Ruimtemeetkunde deel I Lineaire Algebra

Ruimtemeetkunde deel I
Lineaire Algebra
Liliane Van Maldeghem
Hendrik Van Maldeghem
Cursus voor
Latijn-Wiskunde, Wetenschappen-Wiskunde
en Economie-Wiskunde
2
Hoofdstuk 1
Reële affiene 3-ruimte
1.1
Axioma’s voor een affiene 3-ruimte
We beschouwen een oneindige verzameling E, waarvan de elementen punten genoemd
worden, en twee soorten deelverzamelingen van E, nl. de rechten en de vlakken van E
(rechten kunnen geen vlakken zijn en vlakken kunnen geen rechten zijn). Zoals in het vlak
stellen we punten voor door grote letters A, B, enz. rechten door kleine letters a, b, enz.
en vlakken door Griekse letters α, β, enz.
Als een punt A element is van een rechte a dan zeggen we dat het punt A op de rechte
a ligt of dat de rechte a door het punt A gaat, we schrijven
A∈a
en als een punt A element is van een vlak α dan zeggen we dat het punt A in het vlak
α gelegen is of het vlak α gaat door het punt A, we schrijven
A ∈ α.
Als een rechte a deelverzameling is van een vlak α dan zeggen we dat de rechte a gelegen
is in het vlak α of dat het vlak α door de rechte a gaat, we schrijven
a ⊂ α.
Punten van E zijn collineair als ze op eenzelfde rechte gelegen zijn.
Punten van E zijn coplanair als ze in eenzelfde vlak gelegen zijn.
De verzameling E heeft dan de structuur van een reële affiene 3-ruimte als en slechts als
voor de rechten en de vlakken de volgende axioma’s gelden:
3
4
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
(E1) Elke rechte is een oneindige echte deelverzameling van E.
(E2) Door twee verschillende punten gaat juist één rechte van E.
(E3) Elk vlak is een oneindige echte deelverzameling van E.
(E4) Door drie niet-collineaire punten gaat juist één vlak van E.
(E5) Voor elke rechte van E en elk vlak van E geldt: Heeft de rechte twee verschillende
punten met het vlak gemeen, dan ligt de rechte in het vlak.
(E6) Voor elke twee vlakken van E geldt: Zijn de vlakken verschillend, maar hebben ze ten
minste één punt gemeen, dan is hun doorsnede een rechte van E.
We zeggen dat de vlakken elkaar snijden volgens een rechte. Deze rechte noemen
we de snijlijn van de twee vlakken. Noemen we de twee vlakken resp. α en β en
de snijlijn s dan schrijven we
α ∩ β = s.
(E7) Voor elk punt van E en elke rechte van E die het punt niet bevat, bestaat juist één
rechte van E die gaat door het gegeven punt, die met de gegeven rechte in eenzelfde
vlak gelegen is en die met de gegeven rechte geen enkel punt gemeen heeft.
Opmerking: Uit deze axioma’s volgt dadelijk, dat elk vlak van de affiene ruimte E een
affien vlak is.
(E8) Elk vlak van de ruimte E is een reëel affien vlak.
1.2
Onderlinge ligging van twee rechten
Uit axioma (E2) volgt dat twee rechten samenvallen als ze meer dan één punt gemeen
hebben.
Twee rechten hebben dus ofwel geen enkel punt gemeen, ofwel één punt gemeen, ofwel
vallen ze samen (zie fig. 1.1).
1. Hebben twee rechten a en b geen enkel punt gemeen dan kunnen zich twee gevallen
voordoen:
a. De rechten a en b hebben geen enkel punt gemeen en kunnen in eenzelfde vlak
liggen (axioma (E7)). Die rechten worden strikt parallelle rechten genoemd.
We schrijven
strikt
a k b
1.2. ONDERLINGE LIGGING VAN TWEE RECHTEN
5
Figuur 1.1: onderlinge ligging van twee rechten
b. De rechten hebben geen enkel punt gemeen en kunnen niet in eenzelfde vlak
liggen. De rechten worden kruisende rechten genoemd. We schrijven
a 6k b ∧ a ∩ b = φ.
2. Hebben twee rechten a en b één punt gemeen dan worden ze snijdende rechten
genoemd. We noemen S het snijpunt van a en b. We schrijven
a ∩ b = S.
3. Twee rechten a en b hebben alle punten gemeen. Het zijn samenvallende rechten.
We schrijven
a=b
We noemen twee rechten parallel als en slechts als ze strikt parallel zijn of samenvallend
zijn. We schrijven
strikt
a k b ⇐⇒ a k b ∨ a = b .
Het axioma (E7) is gelijkwaardig met het parallellenpostulaat van Euclides in de ruimte nl.
door elk punt A van de ruimte E gaat juist één rechte a0 parallel met een gegeven rechte a.
De rechte a0 valt samen met a in geval het punt A op de rechte a gelegen is.
Besluit voor de onderlinge ligging van twee verschillende rechten.
Als twee verschillende rechten in eenzelfde vlak liggen dan zijn ze snijdend of strikt parallel.
Twee kruisende rechten liggen nooit in eenzelfde vlak!
6
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
STELLING 1.1 Een vlak is volledig bepaald door één van de volgende mogelijkheden :
a. drie niet collineaire punten (axioma (E4));
b. twee strikt parallelle rechten;
c. twee snijdende rechten;
d. een rechte en een punt niet op de rechte gelegen.
RM I groepswerk 1
1. Vul de volgende zinnen aan
• Drie punten op eenzelfde rechte noemen we
punten.
• Vier punten in eenzelfde vlak noemen we
punten.
2. Welk axioma maakt dat elk vlak in de ruimte E op zichzelf een affien vlak is?
3. Vul de volgende zin aan en maak een schets.
Zijn van de drie coplanaire rechten a, b en c de rechten a en b evenwijdig en snijdt c
de rechte a dan · · · · · · · · · · · · · · ·
4. Vul de volgende zinnen in met altijd, soms of nooit. Geef telkens de reden en formuleer
de stelling(en) die je eventueel toepast.
(a) Door 4 verschillende punten gaat
juist één vlak.
(b) Als twee rechten elkaar niet snijden dan liggen ze
vlak.
(c) Twee parallelle rechten bepalen
een vlak.
in eenzelfde
1.3. ONDERLINGE LIGGING VAN EEN RECHTE EN EEN VLAK
7
(d) Als een rechte één van twee evenwijdige rechten snijdt dan snijdt ze
de andere.
(e) Door een rechte gaat
(f) Door twee verschillende rechten gaat
1.3
minstens één vlak.
juist één vlak.
Onderlinge ligging van een rechte en een vlak
Uit axioma (E5) volgt dat een rechte in een vlak ligt als ze met het vlak meer dan één punt
gemeen heeft.
Een rechte a en een vlak α hebben dus ofwel geen enkel punt gemeen ofwel één punt gemeen,
ofwel ligt de rechte in het vlak (zie fig. 1.2).
Figuur 1.2: onderlinge ligging van een rechte en een vlak 1
8
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
1. Een rechte a is strikt parallel met een vlak α als en slechts als de rechte en het vlak
geen enkel punt gemeen hebben. We schrijven
strikt
a k α.
2. Een rechte a snijdt een vlak α als en slechts als de rechte en het vlak juist één
punt gemeen hebben. We noemen S het snijpunt van de rechte a en het vlak α. We
schrijven
a ∩ α = S.
3. Alle punten van een rechte a zijn ook punten van het vlak α: de rechte a ligt in het
vlak α. We schrijven
a ⊂ α.
Een rechte is parallel met een vlak als en slechts als de rechte strikt parallel is met het
vlak of de rechte ligt in het vlak. We schrijven
strikt
a k α ←→ a k α ∨ a ⊂ α .
Stellingen
STELLING 1.2 Als een rechte evenwijdig is met een vlak en een punt gemeen heeft met
dat vlak dan ligt ze in dat vlak.
Met symbolen:
akα
A∈α
=⇒ a ⊂ α
STELLING 1.3 Een rechte is parallel met een vlak als en slechts als de rechte parallel is
met ten minste één rechte van het vlak (zie fig. 1.3).
Met symbolen:
0
a k α ⇐⇒ ∃a :
a0 ⊂ α
a0 k a
STELLING 1.4 Snijdt één van twee evenwijdige rechten een vlak dan snijdt de andere
ook het vlak (zie fig. 1.4).
1.3. ONDERLINGE LIGGING VAN EEN RECHTE EN EEN VLAK
9
Figuur 1.3: onderlinge ligging van een rechte en een vlak 2
Met symbolen
akb
a ∩ α = {A}
=⇒ b ∩ α = {B}
STELLING 1.5 Is één van twee evenwijdige rechten evenwijdig met een vlak dan is de
andere ook evenwijdig met dat vlak (zie fig. 1.4).
Met symbolen
akb
akα
=⇒ b k α
STELLING 1.6 Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde rechte dan zijn ze onderling
evenwijdig.
Met symbolen
akc
bkc
=⇒ a k b
STELLING 1.7 Parallellisme van rechten is een equivalentierelatie in de verzameling van
de rechten van E.
Bewijs: De evenwijdigheid van rechten voldoet aan drie eigenschappen van een equivalentierelatie.
10
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
Figuur 1.4: onderlinge ligging van een rechte en een vlak 3
1. Elke rechte is evenwijdig met zichzelf omdat samenvallende rechten ook evenwijdige
rechten zijn (de reflectieve eigenschap).
2. Als een rechte evenwijdig is met een andere rechte dan is die ander rechte ook evenwijdig met de eerste rechte (de symmetrische eigenschap).
3. Als twee rechten evenwijdig zijn met een derde rechte dan zijn ze onderling evenwijdig
(de transitieve eigenschap).
Een equivalentierelatie tussen elementen van een verzameling doet in die verzameling een
partitie ontstaan, i.e. een verdeling van de verzameling in parten die geen elementen met
elkaar gemeen hebben en waarvan de unie de volledige verzameling oplevert (te vergelijken
met de partjes van een sinaasappel). Deze parten worden de equivalentieklassen van de
equivalentierelatie genoemd.
Deze stelling laat de volgende definities toe. De richting van de rechte a is de verzameling
van alle rechten parallel met a d.i. de equivalentieklasse van de rechte a voor de relatie van
parallellisme van rechten. De rechte a wordt een vertegenwoordiger of representant
van de equivalentieklasse genoemd dus een representant van de richting.
Opmerking:
• Als een rechte parallel is met een vlak dan is ze parallel met oneindig veel rechten van
dat vlak, die alle behoren tot eenzelfde richting van rechten.
1.3. ONDERLINGE LIGGING VAN EEN RECHTE EN EEN VLAK
11
• Elke rechte parallel met een vlak bepaalt een richting van rechten in het vlak en in
de ruimte. Zo zijn er oneindig veel richtingen van rechten bepaald door de rechten
evenwijdig met het vlak.
RM I groepswerk 2 Vul de volgende zinnen in met altijd, soms of nooit. Geef telkens
de reden en formuleer de stelling(en) die je eventueel toepast.
1. Als drie verschillende rechten concurrent zijn dan liggen ze
zelfde vlak.
2. Als een rechte evenwijdig is met een vlak dan is ze
elke rechte van dat vlak.
in een-
evenwijdig met
3. Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde vlak dan zijn ze
onderling evenwijdig.
4. Een rechte evenwijdig met de snijlijn van twee vlakken is
met beide vlakken.
evenwijdig
12
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
1.4
Onderlinge ligging van twee vlakken
Figuur 1.5: onderlinge ligging van twee verschillende vlakken
Voor twee gegeven vlakken doet zich juist één van de volgende drie mogelijkheden voor (zie
fig. 1.5):
1. Twee vlakken α en β van E heten strikt parallel als en slechts als ze geen enkel punt
gemeen hebben. We schrijven
strikt
α k β.
2. Hebben twee verschillende vlakken ten minste één punt gemeen dan hebben ze een
rechte door dat punt gemeen (axioma (E6)). In dit geval spreekt men van snijdende
vlakken α en β met snijlijn α ∩ β = s.
3. Hebben twee vlakken tenminste drie niet-collineaire punten gemeen dan vallen ze
samen (E4).
Twee vlakken α en β zijn parallel als en slechts als ze strikt parallel zijn of als ze
samenvallend zijn. We schrijven
strikt
α k β ⇐⇒ α k β ∨ α = β .
Belangrijke opmerking: In de ruimte wordt een rechte bepaald door twee verschillende
punten of door twee snijdende vlakken
1.4. ONDERLINGE LIGGING VAN TWEE VLAKKEN
13
Stellingen
STELLING 1.8 Is een rechte parallel met elk van twee snijdende vlakken dan is ze parallel
met de snijlijn van de twee vlakken (zie fig. 1.6).
Met symbolen

akα 
akβ
=⇒ a k s

α∩β =s
Figuur 1.6: Rechte evenwijdig met twee snijdende vlakken
Gevolgen van deze stelling voor de onderlinge stand van twee rechten :
GEVOLG 1.1 Is een rechte a parallel met een vlak α en brengt men door a een vlak β
aan die α snijdt, dan is de snijlijn van α en β parallel met a.
Met symbolen

akα 
a⊂β
=⇒ a k s

α∩β =s
GEVOLG 1.2 Zijn twee rechten a en b gelegen in resp. twee snijdende vlakken β en α en
zijn ze evenwijdig dan zijn ze noodzakelijk evenwijdig met de snijlijn c van α en β.
14
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
Figuur 1.7: evenwijdige rechten in snijdende vlakken - onderlinge ligging van 3 vlakken
Met symbolen
akb
a⊂β
b⊂α
α∩β =c




=⇒ a k b k c



Bewijs:zelf
GEVOLG 1.3 Zijn twee rechten a en b gelegen in resp. twee snijdende vlakken β en α en
zijn ze snijdend dan snijden ze elkaar op de snijlijn c van α en β.
Met symbolen
a ∩ b = {S}
a⊂β
b⊂α
α∩β =c







=⇒ S ∈ c
1.4. ONDERLINGE LIGGING VAN TWEE VLAKKEN
15
Figuur 1.8: snijdende rechten in snijdende vlakken - onderlinge ligging van 3 vlakken
Belangrijke opmerking voor de onderlinge ligging van drie verschillende
vlakken:
Aangezien twee strikt parallelle rechten of twee snijdende rechten een vlak γ bepalen, verkrijgen we hier twee gevallen voor de onderlinge ligging van drie vlakken. Het derde geval
is een limietgeval van het tweede geval.
(i) In het geval de rechten a en b elkaar snijden, verkrijgen we het algemeen geval
voor de onderlinge ligging van 3 vlakken, nl. dat ze elkaar snijden in een
punt S. De drie vlakken α, β en γ snijden elkaar twee aan twee volgens drie rechten
a, b en c die elkaar snijden in S (zie figuur 1.8).
Met symbolen

β∩γ =a 
γ∩α=b
∧ a ∩ b ∩ c = {S}

α∩β =c
(ii) In geval de rechten a en b strikt evenwijdig zijn, verkrijgen we het geval dat de drie
vlakken α, β en γ geen enkel punt gemeen hebben en elkaar twee aan twee snijden
volgens strikt parallelle rechten a, b en c (zie figuur 1.7).
Met symbolen

β∩γ =a 
strikt strikt strikt
γ∩α=b
∧a k b k c k a

α∩β =c
(iii) In geval de rechten a en b samenvallen, dan vallen ze samen met de snijlijn c van α
en β en verkrijgen we het geval dat de drie vlakken α, β en γ elkaar snijden volgens
een rechte (zie figuur 1.7).
Met symbolen

β∩γ =a 
γ∩α=b
∧a=b=c

α∩β =c
16
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
GEVOLG 1.4 Zijn twee rechten a en b gelegen in resp. twee snijdende vlakken en zijn ze
kruisend dan snijden ze de snijlijn van de twee vlakken in resp. twee verschillende punten
of snijdt de ene rechte de snijlijn en is de andere rechte parallel met de snijlijn.
Met symbolen
a∩b=φ
a 6k b
a⊂α
b⊂β
α∩β =s







 a ∩ s = {A}
b ∩ s = {B}
=⇒



A 6= B



∨
a ∩ s = {A}
bks
∨
aks
b ∩ s = {B}
In geval a ∩ s = {A} en b ∩ s = {B} wordt de rechte s = AB een steunrechte van de
kruisende rechten genoemd.
Figuur 1.9: kruisende rechten in snijdende vlakken
STELLING 1.9 Zijn twee vlakken parallel, dan is elke rechte van het ene vlak parallel met
het andere vlak.
Met symbolen
αkβ
a⊂α
=⇒ a k β
STELLING 1.10 Twee vlakken zijn parallel als twee snijdende rechten van het ene vlak
parallel zijn met resp. twee rechten van het tweede vlak.
1.4. ONDERLINGE LIGGING VAN TWEE VLAKKEN
17
Met symbolen
a1 ⊂ α b1 ⊂ β
a2 ⊂ α b2 ⊂ β

a 1 k b1 
a 2 k b2
=⇒ α k β

a1 ∩ a2 = {A}
Deze stelling gebruiken we om aan te tonen dat twee vlakken evenwijdig zijn, zie ook fig.
1.11.
STELLING 1.11 Snijdt een rechte één van twee parallelle vlakken dan snijdt ze ook het
andere vlak (zie fig. 1.10).
Met symbolen
αkβ
a ∩ α = {A}
=⇒ a ∩ β = {B}
STELLING 1.12 Is een rechte parallel met één van twee parallelle vlakken dan is ze ook
parallel met het andere vlak (zie fig. 1.10).
Met symbolen
αkβ
akα
=⇒ a k β
Figuur 1.10: ligging van een rechte tov. twee strikt parallelle vlakken
STELLING 1.13 Snijdt een vlak één van twee evenwijdige vlakken dan snijdt ze ook het
andere, en de snijlijnen zijn evenwijdig (zie fig. 1.10).
18
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
Figuur 1.11: niet-snijdende rechten in strikt evenwijdige vlakken
Met symbolen
αkβ
γ∩α=a
=⇒
γ∩β =b
akb
Gevolg van de stellingen voor de onderlinge stand van twee rechten :
GEVOLG 1.5 Als twee rechten gelegen zijn in resp. twee strikt evenwijdige vlakken dan
zijn ze verschillend en niet-snijdend dwz. ze zijn ofwel strikt evenwijdig ofwel kruisend.
STELLING 1.14 Als twee vlakken parallel zijn met eenzelfde vlak dan zijn ze onderling
parallel.
Met symbolen
αkβ
γkα
=⇒ γ k β
Belangrijke opmerking voor de onderlinge ligging van drie verschillende
vlakken:
(iv) Twee vlakken α en β zijn strikt parallel, het derde vlak γ snijdt α en β volgens
evenwijdige snijlijnen resp. b en a (zie fig. 1.12 rechts).
Met symbolen

