vwo a/c deel 2 - R. van Moppes

Centrummaten
gemiddelde
het gemiddelde van een serie waarnemingsgetallen is de som
van die getallen gedeeld door het aantal getallen
mediaan
eerst de waarnemingsgetallen naar grootte rangschikken
bij oneven aantal getallen is de mediaan het middelste getal
bij even aantal getallen is de mediaan het gemiddelde van de
middelste twee getallen
modus
de modus is het waarnemingsgetal met de grootste frequentie
8.1
Klasse indeling en centrale tendenties
Gemiddelde en modus berekening doe je
m.b.v een frequentie tabel
Eiergewichten uit de biologische veeteelt
Gewicht
frequentie
m
f*m
10
-<
15
7
12,5
87,5
15
-<
20
9
17,5
157,5
20
-<
25
10
22,5
225
25
-<
30
19
27,5
522,5
30
-<
35
16
32,5
520
35
-<
40
14
37,5
525
40
-<
45
9
42,5
382,5
45
-<
50
8
47,5
380
50
-<
55
7
52,5
367,5
55
-<
60
5
57,5
287,5
60
-<
65
4
62,5
250
65
-<
70
2
67,5
135
110
3840
Gemiddelde
x  34,9 gr
om het gemiddelde te
berekenen moet je eerst
de klassenmiddens
berekenen
de klasse met de grootste
frequentie is de modale
klasse
voorbeeld
a
b
c
bereken het gemiddelde
klassenmiddens zijn
1800, 2200, 2600, 3000 en 3400
voer in lijst1 { 1800,2200,2600,3000,3400 }
en lijst2 { 85,75,63,58,19 }
optie 1 Var-Stats L1,L2 (TI) of 1VAR(Casio)
gemiddelde ≈ 2401 uur
bereken de mediaan
300 waarnemingsgetallen  150e en 151e getal
m.b.v. tabel  klasse 2000-<2400
m.b.v. GR  mediaan = 2200
dus de mediaan ligt in de klasse 2000-< 2400
wat is de modale klasse
de modale klasse is 1600-< 2000
aantal branduren
frequentie
1600-<2000
85
2000-<2400
75
2400-<2800
63
2800-<3200
58
3200-<3600
19
85
160
8.1
Voordelen en nadelen centrummaten
voordeel
nadeel
modus
• snel op te schrijven, weinig rekenwerk
• de enige centrummaat die bij kwalitatieve
gegevens te gebruiken is
• geeft weinig informatie
• is niet altijd aanwezig
• een kleine verandering kan een geheel andere
modus opleveren
mediaan
• niet gevoelig voor uitschieters
• weinig rekenwerk
• alleen de volgorde van de waarnemingsgetallen is
van belang, niet de grootte van de
waarnemingsgetallen
gemiddelde
• alle gegevens worden gebruikt
• iedereen kent deze centrummaat
•gevoelig voor uitschieters
8.1
Hoe teken je een boxplot?
bepaal de mediaan
bepaal het eerste kwartiel (mediaan van de “1e” helft) en het derde kwartiel
(mediaan van de “2e” helft)
teken een getallenlijn en zet het kleinste en grootste waarnemingsgetal, de
mediaan en de beide kwartielen boven de getallenlijn
teken de boxplot
8.1
Tekenen van de Boxplot.
Mediaan= tweede kwartiel = 50 % grens
m.b.v. de gecumuleerde frequentietabel.
