Definitie: (injectief) Een functie f heet injectief als x 1 = x2 impliceert

Definitie: (injectief)
Een functie f heet injectief als x1 6= x2 impliceert dat f (x1 ) 6= f (x2 ) voor
alle x1 , x2 ∈ domein(f ). Anders gezegd:
f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 .
Als een functie f injectief is, en y ∈ bereik(f ), dan is er precies één
x ∈ domein(f ) zó dat y = f (x).
1
Definitie: (inverse)
Als f een injectieve functie is, dan bestaat er een inverse functie f −1 . De
waarde van f −1 (x) is de unieke waarde in domein(f ) waarvoor geldt
f (y) = x:
y = f −1 (x) ⇐⇒ x = f (y).
2
Bereik en domein van de inverse functie
Als
f : Domein(f ) −→ Bereik(f ),
injectief is, dan
Domein(f −1 ) = Bereik(f ),
Bereik(f −1 ) = Domein(f ).
3
∀x ∈ Domein(f −1 ) : f (f −1 (x)) = x,
∀y ∈ Domein(f ) : f −1 (f (y)) = y.
Gevolg:
(f −1 )−1 = f.
Grafiek van f −1 ontstaat door spiegeling van de grafiek van f in de lijn
y = x.
4
Afgeleide van de inverse
• Als de functie f continu is op het interval (a, b) dan is f injectief dan
en slechts dan als f ofwel stijgend ofwel dalend is.
• Als f 0 (x) > 0 voor alle x ∈ (a, b) of f 0 (x) < 0 voor alle x ∈ (a, b), dan
is f −1 differentieerbaar op het interval tussen f (a) en f (b), en er geldt
1
d −1
f (x) = 0 −1
.
dx
f (f (x))
5
Domein, bereik, en afgeleide van inverse goniometrische functies:
f (x)
Domein
Bereik
f 0 (x)
arcsin(x)
[−1, 1]
[− π2 , π2 ]
arccos(x)
[−1, 1]
[0, π]
arctan(x)
R
(− π2 , π2 )
√ 1
1−x2
√ −1
1−x2
1
1+x2
6
• Voor x ∈ [− π2 , π2 ]: arcsin(sin(x)) = x.
• Voor x ∈ [−1, 1]: sin(arcsin(x)) = x.
• Voor x ∈ [0, π]: arccos(cos(x)) = x.
• Voor x ∈ [−1, 1]: cos(arccos(x)) = x.
• Voor x ∈ (− π2 , π2 ): arctan(tan(x)) = x.
• Voor x ∈ R: tan(arctan(x)) = x.
7
Ezelsbruggetje:
x
sin(x)
0
√
1
cos(x)
2 0
√
1
2 4
tan(x)
0
π/6
√
1
2 1
√
1
2 3
√
1
3 3
π/4
√
1
2 2
√
1
2 2
1
π/3
√
1
2 3
√
1
2 1
√
3
8
π/2
√
1
2 4
√
1
2 0
−
Middelwaardestelling:
Veronderstel dat de functie f continu is op het gesloten begrensde interval
[a, b], en differentieerbaar op het open interval (a, b). Dan bestaat er een
punt c ∈ (a, b) zó dat
f (b) − f (a)
= f 0 (c).
b−a
9