Notities Analyse II

Notities
Analyse II
Daan Pape
2e bach informatica Ugent
6 januari 2013
1
1
Rijen en reeksen van reele functies
Notatie:
• F(E, R): alle reëelwaardige functies gedefinieerd op de verzameling E.
• C(E, R): alle continue reëelwaardige functies gedefinieerd op de metrische ruimte E.
• C k (E, R): alle reëelwaardige functies gedefinieerd op de verzameling E die k keer afleidbaar zijn met continue afgeleiden.
• C ∞ (E, R): alle reëelwaardige functies gedefinieerd op de verzameling E die oneindig
afleidbaar zijn.
Formule voor Taylorpolynoom Tf,a,n van graad n in het punt a van de functie f :
Tf,a,n (x) = f (a) +
x−a
(x − a)2 2
(x − a)n n
Df (a) +
D f (a) + · · · +
D f (a)
1!
2!
n!
Tf,a,n (x) =
n
X
(x − a)i
i!
i=0
(1)
Di f (a)
Het MacLaurin-polynoom is gelijk aan het Taylorpolynoom van f in punt 0 van graad n.
Zo’n functiebenaderingen bevatten een fout Rn (x) = f (x) − Tf,a,n (x) die we de sluitterm
noemen. We zullen twee benaderingen met sluitterm zien, stel nu dus
f (x) = Tf,a,n (x) + Rn (x)
dan wordt de sluitterm Rn (x) gegeven door:
1. Lagrange sluitterm:
Rn (x) =
(x − a)n+1 n+1
D
f ()
(n + 1)!
met gelegen tussen a en x
(2)
2. Cauchy sluitterm:
Rn (x) =
(x − a)n+1
(1 − θ)n Dn+1 f (a + θ(x − a))
n!
met θ ∈]0, 1[
(3)
De rij van opeenvolgende Taylorpolynomen is convergent naar f (x) als en slechts dan als
lim Rn (x) = 0. We noemen formule 1 de Taylorreeks als we n naar ∞ laten gaan, het
n→+∞
zelfde geldt voor de Maclaurinreeks:
f (x) =
n
X
(x − a)i
i!
i=0
2
Di f (a)
(4)
Er is een belangrijke stelling die de voldoende voorwaarde waaronder een functie voorgesteld
kan worden door haar Taylorreeks beschrijft:
• Stel: f ∈ C ∞ (I, R), a ∈ I
• Als: (∃K > 0)(∀n ∈ N)(∀x ∈ I)(|Dn f (x)| ≤ K)
• Dan kan men de Taylorreeks uit formule 4 beschouwen.
Nemen we de sluitterm van lagrange uit formule 2 en houden we rekening met het onderstelde,
dan vinden we:
|x − a|n+1 n+1
|x − a|n+1
|Rn (x)| =
|D
f (λx )| ≤ K
(n + 1)!
(n + 1)!
n
Xa
is convergent ∀a ∈ R zodat haar algemene term tot 0 nadert. Dus volgt uit
De reeks
n!
bovenstaande ongelijkheid dat lim Rn (x) = 0 en dus het gestelde.
x→+∞
Taylor- en Maclaurinreeksen zijn speciale machtreeksen welke in het algemeen van de vorm:
X
an (x − x0 )n , met an ∈ R
(5)
n∈N
Voor elke machtreeks rond x0 ∈ R∗ geldt precies één van volgende uitspraken:
X
(i) (∀x ∈ R)(
an (x − x0 )n ) is absoluut convergent.
n∈N
(ii) (∀x ∈ R\{x0 })(
X
an (x − x0 )n ) is niet convergent.
n∈N
(iii) (∃ρ > 0)(
X
an (x − x0 )n ) is absoluut convergent als |x − x0 | < ρ.
n∈N
(iv) (∃ρ > 0)(
X
an (x − x0 )n ) is niet convergent als |x − x0 | > ρ.
n∈N
We definiëren de convergentiestraal van
X
an (x − x0 )n als:
n∈N
• +∞ als (i) geldt.
• 0 als (ii) geldt.
• ρ als (iii) geldt.
en het corresponderend convergentieı̈nterval van
X
n∈N
• R als (i) geldt.
• ∅ als (ii) geldt.
• ]x0 − ρ, x0 + ρ[ als (iii) geldt.
3
an (x − x0 )n als:
Het al dan niet convergeren van
X
an (x − x0 )n in de punten −ρ en ρ moet afzonderlijk
n∈N
onderzocht worden. Het convergentiegebied zijn alle elementen in het convergentieı̈nterval.