Eerste kwartiel = 25 % grens
Derde kwartiel = 75 % grens
grens
aantal
relatief
Gecumuleerde relatieve verdeling
-<
10
0
0,0
-<
15
7
6,4
-<
20
16
14,5
-<
25
26
23,6
-<
30
45
40,9
-<
35
61
55,5
-<
40
75
68,2
-<
45
84
76,4
-<
50
92
83,6
-<
55
99
90,0
20,0
-<
60
104
94,5
0,0
-<
65
108
98,2
-<
70
110
100,0
120,0
100,0
80,0
60,0
40,0
0
Boxplot
20
40
60
80
voorbeeld
de volgende score’s zijn gehaald bij een test
23 – 43 – 24 - 34 - 13 - 32 - 44 - 53 - 17 - 28 – 30 – 22 – 19
schrijf de getallen eerst van klein naar groot op
13 – 17 – 19 – 22 – 23 – 24 – 28 – 30 – 32 – 34 – 43 – 44 – 53
teken een getallenlijn
kleinste waarnemingsgetal = 13
grootste waarnemingsgetal = 53
mediaan = 28
1e kwartiel (Q1) = (19 + 22) : 2 = 20,5
3e kwartiel (Q3) = (34 + 43) : 2 = 37,5
10
15
20
25
30
tussen 2 verticale streepjes altijd 25% van de
waarnemingsgetallen
35
40
45
50
55
in de box 50%
8.1
Boxplot mbv de grafische rekenmachine
1 frequentie tabel maken
stat  edit  1  L1 (waarnemingsgetallen)
L2 (frequentie’s) invullen
2 boxplot berekenen
stat  calc  1  1 var stats L1,L2
(L1,+2  2nd  1,2)
3 boxplot tekenen
2nd  stat plot  1  on  type ‘5e’  graph
8.1
De relatieve cumulatieve frequentiepolygoon kun je goed
gebruiken om een boxplot te tekenen
relatieve cumulatieve frequentie (%)
0%  kleinste getal = 3
100
25%  1e kwartiel (Q1) = 10
50%  mediaan = 13
75% 
3e
∙
∙
75
kwartiel (Q3) = 20
100%  grootste getal = 24
∙
50
∙
25
∙3
0
5
10
1315
20
5
10
15
20
25
24
boxplot
0
25
8.1
Spreidingsmaten
vaak wordt naast een centrummaat een zogenaamde
spreidingsmaat berekend om aan te geven hoever de data in een
verdeling uitelkaar liggen
spreidingsbreedte : verschil tussen het grootste en kleinste getal
kwartielafstand : verschil tussen het 1e en 3e kwartiel (Q3 – Q1)
8.1
De standaardafwijking
de meest gebruikte spreidingsmaat is de standaardafwijking
om de standaardafwijking te berekenen moet je eerst van elk waarnemingsgetal
berekenen hoe ver het van het gemiddelde afligt
zo krijg je bij elk waarnemingsgetal x de deviatie d
d = x – x ( de afwijking van het gemiddelde )
standaardafwijking σ = √gemiddelde van (x – x)2
het berekenen van σ doe je met (TI) 1-Var Stats L1,L2  σx
of (Casio) 1VAR  xσn
8.1
Notaties op de GR
x
σ
σx
xσn
n
minX
maxX
Q1
Q3
Med
: het gemiddelde
: de standaardafwijking
: de standaardafwijking (TI)
: de standaardafwijking (Casio)
: het totale aantal waarnemingen
: het kleinste waarnemingsgetal
: het grootste waarnemingsgetal
: het eerste kwartiel
: het derde kwartiel
: de mediaan (het tweede kwartiel)
opgave 19
a
de klassenmiddens zijn
710, 730, 750, …………………, 870
voer in lijst1 = {710,730,………,870}
en lijst2 = {10,14,…………,3}
GR  minX = 710 , Q1 = 770 , Med = 790 ,
Q3 = 810 en maxX = 870
700
b
730
760
790
820
GR  x ≈ 783 en σ ≈ 35
het gemiddelde is 783 uur
en de standaardafwijking is 35 uur
850
880
opgave 19
c
afwijking van meer dan één keer van de
standaardafwijking van het gemiddelde
kleiner dan 783 – 35 = 748
groter dan 783 + 35 = 818
< 748  10 + 14 + 8 . 16
20
2
> 818  20 . 38 + 15 + 3 + 3
55 x 100% ≈ 31%
175
d
748
+ ≈ 55
100% - 8% = 92%  0,92
gemiddelde = 0,92 x 783 ≈ 720 branduren
standaardafwijking = 0,92 x 35 ≈ 32 branduren
818
De normale verdeling
neem je bij een klassenindeling van een zeer grote populatie de klassenbreedte
steeds kleiner, dan zal de frequentiepolygoon steeds meer gaan lijken op een
vloeiende kromme
krijg je een klokvormige kromme, dan is er sprake van een normale verdeling
de kromme heet de normaalkromme
de top ligt boven het gemiddelde μ
de breedte van de kromme hangt af van de standaardafwijking σ
μ
8.2
Vuistregels bij de normale verdeling
bij een normale verdeling ligt
68% van de waarnemingsgetallen minder dan σ van het gemiddelde af
95% van de waarnemingsgetallen minder dan 2σ van het gemiddelde af
8.2
Vuistregel 1
tussen {μ - σ,μ + σ} ligt 68% van alle data
f
r
e
q
buigpunt
buigpunt
16%
16%
σ
μ-σ
σ
μ
μ+σ
lengte
8.2
Vuistregel 2
tussen {μ - 2σ,μ + 2σ} ligt 95% van alle data
f
r
e
q
2,5%
2,5%
2σ
μ - 2σ
2σ
μ
μ + 2σ
lengte
8.2
f
r
e
q
a
b
c
34%
34%
0,3
0,3
d
2,5%
0,3
13,5%
1,5
2,5%
13,5%
1,8
13,5%
0,3
zwaarder dan 2,7 kg
2,5%
tussen 1,5 en 2,4 kg
13,5% + 68% = 81,5%
0,815 × 200 = 163 konijnen
lichter dan 1,8 kg
2,5% + 13,5% = 16%
0,16 × 200 = 32 konijnen
de 5 zwaarste konijnen
5/200 × 100% = 2,5%
ze hebben een gewicht van
meer dan 2,7 kg
2,1
34%
2,4
34%
2,7
gewicht in kg
Toepassing van de vuistregels
bij een groep mannen, waarvan de lengte normaal
verdeeld is met μ = 178 cm en σ = 8 cm hoort de
verdeling hiernaast
de percentages volgen uit de vuistregels bij de
normale verdeling
tussen 162 en 178 cm hoort 47,5% van de mannen
2,5% van de mannen is korter dan 162 cm.
