Enkele nuttige resultaten uit de oefeningenbundel die weinig of

Enkele nuttige resultaten uit de oefeningenbundel die weinig of
niet aan bod komen in het boek van Lay.
• Als A een m × n matrix is, en B een n × p matrix dan geldt
rank AB ≤ rank A en rank AB ≤ rank B
• Als A een m×n matrix is, R een inveerteerbare m×m matrix en S een inverteerbare
n × n matrix, dan geldt
rank A = rank RA = rank AS = rank RAS
• Als A en B m × n matrices zijn, dan geldt
rank A + B ≤ rank A + rank B
• De rang van een m × n matrix A is gelijk aan 1 als en slechts als A te schrijven
is als het product van een kolommatrix en een rijmatrix, beide verschillend van de
nulmatrix. Met behulp van kolomvectoren u ∈ Rm en v ∈ Rn kunnen we dit ook
noteren als
A = uvT , u 6= 0, v 6= 0
• Voor een orthogonale n×n matrix (d.w.z. U T U = I), geldt det U =1 of det U = −1.
• De determinant van een vierkante blokdriehoeksmatrix met vierkante diagonaalblokken is gelijk aan het product van de determinanten van de diagonaalblokken.
(Dit geldt in het bijzonder voor een blokdiagonaalmatrix).
• De eigenwaarden van een vierkante blokdriehoeksmatrix met vierkante diagonaalblokken zijn de eigenwaarden van de diagonaalblokken. (Dit geldt in het bijzonder
voor een blokdiagonaalmatrix).
• De determinant van een vierkante matrix is gelijk aan het product van zijn eigenwaarden, waarbij elke eigenwaarde evenveel keer voorkomt in het product als
aangegeven door zijn multipliciteit.
• Het spoor van een vierkante matrix (d.i. de som van de diagonaalelementen) is gelijk
aan de som van de eigenwaarden, waarbij elke eigenwaarde evenveel keer voorkomt
in de som als aangegeven door zijn multipliciteit.
• De matrixvoorstelling van de lineaire afbeelding die loodrecht projecteert op
Span{v1 , . . . , vk } met v1 , . . . , vk een lineair onafhankelijk stel vectoren in Rn , wordt
gegeven door
M = V (V T V )−1 V T
waarbij V een matrix is met de vectoren v1 tot vk als kolommen. Wanneer {v1 , . . . , vk }
een orthonormaal stel vectoren is, wordt deze formule vereenvoudigd tot
M = V V T.
1
• Een vierkante matrix die voldoet aan
A2 = A en AT = A.
heet projectiematrix.
Als A een projectiematrix is dan stelt de lineaire afbeelding x 7→ y = Ax een loodrechte projectie op de kolomruimte van A voor.
Omgekeerd voldoet elke matrixvoorstelling van een loodrechte projectie (zie het item
hierboven) aan A2 = A en AT = A.
• Een n × n matrix A is orthogonaal (d.w.z. AT A = I) als en slechts als
Ax · Ay = x · y voor alle x en y in Rn
• De beste rang-k benadering van een m×n matrix A met singuliere-waardenontbinding
A = U ΣV T wordt gegeven door à = U Σ̃V T , waarbij Σ̃ bekomen wordt uit Σ door
enkel de grootste k singuliere waarden te behouden en de andere singuliere waarden
door 0 te vervangen.
(Deze matrix à ligt van alle rang-k matrices het dichtst bij A volgens de Frobeniusafstand. De Frobeniusafstand tussen twee m × n matrices A en B is de Frobeniusnorm van P
A − B.
De Frobeniusnorm van een m × n matrix X wordt gegeven door
1
m Pn
kXkF = ( i=1 j=1 x2i,j ) 2 ).
• Als
A = P DP T
een eigenwaardenontbinding is van een symmetrische matrix A met P T P = I,
waarbij de eigenwaarden geordend zijn volgens dalende absolute waarde, kan een
singuliere-waardenontbinding A = U ΣV T als volgt geconstrueerd worden:
-Stel Σ = abs(D), (d.w.z. Σ wordt bekomen uit D door de elementen te vervangen
door hun absolute waarde),
-Construeer U door in P de kolommen pi , waarvoor de bijhorende eigenwaarde
λi = di,i negatief is, te vervangen door −pi .
-Stel V gelijk aan P .
2