zoz - Technische Natuurkunde - Technische Universiteit Eindhoven

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
Faculteit Technische Natuurkunde
Tentamen Elektromagnetisme 3 (3NC30)
donderdag 4 juli 2013 van 14u00 - 17u00
Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven met elk 3 onderdelen. Voor elk correct beantwoord onderdeel
worden 6 punten toegekend. Het tentamencijfer wordt bepaald door het totaal van de toegekende
punten te delen door 9 en daarna af te ronden.
Beschouw de constanten 0 , µ0 en c bij alle opgaven als gegeven. Belangrijk: maak steeds
voldoende duidelijk op welke wetten, principes en/of redenaties een antwoord
gebaseerd is!
Het gebruik van het boek, een grafische rekenmachine of een computer is niet toegestaan. Het
standaard formuleblad is te vinden op de laatste twee pagina’s van deze set opgaven. Daarnaast is
het toegestaan een handgeschreven, tweezijdig formuleblad van A5-formaat te gebruiken.
De voorlopige cijfers worden bekend gemaakt in de folder van het vak 3NC30 op OASE. Maak per
e-mail een afspraak met de docent om het tentamen te bespreken ([email protected]).
1.
a. Beschouw een oneindig lange solenoı̈de waarvan
de symmetrie-as samenvalt met de z-as. De
stroomdraad heeft een verwaarloosbare dikte en
is gewikkeld op een oppervlak met straal R met
n windingen per lengte-eenheid. Door de stroomdraad loopt een constante stroom ter grootte I in
de positieve φ-richting (zie figuur). Leid af dat het
magneetveld buiten de solenoı̈de gegeven is door
B = 0 en het magneetveld binnen de de solenoı̈de
door B = µ0 nI ẑ. Leid af dat voor
H de magnetische
vectorpotentiaal A geldt dat A · dl = Φ, waarbij Φ de magnetische flux is door het omsloten
oppervlak.
b. In welke richting staat de magnetische vectorpotentiaal A? Bereken A zowel buiten de
solenoı̈de (s > R) als binnen de solenoı̈de (s < R). Laat zien dat voor de berekende
vectorpotentiaal A geldt dat ∇ × A = B, zowel buiten als binnen de solenoı̈de.
c. Nu wordt een tijdsafhankelijke stroom I door de stroom draad gestuurd:
I = I0
t
T
waarbij I0 en T positieve constanten zijn. In welke richting staat het geı̈nduceerde
elektrische veld E? Bereken E zowel buiten de solenoı̈de (s > R) als binnen de solenoı̈de
(s < R).
z.o.z.
1
2. Een ladingsverdeling bestaat uit drie puntladingen: (1) een lading 3q op positie aẑ, (2) een
lading −2q op positie −aŷ, (3) een lading −2q op positie aŷ. Hierin zijn a en q constanten.
a. Bereken de arbeid die nodig was om deze ladingsverdeling op te bouwen.
b. Schrijf in bolcoördinaten de belangrijkste twee termen op van de multipool-benadering
van de elektrostatische potentiaal.
Nu wordt een dikke, geleidende bolschil om de ladingsverdeling aangebracht. Het centrum van
de bolschil valt samen met de oorsprong van het coördinatenstelsel. De stralen van binnenen buitenoppervlak van de bolschil zijn 3a en 4a.
c. De aanwezigheid van de puntladingen geeft aanleiding tot een geı̈nduceerde ladingsverdeling in de geleider. Beschrijf in woorden hoe die geı̈nduceeerde ladingsverdeling eruit
ziet (ga in op grootte, teken, plaats en homogeniteit) en maak duidelijk uit welke wetten
of principes dit volgt. Illustreer uw uitleg met een schets. Geef tenslotte een uitdrukking
voor de elektrostatische potentiaal in de ruimte buiten de geleider.
3. Beschouw een uniform gepolariseerde bol met straal R waarvan het centrum samenvalt met
de oorsprong van het coördinatenstelsel. De polarisatie binnen de bol wordt gegeven door
P = P ẑ. Buiten de bol heerst vacuüm. De resulterende elektrostatische potentiaal V (r)
kan zowel binnen als buiten de bol in bolcoördinaten worden geschreven met behulp van de
algemene oplossing
V (r) =
∞ X
A` r` + B` /r`+1 P` (cos θ)
waarin
`=0
1
P` (x) = `
2 `!
d
dx
`
(x2 − 1)` met
Z
1
1
P` (x)Pm (x) dx = δ`m /(` + ).
