antwoorden opgaven syllabus wisB vwo domein B

Antwoorden opgaven syllabus wiskunde B vwo domein B
b  20
b4
De grafiek is een hyperbool met verticale asymptoot b  4 en horizontale
asymptoot a  1 . Controleer je tekening m.b.v. je GR.
b. Schrijf eerst b als functie van a:
4a  20
ab  b  4a  20 , dus b(a  1)  4a  20 , dus b 
a 1
8
8
8(a  1)
8a  8
T



  12 a  12 , dus T is een
b  4 4a  20  4 4a  20  4(a  1)
16
a 1
eerstegraadsfunctie van a.
1
a. ab  4a  b  20 , dus a(b  4)  b  20 , dus a 
2
1
3
a. De grafiek is een vierkant met hoekpunten (4,0), (0,4), (-4,0) en (0,-4).
b. Nee, want er bij x-coördinaten tussen -4 en 4 horen twee y-coördinaten.
c. x  y  4 is te schrijven als y   x  4 dus als een functievoorschrift; de
2
2
ex 1
2
ex  1  2 ex 1
dus f ( x)  1  x



 x
x
x
x
x
e 1
e 1 e 1 e 1
e 1
e 1
grafiek bestaat uit twee halve lijnen met eindpunt (0,4) die achtereenvolgens
door (-4,0) en (4,0) gaan.
De grafiek van x  y  4 is het spiegelbeeld van de grafiek van x  y  4 bij
spiegelen in de lijn met vergelijking y  x ; dit verband kan niet herschreven
worden als een functievoorschrift want bij x-coördinaten kleiner dan 4 horen
twee y-coördinaten.
4
a. De rechte lijn door ( 3,0 ) en ( 0, 1 12 ). Controleer met je GR: vul y   12 x  1 12 in.
b. De grafiek van y   14 x 2  1 12 is de parabool met top ( 0, 1 12 ) die de x-as snijdt
in (  6 , 0) en ( 6 ,0).
c. De grafiek van x 2  y 2  4 is de cirkel met middelpunt ( 0, 0) en straal 2.
5
a. Domein: alle getallen; bereik: y  0 ; snijpunt y-as (0,1); horizontale asymptoot
y  0.
b. Domein: alle getallen; bereik: alle getallen; snijdt x-as en y-as in het
symmetriepunt (0,0).
c. Domein: x  0 ; bereik: alle getallen; snijpunt x-as (1,0); verticale asymptoot
x 0.
d. Domein: x  12 π  k  π met k geheel; bereik: alle getallen; snijdt de y-as in
(0,0) en de x-as in de symmetriepunten ( k  π , 0) met k geheel; verticale
asymptoten x  12 π  k  π met k geheel.
e. Domein: alle getallen; bereik: y  0 ; minimum 0; snijdt de x-as en de y-as in
(0,0); symmetrie-as x  0 .
1
6
f ( x)  3x , g ( x)  x 2 , h( x)  x en k ( x)  2 log( x) .
7
Als x toeneemt, neemt e x toe, dus e x  1 ook, dus
11
2
2
neemt af, dus 1  x
e 1
e 1
x
neemt toe. Dus f is een stijgende functie.
Andere manier: f ( x) 
e
2e x
x
 1
2
. De teller en de noemer zijn voor elke x positief,
dus de afgeleide van f is voor elke x positief, dus f is een stijgende functie.
8
1  sin x  1 , dus 2  2sin x  2 , dus 4  6  2sin x  8 , dus
10
10
10

 , dus het bereik van f is 1 14 , 2 12  .
4 6  2sin x 8
9
a. 0,9907365  0,033 , dus er is ongeveer 3,3% over.
b. 0,9907t  0,80 , dus t 
0,9907
log 0,80 
log 0,80
 23,88 , dus na ongeveer 24
log 0,9907
dagen.
Andere manier: voer op de GR in: Y 1=0.9907^X en Y 2=0.80 en vind met
Intersect dat de twee grafieken elkaar snijden bij X  24 (of maak een tabel van
beide functies).
c. Voor de groeifactor g geldt: g 5,27  12 , dus g   12  5,27  0,877 . R  100  0,877t .
1
10
a. Controleer met je GR.
b. f ( x)   x  5   4  x  5   2 , ofwel f ( x)  x 2  6 x  7 .
2
c. f ( x)   12 x   4  12 x , dus f ( x)  14 x 2  2 x .
2
d. f ( x)    x   4   x , dus f ( x)  x 2  4 x .
2
11
Aangetoond moet worden dat f ( x)  f ( x) voor elke x.
x
1
x
x  e x  2 x 1  e  x  e x  12 x  12 xe x  xe x
1
f ( x)    x   x
 2 x




