portfolio wiskunde

PORTFOLIO WISKUNDE
Inhoudstafel
1 Basiswiskunde en rekenregels
2 Elementaire functies
3 Grafieken tekenen
4 Recursie- en Differentievergelijking
5 Limieten
6 Afgeleiden
7 Toepassingen van afgeleiden in calculus
8 Asymptoten
9 Integralen
10 Differentiaalvergelijkingen
11 Stelsels en Matrices
12 Functies met meer variabelen
13 Evenwichten en stabiliteit
14 Biologische modellen
1
Janko Pallay, BMW 19 11
1 Basiswiskunde en rekenregels
1.1 Rechten
y − y1
y− y 1= 2
(x− x1 )
x 2−x 1
l 1∥l 2 als m1=m2
l 1 ⊥l 2 als m1×m2=−1
1.2 Cirkel
2
2
2
r =( x−x 0 ) + ( y− y 0 ) met afstandsformule (voor straal)
d ( P , Q)=√ (( x 2−x 1 )2+ ( y1− y1 )2)
vb. cirkel door punt (5,7) met M (2,3)
straal = √ ((5−2)2 + (7−3)2)= √ (9+ 16)=5
vergelijking: 52=(x−2)2+ ( y−3)2
1.3 Goniometrie
graden rad
=
360 °
2π
sin θ
tan θ=
cos θ
1
secθ=
cos θ
1
cscθ=
sin θ
1
cot θ=
tan θ
sin 2 θ+ cos 2 θ=1
2
sin θ
1
+ 1= 2
2
cos θ
cos θ
2
2
tan θ+ 1=sec θ
Bijzondere hoeken
α
0
π/6
π/4
π/3
π/2
Sin α
0
1/2
V2/2
V3/2
1
Cos α
1
V3/2
V2/2
1/2
0
Tan α
0
V3/3
1
V3
X
Verwante hoeken
sin (−α )=−sin (α )
cos (−α )=cos( α )
tan (−α )=−tan (α )
sin(π−α )=sin α
cos (π−α )=−cos(α )
tan (π−α )=−tan(α )
sin( π−α )=cos α
2
cos ( π−α )=sin α
2
tan ( π−α )=cot α
2
sin(π+ α )=−sin α
cos (π+ α )=−cos (α )
tan (π+ α )=tan(α )
2
Janko Pallay, BMW 19 11
Som en verschil
Formules van Simpson
Dubbele hoek
Driehoeken
̂
a 2=b2+ c 2−2.b.c.cos A
1.4 Exponenten
a r ×a s=a r + s
(a×b) r=a r×b r
r
a
r −s
=a
a r ar
s
(
)= r
a
b
b
−r 1
r s
a = r
(a ) =a r ×s
a
1.5 Logaritmen
x=log a y → y=a x
log a (x× y )=log a x + log a y
x
log a ( )=log a x−log a y
y
log a x r=r×log a x
log b
log a
log 10 x=log x
log e x=ln x
log a b=
log a a x =x
a log x = x
a
3
Janko Pallay, BMW 19 11
2 Elementaire functies
2.1 Even en oneven
f ( x )= f (−x) → even → y−as als symmetrie
f ( x )=− f (−x ) → oneven → oorsprong als symmetrie
2.2 Samengestelde functies
( f o g)( x)= f ( g ( x )) lees: f ná g
f  x =2x3=u
g  x= x 3
vb.
 f o g x= f  g  x = f  x3 =2x 33
 g o f = g  f  x = g 2x3=2x33
{
2.3 Veelterm functies
0
1
2
n−1
n
f ( x )=a o x + a1 x + a2 x + ...+ a n−1 x + a n x
n is even -> functie is even
n is oneven -> functie is oneven
2.4 Rationale functies
p( x)
f ( x )=
q( x)≠0
q( x)
Concreet: Michaelis-Menten model (enzymenreacties)
N ≥0
aN
r (N )=
a , k = positieve constanten
k+ N
k =half −verzadigingsconstante
2.5 Machtsfuncties
f ( x )=x r
r ∈ℝ
2.6 Exponentiële functies
f ( x )=a x met:
a=1 → constante functie y=1 x =1
0< a< 1 → dalende functie
a> 1 → stijgende functie
a< 0 → onmogelijk , zie logaritmische functies (2.8)
2.7 Inverse functies
f −1( x)≠ f (x)−1
f [ f −1 (x ) ]= x
1
→
f −1 [ f ( x) ] =x
f (x )
vb.
f  x = y= x 35
x 3= y−5
x= 3 y −5
3
 f −1  x =  x −5
Niet alle functie hebben inverse: één-één regel
Als een horizontale lijn de grafiek slecht in één punt snijdt, heeft deze een inverse.
4
Janko Pallay, BMW 19 11
2.8 Logaritmische functies
Zijn de inverse van exponentiële functies.
f ( x )=a x → f −1 ( x)=log a x
a≠1, a> 0 Geen negatief logaritme!!
2.9 goniometrische functie
f ( x )=a.sin(bx + c)+ d
met
a=amplitude
2π
= periode
b
c=horiz. versch
d =vert. versch
3 Grafieken tekenen
3.1 Transformaties
y= f ( x )
y= f ( x )+ a verticale verschuiving
y= f ( x −c) horizontale verschuiving
y=− f (x) spiegeling rond x-as
y= f (−x) spiegeling rond y-as
3.2 Logaritmische ijking
3.2.1 SEMI- LOG plot
y=b . a x
log y=log b . a x 
Y =log blog a x
Y =log b x log a
Y =log a . xlogb  y=axb
Y =axb
log y=axb
10log y =10axb
y=10 ax .10b
y=10a x 10 b  y=a x.b
3.2.2 LOG-LOG plot
y=b x r
log y=log b x r 
Y =log blog x r
Y =log br log x
Y =r X log b  y=axb
Y =aX b
log y=a log xb
log y=log x a b
10log y =10logx b
y=10logx .10b
y=x a .10 b  y=x a b
a
a
5
Janko Pallay, BMW 19 11
4 Recursie- en differentievergelijkingen
4.1 Recursief
N t 1=N t . R
- Tijd is impliciet (niet af te lezen)
- R is de groeifactor (rico van de rechte)
Nt
1
ouders
= =
=cte
N t1 R kinderen
4.2 Expliciet
N t =N 0 Rt
- Tijd is expliciet (aflezen op x-as)
- N0 is beginaantal
- R is de groeifactor
R1 dan f  x ∞
R=1 dan f  x N 0
0R1 dan f  x 0
4.3 Verschil
Recursievergelijking
N t 1= f  N t  met gegeven N 0
Differentievergelijking
 N = f  N t −N t= g  N t  met gegeven N 0
5 Limieten
5.1 Bestaande limieten
vb. lim x 2=25
x5
5.2 Linker- en rechterlimiet
∣x∣
lim =1
x 0 x
∣x∣
vb. lim =−1
x 0 x
∣x∣
lim =onbestaand
x0 x
+
-
6
Janko Pallay, BMW 19 11
5.3 Onbestaande limieten
sin x =onbestaand Want sin x varieert tussen -1 en 1 (divergeert)
vb. lim
x∞
5.4 Rekenregels
lim a.f  x =a lim f  x
x c
xc
lim [ f  x g  x ]=lim f  xlim g  x
x c
x c
x c
lim [ f  x . g  x ]=lim f  x. lim g  x 
x c
x c
x c
lim f  x 
lim
x c
f  x x  c
=
g  x  lim g  x
als g  x≠0
x c
5.5 Continuïteit
x=c  lim f  x= f  c dan is de functie continu in c
x c
5.6 Limieten bij oneindig
lim f  x =lim
x ∞
x ∞
{
px 0
= L≠0
qx
bestaat niet
∞
als
als
als
gr  p gr q 
gr  p= gr q 
gr  p gr q 
5.7 Sandwich theorema
Als f  x ≤g  x≤h x 
en lim f  x =lim h x =L
x c
x c
dan lim g  x= L
x c
vb.
lim e −x . cos 10x
x ∞
−1≤cos 10x≤1
−e ≤e −x . cos 10x≤e −x
lim −e−x =lim e−x =0
−x
x ∞
x∞
−x
dus lim e . cos 10x=0
x ∞
5.8 Bijzondere goniometrische limieten
sin x
1−cos x
lim
=0
lim
=0
x
x
x 0
x 0
7
Janko Pallay, BMW 19 11
6 Afgeleiden
6.1 Algemeen
