Omrekenen : • Sinus, cosinus en tangens als Goniometrische

1
Formules :
update : 16/01/2017
Omrekenen :
Figuren:




cirkel
Wiskunde :




Cartesiaanse vergelijking .
Formularium goniometrie .
Sinus, cosinus en tangens als Goniometrische functies .
Overzicht van cyclometrische functies .
o Arctangens
Mechanica :

Kinematica
o Een constante snelheid : ERB
o Horizontale worp
o Worpafstand
o De schuine worp
o Stel de formules op om de coördinaten van een culminatiepunt te zoeken
o Rotatiebeweging
o Splitsing van een vlakke beweging in een translatie en een rotatie beweging

Sterkteleer
o Evenwichtsvoorwaarden
o Toelaatbare spanning .
 Wijze van belasting .
Fysica :



De soortelijke smeltwarmte .
WarmteCapaciteit
De soortelijke warmtecapacitiet
2

Elektriciteit :

Opgewekte spanning .
3
Omrekenen :
Om snelheid om te rekenen van km/h naar m/s :
1
𝑘𝑚
1𝑚
1000
m
1 ⁄s =
=
= 3.6 𝑘𝑚⁄ℎ
1
1𝑠
ℎ
3600
Omrekeken van temperatuur :
𝐅 = 𝐂 (1,8) + 32
𝐅 − 32
𝐂=
. 1,8
1
𝑲 = 𝑪 + 273,25
Fahrenheit (𝐅).
Celsius (C).
Kelvin (K).
4
Figuren :
Cirkel :
Diameter = 2 . straal
Oppervalkte : 𝜋 . 𝑟²
𝐴=
𝜋 . 𝑑²
4
5
Wiskunde :
Cartesiaanse vergelijking :
De grafiek van een tweedegraadsfunctie :
𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
is een parabool .
Sinus, cosinus en tangens als Goniometrische functies . (16/01/2017)
Overzicht van cyclometrische functies .
Inleiding :
Arccosinus :
De inverse van de cosinus is de arccosinus .
Heeft als bereik [0, ] .
𝜋
𝜋
√2
√2
cos ( ) =
↔ arccos ( ) =
2
2
2
4
Arcsinus :
De inverse van de sinus is alleen maar een functie als je het goede deel van de sinus
gaat spiegelen .
Let op het beperkte domein [-1,1] en het beperkte bereik en werk met radialen .
6
De arcsinus heeft als bereik [−
𝜋 𝜋
, ]
2 2
𝜋
1
1
𝜋
sin ( ) =
↔ arcsin ( ) =
6
6
2
6
Arctangens :
De inverse van de tangens is alleen maar een functie als je het goede deel van de
tangens gaat spiegelen .
De Arctangens heeft geen beperkt domein maar wel weer een beperkt bereik .
𝝅
𝝅
De arctangens heeft als bereik [− 𝟐 , 𝟐 ]
domein : < −∞, +∞ >
𝜋
𝜋
tan ( ) = 1 ↔ arctan(1) =
4
4
7
http://www.pandd.demon.nl/cyclomfunc.htm#2
Verbanden .
