Voorbeeld 1

Hogere Wiskunde
Complexe getallen
college week 6
Een inleiding
M.J.Roos
21 mei 2011
1
Complexe getallen
• De verzameling R van de reele getallen is niet
toereikend om iedere kwadratische vergelijking op te
lossen.
• Bijvoorbeeld: x2 = -4
• Om toch een oplossing te kunnen noteren definieren we
een nieuw getal waarvan het kwadraat -1 is.
• Dit denkbeeldige of imaginaire getal wordt de imaginaire
eenheid genoemd.
• De imaginaire eenheid wordt aangeduid met de letter “i” .
• i2 = -1
• Met i rekenen we op de zelfde manier als met de reele
getallen
2
Complexe getallen
Voorbeelden
•
•
•
•
•
•
•
i3 = i * i2 = i * -1 = -i
i6 = (i2)3 = (-1)3 = -1
i7 = i6 * i = (i2)3 * i = -1 * i = -i
i-1 = 1/i = 1/i * i/i = i/i2 = i/-1 = -i
x2 = - 4  4 * -1 = 4 * i2 = -2i of 2i
√i2 = √ -1 = i
√-1 = i
3
Complexe getallen
• Zuiver Imaginair Getal = reeel getal * i
• Bijv. 2i, -5i, ¼ I
• Complex Getal (z) = reeel getal + i
• z = a + bi
• Een Complex getal bestaat uit:
• Een reeel deel + imaginair deel
• Het reele deel van z is gelijk aan a (Rez = a)
• Het imaginaire deel van z is gelijk aan b. (Imz = b)
• Bijv. 1 + 2i, -2 – 5i, ¼ + I
4
Complexe getallen
• Optellen
• z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Aftrekken
• z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
• Voorbeeld:
z1 = 1 + 2i en z2 = -2 – 5i
z1 + z2 = (1 + - 2) + (2 + -5)i = -1 + -3i
z1 – z3 = (1 - -2) + (2 - -5)i = 3 + 7i
5
Complexe getallen
• Vermenigvuldigen
• z1 * z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + cbi + bdi2=
ac + adi + cbi + (bd * -1) = ac + adi + cbi – bd=
(ac – bd) + (ad + cb)i
• Delen
• .
z1 a  bi a  bi c  di ac  adi  cbi  bdi 2


*
 2

2
z 2 c  di c  di c  di c  cdi  cdi  (di )
ac  adi  cbi  bd (ac  bd )  (bc  ad )i


2
2
2
2
c  (d * 1)
c d
(ac  bd ) (bc  ad )i
 2
2
2
c d
c d2
6
Complexe getallen
• Gegeven:
• z1 = 3 + 2i en z2 = 2 + i
• Voorbeeld 1
z1 * z2  (3  2i) * (2  i)  6  3i  4i  2i 2  6  7i  2  4  7i
• Voorbeeld 2
z1 3  2i 3  2i 2  i 6  3i  4i  2i 2 8  i 8 i


*


 
2
z2
2i
2  i 2  i 4  2i  2i  i
5
5 5
7
Complexe getallen
• Om complexe getallen zichtbaar te maken,
moeten we de getallenlijn waarop zich alle
beeldpunten van de reele getallen
bevinden, uitbreiden met een tweede
getallenlijn (loodrecht op de eerste)
waarop de beeldpunten van de imaginaire
getallen komen.
8
Complexe getallen
Im-as
r∙cosφ
Een willekeurig punt A in dit vlak is het
beeldpunt van een complex getal
z = a + bi
A
b
r
r∙sinφ
r = √(a2 + b2)
φ
O
De afstand van O naar A is:
a
Re-as
r wordt de absolute waarde of modulus
van het complexe getal a + bi genoemd.
Notatie: |a + bi| = √(a2 + b2) = r
φ wordt het argument van het
complexe getal a + bi genoemd.
φ is een hoek in
  , 
9
Complexe getallen
• De arctangens of boogtangens (ook afgekort tot atan of arctan of
bgtan of tan-1) is een cyclometrische functie in de wiskunde, die de
relatie beschrijft die de inverse is van de tangens.
• Het resultaat van de arctangens is de hoek waarvan de tangens het
argument als waarde heeft: y = arctan x  x = tan y
• Aangezien de tangens een periodieke functie is met periode pi, is de
arctangens strikt genomen geen functie: voor elk argument zijn er
oneindig veel corresponderende hoeken. Traditioneel wordt de
arctangens tussen -π/2 en +π/2 gekozen.
• In tegenstelling tot de arcsinus en de arccosinus heeft de
arctangens een waarde voor elk reëel argument; de tangens kan
immers elke reele waarde aannemen.
10
Complexe getallen
Machtreeks
• De arctangens heeft de volgende reeksontwikkeling voor x in het gesloten
interval [-1,+1]:
2 n 1