α∩β =φ 
strikt
β∩γ =a
=⇒ a k b

γ∩α=b
1.4. ONDERLINGE LIGGING VAN TWEE VLAKKEN
19
(v) De drie vlakken α, β en γ zijn twee aan twee strikt parallel (zie fig. 1.12 links).
Met symbolen
strikt
strikt
strikt
α k β k γ k α
Figuur 1.12: ligging van een vlak tov. twee strikt parallelle vlakken
STELLING 1.15 Door elk punt gaat juist één vlak parallel met een gegeven vlak.
STELLING 1.16 Parallellisme van vlakken is een equivalentierelatie in de verzameling
van de vlakken van E.
Deze stelling laat de volgende definitie toe. De richting van een vlak is de verzameling
van alle vlakken parallel met dat vlak d.i. de equivalentieklasse van het gegeven vlak voor
de relatie van parallellisme van vlakken in E.
STELLING 1.17 Door elk punt gaan oneindig veel rechten parallel met een gegeven vlak.
Deze rechten vormen een stralenbundel met top het gegeven punt en liggen allemaal in een
vlak evenwijdig met het gegeven vlak.
20
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
Belangrijke opmerking:
• Als twee rechten kruisend zijn kunnen we steeds door de ene rechte een vlak aanbrengen parallel met de andere rechte. Zo bekomen we twee strikt parallelle vlakken. Deze
vlakken bepalen een richting van vlakken die we de richting van vlakken bepaald
door de kruisende rechten noemen.
Zijn twee rechten snijdend dan vallen deze parallelle vlakken samen met het vlak
bepaald door deze snijdende rechten.
• Wat kunnen we uit een tekening in het vlak afleiden omtrent de onderlinge ligging van twee rechten:
Zien we op een tekening in het vlak dat
1. twee rechten snijdend zijn dan zijn deze rechten in werkelijk snijdend of kruisend.
2. twee rechten evenwijdig zijn dan zijn deze rechten in werkelijk kruisend of strikt
evenwijdig.
3. twee rechten samenvallend zijn dan zijn deze rechten in werkelijk snijdend of
evenwijdig.
Dit wordt bewezen in de paragraaf over projecties van twee rechten.
RM I groepswerk 3
1. Formuleer de drie verschillende eigenschappen van een equivalentierelatie voor de evenwijdigheid van vlakken.
Vul de volgende zinnen in met altijd, soms of nooit. Geef telkens de reden en formuleer
de stelling(en) die je eventueel toepast.
(a) Als twee vlakken niet parallel zijn dan zijn ze
snijdend.
1.4. ONDERLINGE LIGGING VAN TWEE VLAKKEN
21
(b) Als één van twee snijdende rechten parallel is met een vlak dan is de andere
rechte
parallel met dat vlak.
(c) Twee vlakken zijn
evenwijdig als twee snijdende rechten van
het ene vlak evenwijdig zijn met het andere vlak.
(d) Een vlak evenwijdig met de snijlijn van twee vlakken is
wijdig met beide vlakken.
(e) Door een rechte gaat
even-
één vlak parallel met een gegeven vlak.
(f) Door elk van twee kruisende rechten kunnen we
brengen, zó dat beide vlakken parallel zijn.
een vlak aan-
(g) Als twee vlakken evenwijdig zijn en men door een punt van het eerste vlak een
rechte trekt parallel met het tweede vlak dan ligt die rechte
in
het eerste vlak.
(h) Door een punt gaat
vlak.
juist één rechte parallel met een gegeven
22
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
(i) Als twee vlakken evenwijdig zijn met eenzelfde rechte dan zijn ze
onderling evenwijdig.
2. De snijpunten van twee strikt parallelle rechten en twee strikt parallelle vlakken zijn
de hoekpunten van een parallellogram. Welke vlakke figuur krijgen we als we twee
snijdende rechten snijden met twee strikt parallelle vlakken? Maak een schets voor
elk van de 3 mogelijkheden.
3. Gegeven: twee parallelle vlakken α en β , twee punten A en B van β , een punt C
van α, een rechte l van α, de rechte m door B parallel met AC.
Construeer:
(a) het snijpunt van α en m;
(b) het snijpunt van vl(A, B, C) en l.
1.4. ONDERLINGE LIGGING VAN TWEE VLAKKEN
23
4. Gegeven: twee snijdende vlakken α en β en hun snijlijn s, twee punten A en B van α.
Construeer: het snijpunt van AB en β.
5. Construeer een rechte die door een gegeven punt gaat, een gegeven rechte snijdt en
evenwijdig is met een gegeven vlak.
(a) Beschouw eerst een algemene ligging van de gegevens: de gegeven rechte snijdt
het gegeven vlak en het punt P ligt niet op die rechte of in dat vlak. Maak een
schets daarvan.
(b) Hoe liggen de gegeven elementen t.o.v. van elkaar opdat er geen enkele oplossing
mogelijk is en opdat er oneindig veel oplossingen mogelijk zijn? Maak in die
twee gevallen een schets.
24
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
Affiene stellingen van Desargues
Twee perspectieve driehoeken zijn twee driehoeken waarvan de verbindingslijnen van
overeenkomstige hoekpunten verschillend en concurrent zijn of evenwijdig.
STELLING 1.18 (Stellingen van Desargues)
1. Zijn van twee perspectieve driehoeken twee paren overeenkomstige zijlijnen parallel
dan is het derde paar overeenkomstige zijlijnen parallel.
2. Zijn overeenkomstige zijlijnen van twee driehoeken twee aan twee parallel dan zijn de
driehoeken perspectieve driehoeken.
RM I groepswerk 4 Gegeven zijn twee rechten a en b die elkaar snijden buiten het kader
van de tekening. Construeer de rechte c door een punt P en door het snijpunt van a en b.
1.5
Constructie van de snijlijn van twee snijdende vlakken
1. Gegeven:
α ∩ β = s,
A, B ∈ β , C ∈ α en A, B, C 6∈ s.
Gevraagd:
vl(A, B, C) ∩ α.
1.5. CONSTRUCTIE VAN DE SNIJLIJN VAN TWEE SNIJDENDE VLAKKEN
25
Oplossing: De vlakken α en vl(A, B, C) zijn verschillende vlakken en hebben het punt
C gemeen (zie fig. 1.14). De snijlijn x is een rechte door C. Om de snijlijn x te
kunnen tekenen moeten we ofwel een tweede punt van x bepalen ofwel de richting van
x kennen.
• Is AB k/ s dan is het snijpunt S van AB en s het tweede gemeenschappelijk
punt van α en vl(A, B, C). De gevraagde snijlijn is CS (zie ook gevolg 1.3 op
p. 14). De rechte CS is direct te tekenen op voorwaarde dat het punt S binnen
het kader van de tekening valt.
Valt S buiten het kader van de tekening dan steunen we op de stelling van
Desargues om de rechte x te tekenen. Daartoe tekenen we twee perspectieve
driehoeken ACD en BEF met D, F ∈ s. De rechte CE is de gevraagde snijlijn
(zie fig. 1.13).
Figuur 1.13: snijlijn van twee vlakken 1
26
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
• Is AB k s dan is x k AB, want is een rechte a parallel met een vlak α dan is ze
parallel met de snijlijn van α en elk vlak door a dat α snijdt (zie ook gevolg 1.2
op p. 13).
Figuur 1.14: snijlijn van twee vlakken 2
2. Gegeven: vlak α, punten A, B ∈
/ α en C ∈ α.
Gevraagd:
vl(A, B, C) ∩ α.
Oplossing: Deze opgave herleidt zich tot de voorgaande opgave als we eerst door de
rechte AB een vlak β aanbrengen, dat α snijdt. Vervolgens bepalen we de snijlijn s
van α en β. Tenslotte passen we de constructie toe uit de voorgaande opgave. Het
vlak β noemen we hier een hulpvlak.
RM I groepswerk 5
1. Hier is de doorsnede getekend van een kubus met een vl(P QR)
door enkel rechten te snijden en punten te verbinden. Welke hulpvlakken worden hier
telkens gebruikt? Welke veelhoek vormt deze doorsnede. Welke zijden zijn evenwijdig?
1.5. CONSTRUCTIE VAN DE SNIJLIJN VAN TWEE SNIJDENDE VLAKKEN
27
2. Teken de doorsnede van de kubus met het vl(P QR) door enkel rechten te snijden en
punten te verbinden.
28
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
1.5. CONSTRUCTIE VAN DE SNIJLIJN VAN TWEE SNIJDENDE VLAKKEN
29
3. Hier is de doorsnede getekend van een piramide met een vl(P QR) door enkel rechten
te snijden en punten te verbinden. We bekomen die doorsnede door eerst de snijlijn
te tekenen van vl(P QR) met het grondvlak van de piramide.
4. Teken de doorsnede van de piramide met het vl(P QR) door enkel rechten te snijden
en punten te verbinden. Teken eerst de snijlijn van vl(P QR) en het grondvlak van
de piramide.
30
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
1.6
Enkele opgaven ivm. kruisende rechten
Figuur 1.15: kruisende rechten 1
1. Gegeven: Een punt A niet gelegen op een rechte b, α = vl(A, b) en B is een punt niet
gelegen in α.
Te bewijzen: AB en b zijn kruisende rechten.
Bewijs: Onderstel dat AB en b in eenzelfde vlak β gelegen zijn, dan vallen α en β
samen want ze zijn allebei bepaald door b en A. Hieruit volgt dat B ∈ α, wat in strijd
is met het gegeven.
2. Gegeven: a en b zijn kruisende rechten,
A, A0 ∈ a,
B, B 0 ∈ b,
A 6= A0 ,
B 6= B 0 .
Te Bewijzen: AB kruist A0 B 0 .
Bewijs: analoog met het voorgaande bewijs.
Een ander bewijsje: De vlakken α = vl(a,AB) en β = vl(b,A’B’) snijden elkaar
volgens A0 B. De rechten a en b snijden deze snijlijn in resp. de punten A0 en B die
verschillend zijn van elkaar.
3. Gegeven: a kruist b en b k α.
Gevraagd: Is a dan snijdend met α?
4. Hoeveel rechten snijden tegelijk twee kruisende rechten a en b?
1.6. ENKELE OPGAVEN IVM. KRUISENDE RECHTEN
31
5. Hoeveel rechten gaan door een gegeven punt en steunen op twee kruisende rechten?
Constructie van een rechte door P die a en b snijdt. Deze rechte gaan we in de ruimte
bepalen als de doorsnede van twee vlakken, die resp. de rechten a en b bevatten.
We veronderstellen dat P geen punt is van a en ook geen punt van b. De rechte a en
het punt P bepalen dan een vlak α en de rechte b en het punt P bepalen een vlak β.
De vlakken α en β hebben het punt P gemeenschappelijk.
We kunnen twee gevallen onderscheiden (zie fig. 1.16):
(a) α ∩ β = s en P ∈ s.
a. Algemeen geval: s snijdt b en s snijdt a. We hebben hier één oplossing, nl.
s.
b. s k b maar dan snijdt s rechte a (a en b zijn kruisend)
of s k a maar dan snijdt s rechte b (a en b zijn kruisend).
Het geval b. betekent dat één van de kruisende rechten evenwijdig is met het
vlak bepaald door de andere rechte en het punt P of dat één van de vlakken α
of β behoort tot de richting van vlakken bepaald door de kruisende rechten a
en b. Een rechte door P die steunt op de ene rechte kan de andere rechte nooit
snijden. We hebben hier geen oplossingen.
Figuur 1.16: kruisende rechten 2
(b) α = β.
In dit geval liggen a en b in eenzelfde vlak. Dit is in strijd met het gegeven dat
a en b kruisende rechten zijn.
32
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
Veronderstellen we P ∈ a of P ∈ b, dan hebben we door P een bundel steunrechten.
6. Hoeveel rechten zijn evenwijdig met een gegeven rechte en steunen op twee kruisende
rechten?
Constructie van een steunrechte van a en b en parallel met c.
We veronderstellen dat c niet parallel is met a en ook niet met b. Door a gaat juist
één vlak α parallel met c en door b gaat juist één vlak β parallel met c. De vlakken
α en β zijn beide parallel met de rechte c, want een rechte is parallel met een vlak als
die rechte parallel is met minstens één rechte van dat vlak.
We kunnen twee gevallen onderscheiden (zie fig. 1.17):
(a) Algemeen geval: α ∩ β = s en s k c (zie fig. 1.17a).
De rechte s snijdt a, want a en s liggen in eenzelfde vlak en zijn niet-parallel.
Analoog snijdt s ook b. We hebben hier één oplossing, nl. s.
(b) α ∩ β = φ (zie fig. 1.17b).
In dit geval zijn er geen oplossingen. De rechte c is parallel met de richting van
vlakken bepaald door de kruisende rechten a en b.
Veronderstellen we c k a of c k b, dan zijn er dus ook geen oplossingen.
Opmerking: In 5 en 6 hebben we een steunrechte geconstrueerd van twee kruisende rechten. Eigenlijk moeten we nog bewijzen dat er hoogstens één steunrechte is.
1.6. ENKELE OPGAVEN IVM. KRUISENDE RECHTEN
33
Figuur 1.17: kruisende rechten 3, a en b
Bewijs: We voeren een bewijsje uit het ongerijmde. Stel dat er twee verschillende steunrechten van a en b zijn die door een punt P gaan (die parallel zijn met c) dan bepalen deze
twee steunrechten een vlak α, want twee snijdende rechten (parallelle rechten) bepalen een
vlak. De rechten a en b hebben met α elk twee verschillende punten gemeen. Ze liggen
dus allebei in α. Dit is in strijd met het gegeven dat a en b kruisende rechten zijn. De
onderstelling is vals, er gaat dus hoogstens één steunrechten door een punt P (parallel met
c).
Besluit voor 5 en 6 : Als één van twee kruisende rechten parallel is met het vlak bepaald
door de andere rechte en het gegeven punt (evenwijdig met de gegeven derde rechte) dan
bestaat er door dat punt (evenwijdig met die derde rechte) geen steunrechte van de kruisende
rechten. Is dit niet het geval dan betaat er door dat punt (evenwijdig met die derde rechte)
juist één steunrechte van de kruisende rechten.
Voor 6 kunnen we het besluit nog anders formuleren: Onder alle steunrechten van twee
kruisende rechten is er geen enkele die parallel is met een vlak van de richting van vlakken
bepaald door de kruisende rechten. Voor elke andere richting van rechten bestaat er juist
één steunrechte van de twee kruisende rechten.
34
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
RM I groepswerk 6
1. Construeer de steunrechte van a en b door het punt P
2. Hoeveel rechten zijn evenwijdig met twee gegeven snijdende vlakken en steunen op
twee kruisende rechten?
3. Hoeveel rechten steunen op vier rechten a, b, c en d als a en b snijdend zijn, alsook c
en d? Elk van de rechten a en b zijn kruisend met elk van de rechten c en d.
1.6. ENKELE OPGAVEN IVM. KRUISENDE RECHTEN
35
4. Hier zie je de constructie van een steunrechte van drie 2 aan 2 kruisende rechten a, b
en c. Verklaar deze constructie. Hoeveel steunrechten zijn er mogelijk?
5. * Construeer een rechte die twee gegeven vlakken en twee gegeven rechten snijdt.
6. * Construeer een rechte die vier gegeven rechten, waarvan er twee elkaar snijden,
snijdt.
36
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
RM I HUISTAAK 1
bewijzen dat
1. Formuleer de stellingen waarmee we in oefeningen kunnen
(a) twee rechten parallel zijn;
(b) twee vlakken parallel zijn;
(c) een rechte en een vlak parallel zijn.
2. Gegeven: twee strikt parallelle vlakken α en β , twee punten A en B van α, een punt
C van β en een punt S van ]B, C[.
Construeer: het snijpunt van AS en β
3. Hoeveel rechten snijden terzelfdertijd drie gegeven twee aan twee kruisende rechten?
Breng door die drie rechten vlakken aan die elkaar snijden volgens een rechte.
4. Construeer een rechte x die in een gegeven vlak α ligt, een gegeven rechte a snijdt en
evenwijdig is met een gegeven vlak β 6= α. Vermeld de stellingen die je toepast.
5. * Hoeveel steunrechten van twee kruisende rechten zijn er die parallel zijn met een
gegeven vlak? Wanneer zijn er helemaal geen steunrechten?
1.7. PARALLELPROJECTIES VAN E
1.7
1.7.0.1
37
Parallelprojecties van E
Definities
We beschouwen een vlak Π en een rechte d waarvoor geldt
Π ∩ d = {D}
De parallelprojectie van E op het vlak Π volgens de richting van de rechte d,
d /kΠ, is de transformatie van E, waarbij een punt P van E wordt afgebeeld op een punt P 0
van Π dat het snijpunt is van de rechte door P parallel met d en het vlak Π (zie fig. 1.18).
Met symbolen: pdΠ : E −→ E : P 7−→ P 0 ∈ Π
Het vlak Π wordt het projectievlak genoemd.
Opmerking: Een punt P 0 van Π is het beeld van oneindig veel punten, nl. van alle punten
van de rechte door P 0 parallel met d.
Figuur 1.18: parallelprojecties van een punt P
De parallelprojectie van E op de rechte d volgens de richting van het vlak Π,
Π /kd, is de transformatie van E, waarbij een punt P van E wordt afgebeeld op een punt P 00
van d, dat het snijpunt is met d van het vlak door P parallel met Π.
00
Met symbolen: pΠ
d : E −→ E : P 7−→ P ∈ d.
38
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
Opmerking: Een punt P 00 van d is het beeld van oneindig veel punten, nl. van alle punten
van het vlak door P 00 parallel met Π.
Het punt P vormt met het snijpunt {D} = Π ∩ d, zijn projectie P 0 op het vlak Π en zijn
projectie P 00 op de rechte d een parallellogram P P 0 DP 00 . (zie fig. 1.18).
1.7.0.2
Het beeld van een rechte onder een parallelprojectie
Figuur 1.19: duid de projecties aan van a, P , Q en A met Q ∈vl((x, d)
1. De rechte a snijdt Π en is niet evenwijdig met d (algemene stand t.o.v. Π en d)
a ∩ Π = {S} ∧ a 6k d
• Het punt S wordt in zichzelf geprojecteerd vermits het een punt is van Π. Een
ander punt A van a wordt in een punt A0 ∈ Π geprojecteerd en AA0 k d. Het
vlak(a, AA0 ) = α is het vlak door a evenwijdig met d.
α ∩ Π = SA0
De projectie P 0 op Π van elk ander punt P van a ligt op SA0 omdat P P 0 evenwijdig is met α en een punt P gemeen heeft met α. We noemen α het projecterend
vlak op Π door de rechte a.
Besluit: Om de projectie van een rechte a op een vlak Π te bepalen, hebben we
twee mogelijkheden
1.7. PARALLELPROJECTIES VAN E
39
– de projectie a0 wordt bepaald door twee punten nl. de projecties van twee
verschillende punten van a.
– wde projectie a0 wordt bepaald als snijlijn van twee vlakken, nl. het projecterend vlak α door a en het projectievlak Π.
Is in het bijzonder a snijdend met d dan is α = vlak(a, d) het projecterend vlak
en de projectie a0 is een rechte door D. Teken dit geval bij op figuur 1.19
• de projectie van de rechte a op d is de rechte d zelf.
2. De rechte a is evenwijdig met d . Teken dit geval bij op figuur 1.19
akd
• de projectie van de rechte a op Π is het punt S, dat het snijpunt van de rechte
a met het projectievlak Π. Alle punten van a worden op hetzelfde punt S van Π
geprojecteerd. Hier gaan oneindig veel projecterende vlakken door a omdat elk
vlak door a evenwijdig is met d.
• de projectie van de rechte a op d is de rechte d zelf.
3. De rechte a is evenwijdig met Π
• de projectie van de rechte a op Π is een rechte a0 parallel met a. Inderdaad, het
projecterend vlak door a snijdt Π volgens a0 evenwijdig met a omdat a evenwijdig is met Π.
Besluit: Is een rechte a parallel met het projectievlak dan moeten we enkel de
projectie A0 zoeken van één punt van a. De projectie van a is dan de rechte a0
door A0 evenwijdig met a.
• de projectie van de rechte a op d is het punt A00 dat het snijpunt is van d met
het vlak Π0 door a parallel met Π. Alle punten van Π0 worden op hetzelfde punt
A00 van d geprojecteerd.
Is in het bijzonder a snijdend met d dan is de projectie van a op d het snijpunt
van a en d. Teken dit geval bij op figuur 1.20
40
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
Figuur 1.20: bepaal de projecties van a, P , Q en R
1.7.0.3
De projecties van twee rechten
We gaan na hoe de onderlinge ligging kan zijn van twee rechten a en b als hun projecties op
Π resp. de rechten a0 en b0 zijn. De rechten a0 en b0 zijn de snijlijnen van de projecterende
vlakken α en β op Π door resp. a en b.
1. De rechten a0 en b0 zijn snijdend De projecterende vlakken α en β die evenwijdig zijn
met d snijden elkaar volgens de rechte s. Deze snijlijn s is de steunrechte van a en b
evenwijdig met d. We noemen A en B de steunpunten op resp. a en b.
(a) als A 6= B dan zijn a en b kruisend (fig. 1.21);
(b) als A = B dan zijn a en b snijdend (fig. 1.24).
2. De rechten a0 en b0 zijn strikt evenwijdig De projecterende vlakken α en β die evenwijdig zijn met d zijn onderling strikt evenwijdig vermits twee snijdende rechten van
α evenwijdig zijn met twee snijdende rechten van β. Voor de onderlinge ligging van
a en b hebben we twee mogelijkheden:
(a) a en b zijn kruisend (fig. 1.21);
(b) a en b zijn strikt evenwijdig (fig. 1.22);.
3. De rechten a0 en b0 vallen samen De projecterende vlakken α en β die evenwijdig
zijn met d vallen samen.
1.7. PARALLELPROJECTIES VAN E
41
(a) a en b zijn snijdend (fig. 1.25);
(b) a en b zijn evenwijdig (fig. 1.23);.
RM I groepswerk 7
1. Hoe is het beeld van een parallellogram en van een driehoek
bij parallelprojectie op een vlak?
2. Gegeven twee snijdende vlakken α en β, s is de snijlijn, een punt A van α en een
punt B van β, beide niet gelegen op s. De rechte a0 is de projectie van de rechte a op
het vlak α volgens de richting van AB. Bepaal de projectie van a op β volgende de
richting van AB.
3. Maak een overzicht van de verschillende mogelijkheden voor de projecties van twee
verschillende rechten a en b als minstens één van beide rechten parallel is met d.
4. Geef de verschillende mogelijkheden voor de projectie op een vlak van twee kruisende
rechten, twee snijdende rechten en twee strikt parallelle rechten.
5. Bij de onderstaande tekeningen is het projectievlak het (x, y)-vlak en de projectierichting de richting van z. Vul de volgende tekeningen aan met het gevraagde:
Figuur 1.21: teken de projecties van AB en P Q en onderzoek de onderlinge ligging van a
en b
42
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
Figuur 1.22: teken de projecties van de parallelle rechten a en b
Figuur 1.23: teken de projecties van de parallelle rechten a en b
1.7. PARALLELPROJECTIES VAN E
43
Figuur 1.24: teken de projecties van de snijdende rechten a en b waarbij b ∩ z = {B}
Figuur 1.25: teken de projecties van de snijdende rechten a en b en van het punt C ∈ a
44
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
Figuur 1.26: teken de projecties van a en b en de onderlinge ligging van a en b?
Figuur 1.27: teken projecties van a en b en de onderlinge ligging van a en b?
1.8. VECTOREN
1.8
1.8.1
45
Vectoren
Het begrip vector
De puntenkoppels (P, P 0 ) en (Q, Q0 ) zijn equipollente puntenkoppels als en slechts als
zich één van de volgende gevallen voordoet:
1. (P, P 0 ) = (Q, Q0 );
2. P = P 0 ∧ Q = Q0 ;
3. P , P 0 , Q en Q0 zijn de hoekpunten van een parallellogram P P 0 Q0 Q;
4. tenminste drie van de vier punten P , P 0 , Q en Q0 liggen op eenzelfde rechte en er
bestaat tenminste één koppel (R, R0 ), niet gelegen op de rechte, waarvoor P P 0 R0 R en
RR0 Q0 Q parallellogrammen zijn (in dit geval liggen de koppels (P, P 0 ) en (Q, Q0 ) op
eenzelfde rechte).
Opmerking: Als we in het vervolg willen onderzoeken of twee puntenkoppels equipollent
zijn dan kunnen we kijken of deze puntenkoppels kunnen verbonden worden door één of twee
parallellogrammen.
We kunnen gemakkelijk aantonen dat de relatie “is equipollent met” in de verzameling van
de puntenkoppels van de ruimte E een equivalentierelatie is.
Een vector in E is een equivalentieklasse van equipollente puntenkoppels.
~ met A, B ∈ E dan wordt het puntenkoppel (A, B) een representant van de
Is ~v = AB
vector ~v genoemd. De rechte AB noemen we een drager van de vector ~v . Alle dragers
van eenzelfde vector zijn parallelle rechten, vermits de representanten van eenzelfde vector
equipollente puntenkoppels zijn. De verzameling van de dragers van een vector ~v is een
richting van rechten bepaald door die vector. Een vector bepaalt dus steeds een richting
van rechten.
Een vector ~v is parallel met een rechte a als en slechts als a behoort tot de richting
van rechten bepaald door ~v .
Twee vectoren zijn parallel als en slechts als ze eenzelfde richting van rechten bepalen.
46
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
1.8.2
Bewerkingen met vectoren
Som van vectoren en scalaire vermenigvuldiging van vectoren
De definitie van de som van vectoren in E is dezelfde als in Π (zie ook fig. ??), alsook van
de scalaire vermenigvuldiging van vectoren in E. De formule van Chasles-Möbius is
het gevolg van de definitie van de som van vectoren:
~ = AC
~ + CB.
~
AB
De som van vectoren is onafhankelijk van het aangrijpingspunt van de representanten (zie
figuur).
Eigensc
De eigenschappen zijn dezelfde als in Π (zie ook fig. 1.28).
1. De som van twee vectoren is commutatief.
∀~v , ∀w
~ : ~v + w
~ =w
~ + ~v .
2. De som van vectoren is associatief.
∀~v , ∀w,
~ ∀~u : (~v + w)
~ + ~u = ~v + (w
~ + ~u).
3. Het verschil van twee vectoren is de som van de eerste vector en de tegengestelde van
de tweede vector.
4. De scalaire vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling van vectoren.
∀~v , ∀w,
~ ∀r ∈ R : r(~v + w)
~ = r~v + rw.
~
1.8. VECTOREN
47
Figuur 1.28: eigenschappen van som en scalaire vermenigvuldiging van vectoren
5. De scalaire vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling van reële getallen.
∀~v , ∀r, s ∈ R : (r + s)~v = r~v + s~v .
6. De scalaire vermenigvuldiging is gemengd associatief.
∀~v , ∀r, s ∈ R : (rs)~v = r(s~v ).
De verhouding van evenwijdige vectoren
Elke vector is steeds te schrijven als een veelvoud van elke evenwijdige vector verschillend
van de nulvector. Dit veelvoud wordt de verhouding van de evenwijdige vectoren
genoemd.
Met symbolen:
v~2 6= ~o =⇒ (v~1 k v~2 ⇐⇒ ∃r ∈ R | v~1 = rv~2 ⇐⇒
v~1
= r).
v~2
STELLING 1.19 (Stelling van Thales) De verhouding van evenwijdige vectoren blijft
behouden bij parallelprojectie.
48
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
Dit wordt geı̈llustreerd op fig. 1.29.
~u
u~0
= .
~v
v~0
Dit laatste geldt omdat een homothetie met centrum t de driehoek ABC afbeeldt op driehoek EF G.
Figuur 1.29: parallelprojectie van parallelle vectoren
1.8. VECTOREN
1.8.3
49
De reële vectorruimten R, EO , +
De ruimten met oorsprong: E0
We kiezen in E een vast punt O, dat we de oorsprong van EO noemen.
We beschouwen een vector ~v en representeren hem vanuit de oorsprong, d.w.z. we nemen
voor voor ~v die vertegenwoordiger waarvan het beginpunt in O ligt.
~
~v = OP
Op die manier correpondeert met elke vector ~v van E een punt P van EO en omgekeerd,
correspondeert met elk punt P van EO juist één vector ~v van E
We noemen de representant (O, P ) van de vector ~v de plaatsvector van het punt P .
Opmerking: Een vector laten overeenkomen met een punt kunnen we vergelijken met het
laten overeenkomen van een georiënteerde hoek met een punt op de goniometrische cirkel.
De reële vectorruimten R, EO , +
Voor de plaatsvectoren van EO , die representanten zijn van vectoren van E, gelden dezelfde
eigenschappen als voor vectoren in E.
1. De som van twee plaatsvectoren is weer een plaatsvector.
2. De som van plaatsvectoren is associatief, net zoals de som van vectoren.
3. De nulvector is het neutraal element voor de som van plaatsvectoren.
4. Voor elke plaatsvector bestaat de tegengestelde plaatsvector. De som van de plaatsvector en zijn tegengestelde plaatsvector geeft de nulvector.
5. De som van plaatsvectoren is commutatief.
1. Het product van een reëel getal en een plaatsvector is weer een plaatsvector.
2. De scalaire vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de som van plaatsvectoren.
3. De scalaire vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de som van reële getallen.
4. De scalaire vermenigvuldiging is gemengd associatief.
5. Het getal 1 is het neutraal element voor de scalaire vermenigvuldiging.
Omwille van deze 10 eigenschappen noemen we de structuur R, EO , + een reële vectorruimte.
50
1.9
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
*Spiegeling van E om een vlak volgens de richting
van een rechte
De spiegeling van E om het vlak Π volgens de richting van de rechte d, d k/Π, is
de transformatie van E, die een punt P afbeeldt op P 00 zodanig dat P P 00 parallel is met d
en het snijpunt P 0 van P P 00 met Π het midden is van [P P 00 ] (op de tekening is Π = α).
Er geldt:
P~P 0 = P 0~P 00 .
1.10
*Spiegeling van E om een rechte volgens de richting van een vlak
De spiegeling van E om de rechte a volgens de richting van het vlak Π, Π k/d, is
de transformatie van E, die een punt P afbeeldt op Q zodanig dat P Q parallel is met Π en
de rechte d snijdt in een punt S dat het midden is van [P Q].
Er geldt:
~
P~S = SQ.
Deze twee spiegelingen zijn permutaties van E (bijecties van E in zichzelf).
Construeer op bijgevoegde figuur de projectie Q van P .
Opmerking: De definities van verschuiving en homothetie zijn dezelfde als in het vlak.
1.11. VEELVLAKKEN
1.11
51
Veelvlakken
Een veelvlak is een lichaam begrensd door vlakdelen die zijvlakken genoemd worden.
Naargelang het aantal zijvlakken verkrijgen we een viervlak, een vijfvlak, ... een n-vlak,. . . enz.
(n ∈ N \ {0, 1, 2, 3}) (zie fig. 1.30).
Figuur 1.30: n-vlakken
Een ribbe van een veelvlak is de gemeenschappelijke zijde van twee veelhoeken die in
verschillende zijvlakken liggen.
Een hoekpunt van een veelvlak is het gemeenschappelijk punt van drie of meer zijvlakken.
Een diagonaal van een veelvlak is een lijnstuk dat twee hoekpunten verbindt die niet
in één zijvlak gelegen zijn.
Een zijvlaksdiagonaal van een veelvlak is een diagonaal van een zijvlak.
Een diagonaalvlak van een veelvlak is een vlak door drie hoekpunten die niet in één
zijvlak liggen.
Een veelvlak is convex als het helemaal aan één kant ligt van het draagvlak van elk zijvlak.
In het ander geval wordt het veelvlak concaaf genoemd.
52
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
Bijzondere veelvlakken
Prisma Een prismatisch oppervlak ontstaat door het verschuiven van een rechte langs
de zijden van een vlakke veelhoek (zie fig. 1.31). Deze rechte snijdt het vlak van de veelhoek
en wordt de beschrijvende van het prismatisch oppervlak genoemd.
Figuur 1.31: prismatisch oppervlak
Een prisma is een veelvlak dat begrensd is door een prismatisch oppervlak en twee parallelle
vlakken, die de beschrijvende snijden (zie fig. 1.32). De twee vlakke doorsneden zijn twee
veelhoeken.
De veelhoeken worden grondvlak en bovenvlak genoemd, en de andere zijvlakken die
parallellogrammen zijn worden opstaande zijvlakken genoemd. Opstaande ribben zijn
snijlijnstukken van twee opstaande zijvlakken.
Al naar gelang het aantal opstaande zijvlakken spreken we van een 3-zijdige, een 4zijdig,... een n-zijdig prisma (n ∈ N \ {0, 1, 2}).
Bijzonder prisma: Parallellepipedum Een parallellepipedum is een prisma waarvan grond-en bovenvlak parallellogrammen zijn (zie fig. 1.32).
Afgeknot prisma Een afgeknot prisma is een veelvlak begrensd door een prismatisch
oppervlak en twee niet parallelle vlakken die de beschrijvende snijden, en waarvan de snijlijn
het prismatisch oppervlak niet snijdt (zie fig. 1.32).
De opstaande zijvlakken zijn trapezia.
1.11. VEELVLAKKEN
53
Figuur 1.32: prisma — parallellepipedum — afgeknot prisma
Piramide Een piramide is een veelvlak waarvan alle hoekpunten in eenzelfde vlak liggen
behalve één.
Het ene hoekpunt dat niet in het vlak van de andere hoekpunten gelegen is wordt de
top van de piramide genoemd. De opstaande ribben van een piramide zijn de
ribben die de andere hoekpunten met de top van de piramide verbinden. Het zijvlak
waarin alle hoekpunten liggen behalve de top wordt het grondvlak van de piramide
genoemd. De andere zijvlakken worden de opstaande zijvlakken van de piramide
genoemd. De opstaande zijvlakken zijn driehoeken. Het grondvlak is een veelhoek. Al
naargelang het aantal opstaande zijvlakken spreken we van een 3-zijdige, 4-zijdige, ...,
n-zijdige piramide (n ∈ N \ {0, 1, 2}).
Afgeknotte piramide Een afgeknotte piramide is het veelvlak begrensd door een
piramide en twee parallelle vlakken die de opstaande ribben van de piramide snijden.
De opstaande zijvlakken zijn trapezia, de twee andere zijvlakken worden grondvlak en
bovenvlak van de afgeknotte piramide genoemd.
Figuur 1.33: 4-zijdige piramide — 5-zijdige afgeknotte piramide
54
1.12
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
Het midden van een lijnstuk
Is M het midden van het lijnstuk [A, B] dan geldt:
M~A + M~B = ~o,
Voegen we O tussen dan krijgen we:
~ + M~O + OB
~ = ~o ⇐⇒ 2M~O + OA
~ + OB
~ = ~o
M~O + OA
In de ruimte Eo geldt voor de plaatsvector van het midden:
~ + OB)
~
~ = OA
~ + OB
~ ⇐⇒ OM
~ = 1 (OA
2OM
2
(1.1)
Figuur 1.34: midden van een lijnstuk bekeken in een parallellogram
1.13
Zwaartepunt van een driehoek
Is Z het zwaartepunt de driehoek (ABC) dan geldt
~ = 2 AM
~ a,
AZ
3
~ = 2 BM
~ b,
BZ
3
~ = 2 CM
~ c.
CZ
3
(1.2)
Tellen we de vergelijkingen van 1.2 lid aan lid op dan bekomen we
~ + BZ
~ + CZ
~ = 2 (AM
~ a + BM
~ b + CM
~ c ).
AZ
3
(1.3)
1.13. ZWAARTEPUNT VAN EEN DRIEHOEK
55
Als we het punt A eventjes opvatten als een oorsprong O, kunnen we de formule 1.1 voor
het midden Ma van het lijnstuk [B, C] schrijven als volgt
~ a = AB
~ + AC.
~
2AM
Analoog geldt
~ b = BA
~ + BC
~
2BM
en
~ c = CA
~ + CB.
~
2CM
Gebruiken we deze betrekkingen in 1.3 dan verkrijgen we
~ + BZ
~ + CZ
~
AZ
1
~ a + 2BM
~ b + 2CM
~ c)
= (2AM
3
1 ~
~ + BA
~ + BC
~ + CA
~ + CB).
~
= (AB
+ AC
3
In het tweede lid zijn de vectoren twee aan twee tegengesteld waaruit volgt dat
~ + BZ
~ + CZ
~ = ~o
AZ
(1.4)
Om de plaatsvector van het zwaartepunt te bekomen, voegen we O tussen in de betrekking
1.4.
~ + OZ
~ + BO
~ + OZ
~ + CO
~ + OZ
~ = ~o ⇐⇒ 3OZ
~ + AO
~ + BO
~ + CO
~ = ~o
AO
In de ruimte Eo geldt voor de plaatsvector van het zwaartepunt van een driehoek:
~ = OA
~ + OB
~ + OC
~ ⇔ OZ
~ = 1 (OA
~ + OB
~ + OC)
~
3OZ
3
(1.5)
Wegens 1.4 geldt dat de som van de vectoren van het zwaartepunt naar de hoekpunten van
~ + ZB
~ + ZC
~ = ~o.
de driehoek gelijk is aan de nulvector: ZA
56
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
0
0
0
A
C
O
B
~ OB
~ en OC
~ kunnen we het parallellepipedum
Met de vectoren OA,
O B A0 C
construeren. We noemen Z en Z 0 de respectieve zwaartepunten van de driehoeken ABC en
A0 B 0 C 0 . We passen de vectoriële betrekking 1.5 toe op de driehoeken (ABC) en (A0 B 0 C 0 )
vanuit resp. O en O0 en we verkrijgen:
~ = OA
~ + OB
~ + OC
~ = OO
~ 0
3OZ
en
~ 0 + OB
~ 0 + OC
~ 0 = O~0 O
3O~0 Z 0 = OA
Hieruit volgt
~ = ZZ
~ 0 = Z~0 O0
OZ
. (zie fig. 1.35)
Figuur 1.35: zwaartepunt van een driehoek bekeken in een parallellepipedum
1.14
Zwaartepunt van een viervlak
Een rechte is een zwaartelijn van een viervlak ABCD als en slechts als ze een hoekpunt
verbindt met het zwaartepunt van het overstaande zijvlak.
Een viervlak heeft vier zwaartelijnen (zie ook fig. 1.20). We noemen Za , Zb , Zc en Zd
de zwaartepunten van resp. de zijvlakken ABC, BCD, CDA en DAB van het viervlak
ABCD.
Een rechte die de middens van twee overstaande ribben verbindt, wordt een bimediaan
van het viervlak genoemd. Een viervlak heeft drie bimedianen.
1.14. ZWAARTEPUNT VAN EEN VIERVLAK
57
STELLING 1.20 De drie bimedianen van een viervlak zijn concurrent.
Bewijs: We noemen M1 , M2 , M3 , M4 , M5 en M6 de middens van resp. de ribben [AB],
[CD], [BC], [DA], [BD], [AC] van het viervlak ABCD (zie figuur 1.36). Als we in een
zijvlak de middens van twee ribben verbinden dan verkrijgen we een middenparallel van
het zijvlak , die evenwijdig is met de derde ribbe van een zijvlak. Zo zijn er per ribbe twee
middenparallellen in twee zijvlakken. Aangezien er zes ribben zijn, zijn er twaalf middenparallellen die twee aan twee evenwijdig zijn met telkens een ribbe van het viervlak. Op die
manier krijgen we drie parallellogrammen. De diagonalen van deze drie parallellogrammen
zijn de bimedianen van het viervlak. Een bimediaan is een diagonaal van twee van de drie
parallellogrammen. Aangezien de diagonalen van een parallellogram elkaar middendoor
delen, gaan de drie bimedianen door eenzelfde punt.
Merk op dat de middens van de ribben van een viervlak de hoekpunten zijn van een achtvlak
waarvan de overstaande ribben gelijk zijn en evenwijdig.
Figuur 1.36: de bimedianen van een viervlak
58
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
STELLING 1.21 De vier zwaartelijnen van een viervlak zijn concurrent.
Bewijs: We tonen aan dat de verbindingslijn DZ van een hoekpunt D van het viervlak
met het gemeenschappelijk punt Z van de bimedianen, het overstaande zijvlak ABC snijdt
in het zwaartepunt Zd van dat zijvlak. In driehoek M1 DC trekken we door M2 de rechte
M2 E parallel met DZ (E ∈ [M1 , C]). Aangezien M2 E en ZZd middenparallellen zijn van
resp. de driehoeken DZd C en M1 M2 E delen de punten Zd en E de zwaartelijn CM1 van het
zijvlak ABC in drie gelijke delen. Hieruit volgt dat Zd het zwaartepunt is van het zijvlak
ABC.
Analoog tonen we aan dat de drie andere verbindingslijnen CZ, AZ en BZ van resp. de
hoekpunten C, A en B het overstaande zijvlak snijden in het zwaartepunt van dat zijvlak.
Hieruit volgt dat de vier zwaartelijnen door hetzelfde punt Z gaan.
Deze stelling laat toe het zwaartepunt van een viervlak te definiëren.
Het snijpunt Z van de zwaartelijnen van een viervlak is het zwaartepunt van het viervlak (zie fig. 1.37).
Figuur 1.37: zwaartepunt Z van het viervlak ABCD
1.14. ZWAARTEPUNT VAN EEN VIERVLAK
59
STELLING 1.22 Het zwaartepunt ligt op een zwaartelijn op drievierde van het hoekpunt.
Bewijs: In driehoek M1 DC zien we gemakkelijk in dat (zie fig. 1.36)
1 ~
Zd~Zc = .CD.
3
De driehoeken ZZc Zd en ZCD zijn gelijkvormig. Hieruit volgt:
|ZC|
|ZD|
|CD|
=
=
=3
|ZZc |
|ZZd |
|Zc Zd |
Het zwaartepunt Z ligt dus op [C, Zc ] op drievierden van C en op [D, ZD ] op drievierden
van D. Analoog tonen we dat aan voor de twee andere zwaartelijnen.
Er geldt dus:
~a
~ = 3 AZ
AZ
4
~ = 3 BZ
~b
BZ
4
~ = 3 .CZ
~c
CZ
4
~ = 3 .DZ
~d
DZ
4
Gevolgen: Uit het bewijs van de voorgaande stelling volgt:
~ + CZ
~ + AZ
~ + BZ
~
DZ
3 ~
~ c + AZ
~ a + BZ
~ b)
.(DZd + CZ
=
4
1
~ + DB
~ + DC)
~ + (CA
~ + CB
~ + CD)
~ + (AB
~ + AC
~ + AD)
~ + (BA
~ + BC
~ + BD))
~
=
.((DA
4
= ~o
Hieruit volgt
~ + CZ
~ + AZ
~ + BZ
~ = ~o
DZ
m
~ + ZB
~ + ZC
~ + ZD
~ = ~o.
ZA
Om de plaatsvector van het zwaartepunt te bepalen, voegen we O tussen. We verkrijgen:
60
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
~ + OZ
~ + CO
~ + OZ
~ + AO
~ + OZ
~ + BO
~ + OZ
~ = ~o
DO
m
~ + DO
~ + CO
~ + AO
~ + BO
~ = ~o
4OZ
In de ruimte Eo geldt voor de plaatsvector van het zwaartepunt van een viervlak:
~ = OA
~ + OB
~ + OC
~ + OD
~
4OZ
waaruit volgt
~ + OB
~ + OC
~ + OD)
~
~ = 1 (OA
OZ
4
(1.6)
1.14. ZWAARTEPUNT VAN EEN VIERVLAK
61
RM I groepswerk 8
1. Men noemt Za , Zb , Zc en Zd de respectieve zwaartepunten
van de zijvlakken BCD, ACD, ABD en ABC van een viervlak A B C D (zie fig.
1.38).
(a) Bewijs dat de viervlakken ABCD en Za Zb Zc Zd hetzelfde zwaartepunt hebben.
Gebruik 1.6.
~
(b) Bewijs dat 3Za~Zb = BA.
Figuur 1.38: opgaven nr. 1
62
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
2. Men noemt M , N en P
middens van de ribben [B 0 , C 0 ], [C 0 , A0 ] en
de0 respectieve
A B0 C 0
[A0 , B 0 ] van het prisma
. (zie fig. 1.39)
A B C
Bewijs dat de driehoeken AB 0 C 0 , BC 0 A0 en CA0 B 0 hetzelfde zwaartepunt hebben en
leid hieruit af, dat de drie rechten AM , BN en CP concurrent zijn.
3. Gegeven is een driezijdig prisma
A B C
A0 B 0 C 0
.
De punten G en G0 zijn de zwaartepunten van resp. de driehoeken ABC en A0 B 0 C 0 .
(zie fig. 1.39)
Bewijs met vectoren dat
(i) GG0 parallel is met AA0 ;
(ii) |GG0 | = |AA0 | = |BB 0 | = |CC 0 |.
Figuur 1.39: opgave nrs. 2 en 3
4. Bewijs dat het midden van een lijnstuk behouden blijft bij parallelprojectie.
5. Bewijs dat het zwaartepunt van een driehoek behouden blijft bij parallelprojectie.
6. In elk vierzijdig prisma snijden de diagonalen elkaar in twee punten, die op een rechte
liggen parallel met grond- en bovenvlak. Bewijs dat.
1.14. ZWAARTEPUNT VAN EEN VIERVLAK
63
Oplossingen: Vectoriële bewijzen van de oefeningen
1.
(a) Gegeven: Z is zwaartepunt van viervlak (A B C D):
~ + ZB
~ + ZC
~ + ZD
~ = ~o
ZA
Te bewijzen: Z is zwaartepunt van viervlak (ZA ZB ZC ZD )
~ A + ZZ
~ B + ZZ
~ C + ZZ
~ D = ~o
ZZ
Bewijs:
(1)
~ + AZ
~ A ) + (ZB
~ + BZ
~ B ) + (ZC
~ + CZ
~ C ) + (ZD
~ + DZ
~ D)
1ste lid = (ZA
(2)
(3) 1
~ + AC
~ + AD)
~ +
~ A + BZ
~ B + CZ
~ C + DZ
~ D = (AB
= ~o + AZ
3
1 ~
1 ~
1 ~
~
~
~
~
~ + DC)
~
(BA + BC + BD) + (CA + CB + CD) + (DA + DB
3
(4) 1
~
= 3 (AB
3
3
(5)
~ + 1 (AC
~ + CA)
~ + · · · = ~o=2de lid
+ BA)
3
(b) 1ste lid
(1)
~ A + 3AB
~ + 3BZ
~ B (5)
~ A + 3AB
~ + 3BZ
~ B (3)
~ + AC
~ + AD)
~ + 3AB
~ + (BA
~ +
= 3ZA
= −3AZ
= −(AB
(5)
(4)
~ + BD)
~ = BA
~ + CA
~ + DA
~ + 3AB
~ + BA
~ + BC
~ + BD
~ = AB
~ + (CA
~ + BC)
~ + (DA
~ + BD)
~ (1)
BC
=
~ + BA
~ + BA
~ = BA=2de
~
AB
lid
~ + ZB
~ 0 + ZC
~ 0 = ~o
2. Gegeven: Z is zwaartepunt van driehoek (A B 0 C 0 ): ZA
0
0
0
~
~
~ 0 = ~o
Te bewijzen: Z is zwaartepunt van driehoek (B A C ): ZB + ZA + ZC
(1)
~ + AB
~ + ZB
~ 0 + B~0 A0 + ZC
~ 0 = ZA
~ + ZB
~ 0 + ZC
~ 0 + AB
~ + B~0 A0 (5)
Bewijs: 1ste lid = ZA
= ~o= 2de lid
3. G en G0 zijn zwaartepunten van resp. grondvlak en bovenvlak:
~ = OA
~ + OB
~ + OC
~
3OG
~ = OA
~ + OB
~ + OC
~
3OG
We trekken beide leden lid aan lid af:
~ 0 = AA
~ 0 + BB
~ 0 + CC
~ 0 = 3AA
~ 0 = BB
~ 0 = CC
~ 0
GG
(1) : Formule van Chasles-Möbius
(2) : eigenschap van zwaartepunt van een viervlak
(3) : eigenschap van plaatsvector van zwaartepunt van een driehoek
(4) : commutativiteit en associativiteit van optelling van vectoren
(5) : tegengestelde vectoren
64
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
4. Het diagonaalvlak (AA0 , CC 0 ) bepaald door de twee evenwijdige opstaande ribben AA0 en BB 0 ,
snijdt bovenvlak en grondvlak volgens evenwijdige snijlijnen A0 C 0 en AC. De figuur (A C C 0 A0 ) is
een parallllogram waarvan de diagonalen elkaar middendoor snijden, nl. in M . Analoog snijden de
diagonalen BD0 en B 0 D elkaar middendoor, nl. in N .
Voor M en N geldt (als midden van een lijnstuk):
~ = OA
~ + OC
~ 0
2OM
~ = OB
~ + OD
~ 0
2ON
Beide leden lid aan lid aftrekken:
~ + D~0 C 0 = BA
~ + DC
~ = BA
~ + AE
~ = BE
~
2N~M = BA
~ is een vector waarvan de representant (B, E) in het grondvlak gelegen is. Omdat 2N~M =
Vector BE
~ is N M parallel met de rechte BE van het grondvlak. Dus N M is evenwijdig met het grondvlak
BE,
(zie tekening).
1.15. WISKUNDE-CULTUUR
65
RM I HUISTAAK 2
1. a. Hoeveel diagonalen en hoeveel diagonaalvlakken heeft
een parallellepipedum?
b. Toon aan dat de diagonalen door eenzelfde punt gaan en elkaar middendoor
delen. Welk speciaal punt voor het parallellepipedum is dit midden?
c. De snijpunten S1 , S2 , S3 en S4 van de diagonalen van de opstaande zijvlakken van
een parallellepipedum zijn de hoekpunten van een parallellogram S1 S2 S3 S4 .
Bewijs dit met vectoren (tip: toon aan dat S1~S2 = S4~S3 ).
2. Men noemt M het midden van de ribbe [A, B] van een parallellepipedum
0
A B 0 C 0 D0
.
A B C D
Bewijs dat de diagonaal AC 0 evenwijdig met het vlak B 0 CM is.
1.15
Wiskunde-Cultuur
1. EUCLIDES was een Grieks wijsheer van 450 tot 380 v.C.
2. FANO is een stad in midden Italië. Configuratie van Fano (eindige meetkunde).
3. CRAMER Gabriël was een Zwitsers wiskundige van 1704 tot 1752. Naast de regel
van Cramer bestaat ook de paradox van Cramer. Deze paradox zegt dat, ofschoon in
het algemeen een kromme van graad n door 12 n(n + 3) punten eenduidig is bepaald,
het best kan voorkomen dat deze punten een oneindig aantal krommen van graad n
bepalen. Zo is een kromme van graad 3 bepaald door negen punten bepaald, doch
door de negen snijpunten van twee derdegraadskrommen gaat een bundel van zulke
krommen. Hij heeft over deze paradox gecorrespondeerd met EULER (1707-1783).
4. HESSE Ludwig Otto was een Duits wiskundige van 1811 tot 1874.
5. CHASLES Michel was een frans wiskundige van 1793 tot 1880. Hij is een der grondleggers van de projectieve meetkunde. Hij is in de 19de eeuw een vertegenwoordiger
van de algebraı̈sche richting in de meetkunde zoals MÖBIUS en PLÜCKER (18011868) in Duitsland en CAYLEY (1821-1895) in Engeland. Chasles had een grote
belangstelling voor de geschiedenis van de wiskunde. Zijn gevoel voor het historische
openbaart zich in zijn bekend Apercu historiques sur l’origine et le développement des
66
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
méthodes en géometrie (1837), een der eerste belangrijke geschriften over de geschiedenis van de meetkunde. Dit nog zeer leesbare boek behandelt zowel de Griekse als
de toen moderne meetkunde en is een goed voorbeeld van een geschiedenis geschreven
door iemand die zelf een zelfstandig onderzoeker was. Deze liefde voor de geschiedenis
maakte Chasles ook wel eens blind en zo is hij het slachtoffer geworden van een grappenmaker, die aan Chasles tussen 1861 en 1870 duizende valse documenten verkocht,
brieven van GALILEI (1564-1642), PASCAL (1623-1662) en NEWTON (1642-1727)
tot brieven van PLATO (428-348 v.C.) en zelfs van de apostelen toe.
6. MÖBIUS August Ferdinant was een Duits wis- en sterrenkundige van 1790 tot 1868.
Het lint van Möbius wordt verkregen door twee overstaande zijden van een rechthoek
averechts aan elkaar te plakken. Bij het overlangs omlopen van dit lint constateert
men dat het slechts één zijde heeft. Het Möbius-lint is een voorbeeld van een eenzijdig
oppervlak. Wanneer je de Möbiusband in de lengterichting doormidden knipt, blijft
hij één geheel (precies zoals een limerick suggereert). De viervlakken van Möbius zijn
twee viervlakken die tegelijkertijd in en om elkaar zijn beschreven, dwz. de hoekpunten
van het ene viervlak liggen in de zijvlakken van het andere.
7. THALES van Milete was een Grieks wijsheer en wiskundige van 624 tot 545 v.C.
Voor wat de kosmologie betreft, nam Thales aan dat de (platte) aarde op water drijft
en daardoor onbeweeglijk op dezelfde plaats vertoeven kan. Echt filosofisch, in de zin
dat naar een alomvattende verklaring van alles gestreefd lijkt, is zijn opvatting dat
alles uit het water voortkomt en er in wezen uit bestaat. Deze opvatting was voor
ARISTOTELES (384-322 v.C.) aanleiding hem aan het begin van de geschiedenis van
de eigenlijke filosofie te plaatsen.
8. ARCHIMEDES was de grootste Griekse wiskundige van 287 tot 212 v.C. Hij woonde in Syracuse op Sicilië als adviseur van Koning Hieron. Hij is één van de weinige
wetenschappelijke figuren van de Oudheid die meer is dan een naam: we weten iets
van hem als persoon. Zo weten we dat hij gedood werd toen in 212 v.C. de Romeinen
onder Marcellus Syracuse innamen na een lang beleg waarin de bejaarde geleerde zijn
grote technische bekwaamheid in dienst van de belegerden had gesteld. Zulk een ijver
voor practische toepassingen doet ons enigszins vreemd aan als wij aan de minachting denken waarmee de school van Plato op zulk ‘misbruik’ van de wetenschappen
neerzag, maar Plutarchus heeft een soort verklaring gegeven: “Ofschoon deze uitvindingen hem de reputatie van bovenmenselijke wijsheid hadden verschaft, heeft hij
het beneden zijn waardigheid geacht enig geschrift over die onderwerpen na te laten,
doch, aangezien hij al dit construeren van werktuigen en andere kunsten die nut of
winst afwerpen als onedel en minderwaardig verwierp, plaatste hij zijn gehele eerzucht
in die speculaties waarvan de schoonheid en de diepzinnigheid buiten contact met de
gewone noodzakelijkheden van het leven blijven”.
1.15. WISKUNDE-CULTUUR
67
De belangrijkste bijdragen van Archimedes tot de wiskunde behoren tot het gebied dat
we nu de integraalrekening noemen: de bepaling van de oppervlakte van vlakke figuren
en de inhoud van lichamen. In zijn Cirkelmeting berekende hij benaderingswaarden
van de cirkelomtrek met behulp van de omtrek van ingeschreven en omgeschreven regelmatige veelhoeken. Hij berekende achtereenvolgens door een verdubbelingsformule
de zijde van de veelhoek met 6, 12, 24, 48 en 96 zijden, en vond (in onze notatie)
284 41
284 14
667 21
667 21
1
10
3 <3
7 < 3
1 < α < 3
1 < 3
1 < 3 .
71
7
2018 40
2017 4
4673 2
4672 2
een resultaat dat gewoonlijk geresumeerd wordt door te zeggen dat Archimedes een
waarde van α vond die dicht bij 3 71 ligt.
Ofschoon α een Griekse letter is, hebben de Grieken daarmee nooit de verhouding van
omtrek en middellijn van de cirkel aangegeven. Het symbool komt in enige geschriften
van de 18de eeuw voor, doch werd het eerst algemeen aanvaard nadat EULER het in
zijn veel gelezen “Introductio” van 1748 geregeld had gebruikt. In decimale notatie
betekent Archimedes’ benadering:
3, 1409... < α < 3, 1429...
Archimedes gebruikte de hoofdletter α als een getal dat wij met 80 aanduiden.
In Archimedes’ boek “Over de bol en de cilinder” vinden we de uitdrukking voor de
oppervlakte van de sfeer in de vorm dat deze oppervlakte gelijk is aan het viervoud
van de oppervlakte van een grote cirkel van de sfeer, en ook een uitdrukking voor de
inhoud van de bol als tweederden van de inhoud van de omgeschreven cilinder.
Archimedes is ook nog gekend in de fysica i.v.m. ondergedompelde lichamen en hefbomen.
9. DESARQUES Gerard was een Frans wiskundige en architect van 1591 tot 1662. In
de tijd van Desargues bestonden nog geen wetenschappelijke tijdschriften in Europa.
Zo leidde de constante wiskundige bedrijvigheid tot een aanzienlijke briefwisseling
tussen de wiskundige van die tijd en tot discussiegroepen. Sommige geleerden maakten zich verdienstelijk door als bemiddelaar tussen verschillende correspondenten op
te treden. De meest bekende van deze bemiddelaars was de Minderbroeder Marin
MERSENNE (wijsgeer 1588-1648), die ook zelf een verdienstelijk wiskundige was, en
naar wie de getallen van Mersenne zijn genoemd (2n − 1, als n een priemgetal is)
getallen die eigenlijk al bij EUCLIDES voorkomen. Met Mersenne correspondeerden DESCARTES (wijsgeer 1596-1650), FERMAT (1601-1665), Desargues, PASCAL
(1623-1662) en vele anderen. Een ontdekking werd via Mersenne in heel Europa
bekend gemaakt. Uit die discussiegroepen hebben zich in Parijs en elders genootschappen en academies ontwikkeld. Hun oorsprong hangt ten dele samen met een
oppositie tegen de universiteiten die nog in menig opzicht hun scholastiek karakter
68
HOOFDSTUK 1. REËLE AFFIENE 3-RUIMTE
hadden behouden en daardoor de gewoonte behielden om reeds verworven kennis in
oude vaste vormen door te geven (hierop maakte de Leidse universiteit die eerst in
1575 was opgericht een uitzondering). De nieuwe academies vertegenwoordigden de
nieuwe manier van onderzoek. De eerste Academie was in Napels opgericht (1560),
ze werd gevolgd door de “Accademia dei Lincei” in Rome (1603). De Royal Society
van London dateert van 1662, de Franse Académie van 1666. De wiskundigen van
die tijd hebben klassieke problemen met nieuwe oplossingen verrijkt na er een geheel
nieuw licht op te hebben doen vallen. Zij hebben ook nieuwe terreinen geopend. Een
voorbeeld van een geheel nieuwe zienswijze op klassieke theorema’s was de projectieve
methode van Desargues. De nieuwe inzichten van Desargues en Pascal vonden geen
gunstig gehoor doordat in de 17de eeuw de analytische meetkunde het metrische karakter van de geometrie eens te meer voorop had gezet. Desarques heeft wiskundige
roem verworven door een boekje met de curieuze titel Brouillon project d’une atteinte
aux événement des rencontre d’une cone avec un plan (1639).
Hoofdstuk 2
Matrices
2.1
De reële n-tallen
2.1.1
Definitie
Een reëel n-tal is van de gedaante [x1 , x2 , · · · , xn ] met x1 , x2 , · · · , xn ∈ R en twee n-tallen
zijn gelijk aan elkaar als en slechts als de gelijkstandige elementen aan elkaar gelijk zijn
(soms ook geordend n-tal genoemd).
[x1 , x2 , . . . , xn ] = [y1 , y2 , . . . , yn ] ⇐⇒ x1 = y1 ∧ x2 = y2 ∧ . . . ∧ xn = yn .
Verkorte notatie: [xi ] met i ∈ {1, 2, · · · n} en xi ∈ R.
[xi ] = [yi ] ⇐⇒ ∀i ∈ {1, 2, · · · n} : xi = yi
De verzameling van de reële n-tallen noteren we door Rn .
2.1.2
Bewerkingen met n-tallen
• De som van twee reële n-tallen
De som van twee reële n-tallen is het n-tal dat we bekomen door de gelijkstandige
elementen van beide n-tallen bij elkaar op te tellen.
Met symbolen:
∀x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yn ∈ R :
[x1 , x2 , . . . , xn ] + [y1 , y2 , . . . , yn ] = [x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ].
Verkorte notatie: [xi ] + [yi ] = [xi + yi ] met i ∈ {1, 2, · · · n}
69
70
HOOFDSTUK 2. MATRICES
• De scalaire vermenigvuldiging van n-tallen
Het product van een n-tal met een reëel getal is het n-tal dat we bekomen door elk
element van het n-tal met dat getal te vermenigvuldigen.
Met symbolen:
∀x1 , x2 , . . . , xn ∈ R ∧ ∀r ∈ R : r.[x1 , x2 , . . . , xn ] = [rx1 , rx2 , . . . rxn ].
Verkorte notatie: r · [xi ] = [rxi ] met i ∈ {1, 2, · · · n}
2.1.3
De reële vectorruimte van de n-tallen
1. De som van twee reële n-tallen is weer een reëel n-tal.
Bewijs: Omdat [xi ] + [yi ] = [xi + yi ] en de som van twee reële getallen weer een reëel
getal is geldt dat [xi + yi ] ∈ Rn
2. De som van reële n-tallen is associatief: ([xi ] + [yi ]) + [zi ] = [xi ] + ([yi ] + [zi ]).
Bewijs:
([xi ] + [yi ]) + [zi ] = [xi + yi ] + [zi ]
= [(xi + yi ) + zi ]
= [xi + (yi + zi )]
= [xi ] + [yi + zi ]
= [xi ] + ([yi ] + [zi ])
Dit bewijs steunt op de associativiteit van de som van reële getallen. Duid met een
kruisje aan waar deze eigenschap van reële getallen toegepast wordt in het bewijs.
Schrijf naast de andere stappen van het bewijs telkens de reden.
3. Het n-tal [0, 0, ...0] is neutraal element voor de som van n-tallen.
Bewijs: [xi ] + [0] = [xi + 0] = [xi ]
Het bewijs steunt op het feit dat 0 het neutraal element is voor de som van reële
getallen.
4. Voor elk n-tal bestaat een tegengesteld n-tal. Het tegengesteld n-tal is het n-tal dat
we bekomen door elk element van het oorspronkelijk n-tal te vervangen door zijn
tegengestelde voor de som van reële getallen.
Notatie: −[xi ] = [−xi ]
De som van een n-tal en zijn tegengesteld n-tal is het neutraal element [0, 0, ..., 0] ∈ Rn .
Bewijs: [xi ] + [−xi ] = [xi + (−xi )] = [xi − xi ] = [0]
5. De som van n-tallen is commutatief: [xi ] + [yi ] = [yi ] + [xi ].
Bewijs: [xi ] + [yi ] = [xi + yi ] = [yi + xi ] = [yi ] + [xi ]
Het bewijs steunt op de commutativiteit van de som van reële getallen.
2.1. DE REËLE N -TALLEN
71
6. Het product van een reëel getal en een n-tal is weer een n-tal.
Bewijs: Omdat r · [xi ] = [rxi ] en het product van twee reële getallen weer een reëel
getal is, geldt dat [rxi ] ∈ Rn .
7. Het product van een n-tal met een reëel gatal is distributief t.o.v. de som van n-tallen:
r · ([xi ] + [yi ]) = r · [xi ] + r · [yi ].
Bewijs:
r · ([xi ] + [yi ]) = r · [xi + yi ]
= [r(xi + yi )]
= [rxi + ryi ]
= [rxi ] + [ryi ]
= r · [xi ] + r · [yi ]
Dit bewijs steunt op de distributiviteit het product t.o.v. de som van reële getallen.
Duid met een kruisje aan waar deze eigenschap van reële getallen toegepast wordt in
het bewijs. Schrijf naast de andere stappen van het bewijs telkens de reden.
8. De som van reële getallen is distributief t.o.v. het product van een n-tal met een reëel
getal: (r + s) · [xi ] = r · [xi ] + s · [xi ].
Bewijs:
(r + s) · [xi ] = [(r + s)xi ]
= [rxi + sxi )]
= [rxi ] + [sxi ]
= r · [xi ] + s · [xi ]
Dit bewijs steunt op de distributiviteit het product t.o.v. de som van reële getallen.
Duid met een kruisje aan waar deze eigenschap van reële getallen toegepast wordt in
het bewijs. Schrijf naast de andere stappen van het bewijs telkens de reden.
9. Het product van een van een n-tal met een reëel getal is gemengd associatief:
r · (s · [xi ]) = (rs) · [xi ]
Bewijs:
r · (s · [xi ]) = r · [sxi ]
= [r(sxi )]
= [(rs)xi ]
= (rs) · [xi ]
Dit bewijs steunt op de associativiteit het product van reële getallen. Duid met een
kruisje aan waar deze eigenschap van reële getallen toegepast wordt in het bewijs.
Schrijf naast de andere stappen van het bewijs telkens de reden.
10. Het neutraal element voor de scalaire vermenigvuldiging van n-tallen is 1 ∈ R.
Bewijs: 1 · [xi ] = [1xi ] = [xi ]
Besluit: Omwille van deze 10 eigenschappen is de structuur R, Rn , + van de reële n-tallen
een reële vectorruimte. De n-tallen worden dan ook vectoren genoemd.
72
HOOFDSTUK 2. MATRICES
2.2
De reële matrices
2.2.1
Definitie
Een reële matrix van de orde (m × n) is een m-tal waarvan de m elementen op zichzelf
n-tallen zijn. Deze n-tallen worden de rijvectoren van de matrix genoemd.
Met symbolen: [[a11 , a12 , · · · , a1n ], [a21 , a22 , · · · , a2n ] · · · , [am1 , am2 , · · · , amn ]]
Het is handiger de m vectoren onder elkaar te schrijven. Zo verkrijgen we een schema of
tabel van nm reële getallen geschikt in m rijen en n kolommen en geplaatst tussen haken.
De reële getallen aij worden de elementen van de matrix genoemd.
Een matrix van de orde (m × n) heeft dus de volgende algemene gedaante:


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 


 ..
..
.. 
 .
.
. 
am1 am2 · · · amn
We noteren een matrix kort door A, B, . . . of [aij ], [bij ], . . ..
De verzameling van de (m × n)-matrices noteren we door Rm×n .
Om met matrices te werken beschikken wij over EXCEL en DERIVE.
Om in EXCEL een matrix te bepalen selecteren we een cellenrechthoek die
de elementen van de matrix moeten bevatten. Klik dan op invoegen, naam
en bepalen of definiëren. We tikken een naam in, bvb. M a en klikken op
toevoegen en ok. Deze naam is nu opgenomen in de lijst van namen die reeds
gemaakt werden. In deze lijst staan ook het nummer van het blad en het adres
van de cellen waarop de naam betrekking heeft. We tikken de getallen van de
matrix in de rechthoek.
In DERIVE wordt een matrix ingevoerd als een vector
[[a11 , a12 , · · · , a1n ], [a21 , a22 , · · · , a2n ] · · · , [am1 , am2 , · · · , amn ]]
of met een sneltoets.
2.2. DE REËLE MATRICES
73
Gelijkheid van twee matrices
Vermits een matrix een vector is, geldt dat twee matrices gelijk zijn aan elkaar als de
overeenkomstige rijvectoren aan elkaar gelijk zijn. Dit is maar mogelijk op voorwaarde
dat de matrices hetzelfde aantal rijvectoren hebben en dat de rijvectoren hetzelfde aantal
elementen bevatten. Dit komt er op neer dat twee matrices slechts kunnen gelijk zijn als ze
dezelfde orde hebben en als de gelijkstandige elementen van de matrices aan elkaar gelijk
zijn. Dit laatste betekent dat niet alleen de opgenomen elementen een rol spelen maar
tevens de plaats die deze elementen innemen in de matrix.
Met symbolen: [aij ] = [bij ] ⇐⇒ aij = bij
|{z} |{z}
m×n
2.2.2
m×n
Bewerkingen met matrices
Omdat matrices vectoren zijn, zijn de definities van de bewerkingen dezelfde en gelden
dezelfde eigenschappen als voor de vectoren.
• De som van twee matrices
De som van twee matrices van dezelfde orde is gelijk aan de matrix die we
bekomen door de gelijkstandige elementen van beide matrices op te tellen.
Met EXCEL selecteren we de rechthoek waar de som van de matrices moet komen.
Vervolgens typen we =M a + M b in de eerste cel en drukken we op CTR , SHIFT
en ENTER .
Met symbolen:






 
a11 a12 . . . a1n
b11 b12 . . . b1n


a21 a22 . . . a2n 
  b21 b22 . . . b2n 
+
 

.. ..
..
.. ..
..

 
. .
.
. .
.
am1 am2 . . . amn
bm1 bm2 . . . bmn


a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
 a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n 


=

..
..
..


.
.
.
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn
Korte notatie: [aij ] + [bij ] = [aij + bij ]
|{z} |{z} | {z }
m×n
m×n
m×n
OPGAVEN — 1 Bepaal de getallen a, b en c uit de volgende matriciële gelijkheid:
74
HOOFDSTUK 2. MATRICES
  1 √   5
√ 
2 5
5
5
6
3
a.  −3
b  +  −b
1  =  − 27
3b ;
5 −2
2
2
7
0
3 √
−b
a+b √
−3
2 a
b.
+
=
.
c 0
0
3
2c
3

1
2
√
Oplossing: 1 a.
b = 1/2; b.
;a = 1, b = 4, c = 0.
Voorbeelden uit de praktijk:
– Voorraadmatrices.
Een voorraadmatrix, i.e. een matrix waarvan bvb. in de kolommen de verschillende maten staan van schoenen en in de rijen de verschillende modellen. De
getallen in de matrix geven de voorraad van elk model en elke maat. Wanneer er
een nieuwe bestelling binnenkomt, krijgen we een nieuwe voorraadmatrix. Deze
is de som van de oude voorraadmatrix en de bestellingsmatrix.
– Puntenmatrices.
De puntenlijsten kunnen ook beschouwd worden als matrices waar in de kolommen de verschillende vakken staan en in de rijen de namen van de verschillende
leerlingen. De getallen in de matrix geven de punten van elke leerling voor elk
vak. De puntenlijst van het einde van het schooljaar is dan de som van de
puntenlijsten van het eerste en tweede semester.
• Scalaire vermenigvuldiging van matrices
Het product van een matrix met een reëel getal r is gelijk aan de matrix die
we bekomen door alle elementen van de matrix te vermenigvuldigen met r.


 
a11 a12 . . . a1n
ra11 ra12 . . . ra1n
 a21 a22 . . . a2n   ra21 ra22 . . . ra2n 


 
r. 

=
.. ..
..
..
..
..


 
. .
.
.
.
.
ram1 ram2 . . . ramn
am1 am2 . . . amn
Korte notatie: r · [aij ] = [raij ]
|{z} | {z }
m×n
m×n
Met EXCEL selecteren we de rechthoek waar het scalair product moet komen. Vervolgens typen we =r ∗ M a in de eerste cel en drukken we op CTR , SHIFT en
ENTER .
2.2.3
De reële vectorruimte van de matrces
De structuur R, Rm×n , + van de matrices va, dezelfde orde m × n is een reële vectorruimte
2.2. DE REËLE MATRICES
75
OPGAVEN — 2 Bewijs de volgende eigenschappen rechtstreeks zoals we gedaan hebben voor n-tallen.
Gebruik hierbij de verkorte notatie voor matrices [aij ]. Vergeet niet bij elke stap in het bewijs de reden te
vermelden.
1. de associativiteit voor de som van matrices;
2. de distributiviteit van de scalaire vermenigvuldiging t.o.v. de som van matrices;
3. de gemengde associativiteit van de scalaire vermenigvuldiging van matrices.
Het verschil van twee matrices
Elke matrix heeft een tegengestelde matrix. Zo is de volgende definitie mogelijk. Het
verschil van twee matrices van dezelfde orde is de som van de eerste matrix en de
tegengestelde matrix van de tweede matrix.
Met symbolen:
∀A, B ∈ Rm×n : A − B = A + (−B)
Met EXCEL selecteren we de rechthoek waar de som van de matrices moet komen. Vervolgens typen we =M a − M b in de eerste cel en drukken we op CTR , SHIFT en ENTER .

