H. 9 Het getal e / Logaritmen

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
H. 9
9.1
WISKUNDE
H.9
Het getal e / Logaritmen
Het getal e
Het getal e is een speciaal getal in de wiskunde, net zoals het getal π.
Het is als volgt gedefinieerd:
1 1
1
1
1




1 1 2 1 2  3 1 2  3  4 1 2  3  4  5
e  1 
Als we dit uitrekenen, dan wordt de waarde van het getal
e:
e  2.718281828459
En afgerond op 2 decimalen:
e  2.72
Er is ook nog een andere manier om het getal e te benaderen met behulp van de
exponentiële functie. Zie Wisnet in de cursus “Exponentiële functies en logaritmen”.
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
9.2
WISKUNDE
H.9
De exponentiële functie
f  x  g x
De exponentiële functie is een functie van de
vorm:
In deze functie is x de (onafhankelijke) variabele, terwijl g een constante is.
Omdat de variabele x in de exponent staat, noemen we dit een exponentiële functie.
In een exponentiële functie noemen we g het grondtal en x de exponent.
We eisen dat het grondtal g groter dan 0 is, oftewel: g  0 .
f ( x)  2 x
f ( x)  10 x
Voorbeelden van exponentiële functies zijn:
Een speciale exponentiële functie
f ( x) 
ex
is:
Om de grafiek van f  x   e x te tekenen, bepalen we eerst enkele punten van deze
grafiek:
x  2 :
y  f  2   e  2  0.14
 A  2 , 0.14 
x  1:
x  0:
x  1:
x  2:
y  f  1 
e  1  0.37
y  f  0  e 0  1
y  f 1  e 1  2.72
y  f  2   e 2  7,39
y  f  3  e 3  20, 09
 B  1 , 0.37 
 C  0 , 1
 D 1 , 2.72 
 E  2 , 7.39 
x  3:
 F  3 , 20.09 
Als we de punten getekend hebben, dan tekenen we de grafiek er zo goed mogelijk
doorheen. Het resultaat is dan:
f  x 
ex
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
WISKUNDE
H.9
Voorbeeld 1: Teken de grafiek van functie f  x   e  x .
Oplossing:
We bepalen weer eerst enkele punten van deze grafiek:
x  3 :
x  2 :
x  1:
x  0:
x  1:
x  2:
y  f  3  
e 3  20.09
y  f  2   e 2  7.39
y  f  1  e 1  2.72
y  f 0  e 0  1
y  f 1  e  1  0.37
y  f  2   e  2  0.14

A  3 , 20.09 
 B  2 , 7.39 
 C  1 , 2.72 
 D  0 , 1
 E 1 , 0.37 
 F  2 , 0.14 
Als we de punten getekend hebben, dan tekenen we de grafiek er zo goed mogelijk
doorheen. Het resultaat is dan:
f  x 
e x
Opmerking:
Dit is ook de grafiek van de functie f  x  
1
ex
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
9.3
WISKUNDE
H.9
Logaritmen
Definitie logaritme:
Of anders gezegd:
log g (a) is een getal c, zodanig dat g c  a .
log g (a)  c  g c  a
In de logaritmische vorm log g (a)  c noemen we g het grondtal, a het argument en
c de exponent.
Het grondtal g moet aan de volgende eisen voldoen:
Het argument a moet aan de volgende eis voldoen:
g  0 en
a0
Voorbeelden:
Bereken (zonder rekenmachine) de volgende uitdrukkingen:
1a.
log 2 (8)
Oplossing:
log 2 (8)  3 , omdat 23  8
1b.
log 5 (25)  2
 52  25
2a.
log 4 (16)  2  42  16
2b.
log10 (1000)  3  103  1000
g 1
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
WISKUNDE
Eigenschappen voor logaritmen:
Eig. 1
log g (a  b)  log g (a)  log g (b)
Eig. 2
a
log g    log g (a)  log g (b)
b
Eig. 3
log g (a p )  p  log g (a)
Eig. 4
log g ( g )  1
Eig. 5
log g (1)  0
Voorbeelden:
Herleid de volgende uitdrukkingen tot één logaritme:
1.
log3 ( x  1)  log3 (2 x  5)
Oplossing:
M.b.v. eigenschap 1:
log 3 ( x  1)  log 3 (2 x  5) 
log 3 (( x  1)(2 x  5))
2.
log3 ( x  1)  log3 (2 x  5)
Oplossing:
M.b.v. eigenschap 2:
log3 ( x  1)  log 3 (2 x  5) 
 x 1 
log3 