1
1
1
n x
arctan ( x)   (1)
 x  x 3  x 5  x 7  ....
2n  1
3
5
7
n 0
•
Het resultaat daarvan ligt dus in het gesloten interval [-π/4,+π/4].
Complexe notatie
• Gebruik makend van de complexe definities van sinus en cosinus kan de
arctangens genoteerd worden als:
1  1  xi 
arctan( x)  i ln 

2  1  xi 
11
Complexe getallen
•
•
b
Er geldt in het eerste kwadrant:   arctan  
a
Om φ in alle kwadranten te bepalen, moet je nagaan in welk kwadrant het
beeldpunt van a + bi ligt.
Im-as
Im-as
Im-as
φ
b
  arctan    
a
φ
Re-as
b
a
  arctan  
Re-as
b
a
  arctan    
Im-as
b
a
  arctan  
Re-as
φ
12
Complexe getallen
Voorbeeld 1
• Gegeven: z = -1 + i
• Oplossing;
• Modulus: r =√(-a2 + b2)=√(-12 + 12)=√2
• Argument (2e kwadrant):
  arctan
Im-as
φ
Re-as
b
1
1
3
   arctan
      
a
1
4
4
tip :
b 1

 45
a 1
 45
1
* 2  0,25   
360
4
  14   3 4 
tan
13
Complexe getallen
Voorbeeld 2
• Gegeven: z = -1 - i
• Oplossing;
• Modulus: r =√(-a2 + -b2)=√(-12 + -12)=√2
• Argument (3e kwadrant):
  arctan
Im-as
Re-as
φ
b
1
1
3
   arctan
      
a
1
4
4
tip :
b 1

 45
a 1
45
1
* 2  0,25  
360
4
   14    3 4 
tan
14
Complexe getallen
•
Elk complex getal z = a + bi is in r en φ uit te drukken.
• a = rcosφ
• b = rsinφ
•
Zodat: z =a + bi = rcosφ + irsinφ
Voorbeeld:
• Gegeven: z = 1 – i (4e kwadrant)
r  12  (1) 2  2
1
1
 
1
4
 
 
z  2 * cos    i 2 * sin   
 4
 4
  arctan
15
Complexe getallen
De stelling van Euler
• Als :
z  r cos   ir sin 
•
Dan kan z ook heel compact worden genoteerd als:
z  r  e i
Voorbeeld:
Gegeven: z = 1 – i (4e kwadrant)
r  12  (1) 2  2
1
1
 
1
4
 
 
z  2 * cos    i 2 * sin   
 4
 4
  arctan
en volgens Euler:
z  rei  2  e
 4 i
16
Complexe getallen
•
Met behulp van de stelling van Euler kunnen we het vermenigvuldigen en
het delen van twee complexe getallen veel sneller uitvoeren.
•
Gegeven: z1 = r1eiφ1 en z2 = r2eiφ2
Er geldt bij vermenigvuldiging:
z1 * z2 = r1eiφ1 * r2eiφ2 = r1*r2 * ei(φ1 + φ2)
Er geldt bij delen:
z1 r1ei1 r1 i (1 2 )
 i2  e
z2 r2e
r2
17
Complexe getallen
Voorbeeld
• Gegeven: z1 = 1 – i en z2 = 2 + i
z1  2  e

 i
4
z2  8  e

4
i
z1  z 2  2  8
1 
 1
     i
4 
 4
 16e 0  4
en
z1
2

e
z2
8
1 
 1
     i
4 
 4
1
1  2 i
 e
2
18
Complexe getallen
• Schrijf “i” in de vorm
eenheidscircel
Reφi
Im-as
z  a  bi  r cos   ir sin 
 1  cos