We zien nu twee praktische methoden om de convergentiestraal van machtreeksen te bepalen.
Onderstaande testen geven echter geen uitsluitsel over de convergentie in de eindpunten −ρ
en ρ.
X
1. Verhoudingstest van d’Alembert: stel
an xn een machtreeks met convergentien∈N
straal ρ waarvoor geldt dat (∃m ∈ N∗ )(∀n ∈ [m, +∞[)(an 6= 0) en stel verder:
an+1 = λ met λ ∈ [0, +∞]
lim
n→+∞ an dan geldt:
• λ = 0 ⇒ ρ = +∞
• λ ∈]0, +∞[⇒ ρ =
1
λ
• λ = +∞ ⇒ ρ = 0
2. Worteltest van Cauchy: stel
X
an xn een machtreeks met convergentiestraal ρ en
n∈N
stel dat:
p
lim n |an | = λ
n→+∞
met λ ∈ [0, +∞]
dan geldt:
• λ = 0 ⇒ ρ = +∞
• λ ∈]0, +∞[⇒ ρ =
1
λ
• λ = +∞ ⇒ ρ = 0
!
X
n−1
Afgeleide
nan x
machtreeksen en geı̈ntegreerde
X an
xn+1
n+1
n∈N
n∈N
!
X
n
hebben dezelfde convergentiestraal als de originele machtreeks
an x .
!
machtreeksen
n∈N
We sommen nu kort enkele eigenschappen van machtreeksen op:
1. De reekssomfunctie van een machtreeks is continu over haar convergentieı̈nterval.
X
2. Stel
an xn een machtreeks met convergentiestral ρ ∈]0, +∞] en f de corresponden∈N
rende reekssomfunctie, m.a.w:
f (x) =
+∞
X
an xn ,
∀x ∈] − ρ, ρ[
n=0
dan geldt:
Dn f (0)
(∀n ∈ N) an =
n!
4
Wiskundige vorm
Wiskundige naam
Convergentie
X (−1)n
n
Harmonische wisselreeks
Convergent als en slechts als de reeks kleiner
wordt en de absolute waarde naar 0 gaat.
X1
n
Harmonische reeks
Divergent
n∈N
n∈N
Tabel 1: Enkele veel voorkomende reeksen en hun convergentie
Een eigenschap stelt dat de convergentiestraal van
X
an x2n+1 .
straal van
X
an x2n gelijk is aan de convergentie-
In de signaalanalyse, bijvoorbeeld om spectrum analysers te maken, wordt voortdurend gebruik gemaakt van Fouriertransformaties. We definiren nu enkele types van functies:
• Een stuksgewijs continue functie is een functie die continu is uigezonderd op een
eindig aantal sprongpunten. De verzameling van R − R functies die stuksgewijs continu
zijn over [a, b] noteren we met PC([a, b], R).
• Een stuksgewijs gladde functie is een functie waarvan de eerste afgeleide stuksgewijs
continu is. De verzameling van R−R functies die stuksgewijs glad zijn over [a, b] noteren
we met PC 1 ([a, b], R).
De stelling van Fourier is essentieel voor heel wat toepassingen en maakt het mogelijk om
effectief Fourierreeksen op te stellen. Er zijn 3 voorwaarden waaraan een functie f (x) moet
voldoen opdat je hem als Fourierreeks zou kunnen schrijven:
1. De functie f (x) moet integreerbaar zijn op een interval ter grootte van 1 periode.
2. Het aantal discontinuı̈teiten van f (x) moet eindig zijn op dat interval. f (x) is stuksgewijs continu.
3. De afgeleide van f (x) mag op een eindig aantal punten op dat interval discontinu zijn.
f (x) is stuksgewijs glad.
De Fourierreeks schrijft een functie als een som van sinussen en cosinussen omdat deze orthogonaal zijn tegenover elkaar. De formules werden afgeleid door middel van de kleinste
kwadratenmethode omdat men niets anders doet dan de coëfficienten van de sinussen en
cosiniussen zo kiezen zodanig dat de reeks zo dicht mogelijk bij de originele functie ligt. De
methode waarmee men de sinussen en cosinussen loodrecht laat naderen tot de gevraagde
functie noemt men de kleinste kwadratenmethode en om loodrecht te naderen gebruikt
men het inproduct.
