Fourieranalyse

Fourieranalyse
J. Hulshof
November 17, 2011
Inleiding. Dit onderwerp begint met het inzicht dat 2π-periodieke (reele of
complexe) functies f (x) met x ∈ IR te schrijven zijn als sommen van de standaard 2π-periodieke functies. Complex geschreven:
∞
X
f (x) =
cn einx
n=−∞
(op het eerste gezicht een Laurentreeks in ζ = eix ), met, zo zal blijken,
Z π
1
f (x)e−inx dx.
cn =
2π −π
Het begrip uniforme convergentie en de maximumnorm
||f ||∞ = max |f (x)|
x∈IR
komen hierbij langs, maar ook de 2-norm
sZ
π
||f ||2 =
|f (x)|2 dx
−π
en convergentie in die norm. De Fouriercoefficienten zijn in feite de coordinaten
van f ten opzichte van een orthonormale basis in een oneindig dimensionale
complexe vectorruimte met een inwendig produkt. We werken dit eerst in een
reele setting uit.
Deze Fourierrepresentatie van een 2π-periodieke f kunnen we ook schrijven als
f (x) =
met
fˆ(n) =
∞
1 X ˆ
f (n)einx ,
2π n=−∞
Z
π
f (x)e−inx dx.
−π
Op deze manier zien we de Fouriercoefficienten cn (modulo de factor 2π) als een
nieuwe functie fˆ : ZI → C
1 . Het verband tussen cn en fˆ(n) is dat 2πcn = fˆ(n).
1
De functie heet fˆ de Fouriergetransformeerde van f : [−π, π] → C
1 , waarbij we
f stilzwijgend 2π-periodiek uitbreiden tot f : IR → C
1.
Wat voor 2π-periodieke functies kan ook voor 2R-periodieke functies, en in
de limiet R → ∞ worden Fourierreeksen (gezien als Riemannsommen) Fourierintegralen. Deze overgang maken we precies voor zogenaamde testfuncties:
functies die oneindig vaak differentieerbaar zijn en identiek aan nul in de buurt
van oneindig zodat bij partieel integreren de stoktermen altijd wegvallen. Voor
zo’n testfunctie φ(x) krijgen we zo in plaats van een Fourierreeks een Fourierintegraal
Z ∞
1
φ̂(λ) eiλx dλ,
φ(x) =
2π −∞
waarin de rol van fˆ(n) is overgenomen door deze Fouriergetransformeerde
Z ∞
φ̂(λ) =
φ(x)e−iλx dx,
−∞
een functie van een continue parameter λ ∈ IR. Interessant om veel redenen,
bijvoorbeeld omdat, via partieel integreren,
φ̂0 (λ) = iλφ̂(λ),
φˆ00 (λ) = −λ2 φ̂(λ), . . .
Differentiëren wordt zo een algebraische operatie!
Fourierintegralen van dit type kunnen we met de residustelling vaak uitrekenen. Zie Secties 80 en 81 van Churchill & Brown. In dit verband speelt ook de
dichtheidsfunctie van de normale verdeling een opvallende rol.
1
Fourierreeksen
De functie
f7 (x) = sin x −
sin 2x sin 3x sin 4x sin 5x sin 6x sin 7x
+
−
+
−
+
2
3
4
5
6
7
is periodiek met periode 2π. Op het interval (−π, π) ligt de grafiek van f7
vlakbij de grafiek van de oneven functie f (x) = 21 x. Kennelijk is
∞
x X
sin kx
=
(−1)k+1
,
2
k
(1.1)
k=1
maar alleen voor −π < x < π.
Exercise 1 Er is een verband met machtreeksen: het rechterlid in (1.1) is het
imaginaire deel van
∞
X
(−1)k+1 k
ζ , ζ = eix .
k
k=1
Bepaal de som van deze machtreeks voor |ζ| < 1. Hint: differentieer naar ζ,
sommeer en primitiveer.
2
Exercise 2 Volgens de complexe versie van het criterium van Leibniz convergeert de machtreeks in in Opgave 1 voor alle ζ met |ζ| = 1 behalve ζ = −1.
Aangenomen dat de somfunctie die je in Opgave 1 hebt gevonden ook geldig is
voor alle ζ met |ζ| = 1 waar de reeks convergeert, verifieer (1.1). Op de complexe versie van het criterium van Leibniz en de aanname komen we nog terug
in Sectie ??.