 N N th−N t  N  t h− N t 
=
=
t
t h−t
h
Dit is de gemiddelde verandering
= rico van rechte door [t, N(t)] en [t+h, N(t+h)]
Voor ogenblikkelijke verandering moet het interval zo klein mogelijk zijn, dus h zo klein mogelijk
N th− N t
 lim
h
h 0
f  xh− f  x 
,indien lim bestaat
h
h0
h 0
f ch− f c
f ' c=lim
=rico raaklijn in punt C
h
h 0
f '  x=lim
vergelijking raaklijn:
(Rechte)
(Getal)
y− f c = f '  c x−c
vergelijking normaal (loodrecht op raaklijn):
y− f c =
−1
 x−c
f ' c 
Notatie:
dn y
dx n
6.2 Toegepaste voorbeelden
6.2.1 Afgeleide van een constante functie f(x)=a
f  xh− f  x
a−a
0
f '  x=lim
=lim
=lim =0
h
h
h 0
h0
h0 h
opm.: h≠0 maar NADERT 0 lang rechts en links (anders delen door nul!)
6.2.2 Afgeleide van een lineaire functie f(x)=mx+b
f  xh− f  x
m xhb−mxb
mxmhb−mxb
mh
f '  x=lim
=lim
=lim
=lim
=m
h
h
h
h 0
h0
h0
h0 h
opm.: h≠0 maar NADERT 0 lang rechts en links (anders delen door nul!)
Men ziet dat een constante functie een bijzonder geval is van de lineaire functie, met m=0.
nde afgeleide:
6.3 Productregel
h '  x= f '  x . g  x g '  x . f  x
h  x = f  x . g  x  dus rechthoek
h  x x = f  x x. g  x x 
Alles delen door Δx en limieten nemen
h x x−h x =opp 1opp 2
[ f  x x − f  x ]×g  x[ g  x x−g  x ] × f  x x 
8
Janko Pallay, BMW 19 11
6.4 Quotiëntregel
f '  x× g  x −g '  x × f  x 
h '  x=
g  x 2
6.5 Kettingregel
 f o g '  x = f ' [ g  x ]×g '  x 
dy
2
2
2
3x −1 =2×3x −1×3
vb.
dx
6.6 Impliciet afleiden
Strategie: Afleiden naar x, dan oplossen naar
dy
dx
dy
3 2
2
van y x − y x2 y =x
dx
d 3 2 d
d
d
y x − y x 2 y 2 = x
dx
dx
dx
dx
dy
dy
dy
3
2
2
vb. 2 x  y  x 3 y
−[ y  x]4 y =1
dx
dx
dx
dy
2 2
3
3 y x −x4y2 x y − y=1
dx
dy y1−2 x y 3
=
dx 3 y 2 x 2−x4 y
d 3 2
3
2
2 dy
y x = 2 x y  x  3 y
dx
dx
d
dy
y x=1 y   x
dx
dx
d
dy
2
2 y =4 y
dx
dx
6.7 Afgeleiden van goniometrische functies
6.8 Afgeleiden van exponentiële functies
d
d
d
=a x = e ln a =e ln a
 x ln a =a x ln a
dx
dx
dx
d g  x g  x 
e =e ×g '  x 
dx
x
x
9
Janko Pallay, BMW 19 11
6.9 Afgeleide van inverse functies
d −1
1
f  x =
of
dx
f ' [ f −1  x ]
dy 1
=
dx dy
dx
6.10 Afgeleide van logaritmische functies
d
1
1
1
ln x= f −1  x =
= ln x =
−1
dx
x
f ' [ f  x] e
1
ln a−0. ln x
d
d ln x x
1
log a x=
=
=
2
dx
dx ln a
x ln a
ln a 
d
3 1
f ' x
d
ln 3x= =
ln  f  x=
vb.
dx
3x
x
dx
f x
d
2x
2
ln  x 1= 2
dx
 x 1
7 Toepassingen van afgeleiden in calculus
7.1 Mean Value theorem
Als f continu is over [a,b] en afleidbaar over ]a,b[ dan bestaat een punt c Є ]a, ,b[ zodat
f b− f a 
= f ' c 
b−a
7.2 Stijgen of dalen
f '  x0 ∀ x∈a , b f is stijgend over [a , b]
f '  x0 ∀ x∈a , b f is dalend over [a , b]
7.3 Hol en bol
f ' '  x 0 ∀ x∈[a , b] f is hol over [a , b]
f ' '  x 0 ∀ x∈[a , b] f is bol over [a ,b ]
7.4 Relatieve extrema
f ' c=0 en f ' ' c0  relatief minimum voor x=c
f ' c=0 en f ' ' c0  relatief maximum voor x=c
7.5 Buigpunten
f ' ' c =0 en f ' ' verandert van teken  x=c is buigpunt
7.6 Regel van l'Hospital
∀ lim f  x =lim g  x=0
x a
x a
lim
∀ lim f  x =lim g  x=∞
x a
x 2
x a
f x
als lim
=L
x a g  x
f '  x
dan lim
=L
x a g '  x 
vb.
x 6−64 0
=
0
x 2−4
MAAR
x 6−64
6 x5 6×25
lim 2
=lim
=
=6×23=48
2×2
x 2 x −4
x 2 2 x
10
Janko Pallay, BMW 19 11
7.7 Linearisatie
Over een kort interval kan de raaklijn de oorspronkelijke functie benaderen.
L  x= f a f ' a  x−a≈ f  x
vb. Waarde van √65=?
1
We weten dat f  x = x en f '  x=
en kennen √64 in de buurt van √65.
2x
1
L  x= f  a f ' a  x−a = f 64 f ' 6465−64=8 1=8,0625≈8,062257
16
8 Asymptoten
8.1 Verticale asymptoot
lim f  x =±∞
of
xc
+
lim f  x =±∞
x c
 x=c VA
-
Kortom: nulpunten van de noemer die geen nulpunten van de teller zijn
8.2 Openingen
Nulpunten van de noemer die wel nulpunten van de teller zijn
8.3 Horizontale asymptoten
lim f  x =b
of
x ∞
lim f  x =b
x −∞
 y=b  HA
Kortom: gedrag van functie naar oneindig, dus limiet nemen.
(Coeff. Hoogste graad teller/ coeff. Hoogste graad noemer)
8.4 Schuine asymptoot
Enkel als: graad teller = graad noemer +1
Euclidische deling uitvoeren, rest gaat naar 0 bij x→oneindig
11
Janko Pallay, BMW 19 11
9 Integralen
9.1 Riemann som
b
- f(x) is het integrand
- a is de ondersom
- b is de bovensom
- ck is het midden van Δxk
- c k .  x k = Opp.
Rechthoek
- som v. Opp= integraal
n
∫ f  x  dx =∣∣lim
∑
P∣∣ 0
k=1
a
f c k   x k
9.2 Eigenschappen
a
∫ f  x  dx=0
a
b
als f  x ≥0 over [ a , b]
a
∫ f  x  dx≥0
∫ f  x  dx=−∫ f  x dx
a
b
a
b
als f  x ≤g  x over [a ,b ] geldt
b
∫ k f  x dx =k ∫ f  x dx
a
b
∫
a
b
a
b
a
c
a
a
b
f  x dx≤∫ g  x dx
a
als m≤ f  x≤M over [a , b] geldt
b
mb−a ≤∫ f  x dx≤M b−a 
b
∫ f  x  dx=∫ f  x dx∫ f  x dx
a
b
k =cte
∫ [ f  xg  x]dx=∫ f  x dx∫ g  x dx
a
b
geldt
b
a
c
9.3 Fundamentele stelling van de calculus (1)
x
Als f continu is over [a, b], dan is de functie F gegeven door F  x =∫ f u du
d
F  x = f  x .
dx
M.a.w. Is een integraal het inverse van een afgeleide.
a≤x≤b is
a
continu over [a, b] en afleidbaar over ]a, b[ met
9.4 Fundamentele stelling van de calculus (2)
b
Als f continu is over [a, b] dan geldt
∫ f  x  dx=F b−F a
waar F(x) de primitieve functie is
a
van f(x), zo dat F'(x)=f(x).
12
Janko Pallay, BMW 19 11
9.5 Primitive functies (anti-afgeleiden)
x
b
x
F  x =∫ f u du=∫ f u du∫ f u du=CG  x
a
a
b
Primitieve functies van eenzelfde functie f(u) verschillen onderling slecht in een constante (C).
x
f  x dx
∫