3
OPGAVEN — 3 Gegeven: de matrices A =  1
2
1
3
Gevraagd: 2 (A + B) + 2 (A − B).
1
1
1


−1
−2 1
5 3  en B =  2
4
0 2
3
0
0
4
2
1

1
6 .
−1
Oplossing:

7
3 0
0
2.2.4

−1 −8 1
2
8 0 ;
2 −1 5
Oplossen van matriciële vergelijkingen
We herhalen de regels voor gelijkwaardige vergelijkingen die moeten toegepast worden om
een vergelijking op te lossen in R.
Een gelijkheid blijft behouden als we in beide leden eenzelfde reeël getal optellen.
Een gelijkheid blijft behouden als we beide leden met eenzelfde reeël getal verschillend van 0
vermenigvuldigen.
Bij het oplossen van een vergelijking in R maken we gebruik van de eigenschappen die geldig
zijn in het veld van de reële getallen.
We lossen een matriciële vergelijking op door gebruik te maken van de eigenschappen van
de structuur R, Rm×n , + die een reële vectorruimte is.
76
HOOFDSTUK 2. MATRICES




2
3
6 −3
4  en B =  −1
4 .
Voorbeeld: Gegeven de matrices A =  1
2 −1
2 −1
Los de volgende matriciële vergelijking op naar X: A + 2X = B.
Oplossing: We lossen eerst de vergelijking op naar X.
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
A + r · X = B met r 6= 0
−A + (A + r · X) = −A + B
elke matrix bezit een tegengestelde
−A + (A + r · X) = B − A
de som van matrices is commutatief
(−A + A) + r · X = B − A
de som van matrices is associatief
O+r·X =B−A
definitie van tegengestelde matrix
r·X =B−A
O is neutraal element voor de som van matrices
1
1
(r · X) = (B − A)
r 6= 0 dus bestaat 1r
r
r
1
1
( r) · X = (B − A)
scal.verm. is gemeng associatief
r
r
1
1 · X = (B − A)
definitie van omgekeerden in R
r
1
1 is neutraal element vr. scal.verm. van matrices
X = (B − A)
r
Nu substitueren we de gegeven matrices A en B in de laatste vergelijking.

 



 
6 −3
2
3
2 −3
4 −6
1
1
4 − 1
4 ) =  −2
0 
0  =  −1
X = ( −1
2
2
2 −1
2 −1
0
0
0
0
3
2 1
1
en B =
0 −4 5
4
Gevraagd: Los de volgende matriciële vergelijking op naar X:
OPGAVEN — 4 Gegeven: de matrices A =
2
5
3
6
.
2A − 3X = 4B − 5X.
Vermeld de gebruikte eigenschappen.



1 2 3 4
5 Gegeven: de matrices A =  5 6 7 8  en B = 
9 10 11 12
Gevraagd: Los de volgende matriciële vergelijking op naar X.
a. X + A = 2A − X;

1 0 2 0
0 1 0 2 .
2 1 0 3
Substitueer pas dan de gegeven matrices:
2.2. DE REËLE MATRICES
77
b. (A + X) − (B + X) = A + B + X;
c. −3X = 2(A − B) + 3(A + B).
Vermeld telkens de gebruikte eigenschappen.
Oplossingen:

1/2 1
5 a.  5/2 3
9/2 5
2.2.5
−1
4
8
3/2 2
7/2 4
11/2 6
2
14

5
7
;

−2
; b.  0
−4



6 10 17 20
0 −4
0
−2
0 −4 ; c. − 13  25 31 35 42 ;
47 51 55 63
−2
0 −6
De getransponeerde matrix van een matrix
De getransponeerde matrix van een matrix A is de matrix At die we bekomen door
in de matrix A de rijen met de kolommen te verwisselen.
([aij ] )t = [aji ]
|{z}
|{z}
m×n
n×m
Is A een matrix van de orde m × n dan is At een matrix van de orde n × m.
STELLING 2.1 De getransponeerde van de getransponeerde van een matrix is gelijk aan
de matrix.
Met symbolen:
∀A ∈ Rm×n : (At )t = A.
STELLING 2.2 De getransponeerde van de som van twee matrices is gelijk aan de som
van de getransponeerde van die matrices.
Met symbolen:
∀A, B ∈ Rm×n : (A + B)t = At + B t
STELLING 2.3 De getransponeerde matrix van het product van een matrix met een reëel
getal is gelijk aan het product van de getransponeerde van die matrix en dat reëel getal.
Met symbolen:
∀r ∈ R, ∀A ∈ Rm×n : (r.A)t = r.At
78
HOOFDSTUK 2. MATRICES
2.2.6
Soorten matrices
1. Een rijmatrix is een matrix van de orde (1 × n) dit is een matrix met één rij. Zij
zijn element van R1×n .
x1 x2 · · · xn
2. Een kolommatrix is een matrix van de orde (m×1) dit is een matrix met één kolom.
Zij zijn element van Rm×1 .


x1
 x2 


 .. 
 . 
xm
3. Een vierkante matrix van de orde n is een matrix waarvan het aantal rijen gelijk
is aan het aantal kolommen gelijk aan n.
Een element aij waarvoor i = j is een element van de hoofddiagonaal en een element
aij waarvoor i + j = n + 1 is een element van de nevendiagonaal.
4. Een symmetrische matrix is een vierkante matrix waarvan de getransponeerde de
matrix zelf is.
A is symmetrisch ⇐⇒ At = A,
[aij ] is symmetrisch ⇐⇒ aij = aji .
|{z}
m×n
Bij een symmetrische matrix zijn de elementen symmetrisch t.o.v. de hoofddiagonaal
gelijk aan elkaar.
5. Een driehoeksmatrix is een vierkante matrix waarvan alle elementen boven of onder
de hoofddiagonaal gelijk zijn aan nul.
6. Een diagonaalmatrix is een vierkante matrix waarvan alle elementen boven en onder
de hoofddiagonaal gelijk zijn aan nul.
7. Een scalaire matrix is een diagonaalmatrix waarvan alle elementen op de hoofddiagonaal gelijk zijn aan elkaar.
8. Een scheefsymmetrische matrix is een vierkante matrix waarvan de getransponeerde de tegengestelde matrix is.
A is scheefsymmetrisch ⇐⇒ At = −A,
[aij ] is scheefsymmetrisch ⇐⇒ aij = −aji .
|{z}
m×n
2.2. DE REËLE MATRICES
79
Is i = j dan is aii = −aii . Hieruit volgt dat aii = 0.
Bij een scheefsymmetrisce matrix zijn alle diagonaalelementen nul en zijn de elementen
symmetrisch t.o.v. de hoofddiagonaal tegengesteld.
OPGAVEN — 6 Gegeven zijn de matrices: A =
1
3
2
4
3
0
1
,B=
0
1
1
1
0
en C =
1
2
0
1
1
2
.
Bereken indien mogelijk:
a. A + C en C + A;
b. A + (B + C) en (A + B) + C;
c. 3 · (4 · A) en 12 · A;
d. 3 · (B + C) en 3 · B + 3 · C;
e. 2 · B + 6 · B en 8 · B;
f. A + B t en At + B;
g. (A + B)t en At + B t ;
h. (−7 · C)t en −7 · C t ;
i. (At )t .
Sommige uitdrukkingen zijn aan elkaar gelijk. Geef de naam van de eigenschap van bewerkingen met
matrices die daarmee overeenstemt.
7 Bewijs dat voor elke vierkante matrix A geldt dat A + At een symmetrische matrix is.
8 Bewijs dat als A een vierkante matrix is A − At een scheefsymmetrische matrix is.
9 Bewijs dat de getransponeerde van een driehoeksmatrix, een diagionaalmatrix, een scalaire matrix, een
vierkante matrix, een symmetrische matrix terug een driehoeksmatrix respectievelijk diagionaalmatrix, een
scalaire matrix, een vierkante matrix, een symmetrische matrix is.
10 Bewijs dat een driehoeksmatrix symmetrisch is als en slechts als het een diagonaalmatrix is.
11 Onderzoek resp. voor een symmetrisch matrix, een driehoeksmatrix, een diagonaalmatrix en een scalaire matrix hoe de som is, hoe de tegengestelde matrix is en hoe de matrix is als hij met een reëel getal
wordt vermenigvuldigd.
Oplossingen:
2 2 4
6 a.
; b.
5 5 2

2

3
f. gaat niet g.
4
12 24 36
6
; c.
; d.
36 48 0
6

3
−7 −14
5 ; h.  0
−7 ; i. A
0
−7 −14
3
5

3
6
5
2

3
6
6
6
8
; e.
0
8
8
8
0
;
80
HOOFDSTUK 2. MATRICES
2.2.7
Lineaire combinatie van vectoren
Zijn v~1 , v~2 , . . . , v~m m vectoren van een reële vectorruimte R, V, + en zijn r1 , r2 , . . . , rm m
reële getallen, dan noemen we de vector
~v = r1 .v~1 + r2 .v~2 + · · · + rm .v~m
een lineaire combinatie van de vectoren v~1 , v~2 , . . . , v~m .
Opmerking: Een lineaire combinatie van één vector is een veelvoud van die vector.
Voorbeelden.
• In de vectorruimte R, R2 , + is het koppel [−10, −12] een lineaire combinatie van de
koppels [−1, 2], [2, 4] en [3, 2] want
[−10, −12] = 3[−1, 2] − 5[2, 4] + [3, 2].
Dit geldt omdat
(
−10 = 3(−1) + (−5)2 + 3
−12 = 3 · 2 + (−5)4 + 2
(2.1)
Het is handiger in een lineaire combinatie de vectoren als kolommatrices te schrijven
−10
−1
2
3
=3·
−5·
+
−12
2
4
2
Dit laatste geeft aanleiding tot hetzelfde stelsel 2.1.
• In de vectorruimte R, R3 , + is het 3-tal (3, −3, −4) een lineaire combinatie van de
3-tallen (1, −1, 0), (2, 0, −3) en (1, 1, 1) want
(3, −3, −4) = 2(1, −1, 0) + (2, 0, −3) − (1, 1, 1)
Dit geldt omdat


1·2 +
2 · 1 + 1(−1) =
3
(−1)2 +
0 · 1 + 1(−1) = −3

0 · 2 + (−3)1 + 1(−1) = −4
Met kolommatrices:



 
  
3
1
2
1
 −3  = 2 ·  −1  +  0  −  1 
−4
0
−3
1
2.2. DE REËLE MATRICES
• Het stelsel
81
2x + 3y − 5z = 2
4x − 6y − 7z = 7
kan geschreven worden als een lineaire combinatie van kolommatrices.
2
3
−5
2
x·
+y·
+z·
=
4
−6
−7
7
Het stelsel oplossen zal erop neerkomen een lineaire combinatie van 3 vectoren [2, 4],
[3, −6] en [−5, −7] te zoeken zodat we de vector [2, 7] bekomen.
OPGAVEN — 12
Gegeven zijn de vectoren
1. [30, 105, 170, 40], [25, 80, 130, 10] en [25, 70, 120, 30]
2. [3, −4, −5] en [6, −7, 2].
3. (1, −4, 8], [4, −7, −4] en [8, 4, 1].
(i) Tot welke vectorruimte behoren de vectoren;
(ii) Bepaal een vector die een lineaire combinatie is van de vectoren. Schrijf de combinatie met kolommatrices.
Oplossingen
12 (i) 1. R4 , 2. R3 , 3. R3
82
HOOFDSTUK 2. MATRICES
2.3
Oplossen van lineaire stelsels
2.3.1
Inleidende voorbeeld
Dit schooljaar is de doelstelling van de algebra het leren oplossen van stelsels volgens een
bepaalde efficiënte techniek. Vorige jaren hebben jullie al geleerd hoe je een eenvoudig
stelsel kunt oplossen. Eén van de methodes is de combinatiemethode.
Voorbeeld:
We beschouwen het stelsel
2x − y =
7
−3x + 4y = −3
We behouden de eerste vergelijking en de tweede vergelijking vervangen we door een lineaire
combinatie van de twee vergelijkingen zodat bijvoorbeeld de onbekende x verdwijnt (we elimineren x). Om de x te elimineren, gaan we de eerste vergelijking vermenigvuldigen met
3, de tweede vergelijking vermenigvuldigen met 2 en vervolgens de vergelijkingen lid aan
lid optellen.
2x − y = 7
2x − y =
7 3
⇐⇒
−3x + 4y = −3 2
0x + 5y = 15
We laten de tweede vergelijking staan en de eerste vergelijking vervangen we door een
lineaire combinatie van de twee vergelijkingen zodat de onbekende y verdwijnt.
10x + 0y = 50
x = 5
2x − y = 7 5
⇐⇒
⇐⇒
0x + 5y = 15 1
0x + 5y = 15
y = 3
Opmerking: Bij het correct toepassen van de combinatiemethode, gaan we over van een
stelsel naar ander stelsel die gelijkwaardig is met het eerste stelsel. Dit betekent dat de
oplossingen van het eerste stelsel dezelfde zijn als de oplossingen van het tweede stelsel.
Als we lineaire combinaties van de vergelijkingen van een stelsel maken, maken we eigenlijk
lineaire combinaties van de coëfficiënten van de onbekenden. Het is in feite niet nodig de
onbekenden op te schrijven. Het is enkel van belang dat we weten welke coëfficiënten bij
welke onbekenden horen. We definiëren daarom een schema of tabel van reële getallen die
de coëfficiënten zijn van de onbekenden van het stelsel. De plaats van de getallen is van
belang. Zo een schema is een reële matrix. Dit spaart schrijfwerk uit. We zullen nu het
bovenstaande stelsel oplossen door de combinaties toe te passen op de rijvectoren van de
matrix.
2 −1
7
−3
4 −3
2v2 +3v1
∼
2 −1 7
0
5 15
5v1 +v2
∼
10 0 50
0 5 15
v1
10
∼
1 0 5
0 1 3
Uit deze matrix kunnen we de oplossing van het stelsel aflezen, nl. (5, 3).
.
2.3. OPLOSSEN VAN LINEAIRE STELSELS
83
Deze methode van oplossen noemen we de methode van Gauss-Jordan of de spilmethode.
Deze methode laat ons toe grote stelsels met veel onbekenden op te lossen zonder dat we
in de knoei geraken of in cirkeltjes gaan draaien. Voor het oplossen van een stelsel maken
we gebruik van het begrip matrix en het begrip van vector van een reële vectorruimte.
2.3.2
Rijequivalente matrices
Rijoperaties op een matrix zijn:
1. Het verwisselen in een matrix A van de i-de rijvector vi en de j-de rijvector vj ( met
DERIVE: swap elements(A, i, j)).
Met symbolen:
vij = vji
2. Het vervangen van een rijvector vi van A door een lineare combinatie van alle rijvectoren van A waarbij de scalair van vi verschillend is van 0.
Met symbolen:









v1
v2
..
.
vi
..
.



v1
v2
..
.
 
 
 
 
∼
  r1 v1 + r2 v2 + · · · + ri vi + · · · + rm vm
 
..
 
.
v~m
vm
Bijzondere rijoperatie

v1
 ..
 .

 vj
 .
 ..

 v
 i
 .
 ..
vm




 met ri 6= 0





v1
..
.
 
 
 
 
vj
 
..
∼
.
 
  rv +r v
  i i
j j
 
.
.
 
.
v~m






 met ri 6= 0





84
HOOFDSTUK 2. MATRICES
Een bijzonder geval van de voorgaande rijoperatie

 

v1
v1
 ..   .. 
 .   . 

 

 vj   vj 
 .   . 
 ..  ∼  ..  met ri 6= 0

 

 v   rv 
 i   i i 
 .   . 
 ..   .. 
vm
v~m
Opmerking: De voorwaarden die gesteld worden voor de scalairen ri zijn belangrijk om
het gelijkwaardig zijn van de corresponderende stelsels te garanderen.
Rijequivalente matrices
Twee matrices worden rijequivalente matrices genoemd als en slechts als de ene matrix
overgaat in de andere matrix door het toepassen van een eindig aantal rijoperaties.
Opmerking: Rijequivalente matrices corresponderen met gelijkwaardige stelsels.
2.3.3
Gauss-Jordan-methode voor het oplossen van lineaire stelsels
De methode van Gauss-Jordan bestaat erin door het toepassen van een eindig aantal rijoperaties op een matrix, de matrix in een zogenaamde canonieke gedaante te brengen, d.i. een
gedaante waarbij zoveel mogelijk nullen optreden. We noemen die matrix de canonieke
matrix van de matrix.
De methode van Gauss-Jordan is een typische computermethode. Daarom zullen we meestal gebruik maken van DERIVE. Daartoe moeten we enkel de matrix A invoeren en het
commando row reduce(A) schrijven.
row reduce(
2 −1
7
1 0 5
)=
.
−3
4 −3
0 1 3
De spilmethode Hoe herleiden we zonder computer een matrix naar een canonieke matrix?
Is het element van de eerste rij en eerste kolom gelijk aan nul dan verwisselen we de eerste rij met een andere
rij waar het element in de eerste kolom verschillend is van nul, indien dit bestaat. Indien er geen zulke
rij is, kijken we naar de tweede kolom in elke rij en zorgen ervoor dat, indien er zulk een niet-nul element
bestaat, dit niet-nul element op de eerste rij komt. Indien er geen zulk een niet-nul element bestaat, kijken
we naar de derde kolom in elke rij, enz. Stel dat het eerste niet-nul element dat we kunnen tegenkomen
wanneer we alle rijen afgaan, op de i1 -ste kolom staat. We brengen de corresponderende rij op de eerste
rij. We laten de nieuwe eerste rij dan staan en vervangen elke andere rijvector door een lineaire combinatie
2.3. OPLOSSEN VAN LINEAIRE STELSELS
85
met de eerste rijvector, zodat het i1 -ste coördinaatgetal van de nieuwe vector nul wordt. Nu zoeken we het
eerste niet-nul getal in alle rijen uitgezonderd de eerste, bvb. het i2 -de getal in de j2 -de rij. We verwisselen
dan de tweede met de j2 -de rij zodat op de i2 -de plaats van de tweede rij een niet-nul element staat. We
laten die nieuwe tweede rij dan staan en vervangen elke andere rijvector door een lineaire combinatie met
de tweede rijvector, zodat het i2 -de coördinaatgetal van de nieuwe vector nul wordt. Op deze wijze gaan
we verder. Uiteindelijk bekomen we een matrix in de zogenaamde canonieke gedaante. Hierin zijn de
eerste elementen op de niet-nul rijen resp. a1i1 , a2i2 , · · · ,arir verschillend van nul. Zo een element van
de canonieke matrix wordt een Jordan-element genoemd. De verzameling elementen akik noemen we
de Jordan-diagonaal. De elementen van een Jordan-diagonaal zijn allemaal verschillend van nul, en alle
elementen boven, onder en links van zulke elementen zijn gelijk aan nul.
Als we de spilmethode willen toepassen zonder gebruik te maken van de computer, kunnen
we wel elke rijoperatie met de computer controleren. Daartoe moet eerst de Utility-file
VECTOR.MTH. ingeladen worden:
swap elements(A, i, j) verwisselt in de matrix A het i-de rij met het jde rij.
force0(A, i, j, k) vervangt de i-de rij door een lineaire combinatie van de i-de
rij en de k-de rij om het element aij ∈ A nul te maken. Bij deze rijoperatie is
het element akj het zogenaamd Jordan-element
Voorbeeld: Los het volgend stelsel op met de
maar controleer elke stap met de computer.

2x − 3y +



6x − 9y +
x − 2y −



3x − y +
methode van Gauss-Jordan zonder computer
4z
2z
z
z
− u = 3
− 3u = 4
+ 2u = 1
− 7u = 4
De verhoogde matix van het stelsel is een (4, 5)- matrix. Het eerste Jordan-element is het
eerste element van de eerste rij a11 op voorwaarde dat dit element verschillend is van nul
Hier is 2 het eerste Jordan-element. We omcirkelen dat element.




2 −3 4 −1 3
2 −3 4 −1 3
 6 −9 2 −3 4  2v2 − 6v1  0 0 −20 0 −10 




 1 −2 −1 2 1  force0(A,2,1,1)  1 −2 −1 2
1 
∼
3 −1 1 −7 4
3 −1 1 −7 4




2 −3 4 −1 3
2 −3 4
−1
3
2v3 − v1  0 0 −20 0 −10  2v4 − 3v1  0 0 −20 0 −10 



force0(A,3,1,1) 
 0 −1 −6 5 −1  force0(A,4,1,1)  0 −1 −6
5
−1 
∼
∼
3 −1 1 −7 4
0 7 −10 −11 −1
Het tweede Jordan-element is het eerste element verschillend van nul van de 2de rij maar
dit element staat in de 3de kolom en er is nog een element verschillend van nul in de 2de
86
HOOFDSTUK 2. MATRICES
kolom op de 3de rij. Daarom gaan we de 2de en de 3de rij met elkaar verwisselen. Als we
geen computer gebruiken is het aan te raden de 2de rij (die 3de rij wordt) te delen door
−10.


2 −3 4
−1 3
v2 /(−10)
 0 −1 −6
5 −1 
v23


2
0
1 
swap elements(A,2,3)  0 0
∼
0 7 −10 −11 −1
Het tweede Jordan-element is hier nu −1; We omcirkelen dat element en maken het element
boven en onder −1 gelijk aan 0.

−v1 + 3v2
force0(A,1,2,2)
∼

−2 0 −22 16 −6
v1 /(−2)
 0 −1 −6

5
−1

 −v4 − 7v2
 0
0
2
0
1  force0(A,4,2,2)
∼
0
7 −10 −11 −1


1 0 11 −8 3
 0 −1 −6 5 −1 


 0 0
2
0
1 
0 0 52 −24 8
Het derde Jordan-element is het eerste element verschillend van 0 op 3de rij. Dit is 2. We
omcirkelen 2. We delen ondertussen de 4de rij door 4 en maken de elementen boven 2 gelijk
aan 0. (force0(A, 1, 3, 3) en force0(A, 2, 3, 3))
v4 /4
2v1 − 11v3
2v2 + 6v3
∼


2 0 0 −16 −5
2v4 − 13v3
 0 −2 0 10
4 

 force0(A,4,3,3)
 0 0 2
0
1 
∼
0 0 13 −6 2


2 0 0 −16 −5
 0 −2 0 10
4 


 0 0 2 0
1 
0 0 0 −12 −9
We delen de 2de rij door −2 en de 4de rij door −3

v2 /(−2)
2
v4 /(−3)  0

∼
 0
0
0
1
0
0

0 −16 −5
0 −5 −2 

2 0
1 
0 4
3
Het 4de Jordan-element is het eerste element verschillend van 0 op de 4de rij. Dit is hier 4.
We omcirkelen dat element en we maken de elementen boven 4 gelijk aan 0 (force0(A, 1, 4, 4)
en force0(A, 2, 4, 4))

4v1 + 16v4
2 0 0 −16 −5
 0 −2 0 10

4v
2 − 10v2
4 

∼
 0 0 2 0
1 
0 0 0 4
3


8
 0

 0
0
0
4
0
0
0
0
2
0

0 28
0 7 

0 1 
4 3
2.3. OPLOSSEN VAN LINEAIRE STELSELS
We maken de Jordan-elementen gelijk aan 1 door
resp. 8, 4, 2 en 4.

v1 /8 v2 /4
1 0
v3 /2 v4 /4  0 1

∼
 0 0
0 0
87
de 1ste, 2de, 3de en 4de rij te delen door
0
0
1
0
0
0
0
1

7/2
7/4 

1/2 
3/4
Het stelsel heeft één oplossing nl. [ 27 , 74 , 21 , 34 ].
Opmerking: De oplossing(en) van een stelsel kunnen op twee verschilllende manieren
geı̈nterpreteerd worden.
Voorbeeld: Beschouwen we het stelsel
x − 2y = 4
3x + y = 6
We lossen het stelsel op met de methode van Gauss.
1 −2 4
1 −2
4
7 0 16
1 0 16/7
∼
∼
∼
3
1 6
0
7 −6
0 7 −6
0 1 −6/7
, − 76 ] kunnen we op twee manieren meetkundig bekijken:
De oplossing [ 15
7
1. Het koppel [ 15
, − 67 ] is in het vlak de coördinaat van het snijpunt van de rechten
7
x − 2y = 4 en 3x + y = 6;
4
1
2. De kolomvector
is een lineaire combinatie van de kolomvectoren
en
6
3
−2
en 76 .
met scalairen 15
7
1
15
6
4
1
−2
=
·
+ ·
6
3
1
7
7
OPGAVEN — 13 Los de volgende stelsels op met de methode van Gauss-Jordan en geef de twee meetkundige
interpretaties van de
oplossingen.
2x − y = 5
x−y =2
a.
b.
x+y =1
x + y = −2
Oplossingen: 13: a. (2, −1); b. (0, −2);
88
HOOFDSTUK 2. MATRICES
RM I groepswerk
9

2x



x
1.
3x



3x

 x
2x
3.

3x

 x
2x
5.

3x
1. Los de volgende stelsels opmet de methode van Gauss-Jordan.
− 3y
+ 2y
−
y
−
y
+ 4z
− z
+ 2z
+ z
−
u = 3
+ 2u = 1
− 3u = 4
− 7u = 4
+
+
+
y
2y
2y
− 2z
− 4z
− 4z
+
+
−
− 3y
−
y
− 4y
+
−
+
z
z
z
u + 3t = 1
2u + 6t = 2
3u − 9t = 3
= −2
=
3
=
2
2x
x
2.
−3x



−x
x
4.
2x



6.

 x
2x

x
+ 4y
− 2y
+ y
+ y
+ 3z
− 2z
+
z
−
z
− u =
− 3u =
− 5u =
− u =
1
5
−9
−5
+
+
+
+
+ 4u =
+ 2u =
1
−1
2y
y
+ y
+ 5y
+ 7y
3z
z
+
z
− 2z
− 5z
=
4
=
3
= −6
2. Geef de twee verschillende interpretaties van de oplossingen van de volgende stelsels
en maak telkens een tekening in het vlak.
a. a : x + y = 2, b : 2x + 2y = −2 en c : −x − y = −2;
b. a : x + 5y = −8, b : 3x − 2y = 10, c : 5x + 3y = 4 en D : x + y = 0;
c. a :
x
2
+
y
3
= 1, b : x − y = 1 en c : 4x + 2y = 8.
3. Een sleutel-op-de-deur bouwbedrijf bouwt drie types van woningen. Voor het eerste
type woning zijn er 3 eenheden beton, 2 eenheden steen en 5 eenheden hout nodig.
Voor het tweede type zijn dat 4 eenheden beton, 2 eenheden steen en 6 eenheden hout.
Voor het derde type zijn dat 2 eenheden beton, 3 eenheden steen en 5 eenheden hout.
Nadat een aantal woningen is afgewerkt, beweert de boekhouder dat er 50 eenheden
beton zijn verwerkt, 100 eenheden steen en 200 eenheden hout. Hoeveel woningen
werden er van elk type gebouwd? Of kloppen de cijfers van de boekhouder niet?
4. Een bedrijf maakt 3 producten: A, B en C. Het heeft daarvoor drie machines nodig:
I, II en III. Om een eenheid van product A te maken, heeft men machine I gedurende
3 uur nodig, machine II ook gedurende 3 uur en machine III gedurende 2 uur. Om een
eenheid van product B te maken, heeft men de machines achtereenvolgens 2 uur, 1
uur en 1 uur nodig. Om een eenheid van product C te maken, heeft men de machines
achtereenvolgens 8 uur, 7 uur en 5 uur nodig. Machine I is 800 uur beschikbaar,
machine II is 700 uur per maand beschikbaar en machine III kan 500 uur per maand
worden gebruikt. Hoeveel eenheden van elk product moet het bedrijf maandelijks
maken om optimaal gebruik te maken van alle machines?
Hoe kan de productie worden geoptimaliseerd als men 150 eenheden van product A
moet maken?
5. Een bedrijf maakt 2 producten: A en B. Het heeft daarvoor 2 machines nodig: machine I en nog een nieuw te bouwen machine II. Om een eenheid van product A te
maken, heeft men machine I gedurende 3 uur. Om een eenheid van product B te
2.3. OPLOSSEN VAN LINEAIRE STELSELS
89
maken, heeft men de machine I gedurende 2 uur. Hoe lang machine II nodig is, zal
afhangen van hoe de machine II wordt gebouwd, maar in elk geval twee keer zo lang
voor product B als voor product A. Beide machines zullen elk gedurende 60 uur per
week operationeel zijn. Bepaal hoeveel eenheden van elk product het bedrijf wekelijks
moet maken om optimaal gebruik te maken van beide machines.
6. Schrijf de eerste vector als een lineaire combinatie van de volgende vectoren indien
mogelijk. Zijn er ook soms meerdere mogelijkheden?
(a) [7, 8, 9] en [1, 2, 3], [4, 5, 6];
(b) [− 21 , − 13 ] en [−6, 4], [3, −2];
(c) [0, 5] en [3, −6], [−4, 8];
(d) [7, 8] en [1, 2], [4, 5];
(e) [9, 5, 1] en [2, 1, 3], [−1, 3, 1], [−1, 1, 1];
(f) [14, 18, 5] en [3, 2, 1], [2, −1, 1], [−1, 1, 1];
(g) [23, −20, 41] en [1, 2, 7], [3, −3, 6], [−1, 3, −2];
(h) [8, 56, 37] en [0.2, 3, 0.25], [0.5, −1, 2.5], [−1.25, −1, −4];
(i) [1, −1, 1, 1] en [1, 2, 4, −1], [−2, 1, 1, 2];
(j) [0, 4, −2, 1] en [0, 1, −2, 3], [1, −3, 4, −5], [−2, 2, 1, 4], [3, 1, 2, 2];
(k) [0, 2] en [1, 1], [1, 2], [1, 3];
(l) [0, 1, −1, 2] en [1, 0, −2, 1], [2, 1, 3, −1], [4, 1, −1, 1], [−1, 2, 1, 1], [−1, 1, 1, 1];
Oplossingen: 1

 


 



9/7
x
39/14
16
x
 −29   −1/7 
 y   −23/14 
 y 


 

 


1. 
 z  = r.  −28  +  0  2.  z  =  9/14 
−1/14
7
0
u
u






   
x
5
15
0
1
 y 
 −6 
 −18 
 2   0 






   






  
3.  z  = r.  0  + s.  0  + k. 
 1  +  0 ;
 u 
 1 
 0 
 0   0 
t
0
1
0
0





 


 