De reeks in (1.1) heet een Fouriersinusreeks. Maken we van de “minnen” plussen
dan vinden we dat de grafiek van de functie
h7 (x) = sin x +
sin 2x sin 3x sin 4x sin 5x sin 6x sin 7x
+
+
+
+
+
2
3
4
5
6
7
op het interval (0, 2π) vlakbij de grafiek van de functie f (x) =
π−x
2
ligt.
De functie
g7 (x) = cos x −
cos 2x cos 3x cos 4x cos 5x cos 6x cos 7x
+
−
+
−
+
4
9
16
25
36
49
heeft een grafiek op het interval (−π, π) vlakbij de grafiek van de even functie
g(x) =
ligt. Kennelijk is
π2
x2
−
12
4
∞
π2 X
cos kx
x2
=
+
(−1)k
.
4
12
k2
k=1
Het rechterlid, inclusief de constante term, heet een Fouriercosinusreeks. Invullen van x = 0 geeft
π2
1 1
1
1
=1− + −
+
− ···.
12
4 9 16 25
We zullen zien dat bij even 2π-periodieke functies Fouriercosinusreeksen horen,
en bij oneven 2π-periodieke functies Fouriersinusreeksen. Omdat elke functie te
splitsen is in een even en een oneven functie,
f (x) =
f (x) + f (−x) f (x) − f (−x)
+
,
2
2
hoort zo bij een algemene 2π-periodieke functie de som van een Fouriercosinusreeks en een Fouriersinusreeks. Zo’n som heet een Fourierreeks. Schrijven we
de cosinussen en sinussen uit in complexe e-machten,
cos x =
eix + eix
,
2
sin x =
3
eix − eix
,
2i
dan wordt een algemene Fourierreeks een reeks van de vorm
∞
X
k=−∞
∞
ck eikx =
a0 X
+
(ak cos kx + bk sin kx)
2
(1.2)
k=1
Uiteindelijk zullen we er voor kiezen om met de complexe vorm te werken, het
linkerlid in (1.2) dus, een Laurentreeks in ζ = eix .
Uit de Cauchy integraal formules hebben we Laurentreeksen van de vorm
∞
X
ck ζ k
(1.3)
k=−∞
zien verschijnen voor complex differentieerbare functies f (ζ) op een annulus
{ζ ∈ C
1 : R1 < |ζ| < R2 },
waarbij het plusstuk
∞
X
ck ζ k
k=0
convergent is voor |ζ| < R2 en het minstuk
∞
X
c−k ζ −k
k=1
convergent is voor |ζ| > R1 . Als R1 = 0 dan heeft f (ζ) in ζ = 0 een al dan niet
ophefbare singulariteit. Omgekeerd, als we met een willekeurige Laurentreeks
van de vorm (1.3) beginnen dan zijn er bijbehorende R1 en R2 zodat het plusstuk
convergeert naar een complex differentieerbare functie op {ζ ∈ C
1 : |ζ| < R2 } en
het minstuk naar een complex differentieerbare functie op {ζ ∈ C
1 : |ζ| > R1 }.
A priori kunnen zowel R1 als R2 ook 0 of ∞ zijn, en in het algemeen kan R1
groter of kleiner zijn dan R2 . Laurentreeksen die verschijnen als Fourierreeksen
van 2π-periodieke functies f (x) via ζ = eix hebben meestal R1 = R2 = 1. In het
vervolg zullen we zulke 2π-periodieke functies zien als functies f : (−π, π) → C
1.
Fourierreeksen gaan terug tot Daniel Bernouilli, die de golfvergelijking
∂2u
∂2u
=
∂t2
∂x2
voor bijvoorbeeld 0 < x < π en met randvoorwaarde u = 0 voor x = 0 en x = π,
met Fouriersinusreeksen probeerde op te lossen. Later was Fourier de eerste die
voor een gegeven functie f de coefficienten in integralen wist uit de drukken,
toen hij Fouriersinusreeksen gebruikte om de warmtevergelijking
∂u
∂2u
=
∂t
∂x2
4
op te lossen.
