PORTFOLIO 16 DEEL II HOOFDSTUK 5 CYCLOMETRISCHE

Naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PORTFOLIO
Klas: . . . . . . . . . . . . . . .
Nr.: . . . . .
16
DEEL II HOOFDSTUK 5 CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
5 Cyclometrische functies
Basis
?
??
Verdieping
?
??
5.1 Elementaire cyclometrische functies
1
2
5
2
3
5
2
4
5
2
5
7
8
5.2 Cyclometrische vergelijkingen
12
12
12
12
13
14
15
Uitbreiding
?
??
9
10
11
Oefeningen bij §5.1
Oefening 1. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Indien vals, argumenteer waarom.
B
(a)
(b)
Arcsin x
voor x ∈ [−1, 1[
Arccos x
De boogsinusfunctie is een even functie.
Arctan x =
(c)
De boogcosinus is een oneven functie.
(d)
Arcsin(sin x) = x voor alle x ∈ R
Oefening 2. Bepaal telkens zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven, exacte waarde noteren).
√ !
√ !
3
2
?
B (d) sin Arccos
B (a) Arccos −
2
2
1
B? (b) tan Arcsin −
B? (e) Arccos (sin(Arctan(−1)))
2
√ 2
B? (c) sin 2 Arctan
3
B?? (f) cos 2 Arcsin
5
B?
Oefening 3. Vereenvoudig algebraı̈sch (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren)
√ √ Arcsin − 23 + Arctan 33
√
Arctan(− 3) − Arccos 0
B??
Oefening 4. Bereken telkens zonder het gebruik van een grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven, exacte
waarde noteren).
3
4
28
56
(a) cos Arctan
+ Arcsin
(d) sin Arccos
+ Arctan −
4
5
53
33
5
12
80
80
(b) sin Arctan
+ Arcsin
(e) sin − Arccos
− cos Arcsin −
12
13
89
89
8
8
1
(c) tan Arcsin
− Arctan
(f) tan Arcsin √
− Arctan(−3)
17
15
5
Oefening 5. Bepaal het domein van de volgende functies (algebraı̈sch of met behulp van elementaire functies).
B
(a)
f (x) = Arcsin(5x)
(b) f (x) = Arctan(x3 + 1)
1
B? (c) f (x) = Arcsin
x
B
B?? (d) f (x) = Arccos(x2 − 3)
6
V (e) f (x) = Arccos
Arcsin x
π
4
V (f) f (x) = Arcsin
Arccos(2x)
π
Po-76
V
Oefening 6. Bereken telkens algebraı̈sch (tussenstappen opschrijven, exacte waarde noteren).
37π
32π
(c) Arcsin sin
(a) Arcsin sin
5
5
39π
36π
(b) Arcsin sin
(d) Arccos cos
5
5
V
Oefening 7. Beschouw de functie f (x) = Arccos(a · Arcsin x) waarbij a ∈ R+
0.
(a) Bepaal de waarde(n) van a waarvoor het domein van f zo groot mogelijk is.
1 1
(b) Bepaal de waarde(n) van a waarvoor dom f = − , .
2 2
V?
Oefening 8. Bewijs dat Arctan 1 + Arctan 2 + Arctan 3 = π.
Aanwijzing. Maak gebruik van nevenstaande figuur.
U
Oefening 9 (samenstelling van een goniometrische met een
cyclometrische functie). Bewijs de volgende identiteiten.
◦
Arcsin x
sin
x
cos
tan
U
?
p
√
Arccos x
p
1 − x2
1 − x2
x
1 − x2
x
√
1−
x
x2
Arctan x
√
x
1 + x2
√
1
1 + x2
A
x
B
C
D
Oefening 10 (verband tussen boogsinus en boogcosinus). Bewijs de identiteit
Arcsin y + Arccos y =
U??
E
π
2
Oefening 11 (boogcotangensfunctie en verband tussen boogtangens en boogcotangens). De beperkte
cotangensfunctie f (x) = Cot x is de functie die men bekomt door de cotangensfunctie te beperken tot het interval
[0, π]. De boogcotangensfunctie (of arccotangensfunctie) is dan de inverse functie van de beperkte cotangensfunctie.
Je gaat eenvoudig na dat
cot x = y ⇔ x = Arccot y
x ∈]0, π[, y ∈ R
(a) Bewijs de identiteit
Arccot y = Arccos
p
y
1 + y2
!
(b) Plot de grafiek van de boogcotangensfunctie met behulp van je grafische rekenmachine.
(c) Is Arccot y gelijk aan
1
? Argumenteer je antwoord.
Arctan y
(d) Bewijs de identiteit
Arctan y + Arccot y =
π
2
Oefeningen bij §5.2
Oefening 12. Bepaal algebraı̈sch de oplossingsverzameling van de volgende cyclometrische vergelijkingen. Controleer
je oplossingen nadien met je grafische rekenmachine.
3
π
1
1
B (a) Arcsin x + Arcsin
=
B?? (d) Arctan x = Arccos
+ 2 Arctan
5
2
2
3
√ !
π
x+1
x−1
3 13
?
??
B (b) Arctan(1) + Arctan(x) + Arctan(2x) = −
B (e) Arctan
− Arctan
= Arccos
2
x+2
x−2
13
x π
√
2x
π
B? (c) Arctan x + Arctan
=
V (f) Arccos 2 − x + Arcsin √
=
2
4
2
7
Po-77
V
V
Oefening 13 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1985).
Los volgende vergelijking op in R (algebraı̈sch oplossen, controle kan met de rekenmachine).
x
π
Arcsin
− Arcsin (2x) =
2
6
Oefening 14. Zij a ∈ R+
0.
(a) Toon aan dat
Arctan
(b) Toon aan dat
V?
1
1+a
i πh
∈ 0,
4
1
1
1
Arctan
= Arctan
+ Arctan
a
1+a
1 + a + a2
Oefening 15 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Katholieke Universiteit Leuven).
Bereken x uit de vergelijking
1
1
4 Arctan
− Arctan
= Arctan x
5
239
Po-78
Reflectie
Vul dit overzicht aan telkens je een oefening gemaakt of verbeterd hebt. Zo reflecteer je over je
• leerproces,
• efficiëntie van werken,
• sterke en zwakke elementen in de uitvoering van je oefeningen.
oefening verbeterd? (kruisje)
31/12
99a
X
Waarom is deze oefening gelukt/niet gelukt?
Welke fouten heb ik gemaakt?
• voldoende tijd besteed?
• notatiefout (NF)
• opgave goed gelezen?
• eenheden (EF)
• nauwkeurig gewerkt?
• grafisch rekenmachine (GF)
• modelvoorbeelden bekeken?
• rekenfout (RF)
• opgave begrepen?
• interpretatie van de opgave (IF)
• leerstof voldoende begrepen?
• denkfout (DF)
gelukt: m.b.v. modelvoorbeelden
EF, NF
verder oefenen nodig? (kruisje)
oefening nummer
vb.
datum oefening afgewerkt
Bovendien maak je je reflectie concreet door aan te stippen of je nog verder moet oefenen op het leerstofonderdeel.