  17 
x
1
0
−1
3
x
x
3
 y 
 −5 
 −2   1 




 

 y  =  2 ; 6.  y  =  − 5 .
4. 
3
 z  = r.  3  + s.  0  +  0 ; 5.
z
1
z
0
u
0
1
0
x + 2z = 200
2. a. strijdig; b. (2, −2); c. strijdig; 3. strijdig 4.
, (150, 75, 25);
y + z = 100
5. ( 30(t−1)
, 15(3−t)
) met t het aantal uur dat II nodig heeft om 1 eenheid van A te maken, 15 vr A en 7,5
t
t
vr B (t=2); 6. (a) [7, 8, 9] = −[1, 2, 3] + 2[4, 5, 6]; (b) gn lin. comb. mgl; (c) gn lin. comb. mgl;
90
HOOFDSTUK 2. MATRICES
(d) [7, 8] = −[1, 2] + 2[4, 5]; (e) [9, 5, 1] = 2[2, 1, 3] + 4[−1, 3, 1] − 9[−1, 1, 1];
(f) [14, 18, 5] = 7[3, 2, 1] − 3[2, −1, 1] + [−1, 1, 1]; (g) [23, −20, 41] = −[1, 2, 7] + 9[3, −3, 6] + 3[−1, 3, −2];
1724
584
(h) [8, 56, 37] = 2020
67 [0.2, 3, 0.25] + 67 [0.5, −1, 2.5] + 67 [−1.25, −1, −4]; (i) geen opl
205
32
47
(j) [0, 4, −2, 1] = − 306
73 [0, 1, −2, 3] − 73 [1, −3, 4, −5] − 73 [−2, 2, 1, 4] + 73 [3, 1, 2, 2];
(k) ∞ veel mgl, bvb. [0, 2] = [1, 1] − 4[1, 2] + 3[1, 3]; (l) gn lin. comb. mgl.
2.4
Lineaire onafhankelijkheid van vectoren
m vectoren v~1 , ~v2 , . . . , v~m zijn lineair onafhankelijk als en slechts als de nulvector maar op
één manier kan geschreven worden als lineaire combinatie van deze m vectoren, nl. de lineaire combinatie met de scalairen allen gelijk aan nul.
Met symbolen:
v~1 , ~v2 , . . . , v~m zijn lineair onafhankelijk
m
r1 .v~1 + r2 .v~2 + · · · + rm .v~m = ~o =⇒ r1 = r2 = · · · = rm = 0
De m vectoren v~1 , v~2 , . . . , v~m zijn lineair afhankelijk als en slechts als ze niet lineair
onafhankelijk zijn.
Voorbeelden:
• De vectoren (1, 2, 3) en (4, 5, 6) zijn lineair onafhankelijk omdat geldt dat het (3, 2)stelsel
 
   
1
4
0
x· 2 +y· 5 = 0 
3
6
0
slechts één oplossing heeft, nl. (x, y) = (0, 0). Uit x · (1, 2, 3) + y · (4, 5, 6) = (0, 0, 0)
volgt dat (x, y) = (0, 0).
Merk op dat geen van de twee vectoren een veelvoud is van de andere vector.
• De vectoren (1, 2, 3), (4, 5, 6) en (7, 8, 9) zijn lineair afhankelijk omdat geldt dat het
(3, 3)-stelsel
 
 
   
1
4
7
0
x· 2 +y· 5 +z· 8 = 0 
3
6
9
0
niet enkel de nuloplossing (x, y, z) = (0, 0, 0) heeft maar nog minstens één andere
oplossingen (x, y, z) 6= (0, 0, 0) heeft.
Na toepassen van de methode van Gauss vinden we het stelsel
x−z =0
x=z
⇐⇒ .
y + 2z = 0
y = −2z
2.4. LINEAIRE ONAFHANKELIJKHEID VAN VECTOREN
91
Uit x · (1, 2, 3) + y · (4, 5, 6) + z · (7, 8, 9) = (0, 0, 0) volgt dat (x, y, z) = r · (1, −2, 1).
Praktisch betekent dit laatste dat
1 · (1, 2, 3) − 2 · (4, 5, 6) + 1 · (7, 8, 9) = (0, 0, 0),
m.a.w. elk van de vectoren is te schrijven als een lineaire combinatie van de twee
andere vectoren, bvb.
(7, 8, 9) = 2 · (4, 5, 6) − (1, 2, 3)
• De vectoren (1, 2, 3), (2, 4, 6) en (7, 8, 9) zijn lineair afhankelijk omdat geldt dat het
(3, 3)-stelsel
 
 
   
1
2
7
0







x· 2 +y· 4 +z· 8 = 0 
3
6
9
0
minstens één oplossing heeft verschillend van de nuloplossing.
Na toepassen van de methode van Gauss vinden we het stelsel
x + 2y = 0
x = −2y
⇐⇒ .
z=0
z=0
Uit x · (1, 2, 3) + y · (2, 4, 6) + z · (7, 8, 9) = (0, 0, 0) volgt dat (x, y, z) = r · (−2, 1, 0).
Praktisch betekent dit laatste dat
−2 · (1, 2, 3) + 1 · (2, 4, 6) + 0 · (7, 8, 9) = (0, 0, 0),
m.a.w. de vector (1, 2, 3) is te schrijven als een lineaire combinatie van de twee andere
vectoren,
1
(1, 2, 3) = (2, 4, 6) + 0 · (7, 8, 9)
2
ook de vector (2, 4, 6) is te schrijven als een lineaire combinatie van de twee andere
vectoren,
(2, 4, 6) = 2 · (1, 2, 3) + 0 · (7, 8, 9)
De vector (7, 8, 9) is niet te schrijven als lineaire combinatie van de twee anderen. We
kunnen de gelijkheid niet oplossen naar (7, 8, 9) omdat de coëffiënt nul is.
Deze berekeningen waren eigenlijk allemaal overbodig omdat we reeds bij het begin
zien dat de eerste twee vectoren veelvouden zijn van elkaar. De eerste twee zijn reeds
lineair afhankelijk dus zijn de drie vectoren ook lineair afhankelijk.
We kunnen dus zeggen dat de drie vectoren afhankelijk zijn omdat er minstens ëën
te schrijven is als een lineaire combinatie van de twee anderen.
92
HOOFDSTUK 2. MATRICES
De m vectoren v~1 , v~2 , . . . , v~m zijn lineair afhankelijk als en slechts als minstens één
van de vectoren te schrijven is als een lineaire combinatie van overige m − 1 vectoren.
Met symbolen:
v~1 , v~2 , . . . , v~i , . . . , v~m zijn lineair afhankelijk
m
∃i ∈ {1, 2, . . . , m} ∧ ∃(r1 , r2 . . . rm ) ∈ Rm−1 : v~i = r1 v~1 + r2 v~2 + · · · + rm v~m .
Een verzameling vectoren is een vrije verzameling als en slechts de vectoren van de
verzameling lineair onafhankelijk zijn.
RM I groepswerk 10 Zijn de volgende vectoren lineair onafhankelijk? Geef de combinatie bij afhankelijkheid.
1. [0, 1, −9], [1, 1, 1], [1, 2, −3];
2. [− 31 , −2], [2, 12], [1, 7];
3. [0, 1, 1], [1, 1, 2], [−1, 4, −6];
4. [9, 10, 1], [2, 3, 1], [1, 3, 2];
5. [9, 5, 1], [2, 1, 3], [−4, −2, −6];
6. [−4, 2, −1], [1, −0.5, 0.25], [−2, 1, −0.5], [8, −4, 2];
7. [−5, −15, −30], [ 31 , 1, 2], [ 12 , 32 , 3], [− 14 , − 34 , − 32 ];
8. [1, 3, −2, 5], [2, 4, 3, −3], [−1, 1, −12, 8], [1, −2, 3, 0];
9. [1, −1, 0, 2] en [1, 2, 0, −1], [−2, 2, 0, −4], [1, 4, 5, −3];
oplossingen: 10. (a) lin.onafh. (b) 6[− 31 , −2] + [2, 12] + 0[1, 7] = [0, 0]; (c) lin.onafh.
(d) 3r[9, 10, 1] − 17r[2, 3, 1] + 7r[1, 3, 2] = [0, 0, 0]; (e) 0[9, 5, 1] + 2r[2, 1, 3] + r[−4, −2, −6] = [0, 0, 0]
omdat [−4, −2, −6] = −2[2, 1, 3]; (f) [−4, 2, −1] + 4[1, −0.5, 0.25] + 2[−2, 1, −0.5] + 12 [8, −4, 2] = [0, 0, 0]
omdat [−4, 2, −1] = −4[1, −0.5, 0.25] = 2[−2, 1, −0.5] = − 21 [8, −4, 2];
(g) [−5, −15, −30] + 15 13 , 1, 2] + 2[ 12 , 23 , 3] + 4[− 14 , − 34 , − 32 ] = [0, 0, 0]
omdat [−5, −15, −30] = −15 13 , 1, 2] = −10[ 21 , 32 , 3] = 20[− 14 , − 34 , − 32 ]; (h) lin.onafh.
(i) 2[1, −1, 0, 2]+0[1, 2, 0, −1]−[−2, 2, 0, −4]+0[1, 4, 5, −3] = [0, 0, 0, 0] omdat [−2, 2, 0, −4] = −2[1, −1, 0, 2].
2.4. LINEAIRE ONAFHANKELIJKHEID VAN VECTOREN
93
RM I HUISTAAK 3
1. Los zonder computer het volgend stelsel op met de methode
van Gauss Jordan. Controleer elke rijoperatie met de computer.

 2x − y + 2z = 9
x − 2y + 4z = 12

3x + y − z = 2
2. Gegeven is het stelsel met onbekenden x, y, z en u:

= 10
 x + y + 2z + 2u
3x + 4y + 11z + 10u
= 36

17x + 13y + 14z + 18u = 146
(a) Schrijf het meest eenvoudig gelijkwaardig stelsel van het gegeven stelsel op. Zeg
hoe je dat bekomt door gebruik te maken van de computer.
(b) Hoeveel vrije onbekenden heeft het stelsel en hoeveel oplossingen zijn er?
(c) Geef een parametervoorstelling (in matrixgedaante) van de oplossingen.
3. Gegeven zijn de vectoren ~v (1, 3, −1), ~u(1, 5, 1) en w(−1,
~
−2, 2).
(a) Waarom zijn de gegeven vectoren lineair afhankelijk?
(b) Schrijf w
~ als lineaire combinatie van ~v en ~u.
94
HOOFDSTUK 2. MATRICES
2.5
Het product van matrices
2.5.1
Definitie
In de lineaire combinatie 2x−3y van de getallen x en y hebben we enerzijds de vector [2, −3]
met de getallen van de lineaire combinatie en anderzijds de vector [x, y] met de getallen
waar een lineaire combinatie van gemaakt wordt.
In de vlakke meetkunde is de analytische uitdrukking van het scalair product van de vectoren [2, −3] en [x, y] zo een lineaire combinatie en we schrijven:
[2, −3] · [x, y] = 2x − 3y
Diezelfde lineaire combinatie kunnen we ook schrijven met matrices:
x
2 −3 ·
= [2x − 3y]
y
Het product dat we hier hanteren, is het product van matrices.
We kunnen dat product nu uitbreiden:
Voorbeeld:
1. De lineaire combinatie met getallen 4, 7 en −9 van de getallen van de vector [x, y, z]
is 4x + 7y − 9z. Nog een andere lineaire combinatie van de getallen van [x, y, z] is
bvb. −8x + 5y − 8z. We kunnen dus schrijven
 
 
x
x



[4x + 7y − 9z] = 4 7 −9 · y
en [−8x + 5y − 8z] = −8 5 −8 · y 
z
z
Deze twee verschillende lineaire combinaties van x, y en z kunnen we samenvatten in
één uitdrukking met matrices:
 
x
4x + 7y − 9z
4 7 −9

=
· y 
−8x + 5y − 8z
−8 5 −8
z
2. Dezelfde lineaire combinaties als voor x, y en z kunnen we ook maken met drie andere
getallen, bvb. a, b en c:


x
a
4x + 7y − 9z 4a + 7b − 9c = 4 7 −9 ·  y b 
z c
Hier wordt eigenlijk een lineaire combinatie met scalairen 4, 7 en −9 van de rijvectoren
[x, a], [y, b] en [(z, c] (zie de paragraaf van lineaire combinatie van vectoren).
[4x + 7y − 9z, 4a + 7b − 9c] = 4 · [x, a] + 7 · [y, b] − 9 · [z, c]
2.5. HET PRODUCT VAN MATRICES
95
3. We kunnen ook twee verschillende lineaire combinaties maken van
twee verschillende vectoren:

x
4x + 7y − 9z
4a + 7b − 9c
4 7 −9

=
· y
−8x + 5y − 8z −8a + 5b − 8c
8 5 −8
z
de getallen van

a
b 
c
Dit product kunnen we ook interpreteren als twee verschillende lineaire combinaties
van de rijvectoren van de tweede matrix [x, a], [y, b] en [z, c].
Het komt hierop neer dat we met de getallen uit een rij van de matrix links lineaire
combinaties maken van de getallen uit een kolom van de matrix rechts.
Vandaar de definitie van product van twee matrices:
Om twee matrices te kunnen vermenigvuldigen moet het aantal kolommen van de eerste
matrix B gelijk zijn aan het aantal rijen van de tweede matrix A. Stel dat B een (p × m)matrix is dan moet m het aantal rijen zijn in matrix A. De matrix A is een (m × n)-matrix.
Het product B · A is een (p × n)-matrix.


 
a11 a12 . . . a1n
b11 b12 . . . b1m
 b21 b22 . . . b2m   a21 a22 . . . a2n 


 
B · A =  .. ..

·
.. ..
..
..

 . .
 
. .
.
.
am1 am2 . . . amn
bp1 bp2 . . . bpm
{z
} |
{z
}
|
p×m



=

m×n
b11 a11 + b12 a21 + . . . + b1m am1 b11 a12 + b12 a22 + . . . + b1m am2 . . .
b21 a11 + b22 a21 + . . . + b2m am1 b21 a12 + b22 a22 + . . . + b2m am2 . . .
..
..
.
.
b11 a1n + . . . + b1m amn
b21 a1n + . . . + b2m amn
..
.
bk1 a11 + bk2 a21 + . . . + bkm am1 bk1 a12 + bk2 a22 + . . . + bpm am2 . . . bp1 a1n + . . . + bpm amn
Om het element op de i-de rij en j-de kolom te bekomen vermenigvuldigen we de elementen
van de i-de rij van de eerste matrix met de corresponderende elementen van de j-de kolom
van de tweede matrix en tellen we de bekomen producten op.
Om ditPproduct korter maar toch algemeen te kunnen opschrijven, voeren we het sommatieteken
in.
 Pm

Pm
Pm
b
a
b
a
.
.
.
b
a
1k
k1
1k
k2
1k
kn
k=1
k=1
k=1
 Pm b2k ak1 Pm b2k ak2 . . . Pm b2k akn 
k=1
k=1
 k=1





.
.
.


.
.
.
.
.
.


 Pm

Pm
Pm
k=1 bpk ak1
k=1 bpk ak2 . . .
k=1 bpk akn
|
{z
}
p×n





96
HOOFDSTUK 2. MATRICES
of nog korter
"
m
X
#
bik akj
| k=1 {z
}
p×n
Het product van twee matrices kunnen we laten uitvoeren met EXCEL. Daartoe selecteren
we de rechthoek waar het product moet komen en typen = PRODUCTMAT(M a; M b) in
de eerste cel en drukken op CTR , SHIFT en ENTER .
In de voorbeelden hebben we gezien dat het product van matrices ons in staat stelt op een
efficiënte manier verschillende lineaire combinaties van een aantal vectoren te bepalen.
Willen we lineaire combinaties maken van de rijvectoren van een matrix dan moeten we de
matrix links vermenigvuldigen met een matrix waarvan de rijvectoren de scalairen van de
lineaire combinatie bevatten. Willen we lineaire combinaties maken van de kolomvectoren
van een matrix dan moeten we de matrix rechts vermenigvuldigen met een matrix waarvan
de kolomvectoren de scalairen van de lineaire combinatie bevatten.
RM I groepswerk 11
1. Maak gebruik van het product van matrices om de lineaire
combinatie(s) met scalairen −5, −12 en 28 op te schrijven en uit te rekenen
(a) van de getallen van de vectoren [5, 7, 9], [3, −8, 13], [−2, −1, 3] en [1, 1, 1];
(b) van de vectoren [1, 2], [−5, 4] en [7, 9]
2. Maak gebruik van het product van matrices om zelf drie verschillende combinaties
op te schrijven en uit te rekenen van de getallen van de vectoren [−4, −3, −2, −1] en
[1, 2, 3, 4].
3. Maak gebruik van het product van matrices om zelf vier verschillende combinaties op
te schrijven en uit te rekenen van de vectoren [9, 8, 7] en [6, 5, 4].
4. Maak gebruik van het product van matrices om het volgend stelsel in een matrixgedaante te brengen. Los daarna 
het stelsel op.


 3y − 2z = 5
 4x − 6y − 3z = 0
1
2x − y + 5z = 0
(a)
(b)
−2x + 3y + 3z =


2

3x + 4y + z = 12
x+y+z =1
Oplossingen:
1.
11] (b)


 (a) [143,
 445,
 106, 
 [251,
194];
0
3
−2
5
4. x  2  + y  −1  + z  5  =  0  ⇔ 
3
4
1
12








0
4
−6
−3
(b) x  −2  + y.  3  + z  3  =  21 
1
1
1
1
1 1 1
[ 2 , 6 , 3 ].
 
 
3 −2
x
−1
5 · y  = 
4
1
z

 
4 −6 −3
x
3
3 · y
⇔  −2
1
1
1
z
0
2
3

5
0  opl: [3, 1, −1]
12



0
 =  1  opl:
2
1
2.5. HET PRODUCT VAN MATRICES
2.5.2
97
Praktische voorbeelden
• Uitgavenmatrix .
Bij een marktstudie kunnen we een eerste matrix beschouwen. De rijen krijgen het
label van een winkel en de kolommen krijgen het label van een product. De getallen
in de matrix zijn de eenheidsprijzen van elk product in elke winkel. Bij een tweede
matrix zijn de rijen gelabeld met de producten en de kolommen met een boodschappenlijstje. De getallen in de matrix zijn de nodige hoeveelheid van elk product voor
elk boodschappenlijstje. Het product van de eerste en de tweede matrix geeft ons de
zogenaamde uitgavenmatrix, waarbij de getallen in die matrix ons laten zien hoeveel
we betalen voor onze verschillende boodschappenlijstjes in de verschillende winkels.
Voorbeeld:
lijst1 lijst2
vlees brood
A=
boter
w1
w2
w3
lijst1
A·B=
appel
spons
vlees
brood
en B =
boter
appel
spons
lijst2
w1
w2
w3
• Migratiematrix .
Het we gtrekken van de bevolking van het platteland naar de steden is een bekend
fenomeen in de ontwikkelingslanden. Voor een bepaald land zou in 5 jaar tijd 12,5
percent van de bevolking van het platteland naar de steden trekken en 6,25 percent
trekt van de stad naar het platteland. Op een bepaald moment wonen 8 miljoen
mensen in de stad en 24 miljoen op het platteland.
Na 5 jaar wonen er:
in de stad: 0, 9375 · 8 + 0, 125 · 24 = 10, 50 mensen
op het platteland: 0, 0625 · 8 + 0, 875 · 24 = 21, 50 mensen
Deze lineaire combinaties van 8 en 24 kunnen we voorstellen door een product van
twee matrices.
0, 9375 0, 125
8
10, 5
·
=
.
0, 0625 0, 875
24
21, 5
In de matrix van de orde 2×2 zijn de rijen “stad” en “platteland”,alsook de kolommen.
De elementen van de matrix zijn de percentages gedeeld door 100 van de bevolking die
verhuist en die blijft. De som van de getallen van eenzelfde kolom is 1. We noemen
deze matrix een migratiematrix.
98
HOOFDSTUK 2. MATRICES
De kolommatrix stelt de beginsituatie voor.
De situatie na 10 jaar wordt gegeven door het volgend product:
0, 9375 0, 125
10, 5
12, 53125
·
=
.
21, 5
19, 46875
0, 0625 0, 875
Na 10 jaar wonen er in de stad 12 531 250 mensen en op het platteland nog 19 468
750 mensen.
Na 10 jaar is de situatie gelijk aan het product van het kwadraat van de migratiematrix
en de beginsituatie.
2 0, 9375 0, 125
8
12, 53125
·
=
.
0, 0625 0, 875
24
19, 46875
• Leslie-matrices .
Bij de studie van de leefgewoonten en de voortplanting van een bepaalde keversoort
heeft men opgemerkt:
– geen enkele kever wordt drie jaar oud;
– kevers van het eerste levensjaar: één vierde van de geboren kevers overleeft zijn
eerste levensjaar (gaat over naar het tweede levensjaar – kevers die geen week
leven worden niet meegerekend);
– kevers van het tweede levensjaar: de helft van de éénjarige wordt twee jaar (gaan
van tweede naar derde levensjaar);
– kevers van het tweede levensjaar: iedere kever van één jaar oud produceert (gemiddeld) twee nakomelingen (er gaan van het tweede levensjaar twee kevers over
naar eerste levensjaar);
– kevers van het derde levensjaar: iedere kever van twee jaar oud produceert vier
kever (er gaan van het derde levensjaar vier kevers over naar eerste levensjaar).
We nemen een matrix van de orde 3 × 3. De rijen zijn “1ste jaar”, “2de jaar” en
“3de jaar”, alsook de kolommen. De elementen van de eerste kolom van de matrix
geven voor één kever van het eerste levensjaar hoeveel kevers er resp. naar het eerste,
tweede en derde levensjaar overgaan. De elementen van de tweede kolom geven voor
één kever van het tweede levenjaar hoeveel kevers er naar resp. het eerste, tweede en
derde levensjaar overgaan. De elementen van de derde kolom geven voor één kever van
het derde levenjaar hoeveel kevers er naar resp. het eerste, tweede en derde levensjaar
overgaan. Deze matrix noemen we een Leslie-matrix.


0
2 4
 0, 25 0 0 
0
0, 5 0
2.5. HET PRODUCT VAN MATRICES
99
Op een bepaald moment telt men in een gebied 800 kevers in hun eerste levensjaar,
400 in hun tweede levensjaar en 200 in hun derde levensjaar. Deze beginsituatie wordt
voorgesteld door de kolommatrix.


800
 400 
200
Hoeveel kevers zijn er na één jaar en na twee jaar?
De situatie van het aantal kevers na één jaar is gelijk aan het product:

 
 

0
2 4
800
1600
 0, 25 0 0  ·  400  =  200 
0
0, 5 0
200
200
De situatie van het aantal kevers na twee jaar is gelijk aan het product:

 
 

0
2 4
1600
1200
 0, 25 0 0  ·  200  =  400 
0
0, 5 0
200
100
De situatie van het aantal kevers na twee jaar is ook nog gelijk aan het product van
het kwadraat van de Leslie-matrix en de kolommatrix van de beginsituatie:
 


2 
800
1200
0
2 4
 0, 25 0 0  ·  400  =  400 
200
100
0
0, 5 0
Door toegenomen insecticidengebruik neemt de vruchtbaarheid af. Er worden maar
half zoveel jonge kevers geboren. Hoe zal de Leslie-matrix er nu uitzien? Onderzoek de
consequenties van het insecticidegebruik op langere termijn bij dezelfde beginsituatie.
2.5.3
Eigenschappen van het product van matrices
STELLING 2.4 Het product van matrices is associatief.
Met symbolen:
(A.B).C = A.(B.C)
Stel A ∈ Rn×m , B ∈ Rm×k , C ∈ Rk×l .
C ∈ Rn×l
(A.B) . |{z}
| {z }
n×k
k×l
A . (B.C) ∈ Rn×l
|{z}
| {z }
n×m
m×l
100
HOOFDSTUK 2. MATRICES
STELLING 2.5 Het product van twee matrices is distributief t.o.v. van de som van matrices.
Met symbolen:
A.(B + C) = A.B + A.C
(A + B).C = A.C + B.C
Stel voor de eerste gelijkheid A ∈ Rn×m , B ∈ Rm×k , C ∈ Rm×k .
A . (B + C) ∈ Rn×k
|{z}
| {z }
n×m
m×k
A.C ∈ Rn×k
A.B
|{z} + |{z}
n×k
n×k
Wat de orde betreft is de linksdistributiviteit mogelijk.
Stel voor de tweede gelijkheid A ∈ Rn×m , B ∈ Rn×m , C ∈ Rm×k .
(A + B) . |{z}
C ∈ Rn×k
| {z }
m×k
n×m
n×k
A.C + B.C
|{z}
|{z} ∈ R
n×k
n×k
Wat de orde betreft is de rechtsdistributiviteit mogelijk.
Het bewijs is niet moeilijk maar langdradig. We laten het weg.
Belangrijk: Het product van twee matrices is niet commutatief.
STELLING 2.6 Het neutraal element voor de vermenigvuldiging van matrices van de orde
n × n is de eenheidsmatrix van de orde n × n. De eenheidsmatrix is de scalaire matrix met
diagonaalelement gelijk aan 1.



In = 

|
1
0
..
.
0 ...
1 ...
..
.
0
0
..
.





0 0 ... 1
{z
}
n×n
Er geldt:
A.In = In .A.
2.5. HET PRODUCT VAN MATRICES
101
STELLING 2.7 De getransponeerde matrix van een product van twee matrices is gelijk
aan het product van de getransponeerde van die matrices maar in omgekeerde volgorde.
Met symbolen:
(A.B)t = B t .At
Stel A ∈ Rn×m , B ∈ Rm×k .
A.B ∈ Rn×k =⇒ (A.B)t ∈ Rk×n
B t ∈ Rk×m ∧ At ∈ Rm×n =⇒ B t .At ∈ Rk×n
Wat de orde betreft is deze gelijkheid mogelijk.
Het bewijs is niet moeilijk maar langdradig. We laten het weg.
RM I groepswerk 12
1. Gegeven: A =


1 0 1 3
en C =  2 1 2 3 .
3 0 1 1
Bereken indien mogelijk:
1 2 3
1 1 1
,B=
3 4 0
0 1 0
(a) A.B en B.A;
(b) A.(B.C) en (A.B).C;
(c) A.(B + C) en (A + B).C;
(d) A.B t , At · B, B · At en B t .A;
(e) 2B.C − A.C

2. Gegeven de matrices A =
1

1 2 3 0
0
,B=
 0
4 5 6 1
1

0
1 
−1
1
 en C =
.
1 
1 1
0
Bereken indien mogelijk:
(a) A.B en B.A;
(b) A.(B.C) en (A.B).C;
(c) A.(B + C) en (A + B).C;
(d) 2B.C − A.C;
(e) A.B t , At · B, B · At en B t .A;
3. Bewijs dat voor elke vierkante matrix A geldt: A.A2 = A2 .A.
Daaruit volgt dat we de derde macht van een matrix kunnen definiëren, nl. A3 .
102
HOOFDSTUK 2. MATRICES
4. Toon aan dat alle scalaire matrices van de orde n×n commuteren voor het product van
matrices met elke matrix van diezelfde orde. Toon ook aan dat het vermenigvuldigen
van een matrix met een scalair op hetzelfde neerkomt als het vermenigvuldigen van
die matrix met een scalaire matrix. Men kan dus bij het vermenigvuldigen steeds een
scalaire matrix vervangen door een scalair of een scalair vervangen door een scalaire
matrix.
5. Toon aan dat, indien een vierkante matrix van de orde 2 × 2 commuteert met elke
andere matrix van dezelfde orde, dan is die matrix een scalaire matrix.
0 1
0 0
6. Welke matrices commuteren met de matrix
? En met de matrix
?
0 0
1 0
7. Zijn A en B twee vierkante matrices die onderling commuteren dan zullen de matrices
A − k.I en B − k.I eveneens commuteren.
8. Onderzoek wat er gebeurt als men een vierkante matrix links en rechts vermenigvuldigt met een diagonaalmatrix.
9. Onderzoek resp. voor een symmetrische matrix, een driehoeksmatrix, een diagonaalmatrix en een scalaire matrix hoe het product is.


0
1 −1
4 .
10. Gegeven: de matrix A =  4 −3
3 −3
4
2
Toon aan dat A = I (involutorische matrix).


1
1
3
2
6 .
11. Gegeven: de matrix A =  5
−2 −1 −3
Toon aan dat ∃n ∈ N : An = O (nilpotente matrix met index n).


4
8
2
12. Gegeven: de matrix A =  −2 −4 −1  .
1
2
0
n
Toon aan dat ∃n ∈ N : A = O (nilpotente matrix met index n).


1 −4
8
13. Gegeven de matrix A = 91  4 −7 −4 . Toon aan dat A.At = At .A = I3 .
8
4
1
14. * Bewijs dat voor alle n ∈ N en alle x, y ∈ R geldt

n 

2
1 x y
x
1 nx ny + n(n−1)
2
 0 1 x  = 0 1
.
nx
0 0 1
0 0
1
2.5. HET PRODUCT VAN MATRICES
103
Oplossingen:
20 3 12 19
1: (a) nt. uitvoerbaar; (b) nt. uitvoerbaar; (c) nt. uitvoerbaar; (A + B) · C =
;
13 5 13 24




1 4 1
1 2 3
6 2
6 7
−2
0
0
2




(d)
; 2 6 2 ;
; 4 6 3 ; (e) 2B · C − A · C =
.
7 4
2 4
−7 −2 −7 −15
3 3 3
1 2 3


1 2 3 0
 4 5 6 1 
1
5
; (b) A · (B · C) = (A · B) · C = 4 6 ;
2: (a) A · B =
; B·A=
 4 5 6 1 
6 16
5 11
1 2 3 0
(c) nt. uitvoerbaar; (d) nt. uitvoerbaar;
(e)nt. uitvoerbaar.
a b
a 0
6: de matrices van de gedaante:
. en
.;
0 a
c a
RM I HUISTAAK 4
1. Gegeven zijn de vectoren ~v (1, 3, −1, 2), ~u(1, 5, 1, 5)
en w(−1,
~
−2, 2, −1).
(a) Maak gebruik van het product van matrices om naar keuze vier verschillende
lineaire combinaties van de gegeven vectoren uit te rekenen met de computer.
Schrijf twee van die combinaties volledig uit en reken uit zonder computer. Vergelijk dat met het resultaat van de computer.
(b) Maak gebruik van het product van matrices om naar keuze vier verschillende
lineaire combinaties uit te voeren van de getallen van de gegeven vectoren met
de computer. Zeg dan hoeveel combinaties er uitgevoerd zijn. Schrijf twee van
die combinaties volledig uit en reken uit zonder computer. Vergelijk dat met het
resultaat van de computer.