8.2
Normaal-waarschijnlijkheidspapier
in figuur 8.20 is een normaalkromme getekend
onder de normaalkromme is de bijbehorende
relatieve cumulatieve frequentiepolygoon getekend
in figuur 8.21 is de schaal op de verticale as veranderd
vanaf 50% wordt de schaal zowel naar boven als naar
beneden uitgerekt en wel zodanig,
dat de grafiek een rechte lijn is
papier met deze schaalverdeling heet
normaal-waarschijnlijkheidspapier
8.2
werkschema : hoe onderzoek je of bij een verdeling een
normale benadering is toegestaan en hoe schat je μ en σ ?
1
2
3
4
5
bereken van elke klasse de relatieve cumulatieve frequentie
zet deze relatieve cumulatieve frequenties uit op
normaal-waarschijnlijkheidspapier, telkens boven de
rechtergrens van de klasse
ga na of de punten bij benadering op een rechte lijn liggen
zo ja, dan is de normale benadering toegestaan
teken de lijn
lees op de horizontale as μ af bij de relatieve cumulatieve
frequentie 50
lees op de horizontale as μ + σ af bij de relatieve cumulatieve
frequentie 84
hieruit volgt σ
8.2
opgave 32 a
klasse
frequentie
1,55-< 1,58
2
klasse
cum.freq.
rel.cum.freq.
1,58-< 1,61
8
-< 1,58
2
0,5
2/400x100
-< 1,61
10
2,5
10/400x100
-< 1,64
32
8,0
32/400x100
26,0
104/400x100
1,61-< 1,64
22
2+8
10 + 22
32 + 72
1,64-< 1,67
72
-< 1,67
104
1,67-< 1,70
116
-< 1,70
220
55,0
220/400x100
1,70-< 1,73
108
-< 1,73
328
82,0
328/400x100
-< 1,76
380
95,0
380/400x100
-< 1,79
398
99,5
398/400x100
-< 1,82
400
100
400/400x100
1,73-< 1,76
52
1,76-< 1,79
18
1,79-< 1,82
2
opgave 32
b
84
50
1,69
1,73
μ ≈ 1,69 mm
μ + σ ≈ 1,73 mm
σ ≈ 1,73 – 1,69
σ = 0,04 mm
opgave 32
c
2,5%
σ
1,65
σ
1,68
μ = 1,68 mm
μ - 2σ = 1,65
-2σ = 1,65 – 1,68
2σ = 0,03
σ = 0,015 mm.
8.3
8.3
8.3
Oppervlakten berekenen met de GR
8.3
8.3
a
b
c
kleiner dan 5,1 cm
opp = normalcdf(-1099,5.1,5.8,0.4)
≈ 0,040
dus 4,0%
groter dan 5,25 cm.