2
−1
a. Laat zien dat uit de vergelijkingen van Maxwell volgt dat de radiële afgeleiden ∂V
∂r van de
elektrostatische potentialen binnen (Vbinnen ) en buiten (Vbuiten ) de bol aan het oppervlak
van de bol (r = R) voldoen aan
∂Vbuiten ∂Vbinnen
−
= −P cos θ/0 .
∂r
∂r
b. Schrijf genoeg andere randvoorwaarden op waar de elektrostatische potentiaal aan moet
voldoen om de potentiaal eenduidig vast te leggen, en vertaal deze naar vergelijkingen
waaraan de coëfficiënten A` en B` van de elektrostatische potentiaal binnen en buiten de
bol moeten voldoen.
c. Bereken de coëfficiënten A` en B` van de elektrostatische potentiaal binnen de bol voor
alle `.
z.o.z.
2
4. Een puntlading +q, met q > 0, bevindt zich op positie z = d op de positieve z-as, boven een
geaard geleidende oppervlak in het xy-vlak (z = 0).
a. Beredeneer waarom het veld veroorzaakt door de combinatie van de puntlading en het
geleidende oppervlak voor z > 0 gelijk is aan het veld gegenereerd door de combinatie
van dezelfde puntlading +q op z = d en een spiegellading −q op z = −d. Illustreer uw
redenering met een duidelijke schets van de elektrische veldlijnen.
b. Leid af dat de geinduceerde oppervlakteladingsdichtheid σ op het oppervlak van de
geleider gegeven wordt door
σ(x, y) =
2π(x2
−qd
.
+ y 2 + d2 )3/2
Bereken de totale hoeveelheid lading die geı̈nduceerd wordt op het geleidende oppervlak.
Bereken de kracht die het geleidende oppervlak op de puntlading uitoefent.
c. Beschouw twee half-oneindige, geaarde, geleidende oppervlakken,
de een in het xy-vlak (z = 0), de ander in het yz-vlak (x =
0), die elkaar loodrecht snijden in de y-as. Een puntlading +q
(q > 0) bevindt zich in het punt met coördinaten (x = a, y =
0, z = b), met a > 0 en b > 0 (zie figuur). Geef aan welke
spiegelladingen (teken en grootte) op welke posities (coördinaten)
geplaatst moeten worden om het veld in het gebied x > 0, z > 0
te kunnen bepalen. Licht uw antwoord toe.
z.o.z.
3
5. Een oneindig lange, coaxiale golfgeleider bestaat uit een massieve
cilinder met straal a die omgeven is door een geaarde, dikwandige, holle, concentrische cilinder met binnenstraal b (zie figuur).
Beide cilinders zijn ideale geleiders en hun symmetrie-as valt samen met de z-as van het coördinatenstelsel. De ruimte tussen
de cilinders is gevuld met een niet-magnetisch, uniform, lineair
diëlektrisch materiaal met diëlektrische constante r > 1. Door
dit materiaal loopt een TEM golf waarvan het magnetische veld
(in cilindercoördinaten) gegeven is door
B(r, t) = <{B0 (a/s) φ̂ ei(kz−ωt) }
waarin <{· · · } het reëele deel voorstelt en B0 , k en ω positieve constanten zijn.
a. Laat m.b.v. de wetten van Maxwell zien dat het elektrische veld van de golf voldoet aan
E(r, t) = <{E0 (a/s) ŝ ei(kz−ωt) }
en geef een uitdrukking voor de constante E0 .
b. Bereken de vrije ladingsdichtheid op het oppervlak van de binnenste geleider en de vrije
stroom door de binnenste geleider. Maak duidelijk op welke wetten of principes de
berekeningen gebaseerd zijn.
c. Bereken de tijdgemiddelde energiestroom door het XY -vlak.