5
De stelling van Fourier zegt dat men een periodieke functie f met periode 2π kan schrijven
als:
a0 X
+
an cos(nx) + bn sin(nx)
(6)
2
waarbij de Fouriercoëfficiënten ai en bi vna f gegeven worden door:
Z
1 π
an =
f (x) cos(nx)dx, ∀n ∈ N
π −π
Z
1 π
bn =
f (x) sin(nx)dx, ∀n ∈ N∗
π −π
Hieruit volgt meteen dat als f even is alle bn = 0 en
Z
2 π
an =
f (x) cos(nx)dx
π 0
en dat als f oneven is alle an = 0 en
2
bn =
π
Z
π
f (x) sin(nx)dx
0
Meer algemeen stellen we dat we een periodieke functie f met periode ω kunnen schrijven als:
a0 X
2πn
2πn
+
an cos
x + bn sin
x
(7)
2
ω
ω
waarbij de Fouriercoëfficiënten ai en bi vna f gegeven worden door:
Z
2 ω
2πn
an =
f (x) cos
x dx, ∀n ∈ N
ω 0
ω
Z
2 ω
2πn
bn =
f (x) sin
x dx, ∀n ∈ N∗
ω 0
ω
Omdat een Fourierreeks uit sinussen en cosinussen bestaat is het een continue functie die
onbepaald afleidbaar is.
2
Meervoudige integralen
We herhalen eerst enkele regels voor enkelvoudige integralen. Het partiëel integreren gaat
als volgt. Als f en g twee afleidbare functies zijn met afgeleiden f 0 en g 0 dan geldt:
Z
a
b
f (x)g 0 (x)dx = [f (x)g(x)]ba −
6
Z
a
b
f 0 (x)g(x)dx
(8)
Een andere belangrijke truc is het splitsen is partieelbreuken van de veeltermbreuk, er
zijn 4 vormen van partieelbreuken:
A
x−a
A
(x − a)n
Ax + B
+ bx + c
x2
(x2
Ax + B
+ bx + c)n
De methode om elke veeltermbreuk als een som van partieelbreuken te schrijven gaat nu als
volgt:
1. Ontbind de noemer in zoveel mogelijk reëele factoren van de eerst of tweede graad.
2. Deel teller en noemer door een gepast getal zodat in de noemer alleen nog factoren van
de vorm (x − a)n of (x2 + bx + c)n voorkomen.
3. Deze echte breuk kan geschreven worden als een som van partieelbreuken. De aard en
het aantal partieelbreuken is afhankelijk van de gevonden factoren in de noemer. Elke
factor (x − a)n veroorzaakt een som van de volgende vorm:
A
B
C
L
+
+
+ ··· +
(x − a) (x − a)2 (x − a)3
(x − a)n
(9)
Elke factor (x2 + bx + c)n verzoorzaakt een som van de volgende vorm:
Ax + B
Cx + D
Ex + F
Lx + M
+
+
+ ··· + 2
(x2 + bx + c) (x2 + bx + c)2 (x2 + bx + c)3
(x + bx + c)n
(10)
4. De onbekende tellers worden achteraf met een stelsel berekend.
Een oneigenlijke integraal is een limiet van integralen waarvan de ondergrens naar −∞
nadert of de bovengrens naar +∞ of één van beide integratiegrenzen een punt nadert waar
de integrand niet gedefinieerd is.
Daar waar de Fourierreeks enkel kan worden opgesteld van periodieke functies kan de Fouriertransformatie ook van niet periodieke functies worden opgesteld. We voeren nu volgende
notaties in:
Z +∞
1
˜
• De Fouriergetransformeerde functie: f (ω) =
f (t)e−iωt dt
2π −∞
Z +∞
1
ˆ
• De geadjungeerde Fouriergetransformeerde functie: f (ω) =
f (t)eiωt dt
2π −∞
Het fundamentele resultaat, vergelijkbaar met de stelling van Fourier, is dat men kan bewijzen
dat
Z ∞
f (x) =
f˜(ω)eiωt dω
(11)
−∞
˜
Hierbij is fˆ(ω) dus de functie uitgedrukt in het frequentiedomein en f (t) de functie uitgedrukt
in het tijdsdomein.