e 1
1  ex
1  ex
1  ex
1  ex
 1 x  12 xe x 12 x  12 xe x
 2

1  ex
ex 1
x
1
x
x
1
1
1
1
x
x
2 x  e  1
2 xe  2 x  x
2 xe  2 x
1
f ( x)  2 x  x




e 1
ex 1
ex 1
e x 1
e x 1
f ( x)  f ( x) voor elke x, dus de y-as is symmetrie-as.
1
2
12
In de grafiek is te zien dat het symmetriepunt (0,0) moet zijn.
Aangetoond moet worden dat f ( x)   f ( x) voor elke x.
2
2e x
1  e x 2e x
1  ex
f (  x)  1   x
 1



e 1
1  ex 1  ex 1  ex 1  ex
2
2
ex 1
2
e x  1




ex 1
ex 1 ex 1 ex 1
f ( x)   f ( x) voor elke x, dus (0,0) is symmetriepunt.
 f ( x )  1 
13
a. f ( x)  x  2  3
b. g ( x)  x  2  3
14
a. De grafiek van g heeft een verticale asymptoot als f ( x)  0 , dus de verticale
asymptoten zijn x  2 en x  1 . Omdat lim f ( x)   , heeft de grafiek ook
x 
een horizontale asymptoot y  0 .
b. f ( x)  ( x  2)( x  1)  12 ( x  2) 2  ( x  1  12 x  1)( x  2)  1 12 x( x  2) , dus
f ( x)  0 als x  0 of x  2 . De toppen van de grafiek van f zijn (  2, 0) en
(0, 2) . De top van de grafiek van g is dus (0, 12 ) ; g (0) is een minimum.
1
2
c. f ( x) 
als  f ( x)   1 , dus f ( x)  1 of f ( x)  1 . Het zijn dus de
f ( x)
snijpunten van de grafiek met de lijn y  1 en met de lijn y   1 . Dit zijn de
punten met x  2, 7 , x  1 , x  0, 7 en x  1, 2 .
d. Controleer met je GR.
15
b. De oppervlakte: xy  1000 , dus y 
1000
.
x
1000
200000
) 100  1000  80  82100  250 x 
, dus
x
x
a  82100 , b  250 en c  200000 .
a. x  25 invullen geeft K  82100  6250  8000  96350 .
K  3000  ( x  6) 150  ( x  2 
16
b. Het brandstofverbruik per km is
1
2
1,10
v 60
10
.
v 60
v  60
100
4500
 45  12 1,10 10 100 1,50 
 75 1,10 10 .
v
v
a. T (80)  147
Dus T 
17
x  10
3
4
 x 
b. y  0,95 log 

 100 
a. y 
5
40
 20
x
3x 5  1
d. y 
2
c. y 
18
a. f is stijgend (zie vraag 2 en 7), dus f heeft een inverse functie.
3
1  x
e y 1
, dus xe y  x  e y  1 , dus xe y  e y  1  x , dus e y 
, dus
y
x 1
e 1
 1 x 
y  ln 

 1 x 
b. x 
19
a. x3  6 x 2  x  6  x 2  5 x  6 , dus x3  5 x 2  4 x  0 , dus x( x 2  5 x  4)  0 , dus
5  41
5  41
of x 
2
2
3
b. vermenigvuldigen met x geeft x 2  x  42  0 , dus ( x  7)( x  6)  0 , dus
x  7 of x  6 .
2
2  16
 1 (wat geen oplossing heeft) of
c. 3  e x   2  e x  1  0 , dus e x 
6
2  16 1
ex 
 3 . Dus x  ln 13 .
6
d. 2 log8  2 log x  2 log(7 2 ) , dus 8x  49 , dus x  6 18 .
x  0 of x 
20
5 
3 a
 56  51   52  geeft 53a  56  51  52 a , dus 53a  6  51 2 a , dus 3a  6  1  2a ,
a
dus a  7 .
21
Domein van f: 4x 12  0 als x  3 .
4 x  12  12 x geeft
1
4
x 2  4 x  12 , dus x 2  16 x  48  0 , dus ( x  8)2  112 , dus
x  8  112 of x  8   112 , dus x  8  112 of x  8  112 .
x  8  112 voldoet niet (ingevoerd met kwadrateren).
f ( x)  g ( x) als 3  x  8  112 .
22
Domein van f: x  0 ; domein van g: 6  x  0 , dus x  6 .
ln e  ln x  ln(6  x) , dus ln(ex)  ln(6  x) , dus ex  6  x , dus ex  x  6 , dus
(e  1) x  6 , dus x 
f ( x)  g ( x) als
23
6
.
e 1
6
 x6.
e 1
a. 2  8  3 y  10 geeft 3 y  6 , dus y  2 . Het snijpunt is (8, 2) .
3  8  p  2  7 geeft 2 p  17 , dus p  8 12 .
2
3
b. 
geeft 2 p  9 , dus p  4 12 .
3 p
24
a. x 2   34 x   100 geeft
2
x 2  100 , dus x 2  16
25 100  64 , dus x  8 of x  8 .
De oplossingen zijn (8, 6) en (8, 6) .
25
16
2
b. x   34 x  p   100 moet dan één oplossing hebben.
2
De vergelijking uitwerken geeft
25
16
x 2  23 px  p 2  100  0 .
4
25
D   32 p   4  16
  p2  100  0 geeft
2
p
25
2
9
4
p 2  254 p 2  625  0 , dus 4 p 2  625 , dus
 12 12 of p  12 12 .
Andere manier: De afstand van het middelpunt (0, 0) van de cirkel tot de lijn
0, 75 x  y  p  0 moet gelijk zijn aan de straal, dus aan 10.
0,75  0  0  p
0,75  1
2
2
 10 geeft p  10  54  12 12 , dus p  12 12 of p  12 12 .
Nog een andere manier:
De loodlijn op y  0, 75 x  p door (0, 0) heeft vergelijking y   43 x .
Deze loodlijn snijden met de cirkel geeft x 2    43 x   100 , dus
2
25
9
x 2  100 , dus
x 2  36 , dus x  6 of x  6 . De snijpunten zijn (6,8) en (6,  8) .
8  0, 75  6  p geeft p  12 12 ; 8  0, 75  6  p geeft p  12 12 .
25
De grafiek is een scheve hyperbool met verticale asymptoot x  2 en horizontale
asymptoot y  3x  1 .
2 3
1  2
x  2x  3
x x  1  0  0  1 dus voor elke p heeft de grafiek een
lim
 lim
2
x 
x

