H. 9 Het getal e / Logaritmen

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
H. 9
9.1
WISKUNDE
H.9
Het getal e / Logaritmen
Het getal e
Het getal e is een speciaal getal in de wiskunde, net zoals het getal π.
Het is als volgt gedefinieerd:
1 1
1
1
1
+
+
+
+ """""
1 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5
e = 1+ +
Als we dit uitrekenen, dan wordt de waarde van het getal
e=
e:
2.718281828459"""
En afgerond op 2 decimalen:
e≈
2.72
Er is ook nog een andere manier om het getal e te benaderen met behulp van de
exponentiële functie. Zie Wisnet in de cursus “Exponentiële functies en logaritmen”.
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
9.2
WISKUNDE
H.9
De exponentiële functie
f ( x) = g x
De exponentiële functie is een functie van de
vorm:
In deze functie is x de (onafhankelijke) variabele, terwijl g een constante is.
Omdat de variabele x in de exponent staat, noemen we dit een exponentiële functie.
In een exponentiële functie noemen we g het grondtal en x de exponent.
We eisen dat het grondtal g groter dan 0 is, oftewel: g > 0 .
Voorbeelden van exponentiële functies zijn: f ( x) = 2 x
f ( x) = 10 x
Een speciale exponentiële functie
Om de grafiek van f ( x ) =
grafiek:
x = −2 :
x = −1:
x = 0:
x = 1:
x = 2:
y = f ( −2 ) =
f ( x) =
ex
is:
e x te tekenen, bepalen we eerst enkele punten van deze
e − 2 ≈ 0.14
y = f ( −1) = e − 1 ≈ 0.37
y = f ( 0) = e 0 = 1
y = f (1) = e 1 ≈ 2.72
y = f ( 2 ) = e 2 ≈ 7,39
y = f ( 3) = e 3 ≈ 20, 09
⇒
A ( −2 , 0.14 )
⇒ B ( −1 , 0.37 )
⇒ C ( 0 , 1)
⇒ D (1 , 2.72 )
⇒ E ( 2 , 7.39 )
x = 3:
⇒ F ( 3 , 20.09 )
Als we de punten getekend hebben, dan tekenen we de grafiek er zo goed mogelijk
doorheen. Het resultaat is dan:
f ( x) =
ex
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
H.9
WISKUNDE
Voorbeeld 1: Teken de grafiek van functie f ( x ) =
e−x .
Oplossing:
We bepalen weer eerst enkele punten van deze grafiek:
x = −3 :
x = −2 :
x = −1:
x = 0:
x = 1:
x = 2:
y = f ( −3) =
e 3 ≈ 20.09
y = f ( −2 ) = e 2 ≈ 7.39
y = f ( −1) = e 1 ≈ 2.72
y = f ( 0) = e 0 = 1
y = f (1) = e − 1 ≈ 0.37
y = f ( 2 ) = e − 2 ≈ 0.14
⇒
A ( −3 , 20.09 )
⇒ B ( −2 , 7.39 )
⇒ C ( −1 , 2.72 )
⇒ D ( 0 , 1)
⇒ E (1 , 0.37 )
⇒ F ( 2 , 0.14 )
Als we de punten getekend hebben, dan tekenen we de grafiek er zo goed mogelijk
doorheen. Het resultaat is dan:
f ( x) =
e −x
Opmerking:
Dit is ook de grafiek van de functie f ( x ) =
1
ex
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
9.3
WISKUNDE
H.9
Logaritmen
Definitie logaritme:
log g (a) is een getal c, zodanig dat g c = a .
Of anders gezegd:
log g (a) = c ⇔
gc = a
In de logaritmische vorm log g (a) = c noemen we g het grondtal, a het argument en
c de exponent.