opp = normalcdf(5.25,1099,5.8,0.4)
≈ 0,915
dus 91,5%
ligt tussen 6,1 cm en 6,4 cm
opp = normalcdf(6.1, 6.4, 5.8, 0.4)
≈ 0,160
dus 16,0%
μ = 5,8
σ = 0,4
5,1 5,25
5,8
6,1
6,4
Grenzen berekenen met de GR
de oppervlakte links van a is gelijk aan 0,56
je kunt de bijbehorende grens met de GR berekenen
we gebruiken hierbij de notatie a = invNorm(0.56,18,3)
-0.56 de oppervlakte links van a
-18 het gemiddelde μ
-3 de standaardafwijking σ
is de oppervlakte onder de normaalkromme links
van a bekend, dan is a = invNorm(opp links,μ,σ)
8.3
8.3
a
b
c
1 – 0,5 = 0,5
0,5/2 = 0,25
a = invNorm(0.25,18,2) ≈ 16,7
b = invNorm(0.75,18,2) ≈ 19,3
1 – 0,82 = 0,18
0,18/2 = 0,09
a = invNorm(0.09,150,12) ≈ 133,9
b = invNorm(0.91,150,12) ≈ 166,1
0,25
0,09
0,25
0,09
0,12/2 = 0,06
a = invNorm(0.06,58,6) ≈ 48,7
b = invNorm(0.94,58,6) ≈ 67,3
0,06
0,06
8.3
1 – 0,62 = 0,38
opp links van 2080 is 0,38/2 = 0,19
normalcdf(-1099,2080,2200,σ) = 0,19
voer in y1 = normalcdf(-1099,2080,2200,σ)
en y2 = 0,19
optie intersect
x ≈ 136,69
dus σ ≈ 140
μ = 2200
σ=?
opp = 0,62
opp = 0,62
opp = 0,19
opp = 0,19
2080
2200
2320
Percentages en kansen bij de normale verdeling
bij opgaven over de normale verdeling heb je te maken
met de 5 getallen in het figuur van deze getallen
zijn er 4 gegeven en moet je het 5e berekenen je
gebruikt het volgende werkschema
werkschema : opgaven over de normale verdeling
1
schets een normaalkromme en verwerk hierin
μ, σ, l, r en opp.
2
kleur het gebied dat bij de vraag hoort
3
bereken met de GR het ontbrekende getal
4
beantwoord de gestelde vraag
8.4
opp = normalcdf(-1099,23,25,3)
opp ≈ 0,252
dus 25,2%
μ = 25
σ=3
opp = ?
23
25
opgave 53b
opp = normalcdf(23.8,25.3,25,3)
opp ≈ 0,195
de kans is 0,195
μ = 25
σ=3
opp = ?
23,8
25,3
opgave 53d
opp = 2 . normalcdf(-1099,23.5,25,3)
opp ≈ 0,617
dus 61,7%
μ = 25
σ=3
opp = ?
26,5
29,5
opp = normalcdf(17,19,18,0.4)
opp ≈ 0,988
dus 98,8%
μ = 18
σ = 0,4
opp = ?
17
19
opgave 57b
opp = 2 × normalcdf(-1099,17.3,18,0.4)
opp ≈ 0,080
de kans is 0,080
μ = 18
σ = 0,4
opp = ?
17,3
18,7
opgave 57c
a = invNorm(0.01,18,0.4)
a ≈ 17,1
b = invNorm(0.99,18,0.4)
b ≈ 18,9
de diameter is minder dan 17,1 mm
of meer dan 18,9 mm.
μ = 18
σ = 0,4
opp = 0,02
a
b
Gemiddelde en standaardafwijking berekenen (TI)
Bij het berekenen van een onbekende μ of σ kun je de optie intersect gebruiken.
TI
8.4
TI
normalcdf(245,255,250,σ) = 0,90
voer in y1 = normalcdf(245,255,250,x)
en y2 = 0,90
optie intersect
x ≈ 3,04
dus maximaal σ ≈ 3,04 gram
μ = 250
σ=?
opp = 0,90
245
255
opgave 61b
TI
normalcdf(-1099,250,μ,4) = 0,10
voer in y1 = normalcdf(-1099,250,x,4)
en y2 = 0,10
optie intersect
x ≈ 255,1
dus op een gemiddelde van 255 gram
μ=?
σ=4
opp = 0,10
250
29/325 ≈ 0,0892
TI
normalcdf(70,1099,68,σ) = 0,0892
voer in y1 = normalcdf(70,1099,68,x)
en y2 = 0,0892
optie intersect
x ≈ 1,486
dus σ ≈ 1,49%
μ = 68
σ=?
opp = 0,0892
70
opgave 66b
opp = normalcdf(-1099,65.5,68,1.49)
opp ≈ 0,0467
dat zijn er 0,0467 × 500 ≈ 23
μ = 68
σ = 1,49
opp = ?
65,5
Terugblik
Terugblik