Zomercursus Wiskunde Module 4 Limieten en

Zomercursus Wiskunde
Katholieke Universiteit Leuven
Groep Wetenschap & Technologie
September 2011
Module 4
Limieten en asymptoten van rationale functies
(versie 22 augustus 2011)
Module 4: Limieten en asymptoten van rationale functies
Inhoudsopgave
1 Rationale functies
2
1
1.1
Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
De functie f : x 7→
1
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Limieten
1
1
3
2.1
Rekenregels voor limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Limiet in c = ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3
Limiet in een nulpunt van de noemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Asymptoten
7
9
3.1
Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2
Verticale asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.3
Horizontale asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.4
Schuine asymptoten van rationale functies . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.5
Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4 Oplossingen
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
14
4-1
Module 4: Limieten en asymptoten van rationale functies
1
Rationale functies
1.1
Inleiding
Functies als
5x
x2 − 3x + 1
, f2 : x 7→
x−5
2x − 1
2
3x + 7x
1
f3 : x 7→
en f4 : x 7→ 4
4
x −1
f1 : x 7→
waarbij f (x) een quotiënt is van twee veeltermen noemen we rationale functies.
De functies
f5 : x 7→
√
x−1
,
x−1
f6 : x 7→
zijn geen rationale functies omdat
√
sin x
x
en
f7 : x 7→
2x
x+1
x − 1, sin x en 2x geen veeltermen zijn.
Rationale functies zijn niet gedefinieerd in de eventuele nulpunten van de noemer, ze
hebben daar dus geen functiewaarde.
1.2
De functie f : x 7→
1
x
Eén van de eenvoudigste rationale functies is f : x 7→ x1 . We bestuderen deze functie
van naderbij:
• In 0 is er geen functiewaarde omdat de noemer dan nul wordt. Het domein van
de functie is dus R0 en de grafiek heeft geen snijpunt met de Y-as.
• Er is ook geen snijpunt met de X-as. Dit komt omdat
functie heeft dus geen nulpunten.
• Het tekenverloop is :
x
f(x)
0
|
–
1
x
6= 0 voor elke x. De
+
• Nadert x langs rechts naar 0, d.w.z. langs waarden die groter zijn dan 0, dan
worden de functiewaarden onbegrensd groot in de positieve zin. We zeggen dat
f (x) naar plus oneindig nadert als x langs rechts naar 0 nadert.
x
1
2
1
3
...
→0
f(x)
2
3
...
→ +∞
Als x → 0 dan
>
1
x
>
1
= +∞
x→0 x
>
→ +∞, notatie : lim
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
4-2
Module 4: Limieten en asymptoten van rationale functies
Analoog zien we dat als x → 0 dan
<
1
x
1
= −∞.
x→0 x
<
→ −∞, notatie: lim
1
niet bestaat omdat de linker- en rechterlimiet verschillend zijn.
x→0 x
De rechte x = 0 (de Y-as) noemen we een verticale asymptoot van (de grafiek
van) f .
Merk op dat lim
• Als we kijken naar de functiewaarden voor zeer grote waarden van x, in positieve
en negatieve zin, dan zien we dat
als
x → +∞
dan
1
x
→0
notatie:
1
=0
x→+∞ x
als
x → −∞
dan
1
x
→0
notatie:
1
=0
x→−∞ x
lim
lim
De rechte y = 0 (de X-as) noemen we een horizontale asymptoot van (de grafiek
van) f .
y
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
0
-1
-1
-2
-3
-4
-5
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
0
1
2
3
4
5 x
4-3
Module 4: Limieten en asymptoten van rationale functies
2
Limieten
We gaan hier niet in op de exacte definitie van limiet, maar beperken ons tot het
berekenen van limieten. De notatie limf (x) = a betekent: Als x naar c nadert, dan
x→c
nadert de functiewaarde naar a.
• Het berekenen van de limiet van een rationale functie in een punt c ∈ R dat geen
nulpunt van de noemer is levert weinig problemen. De limiet is dan immers gelijk
aan de functiewaarde. We geven enkele voorbeelden:
1
1
=
x→2 x
2
2
– lim (3x − 4x + 2) = 3 − 4 + 2 = 1
– lim
x→1
• Het berekenen van de limiet van een rationale functie in een punt c ∈ R dat
wel een nulpunt van de noemer is wordt behandeld in paragraaf 2.3. Voor het
zoeken van horizontale en schuine asymptoten is het ook nodig de limiet van een
functie te bepalen voor x → +∞ of x → −∞. Hierover gaat paragraaf 2.2. Voor
we deze gevallen behandelen kijken we eerst naar de rekenregels van limieten, in
paragraaf 2.1.