Dubbelintegralen kunnen opgevat worden als de limiet van een sommatie over een oppervlak. We berekenen deze integralen door ze te projecteren op de x-as of y-as en bekomen dus
volgende normaalgebieden:
7
1. Normaalgebied t.o.v. x-as: S = Ou,v waarbij u(x) en v(x) functies zijn.
Als u(x) ≤ v(x) over [a1, b1] dan is
Z Z
b1
Z
f (x, y)dxdy =
S
Z
v(x)
dx
f (x, y)dy
a1
(12)
u(x)
2. Normaalgebied t.o.v. y-as: S = Ωu,v waarbij u(y) en v(y) functies zijn.
Als u(y) ≤ v(y) over [a2, b2] dan is
Z Z
Z
b2
f (x, y)dxdy =
S
Z
v(y)
dy
a2
f (x, y)dx
(13)
u(y)
De integratiegrenzen van f (x, y) kunnen ook rechtstreeks gegeven zijn als [a, b] × [d, e] waarbij
de volgorde van de functie-argumenten aanduidt in welke volgorde geı̈ntegreerd moet worden.
3
Gewone differentiaalvergelijkingen
Een gewone differentiaalvergelijking (DV) is een vergelijking met als onbekende een functie en in de vergelijking minstens één voorkomen van een afgeleide van de onbekende functie.
Een n-dimensionale schaar van vlakke krommen is een verzameling relaties van de vorm
{(x, y)|f (x, y, c1 , c2 , . . . , cn ) = 0}
8
(14)
waarbij f een gegeven Rn+2 − R functie is en c1 , c2 , . . . , cn reële waarden aannemen. Zo is
x2 + y 2 = c met c ∈]0, +∞[
p
een schaar van concentrische cirkels met centrum (0, 0) en straal (c). Van zo’n n-dimensionale
schaar kan vaak een DV van de ne orde worden opgesteld waarvan de schaar precies de oplossingen bevat. Methode:
1. Leidt de schaar n keer af.
2. Elimineer de n parameters (dus de c’s) uit de n + 1 vergelijkingen, meestal door substitutie.
Een orthogonale baan van een schaar is en kromme die alle krommen in de schaar loodrecht snijdt. Deze orthogonale banen bepaal je door de DV op te stellen en de eerst afgeleiden
1
(rico’s) te vervangen door − 0 . Dan moet de D.V. terug geı̈ntegreerd worden.
y
In volgend overzicht geven we de soorten differentiaalvergelijkingen en rijken we een praktische
oplossing aan:
• DV met gescheiden veranderlijken: deze DV is van de vorm:
y 0 = g(x)h(y)
⇔
1
dy = g(x)dx
h(y)
(15)
Om de DV. op te lossen stellen we de integralen van linker- en rechterkant gelijk aan
elkaar, dit geeft meteen de algemene oplossing:
Z
Z
1
dy = g(x)dx
(16)
h(y)
• Homogene DV: deze DV is van de vorm:
y 0 = f (x, y)
(17)
waarbij f (x, y) homogeen is (d.w.z. als je het plot in maple zal je ongeveer een rechte
door de oorsprong zien). We lossen deze op door volgende stappen uit te voeren:
1. Voer op de vgl de substitutie u =
y
door, dit kan simpel door te stellen:
x
– y 0 → u0 x + u
– x→1
– y→u
2. Los de verkregen vgl op alsof het een DV met gescheiden veranderlijken zou zijn.
y
3. Substitueer de u in de oplossing terug naar .
x
• Lineaire DV van de eerste orde: deze DV is van de vorm:
y 0 + P (x)y = Q(x)
De oplossing wordt meteen gegeven door:
Z R
R
− P (x)dx
P (x)dx
y(x) = e
Q(x)dx
c+ e
9
(18)
(19)
• Exacte DV: deze DV is van de vorm:
P (x, y) + Q(x, y)y 0 = 0
(20)
∂P
∂Q
waarbij geldt dat
(x, y) =
(x, y) (exact gelijk!!). We lossen op in volgende stap∂y
∂x
pen:
1. Controleer de exactheid met
∂P
∂Q
(x, y) =
(x, y)
∂y
∂x
2. Stel volgende gelijkheden op
∂F
(x, y) = P (x, y)
∂x
(21)
∂F
(x, y) = Q(x, y)
∂y
(22)
3. Bereken F (x, y) door
Z
F (x, y) =
P (x, y)dx + c(y)
(23)
4. Leidt de bekomen F (x, y) partieel af naar y en stel de bekomen functie gelijk aan
dc
Q(x, y). Deze vergelijking los je op naar
(y):
dy
∂F
(x, y) = Q(x, y)
∂y
5. Integreer de bekomen
⇒
dc
(y)
dy
dc
(y) over y om zo c(y) te bekomen:
dy
Z
dc
c(y) =
(y)dy
dy
(24)
(25)
6. De oplossing wordt nu gegeven door c(y) in te vullen in F (x, y) bekomen in formule
23.