=C∫ f  u du
onbepaalde integraal
a
9.6 Formules voor integralen
9.7 Toepassingen
9.7.1 Oppervlakteberekening
Als f en g continu zijn over [a, b] en f(x) ≥ g(x) ∀ x Є [a, b] dan is de oppervlakte tussen f en g over
b
A=∫ [ f  x− g  x ] dx
[a, b] gelijk aan
a
9.7.2 Cumulatieve verandering
dN
= f t 
dt
t
dN
∫ dt =∫ f u duC
0
Definitie onbepaalde integraal (9.5)
t
N t=∫ f u duC
0
t
C=?
0
N t=∫ f u duN 0
0
N 0=∫ f  u duC =0C=C
0
t
N t−N 0=∫ f  u du
0
t
dN
N t−N 0=∫
du
du
0
N(t) – N(0) is de cumulatieve verandering (van populatiegrootte tussen
0 en t)
13
Janko Pallay, BMW 19 11
9.7.3 Gemiddelde waarden
Als f continu is over [a, b] dan is de gemiddelde waarde van f over [a, b]
b
1
f gem=
∫ f  x dx
b−a a
b
Ook bestaat er een punt c Є [a, b] zodat
f c b−a=∫ f  x dx
a
9.7.4 Volume van omwentelingslichamen
b
V =∫ [ f  x ]2 dx
a
9.8 Substitutie als oplosmethode
∫ f [ g  x]. g '  x dx=∫ f u  du
Werkwijze:
u=ln x
1
dx
du 1
∫ x ln x
= A dx=x du
dx x
1
1
1
∫ x ln x =∫ x u x du=∫ u du ln∣u∣c ln∣ln∣xc
Opm: Bij bepaalde integralen: ook grenzen aanpassen
u=x 3x
du
2
=3 x 21
2
3x 1
dx
vb. ∫ 3
dx
BOVENDIEN
1 x x
als x =1 u=2
als x=2 u=10
10
10
10
[ln ∣u∣]2 =ln 10−ln 2=ln =ln 5
∫ du
2
2 u
9.9 Splitsen in partieelbreuken als oplosmethode
9.9.1 Noemer bevat verschillende factoren met nulpunt
A x−1B x  AB x −A A=−1
1
A
B
 
