Dossier 4 VECTOREN

Dossier 4
VECTOREN
bouwstenen van de lineaire algebra
Dr. Luc Gheysens
1
Coördinaat van een vector
In het vlak π0 is het punt O de oorsprong en de punten E1 en E2 zijn zodanig gekozen dat
OE1
OE2 en |OE1| = |OE2|.
De x-as kiezen we volgens de rechte OE1 en de y-as, die er loodrecht op staat volgens OE2.
In dit geval spreken we van een orthonormaal assenstelsel.
Figuur 1
Een vector is een wiskundig object dat bepaald is door drie elementen: een richting, een zin en
een grootte. Elke vector heeft een vertegenwoordiger met beginpunt O. Zo is op figuur 1
. Het volstaat dus het eindpunt van de vector met beginpunt O te kennen om deze
vector te bepalen. De coördinaat van het eindpunt is dan de coördinaat van de vector. We
noteren de vector
als . Op figuur 1 is de coördinaat van het punt A(3,4) de coördinaat
van de vector en we noteren co(
of ook
.
Bewerkingen met vectoren

De optelling van vectoren
Op figuur 2 is de vector de som van de vectoren (3, 2) en (-1, 4).
Dus is
+ met co( ) = (3, 2) + (-1, 4) = (3 + (-1), 2 + 4) = (2, 6).
2
De optelling van twee vectoren met zelfde beginpunt gebeurt dus volgens de
zogenaamde regel van het parallellogram (waarbij de somvector op de diagonaal van
het parallellogram ligt).
Figuur 2

De scalaire vermenigvuldiging of de vermenigvuldiging van een vector met een reëel
getal
Op figuur 3 zijn de vectoren
en
veelvouden van de vector
co( ) = 3.(2, 1) = (6, 3) en co( ) = -2.(2, 1) = (-4, -2).
3
Figuur 3
Op figuur 1 is
. Hieruit blijkt dat elke vector op een unieke manier kan
geschreven worden als een lineaire combinatie van de vectoren
(1,0) en
(0,1):
Men zegt daarom dat deze twee vectoren een stel basisvectoren zijn van het vectorvlak V.
-1.
noteren we als
, de tegengestelde vector van die ook gelijk is aan
Zo is bijvoorbeeld de tegengestelde vector van
gelijk aan
(-2, -3).
De vector
.
noemen we de nulvector met co( ) = (0, 0).
Coördinaat van een willekeurige representant van een vector
Hoe bepalen we de coördinaat van een vector waarvan
een representant (of
vertegenwoordiger) is en waarbij het beginpunt dus niet samenvalt met de oorsprong O?
Hiervoor gebruiken we de betrekking van Chasles-Möbius:
.
=
=
=
(tegengestelde vectoren)
.
Stel dat
Met andere woorden:
Merk op dat
kop-en-staart-regel.
en
, dan is
met
(zie figuur 4).
Deze regel voor de optelling van twee vectoren noemt men de
4
Figuur 4
Opgave 1.
a. Teken in een orthonormaal assenstel de vectoren
,
b. Teken dan de volgende vectoren en bepaal hun coördinaat:
1.
2.
en
3.
4.
.
c. Bepaal de coördinaat van
.
d. Teken de vector
en bepaal de coördinaat van deze somvector.
Opgave 2.
Gegeven : (1, 2),
,
Gevraagd: bepaal zodat ABCD een parallellogram is.
Hint. ABCD is een parallellogram
.
Opgave 3.
Als M het midden is van het lijnstuk [AB], dan is
De norm van een vector
De norm van een vector
Notatie:
= |AB|.
Als
en
+
) . Toon aan.
is de afstand tussen de punten A en B.
, dan is
en
Een genormeerde vector is een vector waarvan de norm gelijk is aan 1.
Gevolg.
k
Immers, als
, dan is
en dus is
5
=
Voorbeelden.
1. Als
2. Als
3.
(1, 2), dan is
(1, 2) en
en
.
, dan is
.
) is een genormeerde vector want
= 1.
Opgave 4.
Gegeven :
,
.
Bepaal de norm van de volgende vectoren:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Evenwijdige vectoren
//
Voorbeeld.
.
Als
),
) en
Hieruit blijkt dat
(figuur 5).
6
, dan is
en
of ook
Figuur 5
Opgave 5.
Bepaal x zodat
//
als
),
) en
.
Middenparallel in een driehoek
Het lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt, is half zo lang als de
derde zijde en loopt ermee evenwijdig. Dit lijnstuk noemt men een middenparallel.
