1 TOETS Matrices 1. Gegeven is de matriciële vergelijking

1
TOETS
Matrices
1. Gegeven is de matriciële vergelijking in de onbekende matrix X:
−1 t
4 1
1 3
3 4
1 2 3
X·
·
=
·
3 1
2 1
6 2
4 5 6
(a) Bepaal eerst de orde van X;
(b) Los de gegeven matriciële vergelijking op.naar X zonder gebruik te maken
van de computer;
(c) Duid met (*) aan waar je in de berekening gebruik maakt van de associativiteit van het product van matrices.
2. (a) Waarom geldt niet meer voor matrices A en B dat:
A2 − B 2 = (A − B)(A + B)
(b) In welk geval is (A − B)2 = A2 − B 2
3. Wanneer is een matrix A een nuldeler?
4. Waarom kan een niet-singuliere matrix geen nuldeler zijn?
5. Gegeven de matrix:

 
v~1
1
2
a
 v~2   0
1
1
 
=
 v~3  =  −2
3 −1
v~4
1 −1
b




(a) Bespreek de rang van A;
(b) Voor welke waarden van a en b brengen de rijvectoren van A een tweedimensionale deelruimte voort van R, R3 , +?
(c) Schrijf in geval a = 4 en b = 1 de derde rijvector en de vierde rijvector als
lineaire combinatie van de eerste en tweede rijvector. Zorg ervoor dat je
voor de berekening slechts één stelsel moet oplossen om de twee lineaore
combinaties te bepalen.
(a) Bespreek de rang van A;
(b) In geval a = 4 en b = 1:
i. Bepaal de dimensie van W =span{v~1 , v~2 , v~3 , v~4 };
ii. Van welke reële vectorruimte is W een deelruimte?
iii. Bereken naar keuze d.m.v. het product van twee matrices twee verschillende vectoren w~1 en w~2 van W ;
iv. Uit hoeveel vectoren bestaat een basis van W ? Kies een basis voor
W.
v. Schrijf v~3 en v~4 als lineaire combinatie van v~1 en v~2 . Zorg ervoor dat
je voor de berekening slechts één stelsel moet oplossen om de twee
lineaire combinaties te bepalen.
2
6. Gegeven zijn de matrices




2 3 1
2
1 −1
A =  3 1 2  en B =  3 −1 −1 
1 2 3
1 −1
1
(a) Bepaal de inverse matrix van A zonder computer en de inverse matrix
van B met de computer;
(b) Steun op de resultaten van ?? om de inverse matrix van A.B te berekenen
zonder het product A.B uit te rekenen;
(c) Gegeven het stelsel:

 2x + y − z = 3
3x − y − z = 2

x−y+z = 1
i. Maak gebruik van het product van matrices om dit stelsel te schrijven
in de vorm van een matriciële vergelijking;
ii. Los de matriciële vergelijking op zonder computer door gebruik te
maken van voogaande berekeningen.
7. (bonus) Bewijs door volledige

a 0
 0 b
0 0
inductie dat
n  n

0
a
0 0
0  =  0 bn 0 
c
0 0 cn