 2x 5
3a.
3  log5 ( x)  log5 ( x  1)
Oplossing:
Eerst eigenschap 3:
3  log5 ( x)  log5 ( x  1) 
log5 ( x3 )  log5 ( x  1)
Dan eigenschap 1:
log 5 ( x3 ( x  1))
3b.
log 2 ( x  2)  2  log 2 ( x  2) 
log 2 ( x  2)  log 2 (( x  2) 2 ) 
 x2 
log 2 
2 
 ( x  2) 
H.9
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
WISKUNDE
H.9
Speciale grondtallen bij logaritmen:
Er zijn bij logaritmen 2 grondtallen die allebei veel voorkomen.
Dat zijn het grondtal 10 en het grondtal e .
Omdat ze zoveel gebruikt worden, heeft de bijbehorende logaritme een speciale
notatie gekregen.
Bij grondtal 10 schrijven we in plaats van 10 log a meestal: log a .
Dit noemen we de Briggse logaritme.
Bij grondtal e schrijven we in plaats van log e (a) altijd: ln(a) .
Dit noemen we de natuurlijke logaritme.
De 5 eigenschappen voor logaritmen zijn uiteraard ook van toepassing op natuurlijke
logaritmen.
Voorbeeld:
ln  2 x   ln  3 y   ln  6 x y 
Voorbeelden:
Bereken (zonder rekenmachine) de volgende uitdrukkingen:
1a.
log 100
Oplossing:
log 100   log 102   2  log 10   2 1  2
1b.
 1 
log  6   log 106   6  log(10)  6 1  6
 10 
2a.
ln  e 4 
Oplossing:
2b.
ln  e 4   4  ln  e   4 1  4
 1 
ln  3   ln(e 3 )  3  ln(e)  3 1  3
e 
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
9.4
WISKUNDE
H.9
De logaritmische functie
De logaritmische functie is een functie van de
Als g gelijk is aan
e , dan schrijven we:
f  x   log g  x 
vorm:
f  x   ln( x)
Om de grafiek van f  x   ln( x) te tekenen, bepalen we eerst enkele punten van
deze grafiek:
x  0,5 :
y  f  0,5   ln  0.5   0.69
 A  0.5 ,  0.69 
x  1:
y  f 1  ln 1  0
 B 1 , 0 
x  2:
y  f  2   ln  2   0.69
 C  2 , 0.69 
x  5:
y  f  5   ln  5   1.61
 D  5 , 1.61
x  10 :
y  f 10   ln 10   2.30
 E 10 , 2.30 
x  100 :
y  f 100   ln 100   4.61
 E 100 , 4.61
Als we de punten getekend hebben, dan tekenen we de grafiek er zo goed mogelijk
doorheen. Het resultaat is dan:
f  x   ln  x 
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
9.5
WISKUNDE
H.9
Rekenregel voor de verandering van het grondtal bij logaritmen
Eigenschap 6:
log a  b  
log g  b 
log g  a 
Met deze regel kunnen we het grondtal a van een logaritme veranderen in grondtal g.
Voorbeelden:
1a.
Bereken de logaritme log2  5 door over te gaan op grondtal 10.
Oplossing:
log10  5  0.69897
log 2  5  

 2.322
log10  2  2.30103
1b.
Bereken de logaritme log5 12  door over te gaan op grondtal
Oplossing:
ln 12  2.48491
log 5 12  

 1.54396
ln  5 
1.60944
e.
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
WISKUNDE
H.9
Exponentiële vergelijking
9.6
Een exponentiële vergelijking is een vergelijking van de vorm:
a
f ( x)
b
Omdat de variabele x in de exponent staat, noemen we dit een exponentiële
vergelijking.
Dergelijke vergelijkingen gaan we oplossen door aan beide kanten van het ‘= -teken’
de natuurlijke logaritme te nemen.
Voorbeelden:
Los de volgende vergelijkingen op:
1a.
2x  6
Oplossing:
Neem de natuurlijke logaritme van het linker- en het rechterlid:
2 x  6  ln(2 x )  ln  6
Dan eigenschap 3 van de logaritmen:
x ln  2  ln  6
Vervolgens deze vergelijking oplossen en x vrijmaken:
x
ln  6 
ln  2 
1b.
3 x  12
Oplossing:
ln(3 x )  ln(12)

x  ln(3)  ln(12)

ln(12)
x
 2.26186
ln(3)

1.7918
 2.585
0.6931
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
2.
5 x1  2
Oplossing:
ln(5 x1 )  ln  2

( x 1)  ln  5  ln  2
x 1 

ln  2 

ln  5 
0.6931
1.6094
x  1  0.431
x 1 


x  1.431
3.
6 2 x5  9
Oplossing:
ln(6 2 x5 )  ln 9

(2 x  5)  ln  6  ln 9 
2x5 
2x5 
ln  9 
ln  6 
2.1972
1.7918



2 x  5  1.226

2 x  1.226  5

2 x  3.774

x   1.887
WISKUNDE
H.9