Complemenaire hoeken .
𝜋
− arcsin 𝑥
2
𝜋
arccot 𝑥 = − arctan 𝑥
2
𝜋
arccsc 𝑥 = − arcsec 𝑥
2
arccos 𝑥 =
Tegengestelde hoeken .
arcsin(−𝑥) = − arcsin 𝑥
arccos(−𝑥) = 𝜋 − arccos 𝑥
arctan(−𝑥) = − arctan 𝑥
arccot (−𝑥) = 𝜋 − arccot 𝑥
arcsec(−𝑥) = 𝜋 − arcsec 𝑥
arccsc(−𝑥) = − arccsc 𝑥
Afgeleiden :
8
𝑑(arcsin 𝑥)
1
=
𝑑𝜋
√1 − 𝑥²
𝑑(arcsos 𝑥)
1
=
𝑑𝜋
√1 − 𝑥²
𝑑(arctan 𝑥)
1
=
𝑑𝜋
1 + 𝑥²
9
Eigenschappen :
Stelling:
𝑉𝑜𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑥 [−1, 1]𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡 𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑥) + arccos(𝑥) =
𝜋
2
arcsin(−𝑥) + arccos(−𝑥) = − arcsin(𝑥) + 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑐(𝑥) = 𝜋 −
Stelling :
𝜋
𝑥
=
2
2
10
arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) = 𝜋
11
Mechanica.
Kinematica:
Krachten :
Hoofdbeginsel van de mechanica :
𝐹⃗ = 𝑚. 𝑎⃗
Gravitatiewet :
𝐹 = 𝐺.
𝑚1 . 𝑚2
𝑟2
Gewicht :
Snelheid :
𝑣𝑔𝑒𝑚 =
∆𝑥
∆𝑡
𝑚
[𝑣 = 𝑠 ]
De afstand : x .
tijdsinterval : t .
Versnelling :
a=
∆v
𝑡
Nagatieve uitkomst betekent vertraging.
Een constante snelheid : ERB .
𝑣 = 𝑣0 = 𝑐 𝑡𝑒
𝑥 = 𝑣0 . 𝑡 + 𝑥0
12
Horizontale worp:
De snelheid en de verplaatsing in de x-richting zijn :
𝑣𝑥 = 𝑣0
𝑠𝑥 = 𝑣0 . 𝑡
Door de aardversnelling g =9,81 m/s², oondergaat de bal in verticale richting een eenparige
veranderlijke beweging.
De snelheid en de verplaatsing in de y-richting zijn :
𝑎𝑦 + 𝑡 2
2
𝑔 . 𝑡2
𝑠𝑦 = ℎ0 = −
2
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑎𝑦 . 𝑡
𝑠𝑦 = 𝑠0𝑦 + 𝑣0𝑦 . 𝑡 +
𝑣 = −𝑔 . 𝑡
Met :
𝑎𝑦 = −𝑔
𝑣0𝑦 = 0
𝑠0𝑦 = ℎ0
Worpafstand:
Nij het oplossen van opdrachten pas je altijd de basisvergelijkingen toe in x- en y-richting.
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎 . 𝑡
𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 . 𝑡 +
𝑎 + 𝑡2
2
𝑣0𝑥 = 𝑣0𝑦
𝑠𝑥 = 𝑣0𝑥 . 𝑡
𝑣𝑦 = 𝑣𝑜𝑦 − 𝑔. 𝑡
𝑠𝑦 = ℎ0 + 𝑣𝑜𝑦 . 𝑡 −
𝑔 . 𝑡2
2
13
14
De schuine worp :
Basisvergelijking:
𝑣𝑥 = 𝑣0 . 𝑐𝑜𝑠𝛼0
𝑣𝑦 = 𝑣0 . sin 𝛼0 − 𝑔 . 𝑡
𝑠𝑥= 𝑣0 . cos 𝛼0 . 𝑡
𝑠𝑦 = ℎ0 + 𝑣0 . sin 𝛼0 . 𝑡 −
Worpafstand: sy = 0 m
Culminatiepunt: T, ty = 0
𝑔 .𝑡 2
2
15
Stel de formules op om de coördinaten van een culminatiepunt te zoeken (𝑠𝑥𝑐 , 𝑠𝑦𝑐 ) .
Bij het hoogste punt : vy = 0 .
𝑣𝑦 = 𝑣0 . sin 𝛼0 − 𝑔𝑡
0 = 𝑣0 . sin 𝛼0 − 𝑔𝑡
𝑡𝑐 =
𝑣0 . sin 𝛼0
𝑔
𝑠𝑥 = 𝑣0 . cos 𝛼0 . 𝑡
Bij culminatiepunt :
𝑣0 . sin 𝛼0
𝑡𝑐 =
𝑔
𝑠𝑥𝑐 =
𝑣02 . cos 𝛼0 . sin 𝛼0
𝑔
𝑠𝑦 = 𝑣0 . sin 𝛼0 . 𝑡 −
𝑠𝑦𝑐
𝑔 . 𝑡2
2
𝑣0 . sin 𝛼0 𝑔 (
= 𝑣0 . sin 𝛼0 .
−
𝑔
𝑠𝑦𝑐 =
𝑣02 . 𝑠𝑖𝑛2 𝛼0 𝑣02 . 𝑠𝑖𝑛2 𝛼0
−
𝑔
2𝑔
𝑠𝑦𝑐 =
𝑣02 . sin ² 𝛼0
2𝑔
Rotatiebeweging .
𝜔=
𝑉𝐴
𝑉𝐵
=
|𝑂𝐴|
|𝑂𝐵|
OA en OB : poolstralen .
𝑣0 . sin 𝛼0
)
𝑔
2
16
Splitsing van een vlakke beweging in een translatie en een rotatie beweging .
⃗V⃗A + ⃗V⃗AB = ⃗V⃗B
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
VOA + VAB = VOB
Sterkteleer .
Evenwichtsvoorwaarden :
∑𝐹⃗ = ⃗0⃗
Of ∑ 𝐹𝑋 = 0
∑ 𝐹𝐹 = 0
⃗⃗⃗ = 0
⃗⃗
∑𝑀
∑ 𝑀𝐴 𝐹 = 0
Gelijkmatige belasting :
𝐹 = 𝑄 .𝐿
Spanning :
𝑆𝑝𝑎𝑛𝑛𝑖𝑛𝑔 =
𝜎𝑡 =
𝐹𝑁
𝐴0
𝑁
𝑘𝑟𝑎𝑐ℎ𝑡
𝑜𝑝𝑝𝑒𝑟𝑣𝑙𝑎𝑘𝑡𝑒
[𝑚𝑚2 = 𝑀𝑃𝑎 ]
17
Treksterkte :
𝑅𝑚 =
𝐹𝑚
𝑁
[
= 𝑀𝑃𝑎 ]
𝐴𝑜 𝑚𝑚 2
Maximale kracht
Oppervlakte
Treksterkte
Fm
A
Rm
N
mm²
Mpa, N/mm²
Rek :
𝑟𝑒𝑘 𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑟𝑒𝑢𝑘 =
𝜀=
𝑣𝑒𝑟𝑙𝑒𝑛𝑔𝑖𝑛𝑔 𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑟𝑒𝑢𝑘
𝑜𝑜𝑟𝑠𝑝𝑟𝑜𝑛𝑘𝑒𝑙𝑖𝑗𝑘𝑒 𝑚𝑒𝑒𝑡𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡𝑒
∆𝐿
𝐿𝑢 − 𝐿0
=
𝐿0
𝐿0
rek, relatieve verlenging
Absolute Verlenging
lengte - oorsprong
lengte - na uittekking
Proportionaliteitsgrens :
Wet van Hooke .
𝜎 = 𝐸 .𝜀
e
DL
L0
Lu
epsilon
m
m
0
18
0,2 % - rekgrens .
𝑅𝑝
0,2
=
𝐹0,2
𝐴0
0,2 % - rekgrens
Kracht bij 0,2 % grens
Oppervlakte
RP0,2
F0,2
A
Mpa, N/mm²
(Pa)
N
mm²
Spanningsdoorsnde :
2
𝜋 𝑑𝑘 + 𝑑𝑓
𝐴𝑠 = . (
)
4
2
𝑑𝑘 = 𝑘𝑒𝑟𝑚𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟
𝑑𝑓 = 𝑓𝑙𝑎𝑛𝑘𝑒𝑛𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟
Toelaatbare spanning .
Veligheidsfactor .
𝑡𝑜𝑒𝑙𝑎𝑎𝑡𝑏𝑎𝑟𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑘𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑖𝑛𝑔 =
𝜎̅𝑡 =
𝑅𝑚
𝑣
𝜎̅𝑡 =
𝑅𝑒
𝑣𝑒
V = 2 … 10
𝑡𝑟𝑒𝑘𝑠𝑡𝑒𝑟𝑘𝑡𝑒
𝑣𝑒𝑖𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑖𝑑𝑠𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟
19
Wijze van belasting :
Statische belasting –lastgeval I .
𝜎=
𝑅𝑚
𝑣
𝜎=
𝑅𝑒
𝑣𝑒
Golvende belasting – lastgeval II .
2 𝑅𝑚
𝜎= .
3 𝑣
2 𝑅𝑒
𝜎= .
3 𝑣𝑒
Wisselende belasting – Lastgeval III .
𝜎=
1 𝑅𝑚
3 𝑣
𝜎=
1 𝑅𝑒
3 𝑣𝑒
20
Te Onthouden :