2.1
Rekenregels voor limieten
Deze rekenregels gelden voor willekeurige functies f en g maar in de voorbeelden en
oefeningen gebruiken we steeds rationale functies.
Deze rekenregels gelden voor x → c met c ∈ R of c = ±∞.
We kunnen onderstaande rekenregels samenvatten als volgt: De limiet van een som
de som is van de limieten, de limiet van een product is het product van de limieten
en de limiet van een quotiënt is het quotiënt van de limieten, tenzij je daardoor een
onbepaalde vorm krijgt.
• Als limf (x) = a ∈ R en limg(x) = b ∈ R dan is :
x→c
x→c
lim[f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x) = a + b
x→c
x→c
x→c
lim[f (x) − g(x)] = lim f (x) − lim g(x) = a − b
x→c
x→c
x→c
lim[f (x) · g(x)] = lim f (x) · lim g(x) = a · b
x→c
x→c
x→c
limf (x)
lim
x→c
a
f (x)
= x→c
=
g(x)
limg(x)
b
x→c
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
als
b 6= 0
4-4
Module 4: Limieten en asymptoten van rationale functies
voorbeeld: lim (3x2 −4x+2) = 1 want de limiet is hier gelijk aan de functiewaarde.
x→1
Wegens de eerste regel geldt ook dat lim (3x2 −4x+2) = lim 3x2 −lim 4x+ lim 2 =
x→1
x→1
x→1
x→1
3 − 4 + 2 = 1.
• Als limf (x) = limg(x) = +∞ dan is :
x→c
x→c
lim[f (x) + g(x)] = +∞
x→c
lim[f (x) · g(x)] = +∞
x→c
Deze laatste twee regels kunnen we ook symbolisch schrijven als :
(+∞) + (+∞) = +∞
(+∞) · (+∞) = +∞
• Met deze symbolische schrijfwijze kunnen we volgend overzicht kort noteren:
(+∞) + (+∞) = +∞
(−∞) + (−∞) = −∞
a + (+∞) = (+∞) + a = +∞
a + (−∞) = (−∞) + a = −∞
voor elke
voor elke
a∈R
a∈R
(+∞) · (+∞) = +∞
(+∞) · (−∞) = (−∞) · (+∞) = −∞
(−∞) · (−∞) = +∞
a · (+∞) = (+∞) · a = +∞ als a > 0
a · (+∞) = (+∞) · a = −∞ als a < 0
a · (−∞) = (−∞) · a = −∞ als a > 0
a · (−∞) = (−∞) · a = +∞ als a < 0
a
a
=
=0
+∞
−∞
voor elke
a∈R
Voor volgende uitdrukkingen kan er echter geen regel geformuleerd worden, men
noemt dit onbepaalde vormen :
(+∞) + (−∞)
(−∞) + (+∞)
0 · (+∞) en
0 · (−∞) en
∞
0
en
0
∞
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
(+∞) · 0
(−∞) · 0
4-5
Module 4: Limieten en asymptoten van rationale functies
De reden hiervoor is dat in die gevallen, afhankelijk van welke functies f en g
precies zijn, verschillende waarden voor de limiet kunnen voorkomen. Voor de
onbepaalde vorm 0 · (+∞) geven we enkele voorbeelden:
lim x2 ·
x→0
>
1
= lim x = 0
0
x x→
>
lim x2 = 0
en
x→0
1
= lim 1 = 1
0
x x→
>
lim x ·
1
1
= lim = +∞
2
x→
0
x
x
>
lim x ·
1
1
= lim = bestaat niet
2
x→0
x
x
>
x→0
>
x→0
en
lim x = 0
1
= +∞
x→0 x
>
en
x→0
lim
>
en
lim x = 0
x→0
en
lim
en
1
x→0 x2
>
= +∞
>
lim x = 0
x→0
Dus als limf (x) = 0 en limg(x) = +∞ dan kunnen we
x→c
lim
>
lim x ·
x→0
1
= +∞
x→0 x
>
en
x→c
en
lim
1
x→0 x2
= +∞
niet schrijven dat
lim[f (x) · g(x)] = lim f (x) · lim g(x)
x→c
2.2
x→c
x→c
Limiet in c = ±∞
Oefening 2.1
Welke limieten hebben de volgende functies in −∞ en +∞ als de pijlen op de grafiek
aangeven hoe de functies verder verlopen ?