Het grondtal g moet aan de volgende eisen voldoen:
Het argument a moet aan de volgende eis voldoen:
g > 0 en g ≠ 1
a>0
Voorbeelden:
Bereken (zonder rekenmachine) de volgende uitdrukkingen:
1a.
log 2 (8)
Oplossing:
log 2 (8) = 3 , omdat 23 = 8
1b.
log 5 (25) = 2
⇔ 52 = 25
2a.
log 4 (16) = 2 ⇔ 42 = 16
2b.
log10 (1000) = 3 ⇔ 103 = 1000
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
WISKUNDE
Eigenschappen voor logaritmen:
Eig. 1
log g (a ⋅ b) = log g (a) + log g (b)
Eig. 2
⎛a⎞
log g ⎜ ⎟ = log g (a) − log g (b)
⎝b⎠
Eig. 3
log g ( a p ) = p ⋅ log g ( a )
Eig. 4
log g ( g ) = 1
Eig. 5
log g (1) = 0
Voorbeelden:
Herleid de volgende uitdrukkingen tot één logaritme:
1.
log 3 ( x + 1) + log 3 (2 x − 5)
Oplossing:
M.b.v. eigenschap 1:
log 3 ( x + 1) + log 3 (2 x − 5) =
log3 (( x + 1)(2 x − 5))
2.
log 3 ( x + 1) − log 3 (2 x − 5)
Oplossing:
M.b.v. eigenschap 2:
log 3 ( x + 1) − log 3 (2 x − 5) =
⎛ x +1 ⎞
log 3 ⎜
⎟
⎝ 2x −5⎠
3a.
3 ⋅ log 5 ( x) + log 5 ( x + 1)
Oplossing:
Eerst eigenschap 3:
3 ⋅ log 5 ( x) + log 5 ( x + 1) =
log 5 ( x 3 ) + log 5 ( x + 1)
Dan eigenschap 1:
log 5 ( x 3 ( x + 1))
3b.
log 2 ( x − 2) − 2 ⋅ log 2 ( x + 2) =
log 2 ( x − 2) − log 2 (( x + 2) 2 ) =
⎛ x−2 ⎞
log 2 ⎜
2 ⎟
⎝ ( x + 2) ⎠
H.9
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
WISKUNDE
H.9
Speciale grondtallen bij logaritmen:
Er zijn bij logaritmen 2 grondtallen die allebei veel voorkomen.
Dat zijn het grondtal 10 en het grondtal e .
Omdat ze zoveel gebruikt worden, heeft de bijbehorende logaritme een speciale
notatie gekregen.
Bij grondtal 10 schrijven we in plaats van 10 log a meestal: log a .
Dit noemen we de Briggse logaritme.
Bij grondtal e schrijven we in plaats van log e (a ) altijd: ln(a ) .
Dit noemen we de natuurlijke logaritme.
De 5 eigenschappen voor logaritmen zijn uiteraard ook van toepassing op natuurlijke
logaritmen.
Voorbeeld:
ln ( 2 x ) + ln ( 3 y ) ⇒ ln ( 6 x y )
Voorbeelden:
Bereken (zonder rekenmachine) de volgende uitdrukkingen:
1a.
log (100 )
Oplossing:
log (100 ) = log (102 ) = 2 ⋅ log (10 ) = 2 × 1 = 2
1b.
⎛ 1 ⎞
log ⎜ 6 ⎟ = log (10−6 ) = −6 ⋅ log(10) = −6 ×1 = −6
⎝ 10 ⎠
2a.
ln ( e 4 )
Oplossing:
2b.
