvloeden door je verwachtingen. Je denkt dat je
weet wat de ander gaat zeggen en vult het zelf al in. Daardoor blijft soms verborgen wat de
ander werkelijk denkt. Dat kun je ondervangen door dóór te vragen. Wanneer leerlingen het
doorvragen gewend zijn zullen ze ook steeds beter antwoord kunnen geven op de
vervolgvragen. De leerkracht moet uitstralen dat het belangrijk is dat iedereen in de klas de
redenering moet kunnen volgen. Alleen in zo’n cultuur kunnen leerlingen geïnteresseerd raken
in de redeneringen van de medeleerlingen en die willen vergelijken met hun eigen ideeën.
Kinderen voelen haarfijn aan of een leerkracht echt geïnteresseerd is in hun oplossing.
 Ga moeilijke opgaven niet uit de weg. De verleiding is groot om het probleem bij breuken,
procenten, verhoudingen en kommagetallen overzichtelijk te houden. Dit betekent dan geen
problemen geven met breuken en procenten door elkaar; zorgen dat de modellen klaar staan;
eerst even ophalen wat leerlingen nog over procenten weten. Zo’n aanpoak lijkt logisch maar
we verleggen daarmee de taak naar het oefenen van rekenregeltjes in plaats van de leerlingen
uitdagen om na te denken over de situatie. Ook zwakke rekenaars moeten regelmatig worden
uitgedaagd met lastige vragen.
 Er moet ruimte zijn voor proberen en nadenken. Leerlingen moeten tijd krijgen om een aantal
minuten met hun groepje te overleggen. Iedereen moet over het probleem hebben nagedacht
voordat de discussie begint. Leerkracht kan een willekeurig groepje vragen wat ze inmiddels
hebben bedacht. Dan kan iedereen weer verder nadenken. Deze aanpak kan afgewisseld
worden met nadenken in groepje en daarna een klassikale discussie. Zeker in het begin of als
leerlingen niet weten hoe ze iets moeten aanpakken is de manier van tussentijds even een
groepje vragen wat ze al hebben bedacht of hoe ze aan het denken zijn de anderen helpen.
 Houd de grote lijn in de gaten. Een open discussie kan alle kanten op gaan. Noteer belangrijke
discussiepunten, die niet rechtstreeks bij het onderwerp horen op de zijkant van een bord. Daar
kun je later op terugkomen. Zo is de grote lijn ook voor de leerlingen duidelijk. Rondt de
discussie af door samen te vatten wat de klas heeft ontdekt.
 Biedt herkansing: kom vaak terug op fundamentele zaken. Ook als een les goed verloopt: het
is een illusie om te denken dat dat onderdeel voor eens en altijd afgehandeld is. Niet alleen
zwakke rekenaars hebben er behoefte aan dat dingen worden herhaald. Door een nieuw
contextprobleem is er wel sprake van herhaling van de leerstof, maar is het voor leerlingen iets
nieuws.
 Leg relaties met eerdere lessen. Het is handig om ontdekkingen die in de loop van de tijd
gedaan zijn een naam te geven. Dit is niet alleen stimulerend voor de kinderen die het hebben
ingebracht, maar het helpt de leerlingen ook in te zien dat zij en de klas als geheel een
leerproces doormaken.
 Het gaat niet om dit ene probleem, het gaat om de wiskunde. In realistisch rekenonderwijs
leren kinderen rekenen door problemen op te lossen. Het gaat niet om die ene opgave en die
ene oplossing maar om de ideeën die je als kind ontwikkelt door naar oplossingen te zoeken of
over verschillende aanpakken te discussiëren. Door dit vaak te doen ontstaat het besef dat niet
het rekenprobleem de kern is, maar het eigen leerproces. Op momenten dat leerlingen
ontdekkingen hebben gedaan realiseren ze zich ook dat ze anders zijn gaan denken.
Differentiatie in klassengesprekken
Het uitgangspunt is dat elk kind mee moet kunnen doen aan de klassengesprekken en ieder op zijn
eigen manier. Meedoen wil niet perse zeggen dat je je als kind in de discussie mengt. Meedoen
betekent in de eerste plaats meedenken. Soms kunnen kinderen een discussie niet helemaal volgen.
Ook dat is geen reden om ze niet mee te laten doen. Leerkrachten zien hoe zwakke rekenaars
worstelen om tot een oplossing te komen en weten dat te waarderen. De leerkracht zorgt voor een
klassencultuur waarin het niet gaat om de slimste te zijn. Eigen oplossing is uiteraard belangrijk, maar
iedereen moet proberen om de redenering van anderen te begrijpen. Leerlingen moeten niet naar
elkaars prestaties kijken maar naar wat ze zelf bij leren.
Kinderen hebben een voorkeur voor aanpak van rekenproblemen. Besteed aandacht aan die
verschillende aanpakken en benadruk dat iedereen zijn eigen rekenmanier mag ontwikkelen.
Goede rekenaars zien vaak al snel de oplossing. Ze zien zelfs verschillende manieren van oplossen.
Maar voor hen is het niet altijd gemakkelijk om de oplossingsmethode te verwoorden en argumenten
aan te dragen waarom dat een goede manier van uitrekenen is.
Zwakke rekenaars kunnen globaal rekenen. Zij geven schattingen. Goede rekenaars doen het precies.
Differentiatie bij zelfstandig werken.
Niet alle leerlingen maken dezelfde stof. Kies opgaven die passen bij wat kinderen begrijpen.
De zorg voor de zwakste rekenaars heeft twee elementen: het bieden van extra hulp en een kritische
bezinning op de opgaven die we hen laten maken. Zwakke rekenaars hebben extra hulp nodig van de
leerkracht en die kan gegeven door extra instructie. In de huidige rekenmethodes wordt veel ruimte
gegeven aan het inoefenen van vrij abstracte rekenprocedures zoals optellen of vermenigvuldigen van
breuken. Zwakke rekenaars kunnen zulke opgaven misschien wel aan, maar alleen wanneer ze binnen
een duidelijke context worden aangeboden. In rekenboeken blijft de verbinding naar de context vaak
beperkt tot een enkel plaatje boven de opgave. Voor zwakke rekenaars is dat onvoldoende. Bij de
keuze van de opgave moet er ook rekening mee gehouden worden dat leerlingen geleidelijk een
relatienet moeten kunnen opbouwen. Het is verstandig om zwakke rekenaars vooral met eenvoudige
breuken te laten oefenen omdat de eenvoudige breuken voor hen nog betekenis hebben. Het inslijpen
van rekenprocedures heeft weinig zin als die procedure voor een kind geen betekenis heeft en het is
een misverstand te denken dat door oefenen begrip ontstaat. Het is dus nodig om opgaven te kiezen die
passen bij wat kinderen begrijpen.
Bij begaafden kinderen kunnen oefenstof en herhalingsstof voor een groot gedeelte worden geschrapt.
De opgaven moeten een meer open en uitdagend karakter krijgen. Voor de vier meest gebruikte
methodes zijn door SLO compactingprogramma’s ontwikkeld (routeboekjes). De leerlingen zien zo
wat ze per les moeten doen en wat ze over mogen slaan. De routeboekjes bieden de leerkracht
ondersteuning bij het kiezen van de leerstof voor de betere leerlingen.
Hoofdstuk 8: Einddoelen en tussendoelen
Breuken, procenten en kommagetallen zijn in groep 1 t/m 5 niet of nauwelijks aan de orde geweest.
Ook de formele kant van het rekenen met verhoudingen niet. Een gedeelte van deze leerstof wordt pas
vanaf groep 7 aangeboden. Na de eindtoets Cito wordt er geen nieuwe stof meer aangeboden. Dat wil
dus zeggen dat de hele leerstof m.b.t. tot deze onderdelen van het rekenonderwijs in anderhalf jaar tijd
moet worden aangeboden. Dat geeft dus geen ruimte voor het formuleren van leerjaargebonden
tussendoelen. De nadruk ligt verder op de persoonlijke groei en minder op de collectieve eindpunten.
En een derde punt dat van invloed is op de beschrijving van de doelen is de samenhang tussen de vier
onderdelen. Er wordt in deze beschrijving per doel aangegeven wanneer het bereikt zou moeten zijn.