=
=

x  x−1 x x−1
x  x −1
x  x−1
B=1
1
−1 1
= 
x  x−1 x
x−1
9.9.2 Noemer is een product van gelijke factoren met nulpunt
A x1
A x1B Ax A B
x
A
B
B


=

=
=
 A=1
2
2
2
2
x1  x1
B=−1
 x1
 x1  x1
 x12
 x12
x
1
1
=
−
1)
2
 x1 x1  x12
1
A B
C
  2
2)
2
x  x1 x x x1
9.9.3 Noemer met verschillende factoren zonder reëel nulpunt
3
2 x −x 2 2 x−2 A xB C xD
 2
 2
 x 22 x 21
x 2
x 1
9.9.4 Noemer met gelijke factoren zonder reëel nulpunt
2
x x 1 A x B C x D
 2

 x 212
x 1  x 212
14
Janko Pallay, BMW 19 11
9.10 Partiële integratie als oplosmethode
∫ u dv=u v −∫ v du
v ' =sin x  v=−cos x
vb. ∫ x sin x
u=x
 u ' =1
∫ u dv=u v−∫ v du=x −cos x −∫−cos x 1=−x cos xsin x
9.11 Hulpmiddeltjes voor de oplossing van integralen
sin
– Herschrijf de integraal: tan x=
cos x
– Vereenvoudig integraal
– Herschrijf u: u=2x-1 → x=1/2(u-1)
∫ x  2 x−1
– Vermenigvuldig met 1 (Part. Integreren): u= f(x), v'=1
– Herhaaldelijk integreren (sin, cos, e)
– Euclidische deling bij rationale functies
x
x2−2
2
=
=1−
– “+ a – a”
x−2
x 2
x2
– meestal: u=veelterm, ln, Bgtan, Bgsin ..
– meestal: v=sin, cos, ex...
–
x 2−2 x5= x 2−2 x14= x−124
10 Differentiaal vergelijkingen
10.1 Algemeen
2
d y dy
 = x y is een vergelijking die de vergelijking van een afgeleide functie bevat.
vb.
2
dx
dx
dy
= f  x  g  y worden opgelost m.b.v. scheiding van
Differentiaal vergelijkingen van de vorm
dx
variabelen.
dy
= f  x g  y 
dx