2 −2 −4
3
4 .
2. Gegeven: de matrix A =  −1
1 −2 −3
(i) Toon aan dat A2 = A (idempotente matrix).
(ii) Bereken (2A − I)2 .
3. Bewijs dat een matrix A idempotent is als er een matrix B bestaat waarvoor A.B = A
en B.A = B.
4. Bewijs dat At .A en A.At symmetrische matrices zijn.
104
HOOFDSTUK 2. MATRICES
2.5.4
Inverse matrix van een vierkante matrix
Elk reëel getal r 6= 0 heeft een omgekeerde, nl. r−1 =
1
r
zodat r · r−1 = 1.
De matrix B is inverse matrix van een vierkante matrix A van de orde n als
B · A = In = A · B
Notatie: B = A−1 en er geldt:
A.A−1 = In = A−1 .A.
Maar niet elke matrix heeft een inverse matrix.
Voorbeelden:
• Gegeven de matrix:
A=
6 −4
−3
2
We onderzoeken of A een inverse matrix bezit.
AB
6 −4
−3
2
=
m
x y
·
z t
I2
=
m

6x − 4z = 1



6y − 4t = 0
−3x + 2z = 0



−3y + 2t = 1
Dit resultaat kunnen we schrijven als twee kleinere stelsels.
6x − 4z = 1
6y − 4t = 0
−3x + 2z = 0
−3y + 2t = 1
6 −4 1
−3 2 0
6 −4 1
0 0 3
Dit stelsel is strijdig.
6 −4 0
−3 2 1
6 −4 0
0 0 6
Dit stelsel is strijdig.
1 0
0 1
2.5. HET PRODUCT VAN MATRICES
105
De matrix A heeft dus geen inverse matrix. Daarom noemen we A een singuliere
matrix.
• Gegeven is de matrix
A=
4 5
2 3
We onderzoeken of A een inverse matrix bezit.
AB = I2
m
4 5
x y
1 0
=
2 3
z t
0 1
Dit resultaat kunnen we schrijven in twee stelsels.
4y + 5t = 0
4x + 5z = 1
2y + 3t = 1
2x + 3z = 0
4 5 1
2 3 0
4 5 1
0 2 −2
Dus: x =
4 5 0
2 3 1
4 5 0
0 2 4
8 0 12
0 2 −2
1 0 32
0 1 −1
3
2
en z = −1.
8 0 −20
0 2 4
1 0 − 52
0 1 2
Dus: y = − 52 en t = 2.
We vinden dus
B=
3
2
− 52
−1
2
.
Beide stelsels worden opgelost door dezelfde rijoperaties toe te passen op de verhoogde
matrices enkel de laatste kolom is verschillend.
4 5 1 0
2 3 0 1
∼
4 5 1 0
0 2 −2 4
∼
8 0 12 −20
0 2 −2 4
∼
1 0 32 − 52
0 1 −1 2
106
HOOFDSTUK 2. MATRICES
We rekenen eenvoudig na dat ook (bewijs zie oefening 7)
3
5
4
5
1
0
2
2
·
=
BA =
−1 −2
2 3
0 1
De matrix A heeft een inverse matrix. Daarom noemen we A een reguliere matrix.
• Gegeven is de matrix


1 2 3
A =  4 0 1 .
0 3 4
We onderzoeken of A een inverse matrix heeft.
AB = I3
m




1 0 0
1 2 3
x11 x12 x13
 4 0 1   x21 x22 x23  =  0 1 0 
0 0 1
0 3 4
x31 x32 x33
m




 1x11 + 2x21 + 3x31 = 1  1x12 + 2x22 + 3x32 = 0  1x13 + 2x23 + 3x33 = 0
4x11 + 0x21 + 1x31 = 0 ∧ 4x12 + 0x22 + 1x32 = 1 ∧ 4x13 + 0x23 + 1x33 = 0



0x11 + 3x21 + 4x31 = 0
0x12 + 3x22 + 4x32 = 0
0x13 + 3x23 + 4x33 = 1
Om x11 , . . . , x33 te vinden, moeten we dus drie stelsels oplossen. Omdat de stelsels
enkel in de rechterkolom verschillen, kunnen we deze stelsels gelijktijdig oplossen.

 
 

1 2 3 1 0 0
1 2 3 1 0 0
−8 0 −2 0 −2 0
 4 0 1 0 1 0  ∼  4 0 1 0 1 0  ∼  0 −8 −11 −4 1
0 
12 −3 −8
0 3 4 0 0 1
0 3 4 0 0 1
0
0
1

 

−8 0 0 24 −8 −16
1 0 0 −3 1
2
∼  0 −8 0 128 −32 −88  ∼  0 1 0 −16 4 11 
0
0 1 12 −3 −8
0 0 1 12 −3 −8
We vinden dus

A−1

−3
1
2
4 11  .
=  −16
12 −3 −8
2.5. HET PRODUCT VAN MATRICES
107
Besluit:
• De vierkante matrix A is regulier
m
de rijgereduceerde matrix van A is de eenheidsmatrix.
• Om de inverse matrix van een reguliere matrix A te berekenen, passen we de methode van Gauß-Jordan toe op de matrix [A|I] tot we een matrix van de vorm [I|B]
verkrijgen. De matrix B is dan de inverse matrix van A.
Nog een voorbeeldje: Bepaal de inverse matrix van de matrix A indien hij bestaat.


1 −1
2
4 −5 
A= 3
6
7
2
Oplossing: Voor de inverse matrix voegen we de matrix I3 toe aan de matrix A om zodoende
dezelfde rijoperaties op I3 als op A toe te passen.

 

1 −1
2 1 0 0
1 0 0
43/73
16/73 −3/73
 3
4 −5 0 1 0  ∼  0 1 0 −36/73 −10/73 11/73 
6
7
2 0 0 1
0 0 1 −3/73 −13/73
7/73
De inverse matrix van A is de matrix


43/73
16/73 −/73
 −36/73 −10/73 11/73  .
−3/73 −13/73 7/73
2.5.5
De inverse matrix van een vierkante matrix van de orde 2
a b
Een vierkante (2 × 2)-matrix
is niet-singulier als en slechts als (a, b) en (c, d)
c d
onafhankelijk zijn. We tonen aan dat dit is als en slechts als ad − bc 6= 0.
1. a 6= 0
a b 1 0
c d 0 1
De inverse matrix is
a6=0
∼
a
b
1 0
0 ad − bc −c a
1
ad − bc
ad−bc6=0
d −b
−c
a
∼
1 0
0 1
d
ad−bc
−c
ad−bc
−b
ad−bc
a
ad−bc
In geval ad − bc = 0 hebben we hier voor a 6= 0 geen inverse matrix.
(2.2)
108
HOOFDSTUK 2. MATRICES
2. a = 0
0 b 1 0 c6=0 c d 0 1 b6=0 cb 0 −d b
∼
∼
c d 0 1
0 b 1 0
0 b
1 0
1 0 − bcd bcb
1 0 − bcd bcb
∼
∼
1
c
0
0
0 1
0 1
b
bc
In het geval dat a = 0 en c 6= 0 en b 6= 0 is de voorwaarde ad − bc = bc 6= 0 voldaan.
De inverse matrix is
1
d −b
0
−bc −c
Dit is het bijzonder geval voor a = 0 van de uitdrukking voor de inverse (2.2).
Het is handig deze uitdrukking ad−bc schematisch te kunnen voorstellen. Daarom definiëren
we het begrip van determinant van de orde twee.
Is de matrix A een vierkante matrix van de orde 2 × 2 dan is de determinant van een
matrix A het reëel getal
a b = ad − bc ∈ R.
det A = c d Besluit
• Een vierkante (2 × 2)-matrix is niet-singulier als en slechts als zijn determinant verschillend is van nul.
• Een vierkante (2×2)-matrix bezit een inverse matrix als en slechts als zijn determinant
verschillend is van nul. De inverse matrix is dan
−1
1
d −b
a b
= −c a .
c d
a
b
c d Opmerking: De uitdrukking ad − bc doet oms denken aan kruisproduct bij een evenredigheid. Inderdaad, ingeval de getallen a, b, c en d verschilend zijn van nul kunnen we
schrijven:
a
b
a
c
ad = bc ⇐⇒ = ⇐⇒ =
c
d
b
d
Deze evenredigheden drukken uit dat in de matrix de rijvector (a, b) een veelvoud is van de
rijvector (c, d) en dat de kolomvector (a, c) een veelvoud is van (b, d). De rijvectoren alsook
de kolomvectoren zijn lineair afhankelijk.
TIP om te onthouden: we bekomen de inverse matrix door de elementen op de hoofddiagonaal met elkaar te verwisselen, de andere elementen van teken te veranderen en de bekomen
matrix te delen door de uitdrukking ad − bc.
2.5. HET PRODUCT VAN MATRICES
OPGAVEN — 14 Bepaal de

1 2
1 2
(i)
(ii)  2 3
3 4
3 4

1 1
−3 5
(v)
(vi)  2 0
2 4
1 1
109
inverse matrix van de volgende matrices indien mogelijk:





3
a
−b
0
1 a 0
4  (iii)  b
a + b ab  (iv)  0 1 a 
6
a+b
a
ab
0 0 1





1
4 3 2
0 1 5
1  (vii)  3 5 2 
(viii)  3 2 4 
0
2 2 1
6 0 0




−2
0
1
1 −a a2
−2
1
3 −2 ; (iii) det F = 0; (iv)  0
1 −a ;
Oplossingen: 14 (i)
;(ii)  0
3/2 −1/2
1
−2
1
0
0
1






−1
1
1
0
0
2
−1 −1
4
−2/11 5/22
1 
1 ; (vii)  −1
−8 10 −5 .
0
2 ; (viii) 12
(v)
;(vi) 21  1 −1
1/11 3/22
2
0 −2
4 −2
1
4
2 −11
2.5.6
Stellingen
STELLING 2.8 De inverse matrix van een gegeven reguliere vierkante matrix is uniek.
Bewijs: Is B.A = In , dan is A−1 = (B.A).A−1 = B.(A.A−1 ) = B wegens de associativiteit
van de vermenigvuldiging van matrices. Dit volgt ook uit de uniciteit van de inverse bijectie
van een gegeven bijectie.
STELLING 2.9 De inverse matrix van het product van twee reguliere matrices A en B is
het product van de inverse matrices van A en B maar in omgekeerde volgorde.
Met symbolen:
(A.B)−1 = B −1 .A−1
Bewijs: We bewijzen dat de inverse matrix van A.B gelijk is aan B −1 .A−1 . We bewijzen
dus dat het product van beide matrices in de twee volgorden de eenheidsmatrix is.
1.
(A.B).(B −1 .A−1 ) =
=
=
=
=
A. B.(B −1 .A−1 )
A. (B.B −1 ).A−1
A.(In .A−1 )
A.A−1
In
( prod. is ass.)
( idem)
( def. B −1 )
(In is neutr. el. )
( def. A−1 )
110
2.
HOOFDSTUK 2. MATRICES
(B −1 .A−1 ).(A.B) =
=
=
=
=
B −1 . A−1 .(A.B)
B −1 . (A−1 .A).B
B −1 .(In .B)
B −1 .B
In
( prod. is ass.)
( idem)
( def. A−1 )
(In is neutr. el. )
( def. B −1 )
STELLING 2.10 De inverse matrix van de inverse matrix van een reguliere matrix A is
gelijk aan de matrix A.
Met symbolen:
(A−1 )−1 = A
Bewijs: We bewijzen dat de inverse matrix van A−1 gelijk is aan A. Inderdaad, A−1 .A = In
en A.A−1 = In .
STELLING 2.11 De inverse matrix van de getransponeerde matrix van een reguliere matrix A is gelijk aan de getransponeerde van de inverse matrix van A.
Met symbolen:
(At )−1 = (A−1 )t = A−t
Bewijs: We bewijzen dat de inverse matrix van At gelijk is aan (A−1 )t . We bewijzen dus
dat het product van beide matrices in de twee volgorden gelijk is aan de eenheidsmatrix.
1. At .(A−1 )t = (A−1 .A)t = Int = In .
2. (A−1 )t .At = (A.A−1 )t = Int = In .
2.6. ALGEBRAÏSCH REKENWERK MET MATRICES
2.6
111
Algebraı̈sch rekenwerk met matrices
Bij algebraı̈sch rekenwerk moeten we rekening houden met de structuur waarin we werken.
2.6.1
Merkwaardige producten
Vooreerst is het product van matrices niet commutatief, wat wel het geval is bij het product
van reële getallen, complexe getallen, scalair product van vectoren etc.. . . . Er bestaan wel
matrices die met elkaar commuteren zoals een scalaire matrix commuteert met elke matrix.
De merkwaardige producten zoals (a ± b)2 = a2 ± 2a · b + b2 en (a + b)(a − b) = a2 − b2 zijn
niet meer geldig.
De merkwaardige producten gelden wel voor matrices die onderling commuteren dus waarvoor A · B = B · A
Anderzijds bestaan er dan ook matrices waarvoor (A + B)2 = A2 + B 2 . Dit is voor matrices
waarvoor A · B =
−B · A.
1 −1
1
1
Voorbeeld: A =
en B =
.
2 −1
4 −1
2.6.2
Nuldelers
De nulmatrix O is een opslorpend element voor het product van matrices. Er geldt
∀A ∈ Rn×m : A.Om×k = On×k .
Omgekeerd, als het product van twee matrices de nulmatrix oplevert wil dit niet zeggen
dat minstens één van de twee factoren de nulmatrix moet zijn.
A.B = O 6=⇒ A = O ∨ B = O
Een nuldeler is een vierkante matrix A 6= O waarvoor een matrix B 6= O bestaat zodat
A · B = O.
Een nuldeler is steeds een singuliere matrix.
Inderdaad, onderstel dat de matrix A niet-singulier is, dan kunnen we beide leden van
A · B = 0 met A−1 vermenigvuldigen.
A−1 · (A · B) = A−1 · O ⇐⇒ (A−1 · A) · B = O.
Hieruit volgt dat B = O wat in strijd is met het gegeven dat B 6= O.
Ga dit
matrices:
na met
de volgende
1 0
0 0
A=
en B =
.
0 0
0 1
112
HOOFDSTUK 2. MATRICES
2.6.3
Matriciële vergelijkingen
Gelijkwaardige matriciële gelijkheden
In een gelijkheid met matrices kunnen we altijd beide leden links of rechts met
eenzelfde matrix vermenigvuldigen.
B = C =⇒ A · B = A · C
Omgekeerd, als in beide leden van een gelijkheid links of rechts een gemeenschappelijke matrix optreedt, mag die factor niet zomaar geschrapt worden
A.B = A.C 6=⇒ A = O ∨ B = C
Ga dit
na met
de volgende
matrices: 0 1
1 1
2 5
A=
,B=
en C =
.
0 2
3 4
3 4
Voorbeeld: Los de volgende matriciële vergelijkingen op naar X:
t −4 −3
1 −4
4 1
−5 −1
−1
X
−
=
1
0
1 −2
2 1
1
3/2
We lossen eerst de vergelijking op met de verkorte matrixgedaante: X −1 A − B · C t = D
(1)
X −1 A − B · C t = D ⇔ (X −1 A − B · C t ) + B · C t = D + B · C t
(2)
(3)
⇔ X −1 A + (−B · C t + B · C t ) = D + B · C t ⇔ X −1 A + O = D + B · C t
(4)
(5)
⇔ X −1 A = D + B · C t ⇔ X · (X −1 A) = X · (D + B · C t )
(6)
(7)
⇔ (X · X −1 )A = X · (D + B · C t ) ⇔ I · A = X · (D + B · C t )
(8)
(9)
⇔ X · (D + B · C t ) = A ⇔ (X · (D + B · C t )) · (D + B · C t )−1 = A · (D + B · C t )−1
(10)
(11)
⇔ X · ((D + B · C t ) · (D + B · C t )−1 ) = A · (D + B · C t )−1 ⇔ X · I = A · (D + B · C t )−1
(12)
⇔ X = A · (D + B · C t )−1
Hier tonen we aan dat bij het oplossen van een matriciële vergelijking de axioma’s van reële
vectorruimte gebruikt worden
(1): Een matriciële vergelijking blijf gelijkwaardig als we in beide leden eenzelfde matrix
optellen en elke matrix heeft een tegengestelde matrix;
(2): associativiteit van de optelling in de verzameling van de matrices van dezelfde orde;
(3): definitie van tegengestelde matrix van een matrix;
2.6. ALGEBRAÏSCH REKENWERK MET MATRICES
113
(4): O is neutraal element voor de optelling van matrices;
(5): Een matriciële vergelijking blijf gelijkwaardig als we beide leden links met eenzelfde
niet singuliere matrix vermenigvuldigen en elke niet singuliere matrix heeft een inverse
matrix;
(6) en (10): associativiteit van het product van matrices;
(7) en (11): definitie van inverse matrix van een niet singuliere matrix;
(8) en (12): I is neutraal element voor de vermenigvuldiging van matrices;
(9): Een matriciële vergelijking blijf gelijkwaardig als we beide leden rechts met eenzelfde
niet singuliere matrix vermenigvuldigen en elke niet singuliere matrix heeft een inverse
matrix;
t !−1
−4 −3
−5 −3
1 −4
4 1
X=
·
+
1
0
3
3/2
1 −2
2 1
−1
−5 −3
0 −2
X=
·
+
3
3/2
2 0
−1 2
3/2 3
2 2
−4 −3
−4 −3
−5 −3
=
=
·( )·
X=
·
−3 −5
1 2
1
0
1
0
3
3/2
3
−4 −3
1
0
RM I groepswerk 13
1. Los de volgende
 matriciële vergelijking op naar X:
0 1 2
(2I − A)X = I + A met A =  1 2 3 .
1 0 1
2. Los de volgende matriciële vergelijkingen op naar X:
−1
3 2
1 2
t
) =
;
(a)
− (X
4 0
1 1
1 1
4
2
8 2
(b) AX + 2B = C met A =
,B=
en C =
.
2 4
−1 0
3 1
3
2
1
2
t
(c)
t
3 1
−2 3
1 3
3 15
−1
(
· X) +
·
=
2 1
4
6
2 −2
3 2
3. Als de matrices A en B commuteren en als A regulier is, dan commuteren A−1 en B.
Bewijs.
4.
a. Bewijs dat I − A de inverse matrix is van A als en slechts als A2 − A + I = O.
b. Welke matrix is de inverse van A als A2 + A + I = 0?
114
HOOFDSTUK 2. MATRICES


0 1 3
5. Gegeven is de matrix B =  0 0 4  .
0 0 0
(i) Toon aan dat B 3 = O.


2 1 3
(ii) Druk de matrix A =  0 2 4  uit in de gedaante λ.I + B, met λ ∈ R.
0 0 2
(iii) * Bewijs dat


2 n n(n + 2)
.
4n
An = 2n−1 .  0 2
0 0
2
6. Bewijs dat voor elk reëel getal en elke reguliere matrix geldt: (r.A)−1 = 1r .A−1 .
7. Bewijs dat uit A.B = In volgt dat B.A = In en dus B = A−1 . Op die manier kunnen
de bovenstaande bewijzen gehalveerd worden.

4 3
Oplossingen: 1 − 14  12 4
0 3
λ = 2;

9
4 2
24 ; 2: (a)
; (b)
16 12
1
1
2
−5
5
−9
5
;
(c)
1
13
1
−1
−14
27
5
RM I HUISTAAK 5
1. Bewijs dat de inverse matrix van een reguliere symmetrische
matrix symmetrisch is.
2. Gegeven is C = B −1 A.B, bereken C −1 en C n .
3. Los de volgende matriciële vergelijking op naar X:
3
−1
1 −2
5
1
2
−t
(
· X) ·
−
· 1 −9 = 4 ·
−4 2
5 0
6
−3 0
2.7. DEELRUIMTEN
2.7
2.7.1
115
Deelruimten
Definitie
De structuur R, W, + is een deelruimte van R, V, + als en slechts als W een deelverzameling is van V en de structuur R, W, + een reële vectorruimte is.
Om te bewijzen dat een stuctuur een deelruimte is van een vectorruimte gaan we gebruik
maken van de volgende stelling.
2.7.2
Eigenschap
STELLING 2.12 R, W, + is een deelruimte van R, V, + als en slechts als W een nietledige deelverzameling is van V en elk lineaire combinatie van twee vectoren van W weer
een vector is van W .
Met symbolen:
R, W, + ≺ R, V, + ⇐⇒
1. W ⊂ V ∧ W 6= ∅
2. ∀r, s ∈ R ∧ ∀w~1 , w~2 ∈ W : rw~1 + sw~2 ∈ W
Bewijs*: Het bewijs bestaat uit twee delen. Het eerste deel is onmiddellijk duidelijk want
als R, W, + een deelruimte is van R, V, + dan is W een niet-ledige deelverzameling van V
en is W gesloten voor de optelling en de scalaire vermenigvuldiging.
In het tweede deel van het bewijs tonen we aan dat als de twee voorwaarden voor W vervuld
zijn de structuur R, W, + een deelruimte is van R, V, +.
1. W ⊂ V . Dit volgt uit de eerste voorwaarde.
2. R, W, + is een reële vectorruimte. Alle eigenschappen van associativiteit, distributiviteit en commutativiteit zijn geldig in V dus ook geldig in W . De interne eigenschappen
voor de optelling en de scalaire vermenigvuldiging volgen uit de tweede voorwaarde.
We moeten nu nog enkel aantonen dat het neutraal element voor de optelling in W
zit alsook het tegengesteld element van elk element van W .
a. Omdat W 6= ∅ bestaat er een vector w
~ ∈ W . Volgens de tweede voorwaarde is
~
0.w
~ = 0 ∈ W . Het neutraal element voor de optelling in V zit dus ook in W .
b. Nemen we een willekeurige vector w
~ ∈ W dan geldt volgens de tweede voorwaarde dat (−1).w
~ = −w
~ ∈ W . De tegengestelde vector van elke vector van W is
een vector van W .
116
HOOFDSTUK 2. MATRICES
Voorbeeld*: De verzameling van alle drietallen waarvan de som van de eerste twee elementen gelijk is aan het derde element vormt een deelruimte van de reële vectorruimte van de
drietallen.
W = {(x, y, z) : x + y = z met x, y, z ∈ R}
1. W 6= ∅ want bijvoorbeeld het drietal (0, 0, 0) voldoet aan de voorwaarde x + y = z en
behoort dus tot W .
2. We beschouwen twee willekeurige drietallen (x1 , y1 , z1 ) en (x2 , y2 , z2 ) van W dan geldt
x1 + y1 = z1
x2 + y2 = z2
We zullen nu aantonen dat elke lineaire combinatie van de drietallen (x1 , y1 , z1 ) en
(x2 , y2 , z2 ) weer een drietal is van W .
∀r, s ∈ R :
r(x1 , y1 , z1 ) + s(x2 , y2 , z2 )
= (rx1 + sx2 , ry1 + sy2 , rz1 + sz2 )
Opdat dit drietal een element zou zijn van W moet de som van de eerste twee elementen van het drietal gelijk zijn aan het derde element.
rx1 + sx2 + ry1 + sy2 = rx1 + ry1 + sx2 + sy2
= r(x1 + y1 ) + s(x2 + y2 )
= rz1 + sz2
2.7.3
Voortbrengende verzamelingen van vectoren
STELLING 2.13 De verzameling van alle lineaire combinaties van een eindig aantal vectoren van een reële vectorruimte vormt een deelruimte van die vectorruimte.
Bewijs*:
We noemen C de verzameling van alle lineaire combinaties van de vectoren v~1 , v~2 , . . . , v~m
van de reële vectorruimte R, V, +:
C = {r1 .v~1 + r2 .v~2 + · · · + rm .v~m : r1 , r2 , . . . , rm ∈ R ∧ v~1 , v~2 , . . . , v~m ∈ V }
2.7. DEELRUIMTEN
117
1. C is een niet-ledige deelverzameling van V omdat C een verzameling is van vectoren
van V .
2. Elke lineaire combinatie van elke twee vectoren van C is weer een vector van C.
Inderdaad, nemen we twee willekeurige vectoren w~1 en w~2 van C dan zijn beide vectoren lineaire combinaties van v~1 , v~2 , . . . , v~m .
w~1 ∈ C =⇒ ∃r1 , r2 , . . . , rm : w~1 = r1 .v~1 + r2 .v~2 + · · · + rm .v~m
(2.3)
w~2 ∈ C =⇒ ∃s1 , s2 , . . . , sm : w~2 = s1 .v~1 + s2 .v~2 + · · · + sm .v~m
(2.4)
Uit de formules 2.3 en 2.4 volgt:
∀r, s ∈ R, ∃r1 , r2 , . . . , rm , s1 , s2 , . . . , sm ∈ R :
r.w~1 + s.w~2 = r.(r1 .v~1 + r2 .v~2 + · · · + rm .v~m ) + s.(s1 .v~1 + s2 .v~2 + · · · + sm .v~m )
m
r.w~1 + s.w~2 = (rr1 + ss1 ).v~1 + (rr2 + ss2 ).v~2 + · · · + (rrm + ssm ).v~m .
∃t1 , t2 , . . . , tm ∈ R : r.w~1 + s.w~2 = t1 .v~1 + t2 .v~2 + · · · + tm .v~m .
(2.5)
Dit laatste steunt op de commutativiteit en de associativiteit van de som van vectoren en op de gemengde associativiteit en de twee distributiviteiten van de scalaire
vermenigvuldiging in de vectorruimte R, V, +. Uit formule 2.5 volgt dat de vector
r.w~1 + s.w~2 een lineaire combinatie is van de vectoren v~1 , v~2 , . . . , v~m en aldus behoort
tot C.
Opmerking: De vectoren v~i met i ∈ {1, 2 . . . , m} zijn zelf ook vectoren van C. Daartoe
kiezen we de scalair van v~i gelijk aan 1 en de scalairen van de andere vectoren gelijk aan 0.
De vectorruimte R, C, + van alle lineaire combinaties van de m vectoren v~1 , v~2 , . . . , v~m noemen we de vectorruimte voortgebracht door de m vectoren v~1 , v~2 , . . . , v~m .
De verzameling {v~1 , v~2 , . . . , v~m } is een voortbrengende verzameling vectoren van de
vectorruimte R, C, +.
Met symbolen:
R, C, + = span{v~1 , v~2 , . . . , v~m }
118
HOOFDSTUK 2. MATRICES
2.7.4
Niet-triviale deelruimten van R, EO , +
Triviale deelruimten van R, EO , + zijn de nulruimte R, {o}, + en de vectorruimte R, EO , +
zelf.
2.7.4.1
Vectorrechten
Is ~u 6= ~o dan wordt door ~u een rechte door de oorsprong voortgebracht
aO = span{~u met ~u 6= ~o}
~ = r.~u met r ∈ R}
aO = {P ∈ EO : OP
m
~ = r~u.
∀P ∈ aO , ∃r ∈ R : OP
~ evenwijdig met aO dan is P ∈ aO .
Beschouwen we een vector ~v = OP
~ evenwijdig met aO .
Omgekeerd, is P ∈ aO dan is ~v = OP
De vectoren ~v en ~u zijn lineair afhankelijke vectoren.
Twee en meer vectoren parallel met eenzelfde rechte zijn steeds lineair afhankelijk.
aO wordt voortgebacht door ~u maar ook door een eindig aantal vectoren parallel met ~u
waarvan er minstens één verschillend is van de nulvector. Deze vectoren vormen dan een
voortbrengende verzameling vectoren voor aO . De verzameling {~u} is een minimaal voortbrengende verzameling voor aO .
We noemen {~u} een basis voor de vectorrechte aO . De basis bestaat uit één vector. Daarom
zeggen we dat de dimensie van aO gelijk is aan één en wordt aO een vectorrechte genoemd.
2.7. DEELRUIMTEN
119
~ = r.~u een vectoriële vergelijking is van de vecWe zeggen dat de vergelijking aO : OP
torrechte aO .
Voorbeeld van een eendimensionale deelruimte van R, R2 , +:
2
In de vectorruimte R, R2 , + brengen de koppels (3, 51 ), (5, 31 ) en (−2, − 15
) een eendimensionale deelruimte ao voort, vermits één vector verschillend is van de nulvector en de twee
andere vectoren veelvouden zijn van die vector.
1
2
1
1
ao = span{(3, ), (5, ), (−2, − )} = span{(3, )}
5
3
15
5
1
a0 = {(x, y) : (x, y) = r(3, ) met r ∈ R}.
5
Deze vectoriële vergelijking van ao noemen we een parametervoorstelling van ao .
Bepalen van een basis van een voortbrengende verzameling
Het zou gemakkelijk zijn een minimaal voortbrengende verzameling te kunnen bepalen met
een rekentechniek. De techniek moet ons toelaten alle afhankelijke vectoren weg te werken.
We willen een onafhankelijke vector behouden.
Hiertoe steunen we op het feit dat elke lineaire combinatie van de drie vectoren weer een
vector is van a0 .
Omdat de drie vectoren lineair afhankelijk zijn, bestaat er een lineaire combinatie van de
drie vectoren, met scalairen niet alle nul, die de nulvector oplevert. (zie 2.6).
1
2
1
∃(r, s, t) 6= (0, 0, 0) : r(3, ) + s(5, ) + t(−2, − ) = (0, 0)
5
3
15
We geven zo twee verschillende lineaire combinaties:
2
−5(3, 15 ) + 3(5, 31 ) + 0(−2, − 15
) = (0, 0)
1
1
2
= (0, 0)
2(3, 5 ) + 0(5, 3 ) + 3(−2, − 15 )
(2.6)
De eerste lineaire combinatie maakt het mogelijk de vector (5, 31 ) te vervangen door de
2
nulvector en de tweede lineaire combinatie maakt het mogelijk de vector (−2, − 15
) te vervangen door de nulvector. Let er op dat de vector die vervangen wordt een scalair heeft
verschillend van nul.
Aan het stelsel 2.6 voegen we een lineaire combinatie toe om uit te drukken dat we eerste
vector willen behouden.

2
)
= (3, 15 )
 1(3, 15 ) + 0(5, 31 ) + 0(−2, − 15
1
1
2
−5(3, 5 ) + 3(5, 3 ) + 0(−2, − 15 ) = (0, 0)

2
2(3, 51 ) + 0(5, 31 ) + 3(−2, − 15
)
= (0, 0)
(2.7)
120
HOOFDSTUK 2. MATRICES
Het stelsel 2.7 kunnen we op een handige manier schematisch voorstellen met behulp van
het product van twee matrices. De matrix B bevat de scalairen van de lineaire combinaties
van de drie gegeven vectoren en de tweede matrix A bevat de vectoren als rijvectoren. B
wordt links vermenigvuldigd met A.