Hoe kunnen we volgende limiet uitrekenen?
lim (3x2 − 4x + 2)
x→+∞
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
4-6
Module 4: Limieten en asymptoten van rationale functies
We kunnen
niet schrijven dat
lim (3x2 − 4x + 2) = lim 3x2 − lim 4x + lim 2.
x→+∞
x→+∞
x→+∞
x→+∞
want dan krijgen we de onbepaalde vorm (+∞) − (+∞).
Om deze limiet uit te rekenen gaan we volgende regel gebruiken:
(+∞) · a = +∞
als
a>0
We schrijven deze eerst terug volledig en nemen c = +∞, dan krijgen we:
Als lim f (x) = +∞ en lim g(x) = a met a > 0 dan is
x→+∞
x→+∞
lim [f (x) · g(x)] = +∞
x→+∞
We beginnen de berekening met:
lim (3x2 − 4x + 2) = lim [x2 (3 −
x→+∞
x→+∞
4
2
+ 2 )]
x x
We weten dat
lim x2 = +∞
x→+∞
4
2
+ 2) = 3
x→+∞
x x
dus als we de limiet van dit product van functies schrijven als het product van de
limieten krijgen we geen onbepaalde vorm:
2
4
lim (3x2 − 4x + 2) = lim [x2 (3 − + 2 )]
x→+∞
x→+∞
x x
2
4
= lim x2 · lim (3 − + 2 )
x→+∞
x→+∞
x x
= (+∞) · 3
= +∞
lim (3 −
Nog enkele voorbeelden van gelijkheden die we
onbepaalde vormen krijgen:
niet mogen schrijven omdat we zo
x3
1
= lim
· lim x3
x→±∞ x
x→±∞ x x→±∞
1
−x
= lim
· lim −x
lim
x→±∞ x x→±∞
x→±∞ x
lim
We kunnen deze limieten wel gemakkelijk uitrekenen:
x3
= lim x2 = +∞
x→±∞ x
x→±∞
−x
= lim −1 = −1
lim
x→±∞
x→±∞ x
lim
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
4-7
Module 4: Limieten en asymptoten van rationale functies
Oefening 2.2
Juist of fout ?
lim (3x2 − 4x + 2) = lim 3x2 − lim 4x + lim 2.
x→−∞
x→−∞
x→−∞
x→−∞
Oefening 2.3
Bereken met behulp van voorgaande rekenregels
(a) lim (2x3 − 5x2 )
x→+∞
3x2 − 6x + 1
x→−∞ 2x2 + 11x − 8
(b) lim
Door het toepassen van de rekenregels zie je dat de limiet voor x → ±∞ gelijk is aan de
limiet van de hoogstegraadsterm voor een veeltermfunctie, en gelijk is aan het quotiënt
van de hoogstegraadstermen in teller en noemer voor een rationale functie.
Oefening 2.4
Bereken
(a) lim (−4x5 + 7x4 − 11)
x→+∞
−x2 + 3x − 2
x→−∞
3x − 7
(b) lim
2x2 − 3
x→+∞ x3 − x + 2
(c) lim
x3 − 1
x→−∞ x − 1
(d) lim
x6 + 5x2 + 1
x→+∞
x4 − x6
(e) lim
2.3
Limiet in een nulpunt van de noemer
1
1
= +∞, lim = −∞ en dat
x→0 x
x→0 x
<
>
We hebben in het inleidend voorbeeld gezien dat lim
1
niet bestaat. Analoog kunnen we volgende situaties tegenkomen bij het berekenen
x→0 x
1
met f (c) = 0, c ∈ R
van lim
x→c f (x)
lim
1
= +∞.
x→c f (x)
• Als f (x) > 0 in een omgeving van c dan is lim
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
4-8
Module 4: Limieten en asymptoten van rationale functies
1
= −∞.
x→c f (x)
• Als f (x) < 0 in een omgeving van c dan is lim
• Als f (x) > 0 voor x > c en f (x) < 0 voor x < c
1
1
dan is lim
= +∞ en lim
= −∞
x→c f (x)
x→c f (x)
>
<
• Als f (x) < 0 voor x > c en f (x) > 0 voor x < c
1
1
= −∞ en lim
= +∞
dan is lim
x→c f (x)
x→c f (x)
<
>
Om deze limieten te berekenen moeten we dus het tekenverloop van f (x) kennen in de
buurt van c.
Merk ook op dat we steeds +∞ of −∞ vinden, tenzij linker- en rechterlimiet verschillen,
1
dan bestaat lim
niet.
x→c f (x)
g(x)
met f (c) = 0 onderscheiden we 2 gevallen:
Bij limieten van de vorm lim
x→c f (x)
• c is geen nulpunt van de teller, dus g(c) 6= 0:
1
1
g(x)
als limg(x).lim
= g(c).lim
.