p
x p
1 0
12  2
x
horizontale asymptoot y  1 .
( x  3)( x  1)
f p ( x) 
x2  p
Voor p  0 heeft de grafiek geen verticale asymptoot.
Voor p  0 heeft de grafiek één verticale asymptoot: x  0 .
Voor p  1 heeft de grafiek één verticale asymptoot, x  1 , en een perforatie
(1, 2) .
Voor p  9 heeft de grafiek één verticale asymptoot, x  3 , en een perforatie
(3, 23 ) .
Voor p  9 of 9  p  1 of 1  p  0 heeft de grafiek twee verticale
2
26
asymptoten.
27
28
( x  2)( x  3)
. De teller is 0 voor x  2 of x  3 . De grafiek heeft een
x2  x  a
perforatie als voor x  2 of x  3 de noemer ook 0 is.
( x  2)( x  3) x  3
22  2  a  0 geeft a  6 . De grafiek van f 6 ( x) 
(voor

( x  3)( x  2) x  3
x  2 ) heeft perforatie (2,  15 ) .
( x  2)( x  3) x  2
32  3  a  0 geeft a  12 . De grafiek van f 12 ( x) 
(voor

( x  3)( x  4) x  4
x  3 ) heeft perforatie (3, 17 ) .
f a ( x) 
 1
 x
a. lim      en lim eu  0 dus lim e
x0
x0
u
5

1
x
 0 (‘gaatje’ (0,0))
 1
lim      en
x0
 x
b. lim e

1
x
x 
lim eu   dus lim e
u
x0

1
x
  (asymptoot x  0 )
 e0  1 dus y  1 is de horizontale asymptoot
c. Controleer met je GR.
d. x  e
29

1
y
geeft 
1
1
 ln x dus y 
ln x
y
4
4

 2 dus horizontale asymptoot y  2
x 
7 5 200
2  2
x x
7  49  40 7  3
2 x 2  7 x  5  0 geeft x 

; verticale asymptoten x  2 12
4
4
en x  1
 x2 
x2
1
1
b. lim 2
 lim

 1 dus lim log  2   log1  0 , dus
x  x  1
x 
x 
1
 x 1 
1 2 1 0
x
horizontale asymptoot y  0
a. lim
x2
x2

lim
  en lim log u   dus
u 
x1 x 2  1
x1 x 2  1
 x2 
 x2 
lim log  2   lim log  2    , dus verticale asymptoten x  1 en x  1
x1
 x  1  x1
 x 1 
lim
2 x  8 0  8
2 x  8  22 x 0  0
en



4
lim

 0 dus horizontale
x  22 x  2
x 1  2  22 x
02
1 0
asymptoten y  4 en y  0 .
22 x  2  0 geeft 2x  1 dus x   12 , dus verticale asymptoot x   12 .
80
80
0
0,9 x
 40 en lim

 0 dus horizontale asymptoten
d. lim f ( x) 
x 
x

2
2  50
05

5
0,9 x
y  0 en y  40 .
c. lim
6