Inzicht, getalrelaties, redeneren en procedures. Leerlingen kunnen op het gebied van breuken,
procenten, kommagetallen en verhoudingen het netwerk van getalrelaties gebruiken dat ze in de loop
van de tijd hebben opgebouwd. Ze weten bijvoorbeeld dat ¾ evenveel is als ¼+2/4 . Het is dus kennis,
die direct bij leerlingen opkomt. Leerlingen komen ook situaties tegen waarvoor hun kennis van
getalrelaties niet toereikend is. In dat geval zullen ze vaal al redenerend vanuit hun inzicht in betekenis
en samenhang, toch een antwoord kunnen vinden. Er wordt uiteraard teruggegrepen op dezelfde
kennis, maar die wordt dan ingezet in een activiteit die veel meer het karakter heeft van probleem
oplossen. Tenslotte zullen er leerlingen zijn die routines of standaardprocedures hebben ontwikkeld,
die ze met inzicht kunnen inzetten. Het leren beheersen van vaste rekenprocedures vormt géén voor
alle leerlingen na te streven doel. Vanwege het gevaar voor trucmatige routine is terughoudendheid
geboden
De doelen
 inzicht in betekenis en samenhang. Kenmerkend voor dit leerstof gebied is de sterke
samenhang tussen breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen. Ze zijn eigenlijk
allemaal een variatie op hetzelfde thema: de verhoudingen. Naast inzicht in de samenhang
moeten de leerlingen ook inzicht hebben in de verschillen. De verschillen hebben betrekking
op de ontstaansgrond, de betekenis en de manier waarop ze worden gebruikt. Breuken
beschrijven verhoudingen als een deel-geheelaspect. Bij kommagetallen staat het meetaspect
op de voorgrond. Procenten vergemakkelijken het rekenen en vergelijken door verhoudingen
terug te brengen naar standaardverhoudingen, namelijk zoveel op de honderd. Dit alles leidt
tot de volgende doelen:
o Inzicht in de samenhang tussen breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen.
De leerling is zich bewust van de samenhang en begrijpt de relaties tussen de
verschillende beschrijvingsvormen (eind groep 7)
o Breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen als meet- of
verhoudingsgetallen. De leerling weet dat het bij breuken enz.. in contextopgaven
steeds gaat om meet- of verhoudingsgetallen en blijft zich realiseren wat de eenheid is
waar de breuk enz. aan refereren. Dit betekent dat de leerling breuken enz. primair
associeert met deel-geheelrelaties en niet zo zeer met procedures zoals ‘3/4 is in 4
stukjes delen en er 3 van nemen’ (medio groep 7)
o Kommagetallen als een manier van systematisch verfijnen. De leerling kan de
opeenvolgende decimalen in een kommagetal interpreteren als een ‘reeks gewone
tiendelige breuken’ met de noemers met oplopende machten van 10 en realiseert zich
dat deze overeenkomen met systematisch verfijnde (maat)eenheden. (eind groep 7)
o Procenten als standaardisering via ‘honderdsten’ of ‘op de honderd’. De leerling
beseft dat de beschrijvingen met procenten een alternatief vormen voor de
beschrijving met breuken of verhoudingen en doorziet de voor- en nadelen van deze
gestandaardiseerde beschrijving (eind groep 7)
o Verhoudingen als verhoudingsgewijs en absoluut redeneren. De leerling realiseert
zich dat je getallen of grootheden in contextsituaties verhoudingsgewijs dan wel
absoluut kunt vergelijken en kan beide benaderingswijzen ook zinvol gebruiken. De
leerling is er zich van bewust dat verhoudingsgewijs vergelijken soms ook wordt
toegepast in situaties waarin we slechts doen alsof er sprake is van recht
evenredigheid (we doen of het aantal gevallen van criminaliteit recht evenredig is met
het aantal inwoners van de stad)(eind groep 7)
 Kennen en gebruiken van getalrelaties.
o Getalrelaties kennen en benutten. De leerling kan flexibel omgaan met eenvoudige
getalrelaties tussen breuken enz. (binnen deelgebieden eind groep 7. Tussen
deelgebieden eind groep 8) Binnen deelgebied: kunnen overstappen van de ene soort
breuk naar de andere (3/4 is ½ en ¼ ; ll. Associeert 0,25 met 4x0,25=1; ll kent
veelvouden van 25% Tussen deelgebieden: 31% is ongeveer 3/10 deel; 24:36
herkennen als 2:3; 0,750 kg appels kost € 3,80 vertalen naar ¾ van € 3,80 enz.