Dan schrijven we lim
x→c
x→c f (x)
x→c f (x)
x→c f (x)
Dit is geen onbepaalde vorm vermits g(c) 6= 0.
Oefening 2.5
Bereken :
1
x→1 (x − 1)2
(a) lim
x2 + x − 1
x→1
x−1
>
(b) lim
x2 + x − 1
x→1
x−1
<
(c) lim
x−3
x→1 x2 − 1
>
(d) lim
x−3
x→1 x2 − 1
<
x
(Dit is geen rationale functie)
(f) lim
x→π sin x
<
(e) lim
• c is een nulpunt van teller en noemer:
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
4-9
Module 4: Limieten en asymptoten van rationale functies
Bij rationale functies kunnen we dan teller en noemer ontbinden in factoren en de
factor x − c wegdelen in teller en noemer. We illustreren dit met een voorbeeld:
x2 − 4
(x − 2)(x + 2)
= lim
= lim (x + 2) = 4
x→2 x − 2
x→2
x→2
x−2
lim
Teken de grafiek van f : x →
x2 −4
x−2
om dit te verduidelijken!
Oefening 2.6
Bereken :
x3 − 1
x→1 x − 1
<
(a) lim
x3 − 3x + 2
x→1 (x − 1)3
<
(b) lim
3
3.1
Asymptoten
Voorbeeld
We gaan na hoe we een schets kunnen maken voor de grafiek van f : x 7→
3x − 5
.
x
(a) Wat is het domein van f ?
(b) Zoek de nulpunten van f .
(c) Om het tekenverloop van een rationale functie te vinden, bepaal je eerst het tekenverloop van de teller en noemer afzonderlijk.
5
x
0
3
3x-5
x
f (x) =
3x − 5
x
3x − 5
3x − 5
en
lim
x→0
x→0
x
x
>
<
De rechte x = 0 noemen we een verticale asymptoot van (de grafiek van) f .
(d) Bereken lim
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
4 - 10
Module 4: Limieten en asymptoten van rationale functies
3x − 5
3x − 5
en
lim
.
x→+∞
x→−∞
x
x
De rechte y = 3 noemen we een horizontale asymptoot van (de grafiek van) f .
(e) Bereken lim
3.2
Verticale asymptoten
De rechte met vergelijking x = a is een verticale asymptoot van (de grafiek van) f ⇔
lim f (x) = +∞
x→a
<
of
lim f (x) = −∞
x→a
<
Ligging van de grafiek t.o.v. de asymptoot
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
of lim f (x) = +∞
x→a
>
of
lim f (x) = −∞
x→a
>
4 - 11
Module 4: Limieten en asymptoten van rationale functies
Oefening 3.1
Ga na waar de volgende functies een verticale asymptoot hebben. Schets ook de ligging
van de grafiek t.o.v. de asymptoot.
2x + 1
x−1
x−3
: x→ 2
x −9
f1 : x →
f2
3.3
Horizontale asymptoten
Definitie 3.1
De rechte met vergelijking y = a is een horizontale asymptoot van (de grafiek van) f
⇔ lim f (x) = a
x→+∞
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
of
lim f (x) = a
x→−∞
4 - 12
Module 4: Limieten en asymptoten van rationale functies
Oefening 3.2
Ga na of de volgende functies een horizontale asymptoot hebben :
1
−1
2x − 5
: x→
4x + 1
x2 − 1
: x→
x−2
f1 : x →
f2
f3
x2
Kan je hieruit een besluit trekken over het bestaan van een horizontale asymptoot bij
een rationale functie als je kijkt naar de graad van teller en noemer?
3.4
Schuine asymptoten van rationale functies
x2 − 1
voor zeer grote waarden
We gaan het gedrag onderzoeken van de functie f : x →
x−2
van x.
x2 − 1
x2 − 1
= +∞ en
lim
= −∞
lim
x→−∞ x − 2
x→+∞ x − 2
Als we de euclidische deling uitvoeren krijgen we :
x2 − 1
deeltal
rest
3
=
= quotiënt +
=x+2+
.
x−2
deler
deler
x−2
Dus
x2 −1
x−2
− (x + 2) =
3
.
x−2
x2 − 1
3
= 0, is ook lim [
− (x + 2)] = 0.
x→±∞ x − 2
x→±∞ x − 2
Vermits lim
2
−1
Grafisch betekent dit dat voor x → +∞ en x → −∞ de grafiek van f : x → xx−2
steeds meer nadert tot de rechte met als vergelijking y = x + 2. De rechte y = x + 2
noemen we een schuine asymptoot van (de grafiek van) f .