 
2
)
1 · 3 + 0 · 5 + 0 · (−2) 1 · 15 + 0 · 13 + 0 · (− 15
1 0 0
3 1/5
1
 =  −5 · 3 + 3 · 5 + 0 · (−2) −5 · 1 + 3 · 1 + 0 · ( 2 ) 
B · A =  −5 3 0  ·  5
3
5
3
15
2
2
−2 − 15
2 · 3 + 0 · 5 + 3 · (−2) 2 · 51 + 0 · 13 + 3 · (− 15
)
2 0 3


3 51
=  0 0 
0 0

We houden dus enkel de eerste vector (3, 51 ) over, de laatste twee vectoren werden vervangen
door de nulvector.
De niet-nulvector (3, 15 ) vormt een basis voor de eendimensionale deelruimte aO van R2
voortgebracht door de drie gegeven vectoren.
Eigenlijk interesseert ons enkel de laatste matrix en niet welke lineaire combinaties we
moeten maken om deze matrix te bekomen. Het is eenvoudiger als we de laatste matrix
zouden kunnen bekomen zonder de matrix B te kennen. Dit kunnen we verwezenlijken
door het toepassen van rijoperaties op A die dezelfde zijn als de combinaties die gemaakt
worden om het product B · A uit te voeren. Bij een rijoperatie wordt een rij vervangen door
een lineaire combinatie van alle rijen maar de scalair van de vector die we vervangen moet
verschillend zijn van nul. En dat was ook bij het uitvoeren van B · A het geval.
 3v2 − 5v1 
1
1
3
3
5
5
3v3 + 2v1
1
1

 3·5−5·3
 5
3 · 3 − 5 · 15
∼
3
2
2
−2 − 15
3 · (−2) + 2 · 3 3 · (− 15
)+2·

3 15
∼ 0 0 
0 0


1
5

We kunnen als basisvector ook een veelvoud (6= 0) nemen van (3, 15 ) bvb. (15, 1). Bij een
matrix een rij vervangen door een veelvoud verschillend van nul van die rij is tevens een
rijoperatie. We kunnen schrijven





3 15
15 1
1 1/15
v1 /15
 0 0  5v
0 
∼1  0 0  ∼  0
0 0
0 0
0
0

De laatste matrix is de canonieke matrix van A.
2.7. DEELRUIMTEN
2.7.4.2
121
Vectorvlakken
Zijn ~u en ~v twee lineair onafhankelijke vectoren dan zijn ze niet evenwijdig met eenzelfde
rechte en er geldt
r~u + s~v = ~o =⇒ r = s = 0.
~u en ~v brengen een vlak door de oorsprong voort.
αO = span{~u, ~v } met ~u en ~v lineair onafhankelijk.
~ = x.~u + y~v met x, y ∈ R}
αO = {P ∈ EO : OP
m
~ = x~u + y~v .
P ∈ αO ⇐⇒ ∃(x, y) ∈ R2 : OP
~ evenwijdig met αO dan is P ∈ αO .
Beschouwen we een vector w
~ = OP
~ evenwijdig met αO .
Omgekeerd, is P ∈ αO dan is OP
De vectoren w,
~ ~u en ~v zijn lineair afhankelijke vectoren.
Drie en meer vectoren parallel met eenzelfde vlak zijn steeds lineair afhankelijk.
αO is een deelruimte van EO voortgebracht door een eindig aantal vectoren waarvan er
precies twee ~u en ~v lineair onafhankelijk zijn. Deze verzameling vectoren vormt een voortbrengende verzameling voor αO .
De verzameling {~u, ~v } is een minimaal voortbrengende verzameling van αO .
We noemen {~u, ~v } een basis van het vectorvlak αO . Het minimum aantal vectoren waardoor
een vectorvlak kan voortgebracht worden is 2. Daarom zeggen we dat de dimensie van
een vectorvlak gelijk is aan 2 en noemen we αO een vectorvlak van EO .
~ = x~u + y~v een vectoriële vergelijking is van het
We zeggen dat de vergelijking αO : OP
vectorvlak αO .
122
HOOFDSTUK 2. MATRICES
• Voorbeeld van een tweedimensionale deelruimte van R, R3 , +:
In de vectorruimte R, R3 , + brengen de drietallen (1, −1, 0), (2, 0, −3) en (4, −2, −3)
een tweedimensionale deelruimte voort omdat het drietal (4, −2, −3) een lineaire combinatie is van de lineair onafhankelijke drietallen (1, −1, 0) en (2, 0, −3)
((1, −1, 0) en (2, 0, −3) zijn geen veelvouden van elkaar).
αO = span{(1, −1, 0), (2, 0, −3), (4, −2, −3)}
= span{(1, −1, 0), (2, 0, −3)}
We willen twee onafhankelijke vector behouden.
Hiertoe steunen we op het feit dat elke lineaire combinatie van de drie vectoren weer
een vector is van α0 .
Omdat de drie vectoren lineair afhankelijk zijn, bestaat er een lineaire combinatie van
de drie vectoren, met scalairen niet alle nul, die de nulvector oplevert.
∃(r, s, t) 6= (0, 0, 0) : r(1, −1, 0) + s(2, 0, −3) + t(4, −2, −3) = (0, 0, 0)
2(1, −1, 0) + (2, 0, −3) − (4, −2, −3) = (0, 0, 0)
(2.8)
De lineaire combinatie maakt het mogelijk de vector (4, −2, −3) te vervangen door de
nulvector. Let er op dat de vector die vervangen wordt een scalair heeft verschillend
van nul (we zouden ook (1, −1, 0) of (2, 0, −3) kunnen vervangen).
We voegen twee lineaire combinaties toe aan de gelijkheid 2.8 om uit te drukken dat
we de eerste twee vectoren willen behouden. We bekomen het stelsel:

 1(1, −1, 0) + 0(2, 0, −3) + 0(4, −2, −3) = (1, −1, 0)
0(1, −1, 0) + 1(2, 0, −3) + 0(4, −2, −3) = (2, 0, −3)

2(1, −1, 0) + (2, 0, −3) − (4, −2, −3)
= (0, 0, 0)
In matrixgedaante verkrijgen we:

 
 

1 0 0
1 −1 0
1 −1 0
B · A =  0 1 0  ·  2 0 −3  =  2 0 −3 
2 1 −1
4 −2 −3
0 0
0
Zoals in het voorgaande voorbeeld kunnen we zonder de matrix B te kennen, door
middel van rijoperaties op de matrix A de laatste matrix bekomen.




1 −1 0
1 −1 0
+v
 2 0 −3  −v3 +2v
∼ 1 2  2 0 −3 
4 −2 −3
0 0
0
2.7. DEELRUIMTEN
123
De vectoren (1, −1, 0) en (2, 0, −3) vormen een basis van het vectorvlak αO voortgebracht door de drie drietallen.
Met de methode van Gauss-Jordan kunnen we een basis bekomen van het vectorvlak
αO zonder op voorhand iets te weten over de afhankelijkheid van de gegeven vectoren.
 v2 − 2v1 
 2v1 + v2 

1 −1 0
1
−1
0
2
0
−3
v − 4v
v −v
 2 0 −3  3 ∼ 1  0 2 −3  3 ∼ 2  0 2 −3 
4 −2 −3
0 2 −3
0 0 0

De vectoren (2, 0, −3) en (0, 2, −3) vormen een andere basis van αO , voortgebracht
door de drie gegeven vectoren.
• Voorbeeld van een tweedimensionale deelruimte van R, R4 , +:
In de vectorruimte R, R4 , + brengen de viertallen (1, 2, −1, 0), (−2, −4, 2, 0), (2, 4, −3, 1),
en (1, 2, −3, 2) een tweedimensionale deelruimte voort omdat (1, 2, −1, 0) en (−2, −4, 2, 0)
veelvouden zijn van elkaar en (1, 2, −3, 2) een lineaire combinatie is van de onafhankelijke viertallen (1, 2, −1, 0) en (2, 4, −3, 1), .
αO = span{(1, 2, −1, 0), (−2, −4, 2, 0), (2, 4, −3, 1), (1, 2, −3, 2)}
= span{(1, 2, −1, 0), (−2, −4, −3, 1)}
∃(x1 , x2 , x3 , x4 ) 6= (0, 0, 0, 0) :
x1 (1, 2, −1, 0) + x2 (−2, −4, 2, 0) + x3 (2, 4, −3, 1) + x4 (1, 2, −3, 2) = (0, 0, 0, 0)
We geven twee verschillende lineaire combinaties:
2(1, 2, −1, 0) + (−2, −4, 2, 0) + 0(2, 4, −3, 1) + 0(1, 2, −3, 2) = (0, 0, 0, 0)
3(1, 2, −1, 0) + 0(−2, −4, 2, 0) − 2(2, 4, −3, 1) + (1, 2, −3, 2) = (0, 0, 0, 0)
(2.9)
De eerste combinatie laat toe de vector (−2, −4, 2, 0) te vervangen door de nulvector.
De tweede combinatie laat toe de vector (1, 2, −3, 2) te vervangen door de nulvector.
Merk op dat de scalairen van de vectoren die vervangen worden verschillend zijn van
nul.
We voegen aan het stelsel 2.9 twee vergelijkingen toe om uit te
eerste en derde vector willen behouden. We bekomen het stelsel:

1(1, 2, −1, 0) + 0(−2, −4, 2, 0) + 0(2, 4, −3, 1) + 0(1, 2, −3, 2)



2(1, 2, −1, 0) + (−2, −4, 2, 0) + 0(2, 4, −3, 1) + 0(1, 2, −3, 2)
0(1, 2, −1, 0) + 0(−2, −4, 2, 0) + 1(2, 4, −3, 1) + 0(1, 2, −3, 2)



3(1, 2, −1, 0) + 0(−2, −4, 2, 0) − 2(2, 4, −3, 1) + (1, 2, −3, 2)
drukken dat we de
=
=
=
=
(1, 2, −1, 0)
(0, 0, 0, 0)
(2, 4, −3, 1)
(0, 0, 0, 0)
124
HOOFDSTUK 2. MATRICES
In matrixgedaante verkrijgen we:

1
 2

 0
3
0 0
1 0
0 1
0 −2
 
0
1
2 −1 0
 −2 −4 2 0
0 
·
0   2
4 −3 1
1
1
2 −3 2


1
  0
=
  2
0

2 −1 0
0 0 0 

4 −3 1 
0 0 0
Zoals in het voorgaande voorbeeld kunnen we zonder de matrix B te gebruiken, door
middel van rijoperaties op de matrix A de laatste matrix bekomen.

v2 + 2v1
1
2 −1 0
 −2 −4 2 0  v4 − 2v3 + 3v1


∼
 2
4 −3 1 
1
2 −3 2


1
 0

 2
0

2 −1 0
0 0 0 

4 −3 1 
0 0 0
De vectoren (1, 2, −1, 0) en (2, 4, −3, 1) vormen een basis van het vectorvlak voortgebracht door de vier viertallen.
Zoals in het vorig voorbeeld kunnen we met de methode van Gauss-Jordan een basis
bekomen van het vectorvlak zonder op voorhand te weten of de vectoren al dan niet
van elkaar afhankelijk zijn.
v2 + 2v1
v
3 − 2v1
1
2 −1 0
 −2 −4 2 0  v4 − v1


∼
 2
4 −3 1 
1
2 −3 2



1

v23  0
∼
0
0

v1 − v2
2 −1 0

v
0 −1 1  4 − 2v2
∼
0 0 0 
0 −2 2


2 −1 0
0 0 0 

0 −1 1 
0 −2 2
1
 0

 0
0

2 0 −1
0 −1 1 
.
0 0
0 
0 0
0

1
 0

 0
0
De vectoren (1, 2, 0, 1) en (0, 0, −1, 1) vormen een andere basis van hetzelfde vectorvlak
voortgebracht door de vier viertallen.
2.7.4.3
Besluit
• Bij het toepassen van rijoperaties op een matrix, worden vectoren vervangen door
andere vectoren die tot dezelfde deelruimte behoren als voortgebracht door de oorspronkelijke vectoren. De nieuwe vectoren brengen nog steeds dezelfde deelruimte
voort.
2.8. RANG VAN EEN MATRIX
125
• Bij het herleiden van een matrix naar zijn canonieke gedaante, worden de rijvectoren
die afhankelijk zijn van de andere automatisch vervangen door de nulvector. De
overblijvende niet-nulvectoren vormen een verzameling onafhankelijke vectoren die
een basis vormen van de deelruimte (minimaal voortbrengende verzameling).
• Elke basis van een deelruimte bezit eenzelfde aantal basisvectoren. De dimensie van
een vectorruimte is het aantal basisvectoren van die vectorruimte.
2.8
Rang van een matrix



A=

···
···
a1n
a2n
..
.
am1 am2 · · ·
amn
a11
a21
..
.
a12
a22
..
.


 
 
=
 
v~1
v~2
..
.





v~m
De rijenrang van een matrix is de dimensie van de vectorruimte voortgebracht door de
rijvectoren van de matrix.
RangA = dim span{v~1 , v~2 , . . . , v~i , . . . , v~m } = dim R, W, +
STELLING 2.14 Rijequivalente matrices hebben dezelfde rang.
Bewijs: Rijequivalente matrices hebben dezelfde rang vermits de rijvectoren dezelfde deelruimte voortbrengen. Een rijoperatie verandert immers niets aan de ruimte voortgebracht
door de rijvectoren.
Gevolg 1 Vormen de rijvectoren van een matrix een basis van een r-dimensionale ruimte
dan zet elke rijoperatie op die matrix deze basis om in een basis van die r-dimensionale
ruimte.
Bepalen van de rang van een matrix :
Om de rang van een matrix te bepalen gaan we de matrix herleiden naar zijn canonieke
gedaante vermits hun rangen gelijk zijn en de rang van een canonieke matrix gemakkelijk
te bepalen is. En we krijgen een eenvoudige basis van de deelruimte voortgebracht door de
rijvectoren van de matrix cadeau...
De rang van een matrix is gelijk aan het aantal niet-nul rijen van haar canonieke gedaante.
Dit is ook gelijk aan het aantal Jordan-elementen.
Opmerking: Noemen we r de rang van een matrix en zetten we in de canonieke matrix
enkel de kolommen met een Jordan-element in een nieuwe matrix dan verkrijgen we een
126
HOOFDSTUK 2. MATRICES
diagonaalmatrix van de orde r × r, waarvan de diagonaalelementen de Jordan-elementen
zijn.
Definieer nu zelf op analoge wijze kolomoperaties op een matrix, kolomequivalente
matrices en kolommenrang van een matrix..
STELLING 2.15 Een matrix en zijn getransponeerde hebben dezelfde rang. M.a.w. de
rijenrang van een matrix is gelijk aan de kolommenrang.
GEVOLG 2.1 De dimensie van de vectorruimte voortgebracht door de rijvectoren is gelijk
aan de dimensie van de ruimte voortgebracht door de kolomvectoren.
RM I groepswerk 14
1. (a) Tot welke vectorruimte behoren de rijvectoren van de
volgende matrices?
(b) Bepaal de meest eenvoudige basis van de deelruimte.
(c) Bepaal ook de dimensie van die deelruimten. Hoe noemen we die deelruimte in
geval de rijvectoren tot R3 of tot R2 behoren?

a. 

c. 

e. 

g. 


i. 




−1
3
0 0
0
5
0 
5 
b.  −1 0
2 −1
 6 2 −5

0
0
1 2 3
1 −1 
d.  0 0 0 
2
3

 2 4 6 
1 2 −1
0 6 0


3 2
1
−1 3 2 
f.
4 4 −1

 2 0 1

1
−1
1
−1
2 3 6
−5
5
−5  h.  2 −1 5 1 
0, 5 −0, 5 0, 5
0 13 7
 √3

3
1
−1
0 2 4
√
 −3 −√3

3
1 2 3 

√
√
j. 
3

−2 0 2
 2 2 √3 −2 √33
√
6
4 2 0
2
− 36
3





2. Bereken het getal a, zodanig dat de vectoren ~u, ~v en w
~ lineair onafhankelijk zijn.
a. ~u(1, a − 1, 1), ~v (1, a, a − 1) en w(2,
~ 7, a);
b. ~u(a, a − 1, −1), ~v (3, a, 3) en w(−1,
~
1, a).
2.8. RANG VAN EEN MATRIX
127
3. Bespreek de dimensie van de ruimte voortgebracht door de volgende vectoren.
a. ~u(a, 2, 1) en ~v (1, a + 1, a);
b. ~u(a, a, 0), ~v (2, 3, a) en w(a,
~ 3, 2).
c. ~u(1, a, a2 ), ~v (1, a, ab) en (b, a, a2 b).
Oplossingen:
1 a. 2; b. 2; c. 2; d. 1; e. 3; f. 3; g. 1; h. 3; i. 2; j. 1;
2 a. a 6= 2 ∧ a 6= 4; b. a 6= 0 ∧ a 6= 4 ∧ a 6= −1;
3 a. rang = 2 ⇐⇒ a 6= 1, rang = 1 ⇐⇒ a = 1; b. rang = 3 ⇐⇒ a 6= 1 ∧ a 6= 2 ∧ a 6= 0,
rang = 2 ⇐⇒ a = 1 ∨ a = 2 ∨ a = 0;
RM I HUISTAAK 6
1. Gegeven de matrix


1
2 −1
3 −1 2
 3
4
0 −1
3 0 


 −1
0 −2
7 −5 4 
−2 −2 −1
4 −4 2
Gevraagd:
(a) bepaal een zo eenvoudig mogelijke basis van de deelruimte voortgebracht door de
kolomvectoren van de gegeven matrix, die vectoren zijn van de vierdimensionale
vectorruimte R, R4 , +;
(b) geef de dimensie van die deelruimte.
2. Bespreek de dimensie van de ruimte voortgebracht door de gegeven vectoren. Geef
telkens aan welke van de gegeven vectoren als basis kunnen genomen worden voor de
voorgebrachte deelruimte. ~u(a, 1, b), ~v (1, 1, ab) en w(1,
~ a, b).
128
2.9
HOOFDSTUK 2. MATRICES
*Verband tussen linksvermenigvuldigen van een
matrix en het rijherleiden van een matrix
Zij A een (m × n)-matrix, C de canonieke matrix van A en B een (m × m)-matrix die we
links met A moeten vermenigvuldigen om C te bekomen.
B·A=C
Tevens geldt
B · Im = B
Hieruit volgt dat de matrix B bekomen wordt uit de eenheidsmatrix door dezelfde rijoperaties toe te passen als om C te bekomen uit A.
We illustreren met een voorbeeld hoe we praktisch zo een matrix B kunnen bepalen.


1 0 1 3
Voorbeeld: Gegeven de matrix A =  2 1 2 3  . We vullen de matrix A aan met de
3 0 1 1
eenheidsmatrix I3 en herleiden deze uitgebreide matrix naar de canonieke gedaante.

 

1 0 1 3 1 0 0
1 0 0 −1 −1/2 0
1/2
 2 1 2 3 0 1 0  ∼  0 1 0 −3
−2 1
0 .
3 0 1 1 0 0 1
0 0 1
4
3/2 0 −1/2


−1/2 0
1/2
0 .
De matrix B is de (3 × 3)-matrix  −2 1
3/2 0 −1/2
Controleer nu zelf het product

 
 

−1/2 0
1/2
1 0 1 3
1 0 0 −1
0  ·  2 1 2 3  =  0 1 0 −3 
B · A =  −2 1
3/2 0 −1/2
3 0 1 1
0 0 1
4
Deze laatste matrix is de canonieke matrix van A.
OPGAVEN — 15 Bepaal de rang van de volgende matrices. Bepaal de vierkante matrix die we links
moeten vermenigvuldigen met de gegeven matrix om de canonieke gedaante van de matrix te bekomen door
rijherleiding.
2.9. *VERBAND TUSSEN LINKSVERMENIGVULDIGEN VAN EEN MATRIX EN HET RIJHERLEIDE

1
 0
(i) 
 0
7

2
(iv)  1
7


5
3 

4 
13
3
2
6
6
1
1
5
1
2
8
1
2
 3
4

(vii) 
−1 0
−2 −2


1 1
(x)  1 2 
1 3
2.9.1

0
1
3
2
 3
(ii) 
 −5
19

1 2
(v)  1 3
7 6

1
2 
8
−1
0
−2
−1
3
−1
7
4

−1 2
3 0 

−5 4 
−4 2
2
3
−5
19
3
5
5

2
3 

−5 
19

4 5
7 9 
4 3

1
3 −2
(viii)  2 −1 0
−3 5 −2


1 1 0 0
 0 0 1 1 

(xi) 
 1 0 1 0 
0 1 0 1

0
4 
−8


1
2 4 5 6
 1
2 2 3 2 

(iii) 
 0
0 1 0 0 
−1 −2 0 0 0


−1 0
2 5 1
 0 −1 3 1 2 

(vi) 
 0
1
0 0 3 
1
1 −1 0 4
(ix)

0
1
1
 0
(xii) 
 1
1
1
0
2
−3
2
2
0
−1

3
3 

0 
1
Bepalen van de inverse matrix
We kunnen de inverse matrix van een gegeven matrix bepalen door het uitvoeren van
elementaire rijoperaties. Als we kijken naar de formule
A−1 · A = In
kunnen we A−1 opvatten als een matrix B die links inwerkt op A om de eenheidsmatrix
te bekomen. De eenheidsmatrix is dus de canonieke matrix van A. Dit betekent dat de
rijvectoren van A lineair onafhankelijk zijn. Zo een vierkante matrix noemen we een nietsinguliere matrix of reguliere matrix. Er geldt eveneens
A−1 · In = A−1
Dit laatste betekent dat de inverse matrix A−1 bekomen wordt door op de eenheidsmatrix
In dezelfde rijoperaties uit te voeren als op A om A in de gereduceerde gedaante te brengen.
Merken we op dat de eerste rij van A−1 inwerkend op de matrix A de eerste rij oplevert van
In , nl. (1, 0, 0). Zo geven de tweede en derde rij van A−1 inwerkend op A resp. de tweede
en derde rij van In , nl. (0, 1, 0) en (0, 0, 1).
Belangrijke opmerking: De inverse matrix van een vierkante matrix van de orde n
bestaat als en slechts als de matrix een niet-singuliere matrix is of als de rang van de
matrix gelijk is aan n.
130
2.9.2
HOOFDSTUK 2. MATRICES
Bepalen van nuldelers met rijoperaties
Met rijoperaties kunnen we ook gemakkelijk alle nuldelers van een gegeven matrix bepalen.
Is een matrix A een m × n- matrix met rang r dan zal de gereduceerde gedaante van A een
matrix zijn met m − r nulrijen. We noemen Im−r,n de gereduceerde gedaante van A. We
bekomen echter ook deze gereduceerde gedaante door A links te vermenigvuldigen met een
bepaalde matrix B van de orde m × m.
B · A = Im−r,n .
Omdat
B · Im = B
verkrijgen we de matrix B door dezelfde rijoperaties op Im als op A uit te voeren.
De m − r laatste rijen van B inwerkend op de matrix A leveren de nulrijen op van de matrix
Im−r,n . De gevraagde linkernuldelers zijn matrices van de orde m × m waarvan de rijen lineaire
combinaties zijn van de m − r laatste rijen van B.
Willen we nu ook rechternuldelers bepalen dan gaan we op analoge wijze tewerk maar werken
met kolomoperaties op de matrix A. Het uitvoeren van een kolomoperatie op een matrix
correspondeert met het vermenigvuldigen aan de rechterkant met een matrix C van de orde
n × n.
A · C = Im,n−r .
Omdat
In · C = C
verkrijgen we de matrix C door dezelfde kolomoperaties op In als op A uit te voeren.
De n − r laatste kolommen van C inwerkend op de matrix A leveren de nulkolommen op van
de matrix Im,n−r . De gevraagde rechternuldelers zijn matrices van de orde n × n waarvan de
kolommen lineaire combinaties zijn van de n − r laatste kolommen van C.
In de praktijk gaan we de kolomoperaties op A herleiden tot rijoperaties op At .
Voorbeelden:


1 −1 0 −1
5 7
4 .
a. Bepaal de linker- en rechternuldelers van de matrix A =  0
2
3 7
2
Oplossing: Voor een linkernuldeler voegen we de matrix I3 toe aan de matrix A om
zodoende dezelfde rijoperaties op I3 als op A toe te passen.

 

1 −1 0 −1 1 0 0
1 0 7/5 −1/5 0 −3/10
1/2
 0
5 7
4 0 1 0  ∼  0 1 7/5
4/5 0
1/5
0 
2
3 7
2 0 0 1
0 0
0
0 1
1/2 −1/2
2.9. *VERBAND TUSSEN LINKSVERMENIGVULDIGEN VAN EEN MATRIX EN HET RIJHERLEIDE
De laatste rij van matrix


0 −3/10
1/2
1/5
0 
B= 0
1
1/2 −1/2
links inwerkend op A geeft de nulrij van de gereduceerde gedaante I1,3 van A. Een
linkernuldeler van A is een (3 × 3)-matrix waarvan de rijvectoren veelvouden zijn van de
rijvector ~u = (1, 1/2, −1/2), dit zijn vectoren van span{~u}. Eén van de nuldelers van A
is bijvoorbeeld de matrix


1 1/2 −1/2
 2
1
−1  .
−4 −2
2
Voor een rechternuldeler van A voegen we de matrix I4 toe aan de matrix A om zodoende
dezelfde kolomoperaties op I4 als op A toe te passen.


1 −1 0 −1
 0
5 7
4 


 2

3
7
2


 1
0 0
0 


 0

1
0
0


 0
0 1
0 
0
0 0
1
We voeren op de getransponeerde van deze matrix rijoperaties toe.


 
1 0 2 1 0 0 0
1 0 2 0 0
4/7 −1
 −1 5 3 0 1 0 0   0 1 1 0 0
1/7
0 

 

 0 7 7 0 0 1 0  ∼  0 0 0 1 0 −4/7
1 
−1 4 2 0 0 0 1
0 0 0 0 1 −1/7 −1
De oorspronkelijke matrix is kolomequivalent met


1
0
0
0
 0
1
0
0 


 2

1
0
0


 0
0
1
0 


 0

0
0
1


 4/7 1/7 −4/7 −1/7 
−1
0
1
−1


0
0
1
0
 0
0
0
1 

De laatste twee kolommen van matrix C = 
 4/7 1/7 −4/7 −1/7  rechts inwer−1
0
1
−1
kend op A geven de twee nulkolommen van de gereduceerde gedaante I4,2 van A. Een
132
HOOFDSTUK 2. MATRICES
rechternuldeler van A is een (4 × 4)-matrix
waarvan
de kolomvectoren
lineaire combina


1
0



0
1 



ties zijn van de kolomvectoren ~u = 
 −4/7  en ~v =  −1/7 , dit zijn vectoren van
1
−1
span{~u, ~v }.
Eén van de rechternuldelers van A is bijvoorbeeld de matrix


1
0
1
7

0
1
3
7 


 −4/7 −1/7 −1 −5  .
1
−1 −2
0
 √

2 √1/2 √3
b. Bepaal de linker- en rechternuldelers van de matrix A =  √2
2/2 3 2 .
2 2
1
6
Oplossing: Voor de linkernuldelers:
√
√
√
 
 √

2 √1/2 √3 1 0 0
1
2/4 3 2/4 0 0
2/4

0
0 1 0
−1/2 
2/2 3 2 0 1 0  ∼  0
√
√2
0
0
0 0 1 − 2/2
1
6 0 0 1
2 2
√


0 0
2/4
−1/2  links inwerkend op A leveren
De laatste twee rijen van matrix B =  1 0
√
0 1 − 2/2
de twee nulrijen op van de gereduceerde gedaante I2,3 van A. Een linkernuldeler van A
is een (3 × 3)-matrix waarvan de √
rijvectoren lineaire combinaties zijn van de rijvectoren
~u = (1, 0, −1/2) en ~v = (0, 1, − 2/2), dit zijn vectoren van span{~u, ~v }. Eén van de
linkernuldelers van A is bijvoorbeeld de matrix


2
0
−1
√

 0
√2 − 2 .
2 2 2
−3
Voor een rechternuldeler van A voegen we de matrix I3 toe aan de matrix A om zodoende
dezelfde kolomoperaties op I3 als op A toe te passen.
 √

2 √1/2 √3

2/2 3 2 
 √2

 2 2

1
6




1
0
0



0
1
0 
0
0
1
2.9. *VERBAND TUSSEN LINKSVERMENIGVULDIGEN VAN EEN MATRIX EN HET RIJHERLEIDE
We voeren op de getransponeerde van deze matrix rijoperaties toe.
 √
√
√
 

2 √ 2 2 2 1 0 0
1
2 2 0 0
√1/3
 1/2
2/2
1 0 1 0 ∼ 0
0 0 1 0 − 2/3 
√
0
0 0 0 1
−1/6
6 0 0 1
3 3 2
De oorspronkelijke matrix is kolomequivalent met








0
0
√1
2
0
0
2
0
0
0
1
0
0
1
√ 0
1/3 − 2/3 −1/6










0
1
0
1  rechts inwerkend
De laatste twee kolommen van matrix C =  0
√ 0
1/3 − 2/3 −1/6
op A geven de twee nulkolommen van de gereduceerde gedaante I3,2 van A. Een rechternuldeler van A is een (3 × 3)-matrix
waarvan
de kolomvectoren



 lineaire combinaties
1
0
1 , dit zijn vectoren van
zijn van de kolomvectoren ~u =  √ 0  en ~v = 
−1/6
− 2/3
span{~u, ~v }.
Eén van de rechternuldelers van A is bijvoorbeeld de matrix

3
0
√3

6 −6 2  .
√0
− 2 −1
0

OPGAVEN — 16 Bepaal de rang van de matrices uit opgave 15. Leid hieruit af of de matrices nuldelers
hebben. Bepaal een linker- en rechternuldeler indien mogelijk:
Oplossingen:
15
134
HOOFDSTUK 2. MATRICES

(i)r = 3
(ii) r = 1

35 −42
4
−5
 1
−6/5 4/35 −1/7 

L-N = 
 5
−6
4/7 −5/7 
7 −42/5 4/5
−1


19 0
0 −2
 0 19 0 −3 

L-N = 
 0
0 19 5 
19 19 19 0
geen rechternuldelers;

R-N
(iii) r = 4
geen linkernuldelers
R-N
(iv) r = 3
geen linkernuldelers
R-N

(v) r = 2
(vi) r = 4
1
 0

L-N = 
1
−2

−2
−4
−6
(ix) r = 2
geen linkernuldelers

(xi) r = 3
(xii) r = 3

1
2 

−1 
0

−1
−2 
−3
(viii) r = 2
R-N
R-N
−1
−1
0
1
0
1
−1
1
1
L-N =  0
3
(x) r = 2

−1
−1/5 
−1/8
geen linkernuldelers

(vii) r = 2
−8
−8/15
−1
15
L-N =  1
15/8
1
−2
−4
L-N =  2
−1/2 1

1
1
 1/2 1/2
L-N = 
 2
2
−5 −5

1
−1
 −2
2
L-N = 
 1 −1/2
√
√
3 − 3
R-N
R-N
R-N

1
2 
−1/2
−1
−1/2
−2
5
−1
2
−1/2
√
− 3

−1
−1/2 

−2 
5

0
0 

0 
0

1
0
1
1 −1 ;
= 0
−1 −1 0


1
2 −4
3
−8
 −1/2 −1 2 −3/2 4 


0
0
0
0 
=
;
 0
 0
0
0
0
0 
0
0
0
0
 0
1
0
1
1 −1
 −2 0 −2 −2 2 


1
1 −1 1 
=
;
 0
 1
0
1
1 −1 
 0 −1 −1 1 −1 
1
0
0
1
1
 0
1
0
−1
1 

=
 −4 −3 −2 1 −5 ;
3
2
1
0
4

37 −74 37/23 37/14 37/42
 42 −84 42/23
3
1

23
−46
1
23/14
23/42
=

 1
−2
1/23
1/14
1/42
−14
28
−14/23
−1
−1/3


0 0 0
1
1
1
 0 0 3
0
3 −3 


 0 2 0
0
2
2 
;

=
0
3
3 

 3 0 0
 1 0 −4 −1 −4 4 
 −4 1 −5 −1 −9 1
1
0
1
4
 0
1
1
4 

;
=
1/2 3/2
2
8 
−1/2 1/4 −1/4 −1


1
3 −3/2
1 ;
=  −2/3 −2
1/3
1 −1/2
geen rechternuldelers;

1
 −1
R-N = 
 −1
1
−2
2
2
−2
1/2
−1/2
−1/2
1/2
geen rechternuldelers.

