H6 vectorruimten _def en stellingen

Wiskunde II(B)
H6: Vectorruimten
Y.W. 02/06/2009
H6: Vectorruimten: Definities en Stellingen
• Is V een deelverzameling van ℝ n die voldoet aan de eigenschappen A1-A10,
m.a.w. V is zelf een vectorruimte, dan heet V een deelruimte van ℝ n .
Het is genoeg om te checken als de lineaire combinatie van 2 willekeurige
elementen van V opnieuw behoort tot V , of m.a.w. als voor alle v, w ∈ V en
voor alle s, t ∈ ℝ : s v + t w ∈ V
• Vectoren v1, v 2 , …, vk in ℝn zijn lineair afhankelijk als en slechts als er scalairen
c1, c2 , …, ck in ℝ bestaan met ( c1, c2 , …, ck ) ≠ ( 0, 0, …, 0 ) zodat
c1 v1 + c2 v 2 + ⋯ + ck vk = 0
Vectoren v1, v 2 , …, vk in ℝ n zijn lineair onafhankelijk als en slechts als
c1 v1 + c2 v 2 + ⋯ + ck vk = 0
⇒
c1 = c2 = ⋯ = ck = 0
• Zijn de vectoren v1, v 2 , …, vk van ℝ n lineair onafhankelijk dan noemt men de
verzameling A = { v1, v2 , …, vk } een vrij deel van ℝ n .
• Een verzameling A = { v1, v2 , …, vk } ⊂ V is een voortbrengend deel van de
vectorruimte V als elke vector uit V kan geschreven worden als een lineaire
combinatie van de vectoren v1, v 2 , …, vk , m.a.w. als er geldt
∀v ∈ V , ∃c1, …, ck ∈ ℝ : v = c1 v1 + ⋯ + ck vk
• Een vector b van ℝ n is lineair afhankelijk van de vectoren v1, v 2 , …, vk in ℝ n ,
d.w.z. b ∈ L  v1, v2 , …, vk  als en slechts als het lineair stelsel Ac = b , met
A = ( v1 v 2 … vk ) , minstens één oplossing c heeft.
• De verzameling { v1, v 2 , …, vk } van vectoren uit ℝ n is een voortbrengend deel
van ℝ n als en slechts als het stelsel Ac = b , met A = ( v1
v 2 … vk ) ,
minstens één oplossing c heeft voor elk rechterlid b ∈ ℝ n .
• Een verzameling A = { v1, v 2 , …, vk } is een basis van een vectorruimte V als A
een voortbrengend en een vrij deel is van V.
• Men noemt het geordend k-tal ( α1, …, αk ) , waarvoor t.o.v. de geordende basis
( v1, …, vk ) geldt:
v = α1 v1 + ⋯ + αk vk ,
de coördinaat(vector) van v t.o.v. de geordende basis ( v1, …, vk ) .
• Het aantal basisvectoren in elke basis van een vectorruimte V noemt men de
dimensie van deze ruimte.
1/2
Wiskunde II(B)
H6: Vectorruimten
Y.W. 02/06/2009
• dim(rijenruimte A) = dim(rijenruimte B) = rang(A) , met B de gereduceerde
vorm van A.
• Een kolom van een matrix A is een basiskolom als de corresponderende kolom in
de gereduceerde vorm B een leidend element bevat.
De basiskolommen van A vormen de basis van de kolommenruimte van A.
• Voor een willekeurige (n × k ) -matrix A is:
rang A = dim(kolommenruimte A)
= aantal leidende elementen in B
= aantal niet-nulrijen van B
= dim(rijenruimte A)
• De deelruimte van ℝ k bestaande uit de oplossingen van het homogene stelsel
Ax = 0 , met A een (n × k ) -matrix, noemt men de kern van A:
ker(A) = { x ∈ ℝk
Ax = 0, 0 ∈ ℝn }
De dimensie van de kern van A noemt men de nulliteit van A = null(A) .
(kern niet ledig: nulvector van ℝ k altijd oplossing van Ax = 0 )
• De verzameling van vectoren b ∈ ℝ n waarvoor het stelsel Ax = b , met A een
(n × k ) -matrix, minstens één oplossing heeft, noemen we de beeldruimte van A:
im(A) = { b ∈ ℝ n
∃x ∈ ℝk : Ax = b }
Deze beeldruimte is een deelruimte van ℝ n .
dim(im(A)) = dim(kolommenruimte A)
= rang(A)
• Is A een (n × k ) -matrix, dan geldt er:
dim(ker A) = k − dim(im A)
⇔
null A + rang A = k
• De beeldruimte van een (n × k ) -matrix A vertelt ons iets of het stelsel Ax = b
oplossingen heeft, terwijl de kern van A ons zegt hoe groot de oplossingenruimte is.
• Zij A een vierkante (n × n ) -matrix, x ∈ ℝn een niet-nulvector en λ een reëel
getal. Als
Ax = λ x,
x ≠ 0, λ ∈ ℝ,
dan is x een eigenvector van A behorende bij de eigenwaarde λ .
• Ax = λ x
⇔
Ax = λIn x
⇔
( A − λ In ) x = 0
2/2