o Getalrelaties inzetten voor globaal rekenen. De leerling is in staat om getallen in
(context)opgaven op gebied van breuken enz. zo aan te passen dat met een eenvoudige
berekening met ‘mooie getallen’ een globaal antwoord verkregen kan worden. (voor
alle leerjaren op een passend niveau. In volle omvang eind groep 8). Het gaat hierbij
niet het toepassen van een vaste procedure voor afronden maar om het
vereenvoudigen van een berekening door ‘mooie getallen’ te kiezen waarmee je
handig kunt rekenen. De leerling herkent 0,762 in een opgave als ongeveer 0,75
 Redeneren
o Beredeneren van operaties met breuken. De leerling kan in eenvoudige situaties op
beredenerende wijze bewerkingen met breuken uitvoeren (eind groep 8. (herhaald)


optellen en aftrekken eind groep 7) Het betreft hier primair het bepalen van som en
verschil. Het doel is niet het herkennen en toepassen van vaste procedures. De leerling
moet het kunnen uitleggen in termen van concrete situaties. Voorbeeld: ½+1/3
uitleggen hoe je van halven en derden zesden kunt maken.
o Beredeneren van operaties met kommagetallen. De leerling kan kennis en inzicht in de
structuur en betekenis van de kommagetallen inzetten bij het uitvoeren van
bewerkingen met kommagetallen en maakt in voorkomende gevallen handig gebruik
van maatwisseling, zo wel om komma’s weg te werken, als om te redeneren over
relaties tussen breuken en kommagetallen (eind groep 8)
o Beredeneren van operaties met procenten. De leerling kan kennis en inzicht in de
structuur en de betekenis van procenten inzetten bij het berekenen van en het rekenen
met percentages en maakt in voorkomende gevallen zonodig handig gebruik van de
dubbele strook, getallenlijn of verhoudingstabel om de verhoudingsgetallen
trapsgewijs aan te passen (eind groep 8)
o Redeneren met verhoudingen. De leerling kan bij een paar gegeven
verhoudingsgetallen een reeks gelijkwaardige getallenparen construeren en kan kan de
door deze getallenparen beschreven verhouding ook uitdrukken in een breuk of een
percentage. De leerling is bovendien vertrouwd met de strategieën die je kunt
gebruiken om equivalente getallenparen te produceren. Voorbeeld: het gaat om
strategiën die met verhoudingstabellen zichtbaar gemaakt kunnen worden zoals
dubbelen, halveren samennemen enz.
o Multiplicatief redeneren. De leerling weet hoe je contextgebonden beschrijvingen van
multiplicatieve relaties in termen van breukrelaties, kommagetallen en procenten kan
omzetten in vermenigvuldigen (eind groep 8) Voorbeeld: de leerling weet dat 2/3 deel
van kan worden uitgerekend als 2/3x…; de leerling weet dat 150% kan worden
uitgerekend als 1,5x . Dit is een moeilijk te halen doel.
Inzichtelijk gebruik van een zakrekenmachine Het werken met een zakrekenmachine ligt in
het verlengde van het beredeneren van operaties. Strategieën voor handig rekenen zijn voor
het rekenen met een zakrekenmachine minder geschikt. Bij procenten geldt dit met name voor
de aanpakken waarbij de uitkomst in stapjes benaderd wordt.
o Breuken omzetten in kommagetallen met een zakrekenmachine. De leerling begrijpt
dat je breuken met behulp van een zakrekenmachine kunt omzetten in kommagetallen
door teller en noemer op elkaar te delen (eind groep 7)
o Met kommagetallen werken op een zakrekenmachine. De leerlingen kunnen
eenvoudige berekeningen (+-x:) waar kommagetallen in voorkomen op de
zakrekenmachine uitvoeren. De leerlingen zijn er zich van bewust dat het aanbeveling
verdient de uitkomst van een berekening op een zakrekenmachine achteraf door een
gobale berekening te controleren (eind groep 7)
o Procenten met de zakrekenmachine. De leerling kan de zakrekenmachine met inzicht
inzetten bij het berekenen van en het rekenen met percentages. (eind groep 8)
Voorbeeld: het deel kunnen berekenen door het geheel door 100 te delen en dit met
het percentage te vermenigvuldigen som: 32% van 300
Gebruiken van procedures (differentieel doel). Dit is een doel voor een aantal leerlingen. De
inhouden van het doel komen overeen met de hiervoor beschreven doelen, maar op een hoger
niveau. Het gaat vooral om de procedures en aan de hand van modellen en contexten kunnen
uitleggen op welke manier geredeneerd is. Routinematig is hier het sleutelwoord.