2
 0  i 1
 i 1  sin
b = rsinφ

φ
Re-as
2
a = rcosφ
i
r
r cos    r sin  
2
i
re  1  e
z ie

2

2
i
e
2

2
 


 1  cos   1  sin 
2 
2

2
2
 0 2  12  1
i
i
19
Complexe getallen
• Schrijf “-1” in de vorm
eenheidscircel
Reφi
Im-as
φ
z  a  bi  r cos   ir sin 
b = rsinφ
 1  cos   i 1  sin 
Re-as
 1 i  0
a = rcosφ
1
r
r cos  2  r sin  2

1 cos  2  1 sin  2
 12  0 2  1
rei  1 ei  ei
 1  e i
20
Complexe getallen
• Schrijf “1” in de vorm
eenheidscircel
Reφi
Im-as
z  a  bi  r cos   ir sin 
b = rsinφ
φ=0
 1  cos   i 1  sin 
Re-as
 1 i  0
a = rcosφ
1
r
r cos  2  r sin  2

1 cos 02  1 sin 02
 12  0 2  1
rei  1 e 0i  e 0i
1  e 0i
21
Complexe getallen
• Als we een willekeurig complex getal z = reφi vermenigvuldigen met i,
dan voeren we de volgende bewerking uit:
i
z  i  re  e

2
i
 re
 
   i
2

• Meetkundig betekent dit dat de modulus van z·i gelijk is aan de
modulus van z en dat het argument van z toegenomen is met een
½ π. Oftewel een vermenigvuldiging van een complex getal z met
een imaginaire eenheid i is een rotatie van het beeldpunt van z in het
complexe vlak over een hoek van ½ π tegen de wijzers van de klok
in.
22
Complexe getallen
Het oplossen van vergelijkingen
• az2 + bz + c = 0 (met a, b, c in R)
• Voorbeeld
Los op: z2 + 2z + 5 = 0
 2  4  4 1  5  2   16  2  4  4  i 2
z1, 2 



2
2
2
 2  4i
 1  2i
2
23
Complexe getallen
•
De vergelijking zn = c (met c in C) wordt een binomiaalvergelijking genoemd.
•
Voorbeeld
Los op: z3 = i
Stel z voor als z = reiφ en i als

i
i  1 e 2  1 e


  2 k  i
2

Dan geldt dat z3 = i hetzelfde is als:
z 3  i  r 3  e3i  1  e


  2 k  i
2

r3  1
3 

2
 2k   

6
 2k
24
Complexe getallen
Vervolg
• Voor r geldt r = 1 en als we voor k respectievelijk de waarden 0, 1 en 2
9
 5
invullen, vinden voor φ respectievelijk 6 , 6 en 6



1
1
6
z0  1  e  cos  i  sin 
3 i
6
6 2
2
1
1
z1  
3 i
2
2
z 2  i
i
Eenheidscircel, r = 1
Im-as
z1
z0

6
1
Re-as
z2
25
Complexe getallen
•
Voorbeeld
Los op: z3 = -1 + i
Stel z voor als z = reiφ en -1 + i als
1  i  2  e
 3

  2 k  i
 4

Dan geldt dat z3 = -1 + i hetzelfde is als:
z 3  1  i  r 3  e3i  2  e
r3  2  3  3
 3

 2 k  i

 4

2 6 2
3

2
3 
 2k     k
4
4
3
26
Complexe getallen
Vervolg
• Voor r geldt r =
6
2 en als we voor k respectievelijk de waarden 0, 1 en 2
19
 11
invullen, vinden voor φ respectievelijk 4 , 12 en 12

i


1

1

z0  2  e 4  6 2  cos  i  sin   6 2 
2  i  2 
4
4
2

2

6
11
11 

z1  6 2 cos
 i  sin

12
12 

Eenheidscircel, r = 1
Im-as
z0
z1

4
1
Re-as
19
19 

z 2  6 2  cos
 i  sin

12
12 

z2
De oplossingen van zn = α liggen op een circel met straal  en
middelpunt O en vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek.
n
27
Einde
Vervolgcursus
differentiaalrekening
28