Tegenwoordig zien we de functies
1
, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . ,
2
en
. . . , e−3ix , e−2ix , e−ix , e0ix = 1, eix , ei2x , e3ix , . . .
als orthonormale bases in een (Hilbert)ruimte van functies, en de Fouriercoefficienten als coordinaten ten opzichte van deze basis. Voor een grote klasse van
functies f : (−π, π) → IR zijn de Fouriercoefficienten ak , bk en ck als coordinaten van f ten opzichte van deze bases gedefinieerd. De N -de partiële som van
de Fourierreeks van f is
SN f (x) =
N
X
k=−N
N
ck e
ikx
a0 X
+
(ak cos kx + bk sin kx),
=
2
(1.4)
k=1
met Fouriercoefficienten
Z
Z
1 π
1 π
f (x) cos nx dx, bn =
f (x) sin nx dx,
an =
π −π
π −π
Z π
1
cn =
f (x)e−inx dx.
2π −π
(1.5)
(1.6)
Het volgende programma is bedoeld om vertrouwd te raken met Fourierreeksen.
Gebruik Maple/Mathematica voor de plotjes. De integralen kun je beter met
de hand doen.
Rπ
Rπ
Exercise 3 Bereken −π cos nx cos mx dx en −π cos nx sin mx dx voor gehele
m en n.
Exercise 4 Laat f : (0, π) → IR gegeven zijn door f (x) = 1 en kies een 2πperiodieke uitbreiding f : IR → IR die even is (i.e. f (x) = f (−x)). Bereken alle
Fouriercoefficienten an en bn .
Exercise 5 Laat f : (0, π) → IR gegeven zijn door f (x) = 1 en kies een 2πperiodieke uitbreiding f : IR → IR die oneven is (i.e. f (x) = −f (−x)).
1. Bereken alle Fouriercoefficienten an en bn .
2. Plot f en SN f (voor een aantal waarden van N ) in een grafiek.
3. Onderzoek numeriek wat er gebeurt met de grootte en plaats van het
maximum van SN f als N → ∞.
4. Vereenvoudig SN f in x = π2 . Vergelijk dit met f ( π2 ). Van welke gewone
reeks is, aangenomen dat SN f ( π2 ) naar f ( π2 ) convergeert, nu de som te
bepalen?
5
5. Idem voor x =
π
4.
Exercise 6 Laat f : (0, π) → IR gegeven zijn door f (x) = sin x. Kies een even
2π-periodieke uitbreiding f : IR → IR. Bereken alle Fouriercoefficienten an en
bn .
1. Bereken alle Fouriercoefficienten an en bn .
2. Plot f en SN f (voor een aantal waarden van N ) in een grafiek.
3. Vereenvoudig SN f in x = 0. Vergelijk dit met f (0). Van welke gewone
reeks is, aangenomen dat SN f (0) naar f (0) convergeert, nu de som te
bepalen?
4. Idem voor x =
π
2.
5. Idem voor x =
π
4.
Exercise 7 Laat f : (0, π) → IR gegeven zijn door f (x) = cos x en kies een
oneven 2π-periodieke uitbreiding f : IR → IR.
1. Bereken alle Fouriercoefficienten an en bn en plot f en SN f (voor een
aantal waarden van N ) in een grafiek.
2. Vergelijk het gedrag bij x = 0 voor N groot met dat in som 5.
3. Neem nu de oneven 2π-periodieke uitbreiding f (x) = 1−cos x (het verschil
van de functie in som 5 en de functie in deze som). Onderzoek numeriek
het gedrag van SN f bij x = 0 voor N .
Exercise 8 Laat f : (0, π) → IR gegeven zijn door f (x) = π − x en kies een
oneven 2π-periodieke uitbreiding f : IR → IR.
1. Bereken alle Fouriercoefficienten an en bn en plot f en SN f (voor een
aantal waarden van N ) in een grafiek.
2. Differentieer SN f (x) naar x en noem de afgeleide dN (x). Zijn er waarden
van x waarvoor dN (x) convergeert als N → ∞?
Exercise 9 Laat f : (0, π) → IR gegeven zijn door f (x) = x(π − x) en kies een
oneven 2π-periodieke uitbreiding f : IR → IR.
1. Bereken alle Fouriercoefficienten an en bn en plot f en SN f (voor een
aantal waarden van N ) in een grafiek.
2. Vereenvoudig SN f in x = π2 . Vergelijk dit met f ( π2 ). Van welke gewone
reeks is, aangenomen dat SN f (x) naar f (x) convergeert, nu de som te
bepalen?
3. Differentieer SN f (x) naar x en noem de afgeleide gN (x). Laat zien dat
gN (x) op IR uniform convergeert naar een limietfunctie.
4. Bepaal die limietfunctie numeriek.
5. Vergelijk gN (0) met zijn limietwaarde. Welke som van welke gewone reeks
vinden we nu?
6
2
Convergentie van Fourierreeksen
Bij de vraag of, en in welke zin, de Fourierreeks convergeert, en ook als limiet
f heeft, m.a.w. of
f (x) =
∞
X
∞
ck eikx =
a0 X
+
(ak cos kx + bk sin kx),
2
k=1
k=−∞
speelt het begrip convolutie een belangrijke rol.
Exercise 10 Laat zien dat
1
SN f (x) =
2π
Z
π
DN (y)f (x − y)dy,
−π
de convolutie van de functies Dn en f op (−π, π), waarbij
DN (x) =
N
X
sin(N + 21 )x
=
eikx .
sin 12 x
k=−N
(2.7)
Maak plotjes van DN voor een aantal waarden van N .
De functie DN heet de Dirichlet kern. Voor grote N concentreert deze functie
zich bij 0 met een steeds smallere piek waarvan de oppervlakte naar 2π gaat.
Dat is de reden dat SN f (x) naar f (x) convergeert als f voldoende netjes is.
Omdat DN voor grotere N steeds meer tekenwisselingen heeft is dit lastig om
te bewijzen. Het gemiddelde van D0 ,..,DN ,
FN (x) =
(N +1)x
2
x
2
1 sin2
1
(D0 (x) + · · · + DN (x)) =
N +1
N + 1 sin2
,
(2.8)
is een veel mooiere functie. Geen tekenwisselingen, integraal 2π, en gepiekt in
0.
Exercise 11 Leidt de laatste gelijkheid in (2.8) door
sin
x
(N + 1)x
+ · · · + sin
2
2
als imaginair deel van een eindige meetkundige reeks te schrijven. Verifieer ook
dat
Z π
FN (x)dx = 2π,
−π
en dat FN (x) → 0 als N → ∞ behalve in veelvouden van 2π. Preciezer:
0 < δ ≤ x ≤ π ⇒ 0 ≤ FN (x) ≤
1
1
.
N + 1 sin2 2δ
Voor vaste δ is de bovengrens klein te maken door N groot te maken. Merk
op dat FN (x) even en 2π periodiek is. Maak plotjes van FN voor een aantal
waarden van N .
7
Als een rij getallen an convergeert naar een limiet A, dan convergeren ook de
gemiddelden
a1 + a2 + · · · + an
n
naar A. De laatste limiet kan ook bestaan als de rij an zelf niet convergeert. Als
we de rij an gebruiken om een A te benaderen dan kunnen we dus net zo goed
eerst naar de gemiddelden kijken. Dat is het idee achter de Cesarosommen:
Exercise 12 Definieer
σN f =
1
(S0 f + S1 f + · · · + SN f ),
N +1
de Cesarosommen van f . Laat zien dat
Z π
1
σN f (x) =
FN (y)f (x − y)dy.
2π −π
Exercise 13 Laat f een integreerbare (lees: begrensde stuksgewijs continue)
2π-periodieke functie zijn. Laat zien dat dan
Z π
1
σN f (x) − f (x) =
FN (y) (f (x − y) − f (x)) dy
2π −π
Exercise 14 Laat f een integreerbare 2π-periodieke functie zijn, met |f (x)| ≤
M voor alle x, waarbij M ≥ 0 vast is. Neem aan dat voor x vast en |y| ≤ δ
geldt dat |f (x − y) − f (x)| ≤ . Laat zien dat dan
Z π
1
1
2M
|σN f (x) − f (x)| =
FN (y)|f (x − y) − f (x)|dy ≤ +
.
2π −π
N + 1 sin2 2δ
Hint: splits de integraal in 3 integralen.
Exercise 15 Laat f een 2π-periodieke continue functie zijn. Dan is f uniform
continu en begrensd. Waarom? Bewijs dat σN f uniform naar f convergeert als
N → ∞.
Exercise 16 Laat f een 2π-periodieke begrensde stuksgewijs continue functie
zijn met de eigenschap dat in elk punt de linker en de rechterlimiet bestaan.
Bewijs dat voor elke x de rij σN f (x) convergeert als N → ∞. Wat is de limiet?
Hint: splits de integraal in 4 integralen.
Exercise 17 Laat f : [−π, π] → IR 2 keer continu differentieerbaar zijn met
f (±π) = f 0 (±π) = f 00 (±π) = 0. Bewijs dat f in elk punt de som van zijn
(uniform convergente) Fourierreeks is. Hint: laat met partieel integreren en
schatten zien dat de Fouriercoefficienten an en bn sommeerbare rijen vormen.
8
Opgave 15 laat zien dat in de ruimte van continue functies 2π-periodieke functies
voorzien van de maximumnorm
||f ||∞ = max |f (x)|
x∈IR
geldt dat de Cesarosommen van f naar f convergeren: ||σN f − f ||∞ → 0
als N → ∞. Maar hoe zit het met SN f zelf? Daartoe is een andere norm
veel geschikter. Bij lineaire algebra
of topologie zijn ongetwijfeld verschillende
normen van 2-vectoren x = xx12 behandeld, bijvoorbeeld
||x||∞ = max(x1 , x2 ),
||x||1 = |x1 | + |x2 |,
1
||x||2 = (|x1 |2 + |x2 |2 ) 2 .
Als we in de laatste norm elke 2 door p vervangen (niet de subscript!) dan
krijgen we de p-norm. De p-norm is een norm als p ≥ 1. Je kunt er mee rederen
zoals je dat gewend bent bij de absolute waarde. De normaxioma’s zijn, voor
vectoren x en y, en scalairen λ:
||x|| ≥ 0;
||x|| = 0 ⇔ x = 0;
||λx|| = |λ| ||x||;
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
Alleen de 2-norm is een inprodukt norm. Met x · y = x1 y1 + x2 y2 geldt
||x||22 = x · x.
Om ook voor functies de 2-norm in te voeren maken we eerst een inprodukt.
Hieronder zijn f en g steeds 2π-periodieke stuksgewijs continue functies f, g :
IR → IR. We doen dus alles eerst nog reeel. Met stuksgewijs continu bedoelen we
dat op elk begrensd interval er slechts eindig veel punten zijn waar de functie niet
continu is en dat in die punten linker- en rechterlimieten bestaan. De integraal
Z π
f ·g =
f (x)g(x)dx
(2.9)
−π
heet het inprodukt van de functies f en g. We zien f en g als vectoren. Voor
elke x zou je dan f (x) en g(x) als coordinaten van f en g kunnen zien. Daar
heb er dan wel heel veel van, voor elke x één van f en één van g. Overeenkomstige coordinaten vermenigvuldigen en sommeren gaat niet, maar integreren wel.
Vandaar de inproduktnotatie. Omdat we alles nog reeel doen kunnen we nu gebruik maken van onze intuitie voor gewone reele vectorruimten en inprodukten
daarop.
Als f · g = 0 dan zeggen we dat f en g loodrecht op elkaar staan. De 2-norm
van f wordt gedefinieerd door
p
(2.10)
kf k2 = f · f ,
9
zeg maar de lengte van f gezien als vector. Er geldt de volgende implicatie
(Pythagoras)
f · g = 0 ⇒ kf + gk22 = kf k22 + kgk22 .
(2.11)
Hieronder schrijven we
N
c0 X
SN g(x) =
+
(ck cos kx + dk sin kx),
2
(2.12)
k=1
dus f heeft reele Fouriercoefficienten ak en bk , en g heeft reele Fouriercoefficienten ck en dk . Je kunt nu het volgende programma afwerken.
Exercise 18 De Cauchy-Schwartz ongelijkheid zegt dat |f · g| ≤ kf k2 kgk2 .
1. Bewijs
R π deze ongelijkheid voor functies f en g met kf k2 = kgk2 = 1 door
0 ≤ −π (f (x) − g(x))2 dx = . . . uit te werken.
2. Bewijs de Cauchy-Schwartz ongelijkheid. Hint: pas onderdeel 1 toe op
f (x)/kf k2 en g(x)/kgk2 .
3. Bewijs de driehoeksongelijkheid voor de 2-norm
kf + gk2 ≤ kf k2 + kgk2 .
(2.13)
Exercise 19 Laat zien dat
N
1 2 X 2
a +
(ak + b2k )
2 0
2
kSN f k2 = π
!
k=1
Exercise 20 Laat zien dat
SN f · SN g = π
!
N
X
1
a0 c0 +
(ak ck + bk dk )
2
k=1
Exercise 21 Definieer RN f = f − SN f en, met
σN f =
1
(S0 f + S1 f + · · · SN f ),
N +1
ook ρN f = f − σN f .
1. Laat zien dat RN f · SN f = 0.
2. Laat zien dat RN f · σN f = 0.
3. Laat zien dat
kSN f k22 + kRN f k22 = kf k22 ,
zodat kSN f k2 ≤ kf k2 , en dat (Bessel’s ongelijkheid)
N
1 2 X 2
1
a +
(ak + b2k ) ≤
2 0
π
k=1
10
Z
π
−π
f (x)2 dx.
(2.14)
4. Laat zien dat
kRN f k22 + kσN f − SN f k22 = kρN f k22 .
5. In Opgave 15 is bewezen dat als f continu en 2π-periodiek is dat dan
σN f → f uniform op IR als N → ∞. Bewijs dat in dat geval ook
kRN f k2 → 0 en dat dus (gelijkheid van Parceval)
Z
∞
1 π
1 2 X 2
f (x)2 dx.
(2.15)
a0 +
(ak + b2k ) =
2
π −π
k=1
Hint: gebruik onderdeel 4.
6. Laat zien dat
f · g = (SN f + RN f ) · (SN g + RN g)
= SN f · SN g + RN f · RN g.
7. Bewijs dat als f en g continu en 2π-periodiek zijn, dat
Z
∞
X
1
1 π
1
a0 c0 +
(ak ck + bk dk ) =
f (x)g(x)dx = f · g.
2
π −π
π
(2.16)
k=1
Hint: gebruik onderdeel 6, som 20 en pas de Cauchy-Schwartz ongelijkheid
toe op RN f · RN g.
Exercise 22 In deze som laten we zien dat de gelijkheid van Parceval (2.15)
ook geldt voor 2π-periodieke stuksgewijs continue functies. Laat f : IR → IR
zo’n functie zijn. Hint: laat zien dat er een rij 2π-periodieke continue functies
fk : IR → IR bestaat met
Z π
kfk − f k22 =
(fk (x) − f (x))2 dx → 0
−π
als k → ∞. Als f discontinu is in x0 , vervang f (x) dan op het interval (x0 −
1
1
k , x0 + k ) door een lineaire functie, zó dat de nieuwe functie fk continu is en
lineair op (x0 − k1 , x0 + k1 ).
Exercise 23 Bewijs de gelijkheid van Parceval (2.15) voor f . Hint: de gelijkheid van Parceval is equivalent met kRN f k2 → 0. Schrijf
RN f = f − fk + fk − SN fk + SN fk − SN f = (f − fk ) + RN fk + SN (fk − f )
en gebruik de driehoeksongelijkheid (2.13) en som 3 voor SN (fk −f ) om kRN f k2
klein te krijgen. Kies hiertoe, gegeven een > 0, eerst een vaste k groot genoeg,
en redeneer dan verder.
Exercise 24 (Het Gibbs verschijnsel) De Fouriersinusreeks van f (x) = π − x
heeft bn = n2 . De oneven 2π-periodieke uitbreiding van f heeft f (0+ ) = π en
f (0− ) = −π. De N -de Fouriersinussom is
N
X
2
SN f (x) =
sin nx.
n
n=1
11
1. Laat zien dat
Z
x
x + SN f (x) =
DN (s)ds.
0
2. De integraal in het rechterlid heeft extrema in de nulpunten van DN . Het
eerste maximum MN rechts van x = 0 is dus in
x = xN =
π
.
N + 21
Laat zien dat
Z
MN =
π
N+ 1
2
0
sin((N + 12 )s
ds =
sin 12 s
Z
=2
0
3. Laat zien dat
π
Z
π
0
sin t
1
dt
1 t
sin( 2 N + 1 ) N + 12
2
t
sin t 2N +1
dt.
t sin( 2Nt+1 )
t
2N +1
sin( 2Nt+1 )
→ 1,
uniform op t ∈ [0, π].
4. Laat zien dat
Z
MN → 2
0
π
sin t
dt
t
als N → ∞.
5. De functie SN f (x) heeft in x = xN een negatieve afgeleide. Leg uit
waarom ook het eerste maximum van SN f (x) rechts van x = 0 naar
Z π
sin t
2
dt
t
0
convergeert als N → ∞. Dat is groter dan π = f (0+ ) met een factor
1.178979744.
R∞
Exercise 25 De integraal 0 sint t dt is en wel uit te rekenen, met behulp van
iz
de complexe functie ez , zie Sectie 81 en 82 van Churchill & Brown.
Exercise 26 (De Fourierreeks van de afgeleide en van de primitieve) Lees eerst
dit zorgvuldig. Alle uitspraken die we doen gaan over Fourierreeksen van periodieke functies. Vaak is dat een functie die eerst alleen op een interval is
gedefinieerd en daarna wordt uitgebreid tot een periodieke functie op heel IR.
Zo’n uitbreiding kan sprongen introduceren, vandaar ook onze standaardaanname dat de (eventueel uitgebreide) f een 2π-periodieke stuksgewijscontinue
functie is. De door term voor term differentiatie van een Fourierreeks van een
discontinue 2π-periodieke f verkregen reeks is nooit de Fourierreeks van een
functie!
12
1. Laat met voorbeelden zien wat er mis gaat als f sprongen heeft.
2. Neem aan dat f een 2π-periodieke continue functie is met f 0 stuksgewijs
continu. Druk de Fouriercoeffienten van f 0 uit in die van f .
3. Ga in de situatie van onderdeel 2 na dat de Fourierreeks van f 0 uit die
van f verkregen kan worden door term voor term te differentiëren.
4. In de situatie van onderdeel 2 convergeert de Fourierreeks van Rf uniform
x
naar f : SN f (x) → f (x) uniform in x als N → ∞. Laat F (x) = 0 f (s)ds.
Is F (x) de som van een Fourierreeks? Wanneer wel en wanneer niet?
5. Neem nu alleen Raan dat f een 2π-periodieke stuksgewijs continue functie is
x
en laat F (x) = 0 f (s)ds. Is F (x) de som van een Fourierreeks? Wanneer
wel en wanneer niet? Zoja, wat is het verband tussen de Fourierreeks van
F en die van f ?
3
Van Fourierreeksen naar Fourierintegralen
Voor f : [−π, π] → IR stuksgewijs continu schrijven we dus
∞
X
π
Z
1
f (x) ∼
2π
n=−∞ |
−π
f (x)e−inx dx einx
{z
}
(3.17)
cn
waarin de x in de integraal een dummy-variabele is.
Exercise 27 Laat zien dat (2.15) in deze vorm leidt tot
∞
X
|cn |2 =
n=−∞
1
2π
Z
π
|f (x)|2 dx.
(3.18)
−π
Afgezien van de factor met 2π zijn de 2-norm van de functie f en de bijbehorende
rij c = (. . . , c−2 , c−1 , c0 , c1 , c2 , . . .) van Fouriercoefficienten hetzelfde.
We transformeren (3.17) en (3.18) naar formules op [−R, R] door
Rx = πy,
f (x) = g(y),
λn =
nπ
,
R
δλ = λn+1 − λn =
π
.
R
Dit geeft voor (3.17)
g(y) ∼
∞ Z R
π
1 X
g(y)e−iλn y dy eiλn y
,
2π n=−∞ −R
R
|{z}
|
{z
}
→ ĝ(λn ) as R→∞
met
Z
∞
g(y)e−iλy dy,
ĝ(λ) =
−∞
13
δλ
(3.19)
de Fourier getransformeerde van g, die goed gedefinieerd is als g : IR → IR
continu is en een compacte drager heeft1 . In dat geval is dus voor R groot
genoeg
Z ∞
∞
1 X
1
ĝ(λ) eiλy dλ,
g(y) ∼
ĝ(λn ) eiλn y δλ →
(3.20)
2π n=−∞
2π −∞
|
{z
}
|
{z
}
integraal
Riemann som
als R → ∞, mits de aftelbare Riemann som hierboven inderdaad de integraal
Z ∞
ĝ(λ) eiλy dλ
−∞
als limiet heeft. Er moet dus een stelling te formuleren zijn die deze overgang
rechtvaardigt en die van de ∼ een = maakt. De uitspraak van de stelling moet
zijn dat
Z ∞
Z ∞
1
g(y)e−iλy dy.
(3.21)
g(y) =
ĝ(λ) eiλy dλ, ĝ(λ) =
2π −∞
−∞
Let op de symmetrie in de formules. Afgezien van de ”min” en de voorfactor
zijn ze hetzelfde. Van g maar ĝ is dus vrijwel hetzelfde als van ĝ (terug) naar
g! De minimale aannamen op g zijn vrij technisch en lastig te onthouden.
Een manier om de stelling te bewijzen is eerst hele sterke aannamen te doen,
en daarvoor de stelling te bewijzen. De grenzen van de geldigheid van (3.21)
kunnen dan daarna met limietprocedures worden verkend. Dat laatste laten
we hier achterwege, maar is volledig vergelijkbaar met de manier waarop de
rekenkundige operaties in de rationale getallen worden uitgebreid tot de reele
getallen.
Exercise 28 Laat zien dat als g continu is op IR en nul buiten [−R, R], dat
Z
∞
|g(y)|2 =
−∞
∞
1 X
|ĝ(λn )|2 δλ.
2π n=−∞
In de afleiding hierboven hebben we al aangenomen dat g compact gedragen
is. Daarmee bedoelen we dat buiten een zeker begrensd interval g(y) gelijk
aan nul is. We zullen nu ook aannemen dat g oneindig vaak differentieerbaar
is. Zulke oneindig vaak differentieerbare en compact gedragen functies worden
testfuncties genoemd en meestal met een φ of ψ aangegeven. Voor testfuncties
φ geldt op grond van Opgave 17 zeker dat φ(y) gelijk is aan een oneindige
Riemannsom waarin φ̂ voorkomt:
∞
1 X
φ(y) =
φ̂(λn ) eiλn y δλ
2π n=−∞
1 i.e.
λ0 = 0,
λn+1 − λn = δλ =
er is een R zo dat g(y) = 0 voor alle y met |y| > R.
14
π
, (3.22)
R
goed voor elke R groot genoeg. De som is een aftelbare Riemannsom voor
Z ∞
φ̂(λ) eiλy dλ.
−∞
Voor vaste y is dit een oneigenlijke integraal van een continue functie, vanwege:
Exercise 29 Laat zien dat
Z
∞
φ(y)e−iλy dy
φ̂(λ) =
−∞
continu is als φ(y) begrensd is en compact gedragen.
We weten dat gewone integralen over begrensde intervallen de limiet zijn van
benaderende Riemannsommen. Onder wat voorwaarden geldt dit ook voor
oneigenlijke integralen?
Exercise 30 Als f : IR → C
1 continu is en voldoet aan een schatting van de
vorm
M
|f (x)| ≤ 2
x
dan is
!
Z ∞
∞
X
f (nh) .
f (x)dx = lim h
−∞
h↓0
n=−∞
Bewijs dit.
Geldt zo’n schatting ook voor φ̂(λ)? Met andere woorden, is er voor een gegeven
φ een M zo dat φ̂ voldoet aan
|φ̂(λ)| ≤
M
?
λ2
Exercise 31 Laat zien dat voor testfuncties geldt dat
φ̂0 (λ) = iλφ̂(λ),
φˆ00 (λ) = −λ2 φ̂(λ).
Hint: partieel integreren.
Exercise 32 Verzamel alle informatie hierboven en leg uit waarom voor testfuncties geldt dat
Z ∞
Z ∞
1
iλy
φ̂(λ) e dλ, φ̂(λ) =
φ(y)e−iλy dy,
(3.23)
φ(y) =
2π −∞
−∞
en ook
Z
∞
−∞
|φ(y)|2 dy =
1
2π
15
Z
∞
−∞
|φ̂(λ)|2 dλ.
(3.24)
De factor met 2π verstoort de symmetrie in de formules een beetje. Met de
definitie
Z ∞
1
φ(y)e−iλy dy,
φ̂(λ) = √
2π −∞
volgt
1
φ(y) = √
2π
Z
∞
φ(λ) e
iλy
Z
∞
2
Z
∞
|φ(y)| dy =
dλ,
−∞
−∞
|φ̂(λ)|2 dλ.
−∞
voor testfuncties. De afbeelding
φ → φ̂
breidt op een natuurlijke manier uit tot een isometrie van de ruimte H van
kwadratisch integreerbare complexe meetbare functies naar zich zelf. De norm
op H is de 2-norm
sZ
∞
|f (x)|2 dx,
||f ||2 =
−∞
en de algemenere definitie van fˆ is
1
fˆ(λ) = √
lim
2π R→∞
Z
R
φ(y)e−iλy dy,
−R
waarin de integraal over [−R, R] eigenlijk de Lebesgue integraal is, die bij het
vak maattheorie wordt behandeld. Limieten van integralen van dit type worden
in Churchill & Brown uitgerekend met de residustelling en het Lemma van
Jordan.
16