• Gereduceerde lineaire DV van de 2de orde: Deze DV is van de vorm
a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = 0
(26)
Om deze vergelijking op te lossen stellen we de karakteristieke vergelijking op welke dus
van de vorm ax2 + bx + c = 0 is. De wortels van de karveelt geven dan aanleiding tot
volgende delen van de oplossing:
– De wortel heeft multipliciteit 1 en is van de vorm:
∗ R(a) + C(b) geeft aanleiding tot:
c1 eax cos(bx)
(27)
∗ R(a) − C(b) geeft aanleiding tot:
c1 eax sin(bx)
10
(28)
– De wortel heeft multipliciteit n en is van de vorm:
∗ R(a) + C(b) geeft aanleiding tot:
φ1 = c1 eax cos(bx)x0 ,
φ2 = c1 eax cos(bx)x1 , . . .
(29)
φ2 = c1 eax sin(bx)x1 , . . .
(30)
∗ R(a) − C(b) geeft aanleiding tot:
φ1 = c1 eax sin(bx)x0 ,
De som van alle φn geeft dan de algemene oplossing van de DV.
• Lineaire DV van de 2de orde:
a0 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = b(x)
(31)
Om deze DV op te lossen voeren we volgende stappen uit:
1. We lossen de gereduceerde vorm van de DV op.
2. We bepalen een particuliere oplossing van de DV.
3. De oplossing wordt nu gegeven door de som van deze twee.
De Wronskiaan van twee functies f1 en f2 geeft aan of ze een fundamenteel stel oplossing
zijn van een DV, dit is het geval als geldt:
f1 (x)
f
(x)
2
6= 0
(32)
W = Df1 (x) Df2 (x) 4
De Laplacetransformatie
De Laplacetransformatie L is een manier om lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten op te lossen. Er kan voor gekozen worden om de beginvoorwaarden meteen
mee te nemen in het probleem. De laplacetransformatie is:
Z ∞
F (s) = L[f (x)](s) =
f (x)e−sx dx
(33)
0
waarbij
Z
∞
Z
g(x)dx = lim
0
B→∞ 0
B
g(x)dx
(34)
De Laplacetransformatie is lineair en dus geldt:
L[c1 f1 (x) + c2 f2 (x)](s) = c1 L[f1 (x)](s) + c2 L[f2 (x)](s)
(35)
Een andere eigenschap stelt dat als L[f (x)](s) = F (s) bestaat voor s > s0 dan bestaat
L[eax f (x)] = F (s − a)
voor s > s0 + a.
11
(36)
Volgende tabel geeft de Laplacegetransformeerden en inverse laplacegetransformeerden van
elementaire functies:
f (x) = L−1 [F (s)]
eax
1
xn
F (s) = L[f (x)]
1
s−a
1
s
n!
sn+1
voor s > a
voor s > 0
voor s > 0
(n positief en geheel)
sin(bx)
cos(bx)
sinh(bx)
cosh(bx)
xn eax
b
+ b2
s
s2 + b2
b
2
s − b2
s
s2 − b2
n!
(s − a)n+1
s2
voor s > 0
voor s > 0
voor s > |b|
voor s > |b|
voor s > a
(n positief en geheel)
eax sin(bx)
eax cos(bx)
eax sinh(bx)
eax cosh(bx)
b
(s − a)2 + b2
s−a
(s − a)2 + b2
b
(s − a)2 − b2
s−a
(s − a)2 − b2
voor s > a
voor s > a
voor s > |b| + a
voor s > |b| + a
De Laplacegetransformeerde van de n-de orde afgeleide wordt gegeven door:
L[y (n) (x)](s) = −y (n−1) (0) − sy (n−2) (0) − · · · − sn−1 y(0) + sn L[y(x)](s)
12
(37)
5
Maple truucjes
We sommen hier enkele handige maple commando’s op:
Maple commando
Uitleg
diff(f(x), ‘$‘(x, n))
Berekent de n-de afgeleide op een symbolische manier.
taylor(f(x),x=a,n)
Berekent de taylorreeks in het punt a van de graad n van f (x).
convert(f,parfrac)
Zet de rationale breuk f om naar een som van partieelbreuken.
scaling=constrained
Gebruik georthonormeerde assen.
diff(y(x),x,\ldots,x)
Bepaalt de n-de afgeleide.
laplace(f(x),x,s)
Berekent laplacetransformatie, zit in inttrans
13