Vragen gesteld op het examen Algebra Examen 12/06 voormiddag

Vragen gesteld op het examen Algebra
Examen 12/06 voormiddag
Geef een overzicht van de bewijsvoering die aantoont dat een vectorruimte steeds een
basis heeft en dat het aantal elementen in de basis (de dimensie van de ruimte)
onafhankelijk is van de gekozen basis.
3 vectoren spannen een parallellepipedum op. Geef een formule voor het volume daarvan
en bewijs. (er zijn 2 mogelijkheden, 1 is voldoende)
Een orthonormaal stel vectoren bepalen van een deelruimte van veeltermen van ten
hoogste graad 2 + de projectie berekenen van x^7 op een deelruimte van graad ten
hoogste 1.met <f,g>=integraal (-1 tot 1) van f(x) * g(x) / sqrt (1+x²) dx
Gegeven de matrix A. Bepaal A' met rang 1 zodat die zo goed mogelijk A benaderd volgen
Fr. norm. + bereken de 2-norm van A, A', en A-A'
matrix A: 2 rijen, 3 kolommen: rij1: 1 0 0 ; rij 2: 0 1 1
Examen 13/06
1. Bewijs dimensiestelling
2. bespreek QR ontbinding van een willekeurige matrix
3.Een orthonormaal stel vectoren bepalen van een deelruimte van veeltermen van ten
hoogste graad 2 + de projectie berekenen van x^5 op een deelruimte van graad ten
hoogste 1.met <f,g>=integraal (-1 tot 1) van f(x) * g(x) / sqrt (1+x²) dx
4. AX=B=[Matrix][XYZ]^T[ABCD]^T, waarbij Matrix een 4x3 matrix is met 1 variabele(u),
die je vrij mag invullen(behalve 0). Bepaal een basis voor de oplossingsruimte van
[ABCD]^T. En dan een basis voor een oplossingsruimte voor [XYZ]^T in functie van die
[ABCD]^T. En dat alles nog is herhalen voor u=0.
Examen 15/06 08u
Oefeningen:
1. K is een functieruimte: (a+bx)*e^(-2x) + (c+dx)*e^(-x). Je hebt de lineaire afbeelding F > f''+ alpha *f'+ beta*f. Bepaal alpha en beta zodat (a+bx)*e^(-2x) in de kern zit van de
afbeelding. Beschouw functieruimte L, waar K een deelruimte van is: u+vx+wx^2
+(a+bx)*e^(-2x) + (c+dx)*e^(-x). Bepaal de projectie van x^2 op deelruimte K. Met als
inwendig product de integraal van nul naar oneindig van f(x) * g(x). Ik denk dat er nog iets
bij was, maar dat weet ik niet zo goed meer.
2. Zoek het punt (x0,y0,z0) (met de nul kleine nulletjes). Het punt ligt in het vlak V. Het vlak
staat loodrecht op de rechte door (x0,y0,z0) en (1,1,0). De oorspong en het punt (1,0,0)
liggen aan de ene zijde van het vlak. Het punt (1,1,0) ligt aan de andere zijde. De afstand
van (1,1,0) tot het vlak is 1. De afstand van (0,0,0) tot het vlak is 2. De afstand van het vlak
tot (1,0,0) is 2. (Het kan zijn dat de afstand iets anders waren, maar ik denk dat dat alles
was).
Theorie:
1. Beschrijf het Gram-Schmidt algoritme en bespreek het verband met de QR ontbinding.
2. Geef en bewijs de formule voor het volume van een parallellepipedum opgespannen
door 3 vectoren.
Examen 15/06 15u
Oefeningen:
1.
L is lineaire afbeelding in R(3x3): m -> m+transpose(m)
- bepaal basis voor de kern van L
- bepaal de oplossingen voor L(X)=I (3x3 eenheidsmatrix)
2.
in de vectorruimte van de veeltermen Rn [x]
is een afbeelding: p -> (p(0), p'(0), p(1))
- bepaal basis voor de kern
- bepaal oplossingen voor (2,1,0)
Theorie:
1.
bewijs de regel van Cramer
2.
wat zijn de voorwaarden voor een matrix opdat het
de matrixvoorstelling zou zijn van een projectie?
Examen 22/06 8u:
Theorie:
1. Geef en bewijs de Cauchy-Schwarz ongelijkheid in Euclidische vectorruimten.
2.Bewijs dat de kleinste kwadraten oplossing met minimale lengte van het stelsel gegeven
wordt door .