EINDE
4
FORMULEBLAD 3NC30: E&M3
Vectoridentiteiten
A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B)
A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B)
∇(f g) = f (∇g) + g(∇f )
∇(A · B) = A × (∇ × B) + B × (∇ × A) + (A · ∇)B + (B · ∇)A
∇ · (f A) = f (∇ · A) + A · (∇f )
∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B)
∇ × (f A) = f (∇ × A) + (∇f ) × A
∇ × (A × B) = (B · ∇)A − (A · ∇)B + A(∇ · B) − B(∇ · A)
∇ · (∇ × A) = 0
∇ × (∇f ) = 0
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A
Coördinatenstelsels
• Cilindercoördinaten:
x = s cos φ
y = s sin φ
z=z
x̂ = cos φ ŝ − sin φ φ̂
ŷ = sin φ ŝ + cos φ φ̂
ẑ = ẑ
p
s = x2 + y 2
φ = arctan(y/x)
z=z
ŝ = cos φ x̂ + sin φ ŷ
φ̂ = − sin φ x̂ + cos φ ŷ
ẑ = ẑ
• Bolcoördinaten:
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
x̂ = sin θ cos φ r̂ + cos θ cos φ θ̂ − sin φ φ̂
ŷ = sin θ sin φ r̂ + cos θ sin φ θ̂ + cos φ φ̂
ẑ = cos θ r̂ − sin θ θ̂
p
2 + z2
r = x2 + yp
θ = arctan ( x2 + y 2 /z)
φ = arctan (y/x)
r̂ = sin θ cos φ x̂ + sin θ sin φ ŷ + cos θ ẑ
θ̂ = cos θ cos φ x̂ + cos θ sin φ ŷ − sin θ ẑ
φ̂ = − sin φ x̂ + cos φ ŷ
5
Gradiënt, divergentie, rotatie, Laplaciaan
• in Cartesische coördinaten: d`` = dx x̂ + dy ŷ + dz ẑ, dτ = dx dy dz
∇f
=
∂f
∂f
∂f
x̂ +
ŷ +
ẑ
∂x
∂y
∂z
∂vx ∂vy
∂vz
+
+
∂x
∂y
∂z
∂vy
∂vy
∂vx ∂vz
∂vz
∂vx
x̂ +
ŷ +
ẑ
∇×v =
−
−
−
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∇·v =
∇2 f
=
∂2f
∂2f
∂2f
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
• in cilindercoördinaten: d`` = ds ŝ + s dφ φ̂ + dz ẑ, dτ = s ds dφ dz
∇f
=
∂f
1 ∂f
∂f
ŝ +
φ̂ +
ẑ
∂s
s ∂φ
∂z
1 ∂vφ ∂vz
1 ∂
(svs ) +
+
s ∂s
s ∂φ
∂z
∂vφ
1 ∂vz
∂vs ∂vz
1 ∂
1 ∂vs
∇×v =
−
ŝ +
−
φ̂ +
(svφ ) −
ẑ
s ∂φ
∂z
∂z
∂s
s ∂s
s ∂φ
∇·v =
2
∇ f
=
1 ∂
s ∂s
∂f
1 ∂2f
∂2f
s
+ 2 2+ 2
∂s
s ∂φ
∂z
• in bolcoördinaten: d`` = dr r̂ + r dθ θ̂ + r sin θ dφ φ̂
φ̂, dτ = r2 sin θ dr dθ dφ
∇f
=
∂f
1 ∂f
1 ∂f
r̂ +
θ̂ +
φ̂
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
1 ∂ 2
1 ∂
1 ∂vφ
(r vr ) +
(vθ sin θ) +
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
1 ∂
1 ∂vθ
∇×v =
(vφ sin θ) −
r̂
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
∇·v =
+
2
∇ f
=
1 ∂vr
1 ∂
1 ∂
1 ∂vr
−
(rvφ ) θ̂ +
(rvθ ) −
φ̂
r sin θ ∂φ
r ∂r
r ∂r
r ∂θ
1 ∂
r2 ∂r
r
2 ∂f
∂r
1
∂
+ 2
r sin θ ∂θ
6
∂f
1
∂2f
sin θ
+ 2 2
∂θ
r sin θ ∂φ2