1 dy
= f  x
g  y  dx

1
u '  x = f  x
g u  x 

1
∫ g u  x  u '  x dx=∫ f  x dx

1
∫ g  y dy=∫ f  x dx
Delen door g(y)
stel y= u(x), dan is dy/ dx = u'(x)
integreren naar x
g(u(x)) = g(y) & u'(x) dx = dy
15
Janko Pallay, BMW 19 11
10.2 Pure time vergelijkingen
Enkel afhankelijk van de tijd (x)
dy
= f x
dx
∫ dy=∫ f  x dx
y=∫ f  x dx
10.3 Autonome vergelijkingen
dy
=g  y 
dx
dy
=dx
g y
10.3.1 g  y =k  y −a 
dy
=k dx
y≠a
y−a
=∫ k dx
∫ dy
y−a
ln ∣y−a∣=k xC 1
∣y−a∣=e k xC
∣y−a∣=eC e k x
C kx
y=±e e a
y=C. e k x a
met C=±e C
10.3.2 g  y =k  y −a  y−b
a=b
–
dy
dy
∫  y−a y−a =∫  y−a2 =∫ k dx
−1
1
=k xC  y=a−
y−a
k xC
a≠b
–
dy
∫  y−a y−b =∫ k dx oplossen met partieelbreuken (9.9)
1
[ln ∣y −a∣−ln∣ y−b∣]=k xC 1
a−b
[...]
a−b C e k a −b  x
y=
1−C e k  a−b x
1
1
1
1
10.4 Allometrische groei
1 dL1
1 dL 2
=k
L1 dt
L2 dt
als k =1 → isometrisch
als k ≠1 → allometrisch
Integreren geeft: L1=C Lk2
16
Janko Pallay, BMW 19 11
11 Matrices en lineaire algebra
11.1 Stelsels vergelijkingen
Stelsels worden opgelost door substituties, eliminatie of gelijkstelling.
11.2 Het begrip matrix
[
a11 a 12 a 1n
a 21 a 22 a 2n
a m1 a m2 a mn
]
met m = # rijen
n = # kolommen
m x n de dimmensie van de matrix
11.3 Matrix transponeren
1 4
A= 2 5  A '= 1 2 3 Gerbuikt voor betere leesbaarheid in teksten.
4 5 6
3 6
11.4 Bewerkingen met matrices
11.4.1 Optellen
AB=B A
 ABC =A BC 
A0=A
0=nulmatrix
11.4.2 Vermenigvuldigen
!! Volgorde belangrijk !!
!! # kolommen A = # rijen B!!
Als A=[ aij ] m×l Komt neer op vermenigvuldigen van ide rij met jde kolom.
en B=[ b ij ] l ×n
DAN C= AB m×n
[ ]
[
]
l
en [ cij ] =∑ a ik b kj
k =1
 AB C= AC BC
A BC = AB AC
 ABC =A BC 
A0=0 A=0
A n×n Ak =A k −1 A= A Ak−1
vb. A2 =A A A3= A A A
17
Janko Pallay, BMW 19 11
11.5 Eenheidsmatrix
Vermenigvuldigen met eenheidsmatrix
[ ]
1 0 0
0 1 0
0 0 1
levert geen verandering op.
A I =I A=A
I k= I
k ∈ℤ
11.6 Inverse matrix
Als A een inverse matrix A−1 heeft, geldt A A−1 A−1 A= I
Indien A geen inverse matrix A−1 heeft, noemt men A singulier, indien wel heet A nonsingulier.
 A−1−1= A
 AB−1=A−1 B−1
a
a
Als A= 11 12
a 21 a 22
¿
[
]
[
1
a
−a 12
× 11
 a11 a 22−a 21 a12  −a 21 a 22