−1
1 
;
1 
−1



;


Hoofdstuk 3
Oplosbaarheid van lineaire stelsels
Je hebt vroeger gezien dat elke rechte in het vlak kan voorgesteld worden door een vergelijking van de
eerste graad in twee onbekenden x en y. Om de doorsnede te bepalen van twee of meerdere rechten moeten
we stelsels oplossen van vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden.
In de ruimte wordt een vlak voorgesteld door een vergelijking van de eerste graad in drie onbekenden en
een rechte door een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad in drie onbekenden (als doorsnede
van twee niet-parallelle vlakken). Om de doorsnede te zoeken van rechten en vlakken in de ruimte zullen
we stelsels moeten oplossen van vergelijkingen van de eerste graad in drie onbekenden x, y en z.
We zullen in dit hoofdstuk dus dieper ingaan op de oplosbaarheid van lineaire stelsels.
3.1
Definitie van een lineair stelsel
We kunnen reeds een eenvoudige basis bepalen van een deelruimte voortgebracht door een
aantal vectoren en nagaan hoeveel van die vectoren lineair onafhankelijk zijn. Daarvoor
zetten we de coördinaten van de vectoren in een matrix en bepalen we de canonieke matrix.
Stel dat we willen nagaan of een bepaalde vector lineair afhankelijk is van een stel andere
vectoren dan leidt het zoeken naar een lineaire combinatie tot een lineair stelsel.
We illustreren dat nog eens met een voorbeeld. We vragen ons af of de vector (3, −1, −1)
kan geschreven worden als een lineaire combinatie van de vectoren (2, −1, 0), (5, −3, −1)
en (1, 1, −1) en zoja welke zijn dan de scalairen van de lineaire combinatie. Bestaat er een
stel scalairen (x, y, z) zodanig dat
(3, −1, −1) = x.(2, −1, 0) + y.(5, −3, −1) + z.(1, 1, −1).
In matrixgedaante wordt deze betrekking








3
2
5
1
 −1  = x.  −1  + y.  −3  + z.  1 
−1
0
−1
−1
135
136
of
HOOFDSTUK 3. OPLOSBAARHEID VAN LINEAIRE STELSELS





 

2
5
1
3
x.  −1  + y.  −3  + z.  1  =  −1 
0
−1
−1
−1
Dit geeft aanleiding tot het volgend lineair stelsel:

 2x + 5y + z = 3
−x − 3y + z = −1

−y − z = −1
Het oplossen van een lineair stelsel is dus equivalent met het zoeken naar een lineaire
combinatie.
Een lineair (m, n)-stelsel is een stelsel van m lineaire vergelijkingen en n onbekenden.
De algemene gedaante van een lineair (m, n)-stelsel is:


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1


 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
..
..
..
..

.
.
.
.


 a x + a x + ··· + a x = b
m1 1
De matrixgedaante van het stelsel

a11 a12
 a21 a22

 ..
..
 .
.
am1 am2
m2 2
mn n
m
is
. . . a1n
. . . a2n
..
.
 
 
 
·
 
. . . amn
x1
x2
..
.
xn


 
 
=
 
b1
b2
..
.



.

bn
De verkorte matrixgedaante is
A · X = B.
Een oplossing van een lineair (m, n)-stelsel is een n-tal (r1 , r2 , . . . , rn ) ∈ Rn dat oplossing is van elke vergelijking van het stelsel. De voorwaarden opdat (r1 , r2 , . . . , rn ) een
oplossing zou zijn van het stelsel, zijn:


a11 r1 + a12 r2 + · · · + a1n rn = b1


 a21 r1 + a22 r2 + · · · + a2n rn = b2
..
..
..
..

.
.
.
.


 a r + a r + ··· + a r = b
m1 1
m2 2
mn n
m
Heeft een stelsel minstens één oplossing, dan is het stelsel oplosbaar;
3.2. OPLOSSEN VAN LINEAIRE STELSELS
137
Is een stelsel oplosbaar dan is de kolomvector van de tweede leden op minstens één manier
te schrijven als lineaire combinatie van de kolomvectoren gevormd door de coëfficiënten van
de onbekenden in de eerste leden.



r1 . 

a11
a21
..
.
am1






 + r2 . 


a12
a22
..
.






 + · · · + rn . 


am2
a1n
a2n
..
.


 
 
=
 
amn
b1
b2
..
.





bm
Heeft een stelsel geen enkele oplossing, dan is het strijdig.
De coëfficiëntenmatrix A van het lineair (m, n)-stelsel is de matrix:



A=

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
. . . a1n
. . . a2n
..
.





am1 am2 . . . amn
De matrix A bevat de coëfficiënten van de onbekenden van het stelsel
De verhoogde matrix van het stelsel is

a11 a12
 a21 a22

AB =  ..
..
 .
.
. . . a1n
. . . a2n
..
.
b1
b2
..
.





am1 am2 . . . amn bm
3.2
Oplossen van lineaire stelsels
Om een stelsel op te lossen maken we gebruik van technieken om over te gaan van een
stelsel naar een ander stelsel maar zodanig dat de oplossingen daardoor niet veranderen en
dat er geen oplossingen verloren gaan en ook geen oplossingen ingevoerd worden.
Twee stelsels zijn gelijkwaardige stelsels als en slechts als ze dezelfde oplossingen hebben.
Een lineair stelsel gaat over in een gelijkwaardig stelsel als we:
1. twee vergelijkingen met elkaar verwisselen.
138
HOOFDSTUK 3. OPLOSBAARHEID VAN LINEAIRE STELSELS
2. een vergelijking vervangen door een lineaire combinatie van die vergelijking met één
van de andere vergelijkingen, de scalair bij de vergelijking die we vervangen mag niet
gelijk aan nul zijn (combinatiemethode). We stellen de vergelijkingen kort voor door
Vi = 0 met i ∈ {1, 2, . . . , m}.























b1
..
.
= 0
..
.
Vi
..
.
= 0
..
.
Vj
..
.
= 0
..
.
Vm = 0

b1



..



.




rV
+
 i sVj
r6=0
..
⇐⇒
.



Vj



..


.



Vm
= 0
..
.
= 0
..
.
= 0
..
.
= 0
De verhoogde matrix van het tweede stelsel bekomen we uit de verhoogde matrix van
het eerste stelsel door het toepassen van een rijoperatie.
Om een stelsel op te lossen gaan we de verhoogde matrix in canonieke gedaante brengen met
de methode van Gauss-Jordan. De canonieke matrix van de verhoogde matrix correspondeert met een gelijkwaardig stelsel van het oorspronkelijk stelsel. Het stelsel behorende
bij de canonieke matrix van de verhoogde matrix levert de eventuele oplossingen op van
het oorspronkelijk stelsel. Bij het diagonaliseren blijft de rang van het stelsel behouden.
3.3
Oplosbaarheid van een lineair stelsel
De rang van een lineair (m, n)-stelsel is de rang van de coëfficiëntenmatrix A van het
stelsel.
rang van het stelsel=r=rangA
en er geldt steeds
r ≤n∧r ≤m
Aangezien de coëfficiëntenmatrix een deelmatrix is van de verhoogde matrix is de rang van
de verhoogde matrix steeds groter dan of gelijk aan de rang van het stelsel.
r ≤ rangAB
Opmerking: De rijvectoren van A brengen een r-dimensionale deelruimte van een ndimensionale vectorruimte voort, terwijl de kolomvectoren een r-dimensionale deelruimte
van een m-dimensionale vectorruimte voortbrengen.
3.4. STEEDS OPLOSBARE STELSELS
139
STELLING 3.1 Een lineair stelsel is oplosbaar als en slechts als de rang van de verhoogde
matrix gelijk is aan de rang van het stelsel.
r = rangAB .
Bewijs: Een lineair (m, n)-stelsel is oplosbaar als en slechts als de kolomvector van de constanten van het stelsel lineair afhankelijk is van de kolomvectoren van de coëfficiëntenmatrix.
Dit betekent dat de kolomvector van de constanten van het stelsel behoort tot de ruimte voortgebracht door de kolomvectoren van de coëfficiëntenmatrix. Dit heeft als gevolg
dat de dimensie van de ruimte voortgebracht door de klomvectoren van de verhoogde matrix gelijk is aan de dimensie van de ruimte voortgebracht door de kolomvectoren van de
coëfficiëntenmatrix. Een lineair stelsel is dus oplosbaar als en slechts als de rang van de
verhoogde matrix gelijk is aan de rang van de coëfficiëntenmatrix.
3.4
Steeds oplosbare stelsels
De voorwaarde van de stelling 3.1 is vervuld voor twee soorten speciale lineaire stelsels, nl.
de stelsels waarvoor de rang gelijk is aan het aantal vergelijkingen en de homogene stelsels.
3.4.1
Stelsels waarvan de rang gelijk is aan het aantal vergelijkingen
STELLING 3.2 Een lineair stelsel waarvan de rang gelijk is aan het aantal vergelijkingen
is steeds oplosbaar.
Bewijs: Als de rang van het stelsel gelijk is aan het aantal vergelijkingen dan kan de rang
van de verhoogde matrix niet kleiner zijn dan m maar kan ook niet groter zijn dan m vermits
er maar m rijen zijn. Bij een stelsel waarvan de rang gelijk is aan het aantal vergelijkingen
is de rang van de verhoogde matrix dus steeds gelijk aan de rang van de coëfficiëntenmatrix.
Een stelsel waarvan de rang gelijk is aan het aantal vergelijkingen is dus steeds oplosbaar.
3.4.1.1
Stelsels van Cramer
Een lineair (n, n)-stelsel (vierkantig stelsel) met rang gelijk aan n wordt een stelsel van
Cramer genoemd (r = m = n). Een stelsel van Cramer is een stelsel waarvan de rang
gelijk is aan het aantal vergelijkingen. Een stelsel van Cramer is dus steeds oplosbaar.
De oplossing van een stelsel van Cramer
140
HOOFDSTUK 3. OPLOSBAARHEID VAN LINEAIRE STELSELS
STELLING 3.3 Een stelsel van Cramer heeft juist één oplossing.
Bewijs: Een stelsel van Cramer ziet er algemeen als volgt uit


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn


 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn
..
..
..

.
.
.


 a x + a x + ··· + a x
n1 1
n2 2
nn n
= b1
= b2
.
= ..
= bn
We weten dat een matrix en zijn canonieke matrix dezelfde rang hebben. De rang van de
canonieke matrix van de coëfficiëntenmatrix is gelijk aan de rang van de coëfficiëntenmatrix
en dus gelijk aan n. De canonieke matrix van de coëfficiëntenmatrix is de eenheidsmatrix
van de orde n.
De diagonaalvorm van de verhoogde matrix


a11 a12 . . . a1n b1
 a21 a22 . . . a2n b2 


 ..
..
..
.. 
 .
.
.
. 
an1 an2 . . . ann bn
ziet eruit als volgt:

1
 ..
 .
0

0 k1

..
. k2 
0 . . . 1 kn
0 ...
..
.
Het oorspronkelijk stelsel is gelijkwaardig met het stelsel


 x1 = k1
..
..
.
.

 x
=
k
n
n
Dit stelsel toont aan dat een stelsel van Cramer juist één oplossing heeft.
Oplossen van een stelsel van Cramer met de inverse matrix
De coëfficiëntenmatrix van een stelsel van Cramer is een niet-singuliere matrix van de orde
n en bezit bijgevolg een inverse matrix.
We schrijven een algemeen stelsel van Cramer in verkorte matrixgedaante:
A.X = B met rangA = n
3.4. STEEDS OPLOSBARE STELSELS



A=

en



X=

a11 a12 · · ·
a21 a22 · · ·
..
..
.
.
an1 an2 · · ·
x1
x2
..
.

141

a1n
a2n
..
.




ann

b1
b2
..
.




 en B = 


xn





bn
De vergelijking A.X = B is de matriciële vergelijking van het stelsel.
De vergelijking ax = b in R kunnen we oplossen naar x op voorwaarde dat a 6= 0. De
oplossing voor x bekomen we dan door beide leden te vermenigvuldigen met het omgekeerde
van a voor de vermenigvuldiging. In R komt dat erop neer beide leden te delen door a.
1
b
1
ax = b ⇐⇒ x =
a
a
a
De coëfficiënt van x wordt 1 omdat a1 .a = 1 en in het tweede lid mogen we a onder b plaatsen
omdat links of rechts vermenigvuldigen met a1 eender is (het product van reële getallen is
commutatief). Het product van matrices is echter niet commutatief.
We kunnen nu op analoge wijze een matriciële vergelijking oplossen.
Voor de coëfficiëntenmatrix A bestaat de inverse matrix A−1 waarvoor geldt
A.A−1 = In = A−1 .A
We kunnen nu de matriciële vergelijking als volgt oplossen:
A.X = B ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
A−1 .(A.X) = A−1 .B
(A−1 bestaat)
(A−1 .A).X = A−1 .B
( prod. is ass.)
In .X = A−1 .B
( def A−1 )
X = A−1 .B
(In is neutr. el. vr. prod)
Voorbeeld: Los op twee verschillende

x +



2x +
x +



−x +
Oplossing:
manieren het volgend stelsel van Cramer op:
y
5y
7y
4y
+ z + 2t
− 2z − 5t
− 7z + 4t
+ 3z − 9t
=
4
=
3
= −6
= −8
142
HOOFDSTUK 3. OPLOSBAARHEID VAN LINEAIRE STELSELS
1. Met de methode van

1
 2

 1
−1
Gauss-Jordan:
 
1 1
2
4
1 0
 0 1
5 −2 −5 3 
∼
7 −7 4 −6   0 0
4 3 −9 −8
0 0
0
0
1
0

0 151/32
0 −9/8 

0 13/32 
1
0
De oplossing van het stelsel is het 4-tal (151/32, −9/6, 13/32, 0).
2. Met de

1
 2

 1
−1
inverse matrix van de coëfficiëntenmatrix
 
1 1
2 1 0 0 0
1 0 0


5 −2 −5 0 1 0 0   0 1 0
∼
7 −7 4 0 0 1 0   0 0 1
4 3 −9 0 0 0 1
0 0 0
van het stelsel:

0 37/160 57/160 −13/80 −7/32
0 7/40
−3/40
1/10
1/8 

0 47/160 −13/160 −3/80 3/32 
1 3/20
−1/10
1/20
0
De oplossing verkrijgen we door het product A−1 · B te bepalen.

 
 

37/160 57/160 −13/80 −7/32
4
151/32
 7/40

 

−3/40
1/10
1/8 

 ·  3  =  −9/8 
 47/160 −13/160 −3/80 3/32   −6   13/32 
3/20
−1/10
1/20
0
−8
0
OPGAVEN — 17 De volgende stelsels werden reeds opgelost in het voorgaande hoofdstuk met de methode van Gauss. Ga nu na of deze stelsels, stelsels
zijn van Cramer en lost ze op met de inverse matrix.
2x − y = 5
x−y =2
a.
b.
x+y =1
x + y = −2
c.


x −
2x −

3x −
3.4.1.2
3y
y
4y
+ z
− z
+ z
= −2
=
3
=
2
d.

 x
2x

x
+
y
+ 5y
+ 7y
+
−
−
z
2z
7z
=
4
=
3
= −6
Stelsels waarvan de rang gelijk is aan het aantal vergelijkingen en strikt
kleiner dan het aantal onbekenden
Een stelsel waarvoor r = m < n kan herleid worden naar een stelsel van Cramer.
Vermits de rang van de coëfficiëntenmatrix gelijk is aan m moet er een deelmatrix bestaan
waarvoor de rang tevens gelijk is aan m. Zo een deelmatrix noemen we een hoofdmatrix, de bijbehorende onbekenden noemen we hoofdonbekenden en de overige (n − m)
onbekenden noemen we vrije onbekenden van het stelsel.
We brengen in de vergelijkingen de termen met de (n − r) vrije onbekenden over naar het
tweede lid en we onderstellen ze een ogenblik als constant. Het stelsel is nu herleid tot een
3.4. STEEDS OPLOSBARE STELSELS
143
vierkant (m, m)-stelsel waarvan de rang van de coëfficiëntenmatrix gelijk is aan m. Het stelsel is een stelsel van Cramer en heeft juist één oplossing voor die constante waarden van de
vrije onbekenden. Laten we nu in het tweede lid de vrije onbekenden alle waarden aannemen
onafhankelijk van elkaar, dan vinden we alle oplossingen van het stelsel. We zeggen dat het
stelsel ∞n−m oplossingen heeft of dat het stelsel een (n−m)-voudig onbepaald stelsel is.
OPGAVEN — 18 Onderzoek
stelsel
 op.
 x + 2y − 3z −
x + 3y + z −
a.

2x + 5y − 2z −
of de rang van het stelsel

4u =
6
 x
2u =
4
x
b.

5u = 10
3x
gelijk is aan het aantal vergelijkingen. Los het
+
y
+ 3y
+ 2y
−
+
−
−
u + 3t = 1
− 2u + 6t = 2
− 3u − 9t = 3
2z
z
4z
Oplossing:
3.4.1.2 a. r.(11, −4, 1, 0) + (10, −2, 0, 0); b. r(7, 2, 1, 7, 0) + s(105, −60, 33, 0, 7) + (1, 2/7, 1/7, 0, 0).
3.4.2
Homogene lineaire stelsels
Een lineair (m, n)-stelsel is een homogeen lineair (m, n)-stelsel als en slechts als de
constanten b1 , b2 , . . . , bm van het stelsel gelijk zijn aan nul of m.a.w. als alle vergelijkingen
van het stelsel homogene vergelijkingen zijn van de eerste graad in n onbekenden.
De algemene gedaante van een


a11 x1


 a21 x1
..

.


 a x
m1 1
homogeen lineair (m, n)-stelsel is:
+ a12 x2
+ a22 x2
..
.
+ ···
+ ···
+ am2 x2 + · · ·
+ a1n xn
+ a2n xn
..
.
= 0
= 0
..
.
+ amn xn = 0
Het n-tal (0, 0, ..., 0) is steeds oplossing van een homogeen lineair (m, n)-stelsel. De nulvector
(kolomvector van de tweede leden) is immers steeds te schrijven als een lineaire combinatie
van elk stel vectoren. Dus:
Een homogeen lineair stelsel is steeds oplosbaar, waaronder steeds de nuloplossing .
Bijzondere homogene stelsels
• Een homogeen lineair (n, n)-stelsel met rang gelijk aan n is in bijzonder een stelsel
van Cramer en heeft juist één oplossing, nl. de nuloplossing (0, · · · , 0).
Een homogeen lineair stelsel van Cramer heeft als oplossing de nuloplossing
144
HOOFDSTUK 3. OPLOSBAARHEID VAN LINEAIRE STELSELS
• Een homogeen lineair (m, m + 1)-stelsel waarvan de rang gelijk is aan het aantal vergelijkingen m heeft ∞1 oplossingen waaronder de nuloplossing. De oplossingen zijn
veelvouden van een bijzondere oplossing verschillend van de nuloplossing.
Beschouwen we een homogeen lineair (2, 3)-stelsel met rang gelijk aan 2.
u1 x + v1 y + w1 z = 0
u2 x + v2 y + w2 z = 0
(met rangA = 2).
(3.1)
u1 v1
We onderstellen dat
een hoofdmatrix is. De onbekenden x en y zijn dan
u2 v2
hoofdonbekenden van het stelsel en z is dan vrije onbekende. We brengen de termen
in z naar het tweede lid.
u1 x + v1 y + = −w1 z
u2 x + v2 y + = −w2 z
We lossen het stelsel op met behulp van de inverse matrix van de coëfficiëntenmatrix.
We zetten het stelsel in matrixgedaante:
u1 v1
u2 v2
x
−w1
·
=
·z
y
−w2
m
x
y
x
y
=
u1 v1
u2 v2
m
1
=
u1 v2 − u2 v1
Geven we aan de vrije onbekende z de
krijgen voor de oplossingen de volgende
  
x
 y =
z
−1 −w1
·
·z
−w2
(v1 w2 − v2 w1 )
(u2 w1 − u1 w2 )
z
waarde z = (u1 v2 − u2 v1 )r met r ∈ R. We
parametervoorstelling:

v1 w2 − v2 w1
u2 w 1 − u1 w 2  r
u1 v2 − u2 v1
Dit is de parametervoorstelling van een vectorrechte (zie later).
Het drietal (v1 w2 − v2 w1 , u2 w1 − u1 w2 , u1 v2 − u2 v1 ) is een bijzondere oplossing van
3.4. STEEDS OPLOSBARE STELSELS
145
het homogeen stelsel, verschillend van de nuloplossing. Bijgevolg is de vector met
coördinaat
(v1 w2 − v2 w1 , u2 w1 − u1 w2 , u1 v2 − u2 v1 )
een basisvector van de vectorrechte. Deze vector is het vectorieel product van
de twee rijvectoren van de coëfficiëntenmatrix van het stelsel, nl. (u1 , v1 , w1 ) en
(u2 , v2 , w2 ).
(u1 , v1 , w1 ) × (u2 , v2 , w2 ) = (v1 w2 − v2 w1 , u2 w1 − u1 w2 , u1 v2 − u2 v1 )
Met DERIVE verkrijgen we dat vectorieel product met het commando
cross([u1 , v1 , w1 ], [u2 , v2 , w2 ]).
De schematische schrijfwijze met determinanten
v1 w1 w1 u1
v2 w2 , w2 u2
is
u1 v1 ,
u2 v2 Voorbeeld: Los het volgend homogeen stelsel op:
3x − 5y + 6z = 0
−2x + y − z = 0
Oplossing: Een basisvector van de vectorrechte voorgesteld door het homogeen stelsel
is cross([3, −5, 6], [−2, 1, −1]) = (−1, −9, −7) ∼ (1, 9, 7) De parametervoorstelling van
de vectorrechte is:
   
x
1
 y = 9 ·r
z
7
OPGAVEN — 19 Bepaal een oplossing van het volgend homogeen stelsel
x − y + 3z = 0
6y − z = 0
a.
b.
5x + 4y − 2z = 0
7x − 2y − 5z = 0
c.
−x
x


+
+ y
2x
−6x
e.

x
− 3y
+ 9y
+ y
3z
=0
=0
+ 2z
− 6z
−
z
d.
=0
=0
=0
6x − 6y
−3x + 3y

 x
x
f.

2x
+
−
+
17y
5y
y
−
+
+
−
−
4z
2z
19z
7z
z
=0
=0
=0
=0
=0
Oplossingen: 19 a. (x, y, z) = r(−10, 17, 9); b. (x, y, z) = r(32, 7, 42); c. (x, y, z) = r(−3, 3, −1); d.
(x, y, z) = r(1, 1, 0) + s(2, 0, 3); e. (x, y, z) = r(1, 4, 5); f. (x, y, z) = r(12, −13, 11).
146
HOOFDSTUK 3. OPLOSBAARHEID VAN LINEAIRE STELSELS
Inhoudsopgave
1 Reële affiene 3-ruimte
3
1.1
Axioma’s voor een affiene 3-ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Onderlinge ligging van twee rechten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Onderlinge ligging van een rechte en een vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4
Onderlinge ligging van twee vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5
Constructie van de snijlijn van twee snijdende vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.6
Enkele opgaven ivm. kruisende rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.7
Parallelprojecties van E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.7.0.1
Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.7.0.2
Het beeld van een rechte onder een parallelprojectie . . . . . . . . . . . . .
38
1.7.0.3
De projecties van twee rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.8.1
Het begrip vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.8.2
Bewerkingen met vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
1.8.3
De reële vectorruimten R, EO , + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
*Spiegeling van E om een vlak volgens de richting van een rechte . . . . . . . . . . . . . . .
50
1.10 *Spiegeling van E om een rechte volgens de richting van een vlak . . . . . . . . . . . . . . .
50
1.11 Veelvlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
1.12 Het midden van een lijnstuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.13 Zwaartepunt van een driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.14 Zwaartepunt van een viervlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
1.15 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
1.8
1.9
201
202
INHOUDSOPGAVE
2 Matrices
2.1
69
De reële n-tallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
2.1.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
2.1.2
Bewerkingen met n-tallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
2.1.3
De reële vectorruimte van de n-tallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
De reële matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2.2.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2.2.2
Bewerkingen met matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
2.2.3
De reële vectorruimte van de matrces
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.2.4
Oplossen van matriciële vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
2.2.5
De getransponeerde matrix van een matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
2.2.6
Soorten matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
2.2.7
Lineaire combinatie van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
Oplossen van lineaire stelsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2.3.1
Inleidende voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2.3.2
Rijequivalente matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.3.3
Gauss-Jordan-methode voor het oplossen van lineaire stelsels . . . . . . . . . . . . .
84
2.4
Lineaire onafhankelijkheid van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
2.5
Het product van matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
2.5.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
2.5.2
Praktische voorbeelden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
2.5.3
Eigenschappen van het product van matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
2.5.4
Inverse matrix van een vierkante matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.5.5
De inverse matrix van een vierkante matrix van de orde 2 . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.5.6
Stellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.2
2.3
2.6
2.7
Algebraı̈sch rekenwerk met matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.6.1
Merkwaardige producten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.6.2
Nuldelers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.6.3
Matriciële vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Deelruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.7.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.7.2
Eigenschap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.7.3
Voortbrengende verzamelingen van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
INHOUDSOPGAVE
2.7.4
203
Niet-triviale deelruimten van R, EO , + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.7.4.1
Vectorrechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.7.4.2
Vectorvlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.7.4.3
Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.8
Rang van een matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.9
*Verband tussen linksvermenigvuldigen van een matrix en het rijherleiden van een matrix . 128
2.9.1
Bepalen van de inverse matrix
2.9.2
Bepalen van nuldelers met rijoperaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3 Oplosbaarheid van lineaire stelsels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
135
3.1
Definitie van een lineair stelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.2
Oplossen van lineaire stelsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.3
Oplosbaarheid van een lineair stelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.4
Steeds oplosbare stelsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.4.1
3.4.2
Stelsels waarvan de rang gelijk is aan het aantal vergelijkingen . . . . . . . . . . . . 139
3.4.1.1
Stelsels van Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.4.1.2
Stelsels waarvan de rang gelijk is aan het aantal vergelijkingen en strikt
kleiner dan het aantal onbekenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Homogene lineaire stelsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4 Analytische affiene ruimtemeetkunde
147
4.1
De coördinaatruimte van een vectorruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.2
Coördinatisering van de 3-dimensionale ruimte R, EO , + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.3
4.4
4.2.1
De coördinaat van een punt van de ruimte R, EO , + . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.2.2
Coördinaat van een vector van R, EO , + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Coördinaat van het zwaartepunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.3.1
Zwaartepunt van een driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.3.2
Zwaartepunt van een viervlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Vergelijkingen van vlakken en rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.4.1
Richtingsruimte — richtingsvectoren van een vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.4.2
Vectoriële vergelijking en parametervoorstelling van een vlak . . . . . . . . . . . . . 157
4.4.3
Vectoriële vergelijking van een vlak met drie homogene parameters . . . . . . . . . . 161
4.4.4
Cartesische vergelijking van een vectorvlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.4.5
Cartesische vergelijking van een vlak bepaald door een punt en een richting van vlakken163
4.4.6
Vergelijking van een vlak bepaald door drie niet-collineaire punten . . . . . . . . . . 165
204
INHOUDSOPGAVE
4.4.7
Vergelijking van een vlak bepaald door zijn doorgangen met x-as, y-as en z-as . . . . 165
4.4.8
Bijzondere standen van een vlak t.o.v. het coördinatenstelsel . . . . . . . . . . . . . 165
4.4.9
Richtingsruimte — richtingsvectoren van een rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.4.10 Vectoriële vergelijking en parametervoorstelling van een rechte . . . . . . . . . . . . 168
4.4.11 Vectoriële vergelijking van een rechte met twee homogene parameters . . . . . . . . . 170
4.4.12 Cartesische vergelijkingen van een rechte bepaald door een punt en een richtingsvector171
4.4.13 Cartesische vergelijkingen van een rechte bepaald door twee punten . . . . . . . . . . 172
4.5
De onderlinge ligging van een rechte en een vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.6
Onderlinge ligging van twee rechten
4.7
Oplosbaarheid van lineaire stelsels i.v.m. onderlinge liggingen . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.7.1
Stelsel met één lineaire vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.7.2
Stelsels van twee vergelijkingen – o.l. van 2 vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.7.3
4.7.4
4.8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.7.2.1
Stelsels van twee vergelijkingen met rang gelijk aan twee . . . . . . . . . . 185
4.7.2.2
Stelsels van twee vergelijkingen met rang gelijk aan één . . . . . . . . . . . 187
Stelsels met drie vergelijkingen – o.l. van een rechte en een vlak of o.l. van 3 vlakken 189
4.7.3.1
Stelsels met drie vergelijkingen en rang gelijk aan drie . . . . . . . . . . . . 189
4.7.3.2
Stelsels van drie vergelijkingen met rang gelijk aan twee . . . . . . . . . . . 190
4.7.3.3
Stelsels van drie vergelijkingen met rang gelijk aan één . . . . . . . . . . . 192
Stelsels met vier vergelijkingen – o.l. van 2 rechten of o.l. van 4 vlakken . . . . . . . 196
4.7.4.1
Stelsels met vier vergelijkingen en rang gelijk aan drie . . . . . . . . . . . . 196
4.7.4.2
Stelsels met vier vergelijkingen en rang gelijk aan twee . . . . . . . . . . . 197
Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200