We bewijzen dit met behulp van vectoren.
Gegeven:
Δ ABC
M is het midden van [AB]
N is het midden van [AC].
Te bewijzen : 1) MN // BC
2)
.
We geven hiervoor twee bewijzen.
Figuur 6
Eerste bewijs:
7
.
Omdat M het midden is van [AB] is
.
en omdat N het midden is van [AC] is
Dus is
=
=
.
Tweede bewijs:
Hiermee zijn telkens de twee eigenschappen van de middenparallel [MN] bewezen.
Zwaartepunt van een driehoek
Als Z het zwaartepunt is van driehoek ABC, dan is
Bewijs.
We vertrekken van de gekende eigenschap van het zwaartepunt Z :
, waarbij P
het midden is van de zijde [BC]. We kunnen dit als volgt uitdrukken met behulp van vectoren:
.
Figuur 7
Dus is
8
Bovendien is
+
) (zie opgave 3), waaruit volgt dat
Opgave 6.
a) Als Z het zwaartepunt is van driehoek ABC, dan is is
b) Bepaal de coördinaat van het zwaartepunt van driehoek ABC als
.
. Toon aan.
(0, 2),
en
Opgave 7.
De middens van de zijden van een willekeurige vierhoek bepalen een parallellogram.
Bewijs dit met behulp van vectoren (figuur 8).
Figuur 8
Opgave 8.
In Δ ABC is [AM] een zwaartelijn. Toon aan dat
.
Opgave 9.
In een trapezium ABCD zijn M en N de middens van de opstaande zijden [AD] en [BC].
Toon aan dat
.
Opgave 10.
Het lijnstuk bepaald door de middens van twee overstaande zijden van een willekeurige
vierhoek en het lijnstuk bepaald door het midden van de diagonalen van deze vierhoek, delen
elkaar middendoor. Bewijs dit met behulp van vectoren (figuur 9).
Hint. Toon aan dat PMQN een parallellogram is.
9
Figuur 9
Het scalair product van twee vectoren
In een driehoek OAB geldt de cosinusregel, die we met behulp van vectoren als volgt kunnen
schrijven:
De term
noemen we het scalair product van de vectoren
en
.
Definitie.
V
.
Merk op. Als
of
, dan is
Het scalair product van twee vectoren is dus een reëel getal!
Uit deze definitie leiden we nu de analytische uitdrukking af van het scalair product van twee
vectoren:
als
en
, dan is
(reken dit eens na).
10
Als
en
, dan is
.
We kunnen nu ook een analytische uitdrukking opstellen van de cosinus van de hoek bepaald
door twee vectoren :
als
en
Als
of
, dan is
, dan is de hoek tussen de vectoren
Als
en
Gevolg.
Twee vectoren
en
Voor
elkaar.
, dan is
.
en
) is
De hoek tussen de vectoren
2.
niet gedefinieerd.
staan loodrecht op elkaar als en slechts als hun scalair product 0 is:
Opmerking.
Voorbeelden.
1. Voor
en
en
en
en
is dus gelijk aan 180°.
) is
. De vectoren
11
en
staan loodrecht op
3.
Voor
en
) is
De hoek tussen de vectoren
22 en
en
Opgave 11.
Bereken telkens de hoek tussen de vectoren
1)
2)
3)
4)
5)
6)
is gelijk aan 41°49’13”.
en
en
en
en
en
en
en
.
.
.
.
.
.
Voorwaarde voor loodrechte stand van twee rechten
Twee rechten, niet evenwijdig met één van de coördinaatassen, staan loodrecht op elkaar als
het product van hun richtingscoëfficiënten gelijk is aan -1.
In symbolen: Als rechte a : y = m1x + q1 en rechte b : y = m2x + q2 dan is
Bewijs.
Teken de rechten a’ en b’ respectievelijke evenwijdig met a en b en door de oorsprong 0.
Dan is a’ : y = m1x
en
b’ : y = m2x .
De vector
) ligt dan volgens de richting bepaald door a (en a’) en de vector
)
ligt dan volgens de richting bepaald door b (en b’). Dit zijn dus richtingsvectoren van deze
rechten (figuur 10).
12
Figuur 10
Dan geldt:
Voorbeeld.
Op figuur 8 is
en
Dan is rico van a = 4 en rico van b =
, zodat
.
Opgave 12.