Trek-drukspanning .
𝑆𝑝𝑎𝑛𝑛𝑖𝑛𝑔 =
𝜎𝑡 =
𝐹𝑁
𝐴0
[
𝑁
𝑚𝑚 2
𝑘𝑟𝑎𝑐ℎ𝑡
𝑜𝑝𝑝𝑒𝑟𝑣𝑙𝑎𝑘𝑡𝑒
= 𝑀𝑃𝑎 ]
𝐹𝑁 . 𝐿0
𝐸. 𝐴0
𝑅𝑚
𝑅𝑒
𝜎̅𝑡 =
𝑜𝑓 𝜎̅𝑡 =
𝑣
𝑣𝑒
∆𝐿 =

Wet van Hooke: 𝜎 = 𝐸 . 𝜀
𝜀=

∆𝐿
𝐿0
Verlenging :
∆𝐿 =
𝜎̅𝑡 =
𝜎̅𝑡 =

𝐹𝑁 . 𝐿0
𝐸. 𝐴0
𝑅𝑚
𝑣
of
𝑅𝑒
𝑣𝑒
Invloed van eigen gewicht .
Verlenging van een lange staaf .
𝜎𝑡 =
𝐹 + 𝐹𝑧𝑤
𝐹
= + 𝐿0 . 𝜌. 𝑔
𝐴0
𝐴
∆𝐿 =
(𝐹 +
1
𝐹 ) . 𝐿0
2 𝑧𝑤
𝐸. 𝐴0
Veiligheidsfactor .
𝑡𝑜𝑒𝑙𝑎𝑎𝑡𝑏𝑎𝑟𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑘𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑖𝑛𝑔 =
𝑡𝑟𝑒𝑘𝑠𝑡𝑒𝑟𝑘𝑡𝑒
𝑣𝑒𝑖𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑖𝑑𝑠𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟
21
𝜎̅𝑡 =
𝜎̅𝑡 =

𝑅𝑚
v = 2 … 10
𝑣
𝑅𝑒
ve = 1.5 … 8
𝑣𝑒
Wijze van belasting
Statische belasting –lastgeval I .
𝜎̅ =
𝑅𝑚
𝑣
𝜎̅ =
𝑅𝑒
𝑣𝑒
Golvende belasting – lastgeval II .
2 𝑅𝑚
𝜎̅ = .
3 𝑣
2 𝑅𝑒
𝜎̅ = .
3 𝑣𝑒
Wisselende belasting – Lastgeval III .
𝜎̅ =
1 𝑅𝑚
3 𝑣
𝜎̅ =
1 𝑅𝑒
3 𝑣𝑒
Grootheid
Toelaatbare trekspanning
Treksterkte
Symbool
𝜎̅𝑡
Rm
Eenheid
MPa
MPa
22
Elasticiteitsgrens
Veiligheidsfactor
Veiligheidsfactor
Normaalkracht
Oppervlakte
Eigen gewicht
Absolute Verlenging
Elasticiteitsmodulus
Trekspanning
Massadichtheid
Oorspronkelijke lengte
Kracht