ln ( e 4 ) = 4 ⋅ ln ( e ) = 4 × 1 = 4
⎛ 1 ⎞
ln ⎜ 3 ⎟ = ln(e −3 ) = −3 ⋅ ln(e) = −3 × 1 = −3
⎝e ⎠
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
9.4
H.9
WISKUNDE
De logaritmische functie
De logaritmische functie is een functie van de
Als g gelijk is aan
f ( x ) = log g ( x )
vorm:
f ( x ) = ln( x)
e , dan schrijven we:
Om de grafiek van f ( x ) = ln( x) te tekenen, bepalen we eerst enkele punten van
deze grafiek:
x = 0,5 :
y = f ( 0,5 ) = ln ( 0.5 ) ≈ −0.69
⇒
A ( 0.5 , − 0.69 )
x = 1:
y = f (1) = ln (1) = 0
⇒ B (1 , 0 )
x = 2:
y = f ( 2 ) = ln ( 2 ) ≈ 0.69
⇒ C ( 2 , 0.69 )
x = 5:
y = f ( 5 ) = ln ( 5 ) ≈ 1.61
⇒ D ( 5 , 1.61)
x = 10 :
y = f (10 ) = ln (10 ) ≈ 2.30
⇒ E (10 , 2.30 )
x = 100 :
y = f (100 ) = ln (100 ) ≈ 4.61
⇒ E (100 , 4.61)
Als we de punten getekend hebben, dan tekenen we de grafiek er zo goed mogelijk
doorheen. Het resultaat is dan:
f ( x ) = ln ( x )
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
9.5
WISKUNDE
H.9
Rekenregel voor de verandering van het grondtal bij logaritmen
Eigenschap 6:
log a ( b ) =
log g ( b )
log g ( a )
Met deze regel kunnen we het grondtal a van een logaritme veranderen in grondtal g.
Voorbeelden:
1a.
Bereken de logaritme log 2 ( 5 ) door over te gaan op grondtal 10.
Oplossing:
log10 ( 5 ) 0.69897
log 2 ( 5 ) =
≈
≈ 2.322
log10 ( 2 ) 2.30103
1b.
Bereken de logaritme log 5 (12 ) door over te gaan op grondtal
Oplossing:
log 5 (12 ) =
ln (12 ) 2.48491
≈
≈ 1.54396
ln ( 5 )
1.60944
e.
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
9.6
WISKUNDE
H.9
Exponentiële vergelijking
Een exponentiële vergelijking is een vergelijking van de vorm:
a
f ( x)
= b
Omdat de variabele x in de exponent staat, noemen we dit een exponentiële
vergelijking.
Dergelijke vergelijkingen gaan we oplossen door aan beide kanten van het ‘= -teken’
de natuurlijke logaritme te nemen.
Voorbeelden:
Los de volgende vergelijkingen op:
1a.
2x = 6
Oplossing:
Neem de natuurlijke logaritme van het linker- en het rechterlid:
2 x = 6 ⇒ ln(2 x ) = ln ( 6 )
Dan eigenschap 3 van de logaritmen:
x ⋅ ln ( 2 ) = ln ( 6 )
Vervolgens deze vergelijking oplossen en x vrijmaken:
x=
1b.
3 x = 12
Oplossing:
ln(3 x ) = ln(12)
x ⋅ ln(3) = ln(12)
x=
ln(12)
≈ 2.26186
ln(3)
ln ( 6 ) 1.7918
=
= 2.585
ln ( 2 ) 0.6931
⇒
⇒
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
2.
5 x −1 = 2
Oplossing:
ln(5 x −1 ) = ln ( 2 )
⇒
( x − 1) ⋅ ln ( 5 ) = ln ( 2 )
x −1 =
⇒
ln ( 2 )
ln ( 5 )
0.6931
1.6094
x − 1 = 0.431
x −1 =
⇒
⇒
⇒
x = 1.431
3.
6 2 x +5 = 9
Oplossing:
ln(6 2 x +5 ) = ln 9
⇒
(2 x + 5) ⋅ ln ( 6 ) = ln ( 9 )
2x+5=
ln ( 9 )
ln ( 6 )
2x+5=
2.1972
1.7918
⇒
⇒
⇒
2 x + 5 = 1.226
⇒
2 x = 1.226 − 5
⇒
2 x = −3.774
⇒
x = − 1.887
WISKUNDE
H.9