dan A−1 =
]
determinant
11.6.1 Berekenen van inverse matrix
a b1 0
1 0e


c d0 1
0 1g
omvormentot
[ ∣ ]
[ ∣ ]
f
h
−1
[ ] [ ]
e f
= a b
g h
c d
11.7 Leslie Matrix
11.7.1 Algemeen
N 0 t  ← # 0-jarigen
N t  ← # 1-jarigen
N t = 1
N 2 t  ← # 2-jarigen
N m t  ← # m-jarigen
N 1 t 1=P 0 N 0 t 
N 2 t 1= P1 N 1 t  Aantal 1-jarigen volgend jaar = aantal 0-jarigen die dit jaar overleven met
N m t1=P m −1 N m −1 P0 de overlevingskans.
N 0 t1=F 0 N 0 tF 1 N 1 t ...F m N m t  Aantal 0-jarigen volgend jaar=aantal
nakomelingen van alle generaties dit jaar met F0
de vruchtbaarheidscijfer.
[ ]
[
F0 F1
P0 0
L= 0 P1
... ...
0
0
... F m−1 F m
...
0
0
...
0
0
...
...
...
0 P m−1 0
]
N t1=L N t 
11.7.2 Stabiele leetijdsverdeling
Als men herhaaldelijk de Leslie-matrix uitvoert, stelt men volgende relaties vast.
18
Janko Pallay, BMW 19 11
}
N 0 t
N 0 t1 lim q =lim q =cte
0
1
t ∞
N 1 t t ∞
q 1 t=
N 1 t1
q 0 t=
p t=
N 0 t
=cte
N 0 t N 1 t
←verhouding 0-jarigen over totaal = leeftijdsverdeling
De grootste eigenwaarde bepaalt de groei van de populatie bij een Leslie matrix. De
overeenkomstige eigenvector is de stabiele leeftijdsverdeling.
11.8 Vectoren
x
x= 1
x2
[]
[
x= r cos 
r sin 
x=
]
∣x∣= x 21 x 22
[] []
[ ]
[ ]
x1
y
, y= 1
x2
y2
 x y=
 a x=
x 1 y 1
x 2 y 2
a x1
a x2
11.9 Lineaire afbeelding
a 0 x1 = a x 1
enkel uitrekken/inkrimpen
0 b x2
b x2
[ ][ ] [ ]
[ ][ ]
[ ][
x1
= r cos 
r sin 
x2
[
R = cos  −sin 
sin  cos 
]
][
R r cos  = r cos  cos −sin  sin  = r cos
r sin 
r sin cos cos  sin 
r sin
]
gedraaid over een hoek θ
11.10 Eigenwaarden en eigenvectoren
Als A een vierkantmatrix (n x n) is, dan is een niet-nulvector x dat voldoet aan
eigenvector van matrix A en is λ een eigenwaarde van matrix A.
A x= x een
11.10.1 Eigenwaarden en eigenvectoren berekenen
A x= x
A x− x =0
A x− I x=0
 A− I  x=0
det A− I =0 zodat x≠0
b
det a b − − 0 =det a−
=0
c d
0 −
c
d −
[ ] [
] [
]
19
Janko Pallay, BMW 19 11
[
7
A= 5
−2 −4
vb.
1=3
]
[
[
]
7
det 5−
=0
−2 −4−
5−−4−−−2×7=0
1=3 of 2=−2
][ ] [ ]
x1
5−3
7
= 0
−2 −4−3 x 2
0
[]
1
2 x 17 x 2=0  x =1, x =−2  u
1
2
1 −2
7
−2 x 1−7x 2=0
7
2=−2 analoog
}
Grafisch:
[ ]
[ ]
U 1= U a 
U b
U 2= U c
U d 
Als 1≠2 dan zijn u 1 en u 2 lineair onafhankelijk.
Gevolg: Men kan elke vector x schrijven als lineaire combinatie van twee eigenvectoren
rightarrow x=a1 u 1a 2 u 2
11.11 Toepassing: Macht van een matrix maal een vector
An x=a 1 1 u1a 2 2 u 2
[ ]
A= 1 2
3 2
[]
met x= 4
1
vraag : A10 x
{
[ ]
[]
1
−1
2=4 u 2= 2
3
1=−1 u 1=

[] [ ] []{
[ ]
{
4
1
2
=a1
a 2 = 4=a 12 a 2  a 1=2
1
−1
3
1=−a13 a2
a 2 =1
[][
A10 x=2×−110× 1 1×4 10× 2 = 2 097154
−1
3
3145 726
20
]
Janko Pallay, BMW 19 11
12 Functies met meer variabelen
12.1 Algemeen
vb. f  x , y =sin xcos y De functie f is afhankelijk van x én y.
Functies met twee variabelen worden voorgesteld op een driedimensionaal assenstelsel.
f  x , y =sin xcos y
12.2 Partieel afgeleiden
Als f een functies is met twee variabelen x en y, dan is de partieel afgeleide naar x gelijk aan
∂ f x , y
f  xh , y − f  x , y 
= f x  x , y=lim
∂x
h
h 0
en de partieel afgeleide naar y gelijk aan
∂ f x , y
f  x , yh− f  x , y 
= f y  x , y =lim
∂y
h
h 0
Praktisch komt het overeen met één variabele vastzetten en behandelen als een constante en
afleiden naar de andere variabele.
f  x , y =x 2 ysin x
∂ f  x , y
=2 y xcos x
vb. ∂ x
∂ f  x , y
=x 2
∂y
12.2.1 Partiële afgeleiden van een hogere orde
∂2 f
∂f ∂f
f y x  x , y=
=
in dit geval eerst afleiden naar y, dan naar x.
∂ x∂ y ∂ x ∂ y
12.3 Raakvlakken
∂ f  x 0, y 0
∂ f  x 0, y 0 
Vergelijking van het raakvlak z: z −z 0=
 x−x 0 
 y − y 0
∂x
∂y
z = f  x , y =4x 2 y 2
punt 1,2 ,8
∂f
=8x 1,2 ,88×1=8
∂x
vb. ∂ f
=2y 1,2,8  2×2=4
∂x
z −8=8 x−14  y−2
8 x4 y− z=8
 
21
Janko Pallay, BMW 19 11
12.4 Differentieerbaarheid
De lineaire benadering van f  x  op x= x 0 is L  x= f  x 0 f '  x 0  x− x 0
De afstand tussen f  x  en L  x is ∣ f  x− L x ∣=∣ f  x − f  x 0 − f '  x 0 x −x 0 ∣
Delen we de afstand door de afstand tussen x en x 0 , namelijk ∣x−x 0∣ vinden we dat
∣ f  x− L x ∣ f  x −L  x f  x− f  x 0 − f '  x0  x− x 0 f  x − f  x 0 
=
=
=
− f '  x0 
x −x 0
x− x 0
x −x 0
∣x−x 0∣
f  x − f  x 0 
Vervangen we f '  x 0 door
en de limiet neemt, krijgt men
x− x 0
f  x −L  x
lim
=0 . We zeggen dat f differentieerbaar is, als het hieraan voldoet.
x −x 0
x x
Voor functies met twee onafhankelijke variabelen geldt dat ze differentieerbaar zijn in  x 0, y 0
f  x , y− L x , y 
lim
=0
wanneer:
 x , y  x y 
 x−x 0 2 y − y 02
Voor L  x , y  zie wat volgt
∣∣
∣
0
∣
∣∣
∣
∣
0,
∣
0
∣
12.5 Linearisering
Als f differentieerbaar is in  x 0, y 0 dan is de linearisatie gegeven door:
∂ f  x 0, y 0
∂ f  x 0, y 0 
L  x , y = f  x 0, y 0
 x−x 0 
 y − y 0
∂x
∂y
De benadering L  x , y ≈ f  x , y  heet standaard lineaire benadering of raakvlakbenadering.
12.6 Vector valued functions
Wat als f : ℝ n ℝm
[
]
f 1  x1, x 2, ... , x n 
f  x x ... , x n 
 x 1, x 2, ... , x n   2 1, 2,
...
f m  x 1, x 2, ... , x n 
Concreet voor f :ℝ 2  ℝ2
 x , y  f  x , y 
gx , y
De linearisatie is
[
]
∂ f  x 0, y 0 
∂ f  x 0, y 0 
 x−x 0 
 y− y0 
∂x
∂y
∂ g  x 0, y 0 
∂ g  x 0, y 0
g   x , y= g  x 0, y 0 
 x−x 0 
 y− y 0 
∂x
∂y
∂ f  x0, y 0 
∂ f  x 0, y 0 
 x−x 0 
 y− y 0 
f  x 0, y 0

x
,
y

∂
x
∂
y
L  x , y =
=

∂ g  x0, y 0 
∂ g  x 0, y0 
 x , y 
g  x 0, y 0 
 x−x 0 
 y− y 0
∂x
∂y

∂ f  x 0, y 0 ∂ f  x 0, y 0 
f  x 0, y 0 
x−x 0
∂x
∂y
L  x , y=


∂ g  x 0, y 0  ∂ g  x 0, y 0
g  x 0, y 0 
y− y 0
∂x
∂y

f  x , y= f  x 0, y 0 
[
][
[
]
]
[
[
][
]
]
JacobiMatrix
22
Janko Pallay, BMW 19 11
f i :ℝn ℝ m
,i=1,2 , .. , n
[ ]
∂ f1
∂ x1
 Jacobi= ...
∂fm
∂ x1
[][ ]
[ ]
x1
f 1  x 1, x 2,... , x n 
 x 1, x 2,... , x n = x 2  f 2  x 1, x 2,... , x n 
...
...
xn
f m  x 1, x 2,... , x n 
...
...
∂ f1
∂ xn
...
∂ fm
∂ xn
Linearisatie van f in het punt  x 1 * , x 2 “∗” , ... , x n * is dan
f 1  x1 * , ... , x n *
x1− x 1 *
L  x 1 * , ... , x n *= f 2  x 1 * , ... , x n *  J  x * , ... , x *
...
1
n
...
x n− x n *
f m  x 1 * ,... , x n *
[ ]
13 Evenwichten en stabiliteit
13.1 Evenwichten van differentievergelijkingen
x t 1 = f  x t 
t=0,1,2 , ...
Vaste punten: x= f  x
Analytisch
Grafisch (snijpunten van 2 rechten)
x t 1 = f  x t  x t1=x t
13.2 Stabiliteit van evenwichten van differentievergelijkingen
Een evenwicht x* van x t 1 is stabiel als ∣ f ∣'  x “∗”1
Bewijs:
x t =x *z t
x t 1 = f  x t = f  x *z t 
Linearisering in x= x *
L  x= f  x * f '  x * x−x *
substitutie van x= x * z t

evenwicht, dus: f  x *= x * , x* dan schrappen
L  x * z t = f  x * f '  x * z t

x t 1 =x *z t 1≈ f  x * f '  x * z t Lineaire benadering

z t 1= f '  x * z t
Vorm van exponentiële groei y t1=R y t met oplossing y t= y0 Rt
Rt =0 . Hier is ∣R∣=∣ f '  x *∣ .
Voor ∣R∣1 geldt lim
x ∞
Dus als ∣ f '  x *∣1 zal z t naderen naar z *=0 en dus x t  x als t ∞ .
1 5 2
x t1= − x
t=0,1 ,2 ,...
4 4
1
x=
of x=−1
5
vb. f '  x =−5 x
2
5 1
1
5
5
− × = − 1 en − ×−1 = 1
2 5
2
2
2


stabiel
onstabiel
∣
∣∣ ∣
∣
∣∣∣
23
Janko Pallay, BMW 19 11
13.3 Evenwichten van differentiaalvergelijkingen
dy
=g  y  en dus g  y =0 dan is:
Als y een evenwichtspunt is van
dx
y stabiel als de functie terugkeert naar y na een kleine storing
y onstabiel als de functie niet terugkeert naar y na een kleine storing
13.4 Stabiliteit van evenwichten van differentiaalvergelijkingen
13.4.1 Analytisch
Bewijs:
dy
=g  y  en dus g  y =0
Stel y is een evenwichtspunt is van
dx
y= y  z
d
d
d
y=  y z = z
dx
dx
dx
dz
=g  y  z 
dx
L  y=g  y  g '  y  y− y 

