Tentamen Lineaire Algebra 4 3 juli 2006 Examenzaal 9.00–12.00 1

Tentamen
Examenzaal
Lineaire Algebra 4
1. De transformatie T van Q3 is (ten opzichte
matrix:

−5
M = 0
−5
3 juli 2006
9.00–12.00
van de standaardbasis) gegeven door de

0 1
4 0.
0 5
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Bereken het karakteristieke polynoom van M .
Bereken de eigenwaarden en eigenvectoren van M .
Is T diagonaliseerbaar?
De matrix M is ook op te vatten als de matrix (gegeven ten opzichte van de
standaardbasis) van een transformatie T 0 van R3 . Is T 0 diagonaliseerbaar?
(v) Tenslotte kunnen we M , door de coëfficiënten ervan modulo 5 te nemen, ook
opvatten als een de matrix (gegeven ten opzichte van de standaardbasis) van
een transformatie T 00 van F5 3 over het lichaam F5 van 5 elementen. Is T 00
diagonaliseerbaar?
(5 punten per onderdeel)
2. In deze opgave is V een reële inproductruimte, met < , > als inproduct.
(i) Bewijs dat k~v + wk
~ 2 = k~v k2 + kwk
~ 2 geldt voor elk paar orthogonale vectoren ~v , w
~
uit V .
(ii) Bewijs dat k~v + wk
~ 2 + k~v − wk
~ 2 = 2k~v k2 + 2kwk
~ 2 geldt voor elk paar vectoren
~v , w
~ uit V .
(iii) Als ~v , w
~ uit V lineair afhankelijk zijn, dan is | < ~v , w
~ > | = k~v k · kwk.
~ Bewijs dit.
(iv) Veronderstel dat | < ~v , w
~ > | = k~v k · kwk
~ met w
~ 6= ~0. Laat ~z = ~v − µ · w,
~ waar
k~
vk
<~
v ,w>
~
µ = kwk
~ en ~z orthogonaal zijn, en dat |µ| = kwk
~ 2 . Laat zien dat w
~ .
(v) Vervolg onderdeel (iv) door met behulp van (i) te bewijzen dat k~v k2 = kµw
~ + ~zk2
en dat hieruit volgt dat k~zk = 0.
(vi) Laat zien hoe uit (iv) en (v) de omkering van de bewering uit (iii) volgt.
(4 punten per onderdeel)
3. Geef van de volgende beweringen aan of ze juist zijn of onjuist, en geef van elk een
bewijs of weerlegging (bijvoorbeeld met een tegenvoorbeeld).
(i) De reëel-symmetrische bilineaire vormen −x2 − y 2 en en −x2 + 6xy − y 2 op R2
zijn equivalent.
(ii) Als M een 3 × 3 inverteerbare matrix over Q is dan is M diagonaliseerbaar dan
en slechts dan als M −1 het is.
(iii) Orthogonale vectoren uit Cn (voor n ≥ 2) zijn lineair onafhankelijk.
(iv) De kern van een transformatie van een vectorruimte V is een invariante deelruimte
van V .
(5 punten per onderdeel)
4. Deze opgave gaat over n × n matrices over het lichaam
C, voor een geheel getal n ≥ 1.
Pn
Het spoor Tr(M ) van zo’n matrix M is de som i=1 Mii van de diagonaalelementen.
(i) Er geldt altijd: Tr(A · B) = Tr(B · A). Geef een bewijs voor n = 3.
(ii) Gebruik (i) om te laten zien dat wanneer M en N geconjugeerde matrices zijn (dat
wil zeggen: er is een inverteerbare Q met N P
= Q−1 ·M ·Q), geldt: Tr(M ) = Tr(N ).
n
(iii) Is M een unitaire matrix, dan is Tr(M ) = i=1 λi , de som van de eigenwaarden
λi van M . Bewijs dat.
(iv) Twee matrices M en N heten unitair geconjugeerd wanneer er een unitaire matrix
U bestaat zodat N = U −1 ·M ·U . Bewijs dat in dat geval Tr(N ∗ ·N ) = Tr(M ∗ ·M ),
waar als gebruikelijk M ∗ de getransponeerde complex geconjugeerde
Pn van M is.
(v) Bewijs dat voor unitair geconjugeerd matrices M en N geldt dat i,j=1 |Mi,j |2 =
Pn
2
i,j=1 |Ni,j | .
√
√
−1 2
−1 4
(vi) Laat zien dat de matrices
en
niet unitair equivalent
2
1
1
1
zijn.
(vii) Laat zien dat de beide matrices uit (vi) wél equivalent zijn. (Het is niet nodig
om de transformatiematrix uit te rekenen!)
(4 punten per onderdeel)