Vector (wiskunde)

Vector (wiskunde)
Van Wikipedia
Een vector (Latijn: drager) is in de wiskunde een element van een vectorruimte en
daarmee een weinig specifiek begrip. Vectorruimten zijn echter generalisaties van
onze gewone driedimensionale ruimte, waarin punten voorgesteld worden door hun
drie coördinaten x, y en z. Zulke punten, opgevat als pijlen van de oorsprong tot het
punt (x,y,z) waren de eerste die vector genoemd werden, een term ingevoerd door
William Rowan Hamilton in 1837. Zo'n pijl stelt in de meetkunde en de natuurkunde
een grootheid voor die zowel grootte als richting heeft, zoals verplaatsing, snelheid,
versnelling, kracht, e.d.
Soms spreekt men ook over "gebonden vectoren". Een gebonden vector heeft niet
enkel een grootte en een richting, maar ook een aangrijpingspunt. Het
aangrijpingspunt is het punt waarin de vector "vertrekt". Vectoren zonder
aangrijpingspunt worden in dit verband "vrije vectoren" genoemd. Gebonden
vectoren vormen eigenlijk een vectorveld, een afbeelding van een ruimte in een
vectorruimte. Aan elk punt van de betrokken ruimte (het aangrijpingspunt) wordt
een vector toegevoegd. Deze vector is dus gebonden aan z'n aangrijpingspunt.
Voorstelling van een vector
Om vectoren te onderscheiden van scalaire grootheden, noteert men vectoren wel
met een vetgedrukte letter, bijvoorbeeld a of als letter met een pijltje erboven,
zoals . Dit is echter slechts een kwestie van notatie en heeft op zichzelf geen
enkele betekenis. In deze notatieconventie wordt de grootte van de vector (|a| of
) dan aangegeven door een gewone a.
Men tekent een vector als een pijl, beginnend in z'n aangrijpingspunt (bij vrije
vectoren is dat de oorsprong).
De vector a wordt dan ook geschreven als
. Als de vector a op de tekening een
gebonden vector is, is P het aangrijpingspunt van a. De afbeelding stelt een vector
in een tweedimensionale ruimte voor. Men kan ook vectoren in ruimtes met andere
dimensies beschouwen. Merk op dat men een (vrije) vector op verschillende
manieren kan tekenen. Wanneer men op eenzelfde afbeelding verschillende malen
dezelfde vector tekent, heeft men verschillende, evenwijdige pijltjes van gelijke
lengte die in dezelfde richting wijzen. Twee vectoren zijn gelijk als ze dezelfde
grootte en richting hebben. Voor gebonden vectoren komt hier nog de eis bij dat ze
hetzelfde aangrijpingspunt moeten hebben. Hierdoor ligt de grafische voorstelling
van een gebonden vector volledig vast: men kan niet op één afbeelding twee keer
(op een verschillende plaats) dezelfde gebonden vector tekenen. De vectoren a en b
op de volgende afbeelding zijn gelijk als het gaat om vrije vectoren, maar
verschillend als het gaat om gebonden vectoren, aangezien ze een verschillend
aangrijpingspunt hebben.
Een vector in een n-dimensionale ruimte kan, na een keuze van een basis van deze
ruimte, gerepresenteerd worden door n componenten. Laten we in wat volgt werken
in de ruimte van het tweedimensionale Euclidische vlak. Stel dat we als basis van
ons vlak de vectoren u1 en u2 hebben (omdat we werken met twee dimensies,
hebben we ook twee basisvectoren). Dan kan (per definitie van basis) elke vector a
geschreven worden als een lineaire combinatie van u1 en u2. Dit wil zeggen dat er
getallen a1 en a2 bestaan zodat a = a1u1+a2u2. De vectoren a1u1 en a2u2 heten de
componenten van de vector a en de getallen a1 en a2 noemt men de coördinaten
van a ten opzichte van de basis {u1, u2} De volgorde van a1 en a2 is belangrijk. In
dit geval zijn er twee componenten omdat we in twee dimensies werken. Indien het
duidelijk is over welke basis het gaat, vermeldt men vaak de basis niet. Vaak
gebruikt men de standaardbasis {e1, e2}: e1 wijst volgens de X-as en heeft lengte
1, e2 wijst volgens de Y-as en heeft ook lengte 1. Voor andere dimensies is de
definitie analoog. In drie dimensies noteert men de standaardbasis met {e1, e2,
e3}. Soms wordt ook de notatie {i, j, k} gebruikt: i wijst volgens de X-as, j volgens
de Y-as en k volgens de Z-as, ze hebben alle drie lengte 1. Twee (vrije) vectoren
zijn gelijk als en slechts als ze dezelfde componenten hebben. Men schrijft wel (met
de a van daarnet): a = (a1, a2), of als kolom:
Norm
In een vectorruimte met Euclidische norm wordt de norm (de 'lengte') van een ndimensionale vector v=(v1, v2, ..., vn) gegeven door:
.
Bewerkingen met vectoren
Men kan verschillende bewerkingen uitvoeren met vectoren.
Optellen van vectoren
Het optellen van vectoren kan men doen aan de hand van een tekening:
Om
te construeren, tekent men en zo, dat de pijltjes die deze vectoren
voorstellen in hetzelfde punt vertrekken. Daarna maakt men een parallellogram,
zoals op de tekening. Wanneer men dan een pijltje tekent dat begint in het zelfde
punt waar
en
beginnen, en dat gaat naar de overliggende hoek van het
parallellogram, bekomt men een voorstelling van
De lengte van de somvector
.
kan men bereken via de cosinusregel uit de
driehoeksmeetkunde. Indien de hoek tussen vector
en
gekend is, vindt men
door toepassing van de regel van complementaire hoeken
(omdat men bij
samenstelling van de vectoren een parallellogram (vierhoek bekomen door 2 aan 2
evenwijdige zijden) bekomt) dat de lengte van de som gelijk is aan:
|
|² = | |² + | |² + 2| |.| |.cos
cosinusregel :
^
a²= b²+ c² - 2bc.cos
b² = c²+ a² - 2ac.cos
c² = a² + b² - 2ab.cos
Er bestaat ook een andere manier om
als het pijltje dat
te construeren (kop-staartmethode):
voorstelt, gaat van P naar Q, teken je
voorstelt, begint in Q. Als dan het pijltje dat
P naar R een voorstelling van de vector
dit:
zo dat het pijltje dat
voorstelt, stopt in R, is het pijltje van
. De volgende afbeelding illustreert
Deze tekening illustreert meteen ook de gelijkheid van Chasles-Möbius:
Ook wanneer het niet mogelijk is om vectoren te tekenen, kun je een vectorsom
berekenen. Stel dat v=(v1, v2) en w = (w1, w2). Dan zal v+w = (v1 + w1, v2 + w2).
Wanneer men v en w beschouwt als kolommatrices, kan men gewoon deze matrices
optellen om v + w te bekomen.
Verschil van vectoren
b-a is hetzelfde als b + (-a), waarbij -a de vector is met dezelfde grootte als a,
maar met tegengestelde richting (zie het voorbeeld van de scalaire
vermenigvuldiging).
Vermenigvuldiging van een vector met een scalair
Scalaire vermenigvuldiging mag niet verward worden met het scalair product (zie
verder).
Om het verschil tussen getallen en vector aan te duiden, noemt men een getal ook
wel een "scalair": de componenten van een vector zijn scalairen. Wanneer men een
vector a vermenigvuldigt met een scalair k, krijgt men een nieuwe vector ka. De
lengte van ka is |k||a|. De richting blijft behouden als k > 0, en wordt omgekeerd
als k < 0. De volgende afbeelding illustreert dit:
Hierbij is -a gelijk aan (-1)a. Als a=(a1, a2, ..., an) ten opzichte van een willekeurige
basis, dan zal, ten opzichte van diezelfde basis, ka=(ka1, ka2, ..., kan).
Inproduct
Het inproduct (ook wel inwendig product of scalair product of dot product genoemd)
van twee vectoren a en b zegt iets over de hoek tussen de vectoren. Er geldt
namelijk:
,
waarin θ de hoek tussen a en b is. Soms wordt deze formule als definitie genomen
en moet het begrip hoek al bekend zijn. Ook wordt als definitie wel gehanteerd:
,
waarin a=(a1, a2, ..., an) en b=(b1, b2, ..., bn).
De hoek θ tussen de vectoren a en b is dan:
,
Als twee vectoren loodrecht op elkaar staan, is het inwendig product gelijk aan 0.
Uitproduct
Voor twee vectoren en in de gewone drie-dimensionale euclidische vectorruimte
bestaat ook het uitproduct (ook wel vectorproduct, kruisproduct, vectorieel product,
uitproduct of uitwendig product genoemd)
. Het vectorproduct is een vector
loodrecht op beide vectoren met een lengte gelijk aan de oppervlakte van het
parallellogram gevormd door de beide vectoren en de richting volgens de
kurkentrekkerregel (ook rechterhandregel genoemd).
Uitgedrukt in de coördinaten van
en
luidt het vectorproduct:
.
Merk op dat het uitproduct niet commutatief is:
geldt wel dat
dan in tegengestelde richting.
. Bij het uitproduct
: het uitproduct van BA is hetzelfde als AB, maar
Vectoren in de natuurkunde
In de mechanica wordt een kracht vaak voorgesteld door een vector: de grootte van
de vector is de grootte van de kracht, en de richting van de vector is de richting
waarin de kracht werkt.
Men kan een onderscheid maken tussen "scalaire grootheden" en "vectoriële
grootheden". Het verschil is dat een scalaire grootheid geen richting heeft, en een
vectoriële grootheid wel. Voorbeelden van scalaire grootheden uit de natuurkunde
zijn: massa, volume en temperatuur.
Voorbeelden van vectoriële grootheden zijn:




kracht
verplaatsing, snelheid, impuls en versnelling
impulsmoment
elektrische stroom (vaak wordt echter hiervan alleen de grootte aangegeven).
In de natuurkunde bestaan ook vectorvelden. Dit zijn velden in de ruimte, waar in
elk punt een vector staat die een verschillende grootte, maar ook een verschillende
richting kan hebben. Voorbeelden zijn:


zwaartekrachtveld
magneetveld

elektrisch veld
Vectoren in de wiskunde
In de context van de lineaire algebra is een vector een element van een
vectorruimte. In deze context hebben vectoren niet steeds een grootte en een
richting. Voorbeelden van vectoren zonder grootte en richting zijn vectoren uit een
vectorruimte over een eindig lichaam (Ned) / eindig veld (Be) of over het lichaam
(Nederlandse term; in België: veld) van de complexe getallen. Het is ook moeilijk
om van deze vectoren een tekening te maken. Merk op dat vectoren zoals ze
gebruikt worden in de natuurkunde, ook elementen zijn van een vectorruimte en
dus ook vectoren zijn in de context van de lineaire algebra.