Faculteit der Exacte Wetenschappen tentamen Lineaire Algebra

Faculteit der Exacte Wetenschappen
tentamen Lineaire Algebra
Vrije Universiteit
voor studenten Wiskunde, Natuurkunde en Econometrie
19–08–2004
Duur: 3 uur
Normering:
1a : 2 ; 2a : 3 ; 3 : 7
b:3 ;
b:1 ;
c:1 ;
c:2 ;
d:1 ;
Eindcijfer = 1 +
; 4a : 2 ; 5 : 6
b:1 ;
c:3 ;
d:2 ;
; 6 : 11 ; 7a : 1
b:3
c:3
d:2
;
;
;
.
totaal
6 .
1. Gegeven zijn de vectoren
 
0
v1 =  0  ,
1


1
v2 =  0  ,
1


1
v3 =  1  ,
1


1
w =  2 .
3
Van de lineaire transformatie T : R3 → R3 is gegeven dat
 


 
3
1
2





T (v1 ) = 2 , T (v2 ) = −1 , T (v3 ) = 2  .
1
2
2
(a) Bewijs dat {v1 , v2 , v3 } een basis is voor R3 .
(b) Bepaal een matrix A die zo is dat voor iedere x ∈ R3 geldt T (x) = Ax.
(c) Bepaal T (w).
(d) Geef één eigenwaarde van de matrix A.
2. Voor alle reële getallen α en β worden de matrix Aα , de vector bβ en de matrix S
gegeven door






1 1
2
3
1 1 1
Aα =  1 −2 −1  , bβ =  0  , S =  1 0 1  .
1 2
α
β
0 0 1
(a) Bepaal voor welke waarde(n) van α en β de vergelijking SAα x = Sbβ uniek oplosbaar is en bepaal die (van α en β afhankelijke) oplossing.
(b) Bepaal voor welke waarde(n) van α en β de vergelijking SAα x = Sbβ geen oplossing heeft.
(c) Voor welke waarde(n) van α en β heeft de vergelijking SAα x = Sbβ meer dan één
oplossing? Bepaal de oplossingsverzameling in dit geval.


1
4
8
7 −4 . Bepaal een orthonormale basis voor R3 bestaande uit eigen3. Zij A =  4
8 −4
1
vectoren van A. (Hint: 9 en −9 zijn eigenwaarden van A.)
Z.O.Z.
1


2
1
0 −3
 1 −4 −3 −9 
.
4. Zij A = 
 −4 10
8 26 
1 −1 −1 −4
(a) Bepaal een basis voor de nulruimte van de matrix A.
(b) Bepaal een basis voor de kolomruimte Col A van de matrix A.
(c) Bewijs dat voor iedere vector x ∈ Col A geldt Ax = x.
(d) Bepaal een basis voor R4 die bestaat uit eigenvectoren van de matrix A. (Hint: dit
kan zonder verder rekenwerk worden opgelost.)
5. Los op:
 0
x (t)


 10
x2 (t)
x
(0)


 1
x2 (0)
=
=
=
=
14x1 (t) − 6x2 (t),
30x1 (t) − 13x2 (t),
0,
1.
6. Bepaal of de onderstaande beweringen juist of onjuist zijn. Als de bewering juist is,
geef dan een bewijs. Als de bewering onjuist is, geef dan een tegenvoorbeeld. In het
onderstaande zijn de natuurlijke getallen m en n steeds ten minste 2 en is uitsluitend
sprake van reële matrices en vectoren.
(a) Zij IP2 de vectorruimte bestaande uit de polynomen van de graad ten hoogste 2 én
het nulpolynoom. Als {p1 , p2 , p3 } ∈ IP2 zo is dat p2 geen veelvoud is van p1 en dat
p3 geen combinatie is van p1 en p2 , dan is {p1 , p2 , p3 } een basis van IP2 .
(b) A en B zijn n × n matrices, A is inverteerbaar en C = A−1 . Dan AB = BA als en
alleen als CB = BC.
(c) Voor iedere n × n matrix A geldt det(AT A) ≥ 0.
(d) Ieder systeem van n lineaire vergelijkingen met n onbekenden dat een oplossing
heeft, kan worden opgelost met de regel van Cramer.
(e) De rijen van een m × n matrix A vormen een basis voor de rijruimte van A.
(f) Zij B een inverteerbare n × n matrix. Als Rn een basis van eigenvectoren van de
matrix A heeft, dan heeft Rn ook een basis van eigenvectoren van B −1 AB.
(g) Als de n × n matrix A orthogonale kolommen heeft, dan heeft A ook orthogonale
rijen.
7. Gegeven zijn de natuurlijke getallen m en n zó dat 1 ≤ m ≤ n. Zij A een n×m matrix en
B een m × n matrix. Zij V = Col A de kolomruimte van A en W = Nul B de nulruimte
van B. Zij rang A = rang B = m, V ∩ W = {0} en I de n × n eenheidsmatrix.
(a) Bereken dim V en dim W .
(b) Toon aan dat Nul A = {0}. Bewijs dat BA inverteerbaar is.
Zij nu verder P = A(BA)−1 B.
(c) Bewijs dat voor iedere x ∈ Rn geldt P x ∈ V en (I − P )x ∈ W .
(d) Bewijs dat iedere x ∈ Rn te schrijven is als x = v + w met v ∈ V en w ∈ W .
2