Re
𝑣(𝑛𝑢) = 2 … 10)
𝑣𝑒 (= 1.5 … 8)
FN
A0
Fzw
∆L
E
σt
ρ
L0
F
MPa
N
m²
N
M (of mm)
MPa
MPa
Kg/m³
M (ofmm)
N
sterkteberekeningen .
o Ontwerpberekeningen : σ = ρ
o
Controleberekeningen
 𝜎 < 𝜎̅
De contructie kan de krachten goed opvangen en ze voldoet aan de
opgelegde criteria.
 𝜎̅ < 𝜎 < 𝑅𝑚
De sonstructie voldoet niet aan de opgelegde criteria; er kan ook
blijvende vervorming optreden 𝜎 > 𝑅𝑒

𝜎 > 𝑅𝑚
Er treedt breuk op .
Afschuiving.
𝜏𝑠 =
𝐹𝐷
𝐴
Grootheid
Schuifspanning
Dwarskracht
Oppervlakte
Symbool
𝜏𝑠
FD
A
Eenheid
Mpa
N
mm²
FYSICA
23
WarmteCapaciteit C .
𝐸𝑒𝑛ℎ𝑒𝑖𝑑 𝑤𝑎𝑟𝑚𝑡𝑒𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑒𝑖𝑡 =
𝑒𝑒𝑛ℎ𝑒𝑖𝑑 𝑤𝑎𝑟𝑚𝑡𝑒
𝐽
𝑒𝑒𝑛ℎ𝑒𝑖𝑑 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑢𝑟
𝐾
De soortelijke warmtecapacitiet c .
Het is de warmte die nodig is per graad en per massa eenheid.
soortelijke warmtecapacitiet =
𝑒𝑒𝑛ℎ𝑒𝑖𝑑 𝑤𝑎𝑟𝑚𝑡𝑒
𝐽
𝐽
𝑜𝑓
𝑒𝑒𝑛ℎ𝑒𝑖𝑑 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 . 𝑒𝑒𝑛ℎ𝑒𝑖𝑑 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑢𝑟 𝑘𝑔 °𝐶
𝑘𝑔 . 𝐾
Q = m . c ∆T
Soortelijke smeltingswarmte .
Q ∼ m of
Q
= Cte
m
De waarde van de constante is afhankelijk van de aard van de stof.
De uitdrukking
𝑄
𝑚
is een kenmerkend voor de warmte die een stof opneemt om van vast naar
vloeibaar toestand over te gaan .
Specifieke smeltwarmte van een stof :
𝐿𝑠 =
𝑄
𝑚
Ze geeft de warmtehoeveelheid aan, die nodig is om de massaeenheid van die stof te doen smelten.
Q = warmtehoeveelheid .
De soortelijke smeltwarmte .
𝐽
𝑄 = 𝐿𝑠 . 𝑚 [ ]
𝑘𝑔
De warmte Q , nodig om de massa m van een stof met soortelijke smeltingswarmte Ls te laten
smelten .
𝐿𝑠 = 𝑠𝑜𝑜𝑟𝑡𝑒𝑙𝑖𝑗𝑘𝑒 𝑠𝑚𝑒𝑙𝑡𝑤𝑎𝑟𝑚𝑡𝑒 .
Q = De latente warmte .
m = massa .
24
Geheel analoog definïeert men de soortelijke stollingswarmte, die gelijk is aan de soortelijke
smeltingswarmte.
𝑄′ = −𝐿𝑠 . 𝑚
Elektriciteit .
Opgewekte spanning .
𝑒 = 𝐸𝑚 . sin(𝜔. 𝑡)
𝐸𝑚 . sin 𝛼
E
Elektromotorische kracht
(veldsterkte)