1 EXAMENVRAGEN ALGEBRA - matrices

1
EXAMENVRAGEN ALGEBRA - matrices - vectoren
1. (6 p.) Bewijs dat als A · B = A en B · A = B daaruit volgt dat A2 = A.
2. (8 p.) Schrijf de vector [10, 16, 0] als lineaire combinatie van de vectoren
[2, 1, 3], [−1, −3, 1] en [−1, 1, 1]. Zeg welke berekeningen je hiervoor moet
uitvoeren. De berekeningen zelf mag je door de computer laten uitvoeren.
3. (21 p.)
(a) (6 p.) Bereken zonder computer de inverse matrix van


0 0 3
 0 1 2 
1 0 1
(b) (15 p.)
Gegeven is de matriciële

3 1
t
2 − 9 1 + 1 −2
4 3
vergelijking:
−1
t
−1
−1
0
2
1−1 ·
1  ·X· −1 −2 −3 ·
2 1 −1
2
−1 

0 0 3
3
=  0 1 2  ·  −6 
1 0 1
−15

i. (2 p.) Bepaal de orde van de matrix X;
ii. (13 p.) Los de gegeven vergelijking op naar X.
2
4. (28 p.)
(a) (9 p.) Gegeven het stelsel in de onbekenden x,

6x +
y − 2z + 3u



−10x + −3y + 2z + u
10x +
4y + z + 2u



x + −5y + 4z + 2u
i.
ii.
iii.
iv.
y, z, u en t:
=
+ 4t =
− 2t =
+ t =
0
0
0
0
(1 p.) Bepaal de rang van het stelsel;
(2 p.) Kan je vooraf zien of het stelsel oplosbaar is?
(2 p.) Hoeveel vrije onbekenden heeft het stelsel?
(4 p.) Bepaal met de computer de oplossingen van het gegeven stelsel
(zet de oplossingen in matrixgedaante):
(b) (19 p.) Gegeven de vectoren v~1 (6, −10, 10, 1), v~2 (1, −3, 4, −5), v~3 (−2, 2, 1, 4),
v~4 (3, 1, 2, 2) en v~5 (0, 4, −2, 1).
i. (4 p.) Maak gebruik van het product van matrices om één lineaire
combinatie naar keuze op te schrijven en uit te rekenen (met computer) van de getallen van de gegeven vectoren ;
ii. (4 p.) Maak gebruik van het product van matrices om naar keuze
3 verschillende lineaire combinaties op te schrijven en uit te rekenen
(met computer) van de gegeven vectoren. Geef een naam aan deze 3
combinaties en duid ze aan in de matrix die je bekomt;
iii. (1 p.) Tot welke ruimte behoren de gegeven vectoren?
iv. (2 p.) Wat is de dimensie van de vectorruimte W voortgebracht door
de gegeven vectoren?
v. (4 p.) Gebruik de definitie van lineair onafhankelijkheid van vectoren
om aan te tonen dat de gegeven vectoren niet lineair onafhankelijk
zijn;
vi. (2 p.) Welke vectoren kunnen geschreven worden als lineaire combinatie van de vier andere en welke niet?
vii. (2 p.) Kies uit de gegeven vectoren een verzameling vectoren die een
basis vormt voor W en kies ook een verzameling vectoren die geen
basis vormt voor W .
5. (18 p.) Bespreek de rang van de volgende matrix al naar gelang de waarden
van m ∈ R en maak een besluit.


m−1
2
1
1
 1−m
−2
−1 m − 6 
2
m − 1 2(m + 1) 2(m + 1) m + 7