L  y=0g '  y  y− y 

L  y z =g '  y  y z− y =g '  y  z

g '  y  z≈ g  y  z 
Stel =g '  y  , dan is  z=g  y z =
y =cte dus afgeleide is nul
Linearisering in
y= y
Substitutie van
y= y  z
Lineaire benadering
dz
met oplossing:
dx
z  x=z 0e  x .
z  x =0 .
Als 0 , is lim
x ∞
Als 0 keert de functie terug naar haar evenwichtswaarde → stabiel evenwicht
Als 0 keert de functie niet terug →onstabiel evenwicht.
Gevolg uit z  x=z 0e  x
als 0 , hoe groter λ, hoe sneller het weggaat van de evenwichtswaarde
als 0 , hoe negatiever λ, hoe sneller het terugkeert naar evenwicht.
λ is een eigenwaarde en is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van g(y) in y
13.4.2 Grafisch
Is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van g negatief (dalende functie) in een evenwichtspunt
→ stabiel evenwicht
y= y z
−0, 0
dy
als z0  0  y zal stijgen
dx
dy
als z0  0  y zal dalen
dx
− y 1, 0
dy
als z0  0  y zal dalen
dx
dy
als z0  0  y zal stijgen
dx
Boven x-as: pijltjes naar rechts
Evenwicht stabiel als pijltjes
Onder x-as: pijltjes naar links
er naartoe aan
24
Janko Pallay, BMW 19 11
13.5 Evenwichten en stabiliteit bij stelsels van differentiaalvergelijkingen (lineair)
x 1 t1
a
a
x t 
= 11 12 × 1
x 2  t1
a 21 a 22
x 2 t 
[
][
][ ]
x t =x t1 is het evenwicht en dit gebeurt als
We schrijven
[]
x t = 0
0
x 0=c1 u 1c 2 u 2
(vector=lineaire combinatie van eigenvectoren, 11.10)
x t =c 1 t1 u1 c 2 t2 u 2
[]
0
Als en slecht als ∣1∣1 én ∣2∣1 geldt lim x t=
0
x∞
Opm. 1 en 2∉ℝ  det  A1 STABIEL
[
vb.
][
→ Stabiel
][ ]
x 1 t1
x t
= −0,4 0,2 × 1
−0,3 0,1
x 2 t1
x 2 t
[]
0 is een evenwicht.
0
det
[
]
−0,4− 0,2
−0,3− 0,1
−0,4−0,1−−0,2−0,3
{
}
met 1=−0,1  STABIEL
2 =−0,2
13.6 Evenwichten en stabiliteit bij stelsels van differentiaalvergelijkingen (niet-lineair)
x 1 t1=F  x 1 t , x 2 t
met  x 1 * , x 2 * als evenwichtspunt dat geldt voor
x 2 t1=G  x 1 t , x 2 t
x 1 *=F  x 1 * , x 2 * en x 2 *=G  x 1 * , x 2 *
x1 t =x 1 *z t  en x 2 t =x 2 *z t
∂ F  x 1 * , x 2 *
∂ F  x 1 * , x 2 *
L1  x1, x 2= F  x 1 * , x 2 *
 x 1−x 1 *
 x 2−x 2 *
∂ x1
∂ x2
{



 
 


 



 
 


 
=F  x 1 * , x 2 *
x1 *



∂ F  x 1 * , x 2 *
∂ F  x1 * , x 2 *
z 1 t 
z 2 t
∂ x1
∂ x2

∂ F  x 1 * , x 2 *
∂ F  x1 * , x 2 *
z 1 t 
z 2 t
∂ x1
∂ x2
L2  x 1, x 2 =G  x 1 * , x 2 *
=G  x 1 * , x 2 *
x2*


∂ G x 1 * , x 2 *
∂G  x 1 * , x 2 *
 x 1−x 1 *
 x 2− x 2 *
∂ x1
∂ x2

∂ G x1 * , x 2 *
∂ G x1 * , x 2 *
z 1 t
z 2 t
∂ x1
∂ x2
x 2 *z 2 t1≈G x 1 * , x 2 *
z 2 t1≈

∂ F  x 1 * , x 2 *
∂ F  x 1 * , x 2 *
z 1 t
z 2 t 
∂ x1
∂ x2
x1 *z 1 t1≈ F  x 1 * , x 2 *
z 1 t1≈



∂ G x 1 * , x 2 *
∂ G x 1 * , x 2 *
z 1 t 
z 2 t
∂ x1
∂ x2

∂ G x1 * , x 2 *
∂ G x 1 * , x 2 *
z 1 t 
z 2 t
∂ x1
∂ x2
25
Janko Pallay, BMW 19 11
In matrix vorm
[
[

]

z 1 t1
≈
z 2 t1
∂ F  x 1 * , x 2 *
∂ x1
∂G  x 1 * , x 2 *
∂ x1


∂ F  x 1 * , x 2 *
∂ x2
∂G  x 1 * , x 2 *
∂ x2
]
[ ]

×
z 1 t
z 2 t
Men herkent hier de Jacobi-Matrix. Analoog aan de lineaire stelsels (13.5) kunnen we besluiten dat
als beide eigenwaarden van de Jacobi-Matrix kleiner zijn dan 1 in hun absolute waarde, het
evenwichtspunt stabiel is.
Opm. 1 en 2∉ℝ  det  A1 STABIEL
26
Janko Pallay, BMW 19 11