Welke van de volgende rechten zijn evenwijdig en welke rechten staan loodrecht op elkaar?
a : 3x + 2y – 4 = 0
b:x–y=0
c : y = 0,25x + 1,25
13
d: 2x + 3y – 4 = 0
e:y=x+2
f : 2x – 3y + 5 = 0
g : 4x + y = 1
h : 3x = 2y
Opgave 13.
Toon aan dat Δ PQR rechthoekig is als
1) P(2, -1)
2) P(-1, 1)
Q(4, 0)
Q(1, )
R(0, 3)
R(- , -1)
Het scalair product in de fysica
In de fysica stelt men kracht en verplaatsing voor door een vector. Stel dat men een kracht
met een grootte van 400 N (newton) uitoefent op een voorwerp en dat de grootte van de
verplaatsing gelijk is aan 10 m (meter).
(a) Indien de krachtvector evenwijdig is met de
verplaatsingsvector, dan is de verrichte arbeid W
(work) gelijk aan
400 N . 10 m . cos 0° = 4 000 J (joule).
(b) Indien de uitgeoefende niet evenwijdig is met de
verplaatsing, maar bijvoorbeeld een hoek maakt van
60° (figuur 9), dan is
400 N . 10 m . cos 60°
= 400 N . 10 m . 0,5 = 2 000 J.
Figuur 11
Toepassing. Vectoriële vergelijking en parametervergelijkingen van een rechte.
Twee verschillende punten A en B bepalen de rechte AB. We drukken met behulp van
vectoren uit dat een punt P op de rechte AB ligt.
14
Figuur 12
met
noemen we de vectoriële vergelijking van de rechte AB.
De vector
Merk op. Elke vector
noemen we een richtingsvector van de rechte AB.
waarbij PQ ∕∕ AB is een richtingsvector van AB.
Wanneer we in de vectoriële vergelijking elke vector vervangen door zijn coördinaat,
bekomen we een stel parametervergelijkingen van de rechte AB.
15
:
We noemen
, met
een stel parametervergelijkingen van de rechte AB met parameter r, met A(x1, y1) en B(x2, y2).
van de richtingsvector
noemen we een stel
richtingsgetallen van de rechte AB. Deze getallen zijn slechts op een factor k na bepaald
(k ≠ 0).
De coördinaat (
Voorbeeld.
De rechte AB met A(2, -1) en B(5, 4) heeft als parametervergelijkingen:
x = 2 + 3r
y = -1 + 5r , met
(3, 5) zijn een stel richtingsgetallen van de rechte AB.
Voor elke waarde die we nu aan de parameter r toekennen , bekomen we de coördinaat van
een punt op de rechte AB.
Voor r = 0 vinden we x = 2 en y = -1 (het punt A).
Voor r = 1 vinden we x = 5 en y = 4 (het punt B).
Voor r = 4 vinden we x = 14 en y = 19.
Merk op dat de parametervergelijkingen van een rechte AB niet uniek bepaald zijn. Wanneer
we de rol van de punt A en B omwisselen, bekomen we voor de rechte AB uit het
bovenstaande voorbeeld andere parametervergelijkingen:
x = 5 – 3r
y = 4 – 5r , met
Voor r = 0 vinden we de coördinaat van B.
Voor r = 1 vinden we de coördinaat van A.
Voor r = -3 vinden we x = 14 en y = 19.
Wanneer we uit een stel parametervergelijkingen van een rechte AB de parameter r
elimineren, vinden we de gekende cartesiaanse vergelijking van die rechte terug:
(1)
(2)
en we nemen aan dat x1 ≠ x2 .
Uit (1) volgt:
16
We vullen dit in in (2):
De vergelijking
noemen we de cartesiaanse vergelijking van de rechte AB met A(x1, y1) en B(x2, y2).
Opgave 14.
De vectoriële vergelijking van de rechte AB kan ook geschreven worden in de vorm
, met r + s = 1.
Toon dit aan.
Opgave 15.
Geef een stel parametervergelijkingen van de rechte door het punt P(3, 4) en die evenwijdig is
met
a)
b)
c)
d)
de x-as
de y-as
de rechte met als vergelijking 6x + 3y = 1
de rechte door de punten A(1, -2) en B(4, 5).
Opgave 16.
Bepaal een stel parametervergelijkingen en de cartesiaanse vergelijking van de rechte AB met
a) A(0, 0) en B(4, 2)
b) A(2, 0) en B(0, -2)
c) A(2, 3) en B(-1, -3)
d) A(-1, 3) en B(-1, 4)
e) A(2, -3) en B(4, -3).
17