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
4 - 13
Module 4: Limieten en asymptoten van rationale functies
Definitie 3.2
De rechte met vergelijking y = ax + b (a 6= 0) is een schuine asymptoot van (de
grafiek van) f ⇔
lim [f (x) − (ax + b)] = 0
x→+∞
of
lim [f (x) − (ax + b)] = 0
x→−∞
Voor een willekeurige functie f kunnen we de parameters a en b bepalen door de
volgende limieten uit te rekenen:
f (x)
x→±∞ x
a = lim
en b = lim (f (x) − ax) .
x→±∞
Indien deze limieten niet bestaan of geen reële getallen zijn heeft f geen schuine asymptoot.
Voor rationale functies kunnen we op een eenvoudigere wijze de schuine asymptoot
vinden als deze bestaat, door de euclidische deling uit te voeren, zoals in bovenstaand
voorbeeld.
Oefening 3.3
Laat zien dat lim (f (x)−(ax+b)) = 0 niet hetzelfde is als lim f (x) = lim (ax+b).
x→+∞
x→+∞
x→+∞
Oefening 3.4
Ga na of de volgende functies een schuine asymptoot hebben.
6x2 − x + 7
3x + 1
x4
f2 :x → 2
x −1
f1 :x →
Kan je hieruit een besluit trekken over het bestaan van een schuine asymptoot bij een
rationale functie als je kijkt naar de graad van teller en noemer?
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
4 - 14
Module 4: Limieten en asymptoten van rationale functies
3.5
Samenvatting
am xm +...+a1 x+a0
(m, n
bn xn +...+b1 x+b0
Is f (x) =
dan geldt :
∈ N0 ; am 6= 0, bn 6= 0)
• Is m < n, dan is de X-as een horizontale asymptoot van de grafiek van f .
• Is m = n, dan is de rechte met vergelijking y =
van de grafiek van f .
am
bn
een horizontale asymptoot
• Is m = n + 1, dan heeft de grafiek van f een schuine asymptoot.
• Is m > n + 1, dan heeft de grafiek van f geen horizontale en geen schuine
asymptoot.
• Is a een nulpunt van de noemer van f en kunnen we door ontbinden in factoren
en vereenvoudigen de factor x − a niet volledig wegdelen in de noemer, dan is
de (linker-, rechter-) limiet voor x → a oneindig. De grafiek heeft een verticale
asymptoot met vergelijking x = a.
• Is a een nulpunt van de noemer van f en kunnen we door ontbinden in factoren
en vereenvoudigen de factor x−a volledig wegdelen in de noemer, dan is de limiet
voor x → a eindig. De grafiek van de functie vertoont een opening voor x = a.
• Is a geen nulpunt van de noemer van f , dan is de limiet voor x → a gelijk aan
de functiewaarde.
Oefening 3.5
Geef de asymptoten van de volgende functies :
x3
x2 − 9
x
f2 :x →
x+1
3x − 5
f3 :x →
x+2
x2
f4 :x →
x+1
f1 :x →
4
Oplossingen
2.3
(a) lim (2x3 − 5x2 ) = +∞
x→+∞
3
3x2 − 6x + 1
=
2
x→−∞ 2x + 11x − 8
2
(b) lim
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
4 - 15
Module 4: Limieten en asymptoten van rationale functies
2.4
(a) lim (−4x5 + 7x4 − 11) = −∞
x→+∞
−x2 + 3x − 2
= +∞
x→−∞
3x − 7
(b) lim
2x2 − 3
=0
x→+∞ x3 − x + 2
(c) lim
x3 − 1
= +∞
x→−∞ x − 1
(d) lim
x6 + 5x2 + 1
= −1
x→+∞
x4 − x6
(e) lim
2.5
1
= +∞
x→1 (x − 1)2
(a) lim
x2 + x − 1
= +∞
x→1
x−1
>
(b) lim
x2 + x − 1
(c) lim
= −∞
x→1
x−1
<
x−3
= −∞
x→1 x2 − 1
>
(d) lim
x−3
= +∞
x→1 x2 − 1
<
(e) lim
x
= +∞
x→π sin x
<
(f) lim
2.6
x3 − 1
=3
x→1 x − 1
<
(a) lim
x3 − 3x + 2
= −∞
x→1 (x − 1)3
<
(b) lim
3.1 f1 in x = 1, f2 in x = −3
3.2 f1 : y = 0, f2 : y =
1
2
en f3 geen horizontale asymptoot
3.4 f1 : y = 2x − 1 en f2 geen schuine asymptoot
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie