Dictaat Limieten - Praktijk Natura Sanat

Limieten
EEB2 - 7N5p
GGHM 2012-2013
1
Inhoud
Limieten ............................................................................... 3
Nog meer limieten ................................................................ 7
Continuïteit ........................................................................... 9
Links- en rechtscontinu ........................................................ 11
Limieten berekenen .............................................................. 13
Limiet van x → a ...................................................... 13
De insluitstelling....................................................... 16
Limieten van x →∞ .............................................................17
Differentieerbaarheid ........................................................... 20
Regel van l’Hôspital ............................................................. 23
Machten herleiden ................................................................ 25
Standaardlimieten ................................................................. 26
Asymptoten en limieten ....................................................... 29
2
Limieten.
Eerst maar eens twee voorbeelden.
Voorbeeld 1.
Een kunstenaar gaat een kunstwerk maken dat bestaat uit op elkaar gestapelde kubussen.
De onderste kubus heeft ribben van 1.
Daarop stapelt hij een kubus met ribben 12 .
Dan eentje met ribben 14 .En zo gaat hij steeds
maar door. Elke kubus heeft ribben die de helft
van de vorige kubus zijn. Dat geeft de serie stapels
hiernaast.
De kunstenaar noemt zijn kunstwerk "The Sky is the Limit", immers als je oneindig veel van
zulke kubussen op elkaar stapelt, dan kun je zo hoog komen als je maar wilt. Immers als iets
steeds maar groter wordt, dan zal het uiteindelijk elke waarde bereiken......
Maar is dat wel zo?
Hoogste tijd de zaak eens nader te onderzoeken. Laten we eens een tabel maken met de
hoogte H(n) van de stapel als functie van het aantal kubussen (n).
In de tabel hieronder zie je een aantal waarden.
n
H(n)
1
1
2
1,5
3
1,75
4
1,875
5
1,9375
6
1,9688
7
1,9844
8
1,9922
9
1,9961
10
1,9980
11
1,9990
12
1,9995
Daarin lijkt het er helemaal niet op dat die hoogte alle waarden kan aannemen.
Het lijkt er meer op dat de hoogste steeds dichter bij 2 komt te liggen. En dat is ook zo! Hoe
groter je n kiest, des te dichter komt H(n) bij 2 te liggen, maar de waarde 2 zélf wordt nooit
bereikt. Het kunstwerk had moeten heten "Two is the Limit" !!
In de wiskunde noemen we zo'n waarde, waar je
steeds dichter bij komt een "limiet". Dat die limiet in
het verhaaltje hierboven inderdaad 2 is kun je
bewijzen met de theorie van meetkundige rijen, en je
kunt het ook zien in het plaatje hiernaast. De hele
oppervlakte nadert daar uiteindelijk naar 2 vierkanten.
We noteren dat als volgt:
lim H (n) = 2
n →∞
Dat spreek je uit als" "De limiet van n naar oneindig van H(n) is gelijk aan 2" en het betekent
dus eigenlijk dat, als je n steeds en steeds maar groter maakt, dat dan de waarde van H(n)
steeds dichter naar 2 nadert. De waarde 2 zélf wordt nooit bereikt maar je kunt er wel zo dicht
als je maar wilt bij in de buurt komen.
3
Voorbeeld 2.
Neem de functie f ( x) =
x2 + 2x − 8
en bereken lim f ( x)
x→2
x−2
Dat betekent dus: laat x steeds dichter bij 2 komen en bereken elke keer f(x) en kijk waar die
naar naderen. Luie mensen zullen misschien zeggen "Nou, dan vul ik gewoon 2 direct in de
formule in, en wat daar uitkomt, daar zal f(x) dan wel naar toe gaan...." . Maar dat kan niet,
0
want als je x = 2 invult, dan komt er uit en dat valt niet te berekenen. In de tabel hieronder
0
zie je dat de waarde van f(x) naar 6 toegaat als x naar 2 toegaat.
x
f(x)
1
5
1,5
5,5
1,9
5,9
1,95
5,95
1,99
5,99
1,999
5,999
1,9999
5,9999
1,99999
5,99999
....
...
We noteren dat als:
 x2 + 2x − 8 
lim 
=6
x →2
x
−
2


lim f ( x) = b
x →a
betekent:
Als x nadert naar a, dan nadert f(x) naar b.
“Je kunt zo dicht bij b komen als je maar wilt”
Die laatste regel hierboven hebben wiskundigen vertaald in wat zij noemen de
ε−δ definitie van een limiet. Dat ziet er zó uit (niet schrikken):
lim f ( x) = b ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(| x − a |< δ  | f ( x) − b |< ε )
x →a
Mooi hé?
Maar wat staat daar nou eigenlijk?
Je leest het als volgt hardop:
"Voor elke ε > 0 geldt: er is een δ > 0 zodat, als |x − a| < δ, dan is | f(x) − b| < ε"
Ja maar, wat stááááát daar nou?
Laat iemand een willekeurig heel klein getal (ε) kiezen . Alles mag! ("Voor alle ε > 0 geldt:")
Dan kan ik altijd, door een geschikte x te kiezen, dichter dan ε bij de functiewaarde b komen.
Er is altijd een getal vlak bij x = a te vinden ("Er is een δ > 0") zodat de functiewaarde
daarvan dichter bij b ligt dan die kleine waarde ε.
4
Neem de functie van het laatste voorbeeld hierboven, waarvan de limiet (voor x naar 2) gelijk
was aan 6. Als jij de waarde ε = 0,000001 kiest, dan moet ik proberen een getal vlak bij x = 2
te vinden zodat de functiewaarde ervan dichter dan 0,000001 bij 6 ligt. Nou dat is makkelijk.
Neem bijvoorbeeld δ = 0,0000001. Dan is x − δ = 1,999999 en de bijbehorende functie
waarde is f(1,999999) = 5,999999 en dat ligt minder dan 0,00001 van de waarde 6 af.
Met een grafiek ziet dat er zó uit:
Hoe smal je die rode strook ook kiest, je kunt
altijd een blauwe strook vinden zodat het stukje
grafiek bij de blauwe strook binnen dat bij de rode
strook valt.
Voor limieten waar x naar oneindig gaat (zoals in
het eerste voorbeeld) zou de definitie er zó uitzien:
lim f ( x) = b ⇔ (∀ε > 0)(∃p > 0)( x > p  | f ( x) − b |< ε )
x →∞
Ik hoop dat je begrijpt wat daar staat....
Opgave 1
Onderzoek de grootte van de volgende limieten:
(Zet de GRM op radialen)
 2 x 2 − 4 x − 48 
lim
a)


x →6 8 x 2 − x3 − 168


b)
c)
d)
e)
 x −1 
lim  2 
x →1 x − 1


 sin x 
lim 

x →0
 x 
 x − 2 x3 
lim  3 2

x →∞ x + x + 100


f)
lim ( x x )
g)
 4 x2 − 6 
lim 

x →∞ 

 x +8 
h)
lim (1 + 1x )
i)
 ex −1 − x 
lim 

2
x →0
 x

j)
5
x→0
x
x→∞
lim ( x 8 ⋅ e x )
x →−∞
1
lim ( x 3 − 1000
ex )
x→0
Opgave 2
 x3 − 1 
Het gaat hier om de limiet: lim 

x →1
 ln x 
Ik beweer dat daar 3 uitkomt, maar mijn buurvrouw gelooft me niet. Ze kiest ε = 0,001
en ze daagt mij uit δ te vinden waarmee ik op afstand minder dan 0,001 van 3 uitkom
als ik de formule toepas. Welke δ-waarden kan ik nemen om haar te overtuigen?
Opgave 3
sin x − x
x3
Bereken achtereenvolgens f(1) en f(0,5) en f(0,1) en f(0,05) en f(0,01) en geef aan de
hand van deze waarden een schatting voor de limiet van x naar nul van f(x).
Bereken f(0,000005) en f(0,000001) en f(0,0000005)
Ben je er nog steeds van overtuigd dat je schatting van vraag a) correct is?
Gegeven is de functie f ( x) =
a)
b)
6
Nog meer limieten...
In de vorige les heb je gezien wat een "limiet" is en hoe je met je GR meestal wel kunt
bepalen wat er uitkomt.
Maar de zaken kunnen soms wat gecompliceerder zijn.....
Probleem 1.
Neem de grafiek hiernaast, van f ( x) = 2 + ( x − 3)
Stel dat je daarvan de limiet van x naar 3 wilt berekenen.
Dan lukt dat niet door achtereenvolgens x = 2,5 en 2,9 en 2,99 en
2,999 enz. in te vullen. Aan de grafiek zie je wel dat de functie daar
helemaal niet bestaat! Je kunt alleen wel x = 3,5 en 3,1 en 3,01 en 3,001 enz. invullen, want
daar aan de rechterkant van 3 bestaat de grafiek wél. Aan die waarden zie je dat de limiet
gelijk is aan 2.
In zulke gevallen geven we nauwkeuriger in de limiet aan vanaf welke kant je moet rekenen.
Dat ziet er zó uit:
lim f ( x)
x↑3
Spreek uit: "de limiet van de onderkant naar 3", en dat betekent dat je van
getallen kleiner dan 3 naar 3 zelf toegaat. (Dus 2,9 en 2,99 en 2,999 enz.)
Deze limiet bestaat in bovenstaand voorbeeld niet. We spreken ook wel van de
linkerlimiet (in de grafiek kom je van de linkerkant)
lim f ( x)
x↓3
Spreek uit: "de limiet van de bovenkant naar 3", en dat betekent dat je van
getallen groter dan 3 naar 3 zelf toegaat. (Dus 3,1 en 3,01 en 3,001 enz.)
Deze limiet is in bovenstaand voorbeeld gelijk aan 3. We spreken ook wel van
de rechterlimiet (in de grafiek kom je van de rechterkant)
lim f ( x)
x →3
Deze notatie is onnauwkeuriger en mag je alleen gebruiken als de beide vorige
limieten dezelfde waarde opleveren. Dus alleen als de linkerlimiet en de
rechterlimiet dezelfde waarde opleveren mag je spreken over "DE" limiet.
In bovenstaand voorbeeld bestaat deze limiet dus niet!!!
Voorbeeld
Gegeven is de functie f ( x) =
x−2
, onderzoek lim f ( x)
x →2
x−2
Op de eerste plaats zie je dat 2 invullen niet kan, want dat levert 00 op.
Als je waarden kleiner dan 2 invult krijg je bijvoorbeeld:
f(1,9) = −1 en f(1,99) = −1 en f(1,999) = −1 dus dat lijkt gelijk te zijn aan −1.
Als je waarden groter dan 2 invult krijg je bijvoorbeeld;
f(2,1) = 1 en f(2,01) = 1 en f(2,001) = 2 dus dat lijkt gelijk te zijn aan 1.
Conclusie:
lim f ( x) = −1 en lim f ( x) = 1 en lim f ( x) bestaat niet.
x↑ 2
x↓ 2
x →2
Aan de grafiek hiernaast zie je duidelijk wat er aan de hand is.
7
Probleem 2.
Soms komt er gewoon niets uit!
 1 
Neem bijvoorbeeld lim 

x → 2 ( x − 2) 2


Als je waarden steeds dichter bij 2 neemt, dan worden de berekende functiewaarden groter en
groter, kijk maar:
f(1,9) = 100 , f(1,99) = 10000 , f(1,999) = 1000000, enz.
en ook van rechts:
f(2,01) = 10000 , f(2,001) = 1000000, enz.
In zo'n geval zeggen we dat de limiet "oneindig" is (symbool ∞ ). Maar
oneindig is natuurlijk geen getal. Met "de limiet is oneindig" wordt daarom
bedoeld: "je kunt de uitkomst zo groot krijgen als je maar wilt". In de
grafiek hiernaast zie je wat er aan de hand is.
In de volgende grafiek hiernaast zie je een geval waarin geldt:
lim f ( x) = ∞ en lim f ( x) = −∞ dus lim f ( x) bestaat niet.
x↓4
x↑4
x →3
Opgave 4
Hiernaast zie je de grafiek van een functie f. Geef van de
volgende uitdrukkingen aan of ze bestaan, en zo ja, hoe groot ze
zijn.
lim f ( x)
lim f ( x)
a)
d)
x↑2
x →5
b)
f(2)
e)
lim f ( x)
c)
lim f ( x)
f)
lim f ( x)
x↓5
x →2
x ↓0
Opgave 5
Bereken de volgende limieten, als ze bestaan:
 2 
lim 
lim ( ln x )
a)
c)

x ↓1
x→0
 x −1 
b)
(
lim x + 2 − x
x↑2
)
d)
 x −5
lim 
x ↑5
 3 x − 15
8
e)



lim ( ln x )
x→0
f)
 x 
lim 

x ↓1
 x −1 
Continuïteit
De volgende regel vind ik één van de mooiste en duidelijkste afspraken over een wiskundig
begrip:
Een functie is continu als je de grafiek ervan kunt
tekenen zonder je potlood van het papier te halen.
Duidelijk! Je snapt meteen wat er bedoeld wordt, toch?
Helaas moeten formele wiskundigen deze prachtige afspraak weer bederven omdat ze hem
niet precies genoeg vinden! De officiële definitie van het continu zijn van een functie is
(helaas) vervangen door:
Een functie f is continu in punt x = a als:
lim f ( x) = lim f ( x) = f (a)
x↓a
x↑ a
Ik hoop dat je ziet dat dit eigenlijk dezelfde afspraak is!
- Als de linkerlimiet en de rechterlimiet beiden gelijk zijn aan f(a) dan loopt de grafiek
van beide kanten naar dat punt (a, f(a)) toe.
-
Als de limiet ook nog gelijk is aan f(a) dan zit daar dus geen gaatje, maar bestaat de
grafiek daar ook nog.
Samen garandeert dat, dat je bij punt x = a je potlood niet van het papier hoeft af te halen.
Verder noemen wiskundigen een functie continu op een heel stuk, als hij continu is in elk
punt van dat stuk:
f(x) is continu op interval [a, b] als f(x) continu is in elk
punt van dat interval.
Kortom: dan kun je de grafiek tekenen op [a, b] zonder je potlood van het papier te halen.
Voorbeeld.
e x
De functie f wordt gegeven door: f ( x) =  2
x
Onderzoek de continuïteit van f.
voor x < 0
voor x ≥ 0
De functies f ( x ) = x 2 en f ( x ) = e x zijn continu, dus voor x< 0 en x > 0 zal deze
gecombineerde functie ook continu zijn. Het enige spannende is de continuïteit voor x = 0.
lim f ( x) = lim e x = 1 en
x↑0
x ↑0
lim f ( x) = lim x 2 = 0
x↓0
x ↓0
De limieten zijn niet gelijk, dus de functie is niet continu voor = 0.
9
Opgave 6
De functie f wordt gegeven door:
2
sin x voor x < 14 π
f ( x) =  x 1
voor x ≥ 0
 π + 4
Onderzoek de continuïteit van f.
Opgave 7
De functie f wordt gegeven door:
Onderzoek de continuïteit van f.
x2 − 1
f ( x) =
x −1
Opgave 8
ax 2 + 4 x voor x < 6
(
)
f
x
=
De functie f wordt gegeven door:
 3
 x − ax voor x ≥ 6
Voor welke waarde(n) van a is deze functie continue?
Opgave 9
 x2 − 9
voor x < 3
 3− x


f ( x) = ax 2 + bx + 2 voor 3 ≤ x < 6
De functie f wordt gegeven door:


voor x ≥ 6
a + b − 4 x

Voor welke waarden van a en b is deze functie continu?
Opgave 10
2
 x − 3 x + p voor x > 5
De functie f wordt gegeven door:
f ( x) = 
voor x ≤ 5
 qx + 8
Bereken de waarden van p en q waarvoor deze functie continu is.
10
Links- en Rechtscontinu.
Voor het continu zijn van een functie was het nodig dat zowel de rechterlimiet als de
linkerlimiet naar de functiewaarde zelf naderden.
Het kan natuurlijk ook voorkomen dat slechts één van beiden naar de functiewaarde nadert en
de andere niet (of zelfs niet bestaat) In zo'n geval noemen we de functie linkscontinu
(linkerlimiet nadert naar f(a)) of rechtscontinu (rechterlimiet nadert naar f(a)).
Hieronder zie je een paar voorbeelden.
Ophefbaar discontinu
Een functie heet "ophefbaar discontinu" als er "een gaatje in zit".
Dat betekent in wiskundetaal dat bij de waarde x = a de linkerlimiet wél gelijk is aan de
rechterlimiet, maar dat ze niet gelijk
zijn aan de functiewaarde f(a). Dat kan zijn omdat f(a) niet bestaat of omdat f(a) gewoon een
andere waarde heeft.
Zoiets dus:
In zulke gevallen kun je gemakkelijk een functie vinden die overal precies gelijk is aan f(x)
maar die het gaatje opvult. Het gaatje dat je moet toevoegen heet de continumakende waarde
en de nieuwe functie wordt meestal aangegeven met f*.
11
Opgave 11
 b( x 2 − 4)
voor x ≥ 2

f ( x) =  2 x − a
De functie f wordt gegeven door:
 4x − b
voor x < 2

Bereken a en b als deze functie ophefbaar discontinu is.
Geef in dat geval ook de functie f *
Opgave 12
Teken (plot en schets) de grafiek van f ( x) =
x ⋅ (| x | −1)
en onderzoek de continuïteit.
2
Opgave 13
Teken (plot en schets) de grafiek van f ( x ) = | x | −4 en onderzoek de continuïteit.
Opgave 14
 x+ | x | 
Bereken lim 
.
x ↑0
 x− | x | 
Opgave 15
 x2 − 2x
 x−a


De functie fa wordt gegeven door: f a ( x) =  −4 12 a

 2
2
 ax − 3 3

a)
b)
c)
voor
x <1
voor
x =1
voor
x >1
Voor welke a is f linkscontinu in x = 1 ?
Voor welke a is f continu in x = 1 ?
Voor welke a vertoont f asymptotisch gedrag in x = 1 ?
Bereken in dit geval lim f ( x)
x ↑1
12
Limieten berekenen
Tot nu toe probeerden we gewoon wat waarden dicht bij x = a om te ontdekken hoe groot de
limiet van een functie daar was. Of we keken naar de vorm van de grafiek.
Deze les bekijken we een aantal gevallen waarin we limieten exact (algebraïsch) kunnen
berekenen. We onderscheiden daarin twee gevallen: de limiet van x naar een bepaald getal a
en de limiet van x naar oneindig. Deze les bekijken we x → a, de volgende les
komt x → ∞ aan de beurt.
De limiet van x → a
Ik zou altijd eerst beginnen met x = a in de functie in te vullen. Wie weet komt er gewoon een
functiewaarde f(a) uit. De meeste "normale" functies zijn namelijk gewoon continu op hun
domein. Bijvoorbeeld x n en g x en sin(x) en cos(x) en tan(x) en g log( x ) en n x .
En ook combinaties van zulke functies zijn dan continu op het domein. (daarmee bedoel ik dat
je ze met elkaar vermenigvuldigt of bij elkaar optelt of door elkaar deelt).
Dat betekent dat je bij zulke functies alleen hoeft op te letten wat het domein is!
Voor dat domein moet je op drie dingen verdacht zijn:
- wordt er door nul gedeeld?
- wordt de wortel van een negatief getal genomen?
- wordt een logaritme van nul of lager genomen?
x2 − 4
zou ik meteen lim f ( x) gaan onderzoeken.
x →2
x−2
Bij f ( x ) = x 2 − 1 zou ik meteen lim f ( x) en lim f ( x) gaan onderzoeken.
Bij f ( x) =
x →1
x →−1
Bij f ( x ) = log(4 − x ) zou ik meteen lim f ( x) gaan onderzoeken.
2
x →4
De rest van de gevallen is namelijk oninteressant; óf daar bestaat de functie niet, óf hij is er
gewoon continu. Voor het eerste voorbeeld (dat van die gebroken functie) zijn er een paar
aardige trucjes te gebruiken om limieten te berekenen.
Truc 1: Ontbinden in factoren.
Als je met een breuk te maken hebt zul je moeten onderzoeken wat er gebeurt als de noemer
nul wordt. Vul altijd eerst de waarde van x waarvoor de noemer nul wordt in. Je weet maar
" iets "
nooit... Als er namelijk
uitkomt (waarbij dat "iets" dus niet ook nul is), dan ben je
0
klaar want dan is de limiet gelijk aan ±∞. (nog even een waarde in de buurt invullen om te
kijken welk van beiden het is). De grafiek zal dan een verticale asymptoot hebben.
0
Alleen als er uitkomt, dan heb je problemen. Maar bij functies met machten kun je dan
0
vaak de teller en noemer ontbinden in factoren, en dan twee factoren tegen elkaar
weg laten vallen.
Voorbeeld
 x 2 + 4 x − 21 
 ( x − 3)( x + 7) 
 x + 7  3+ 7
=2
lim  2
 = lim

 = lim

=
x →3
x
→
x
→
3
3
 x + 2  3+ 2
 ( x − 3)( x + 2) 
 x − x−6 
Merk nog even op dat er van de tweede naar de derde vorm gedeeld is door (x − 3). Dat mag
natuurlijk niet als x − 3 =0, maar omdat we de limiet van x → 3 bekijken, nadert x naar 3,
maar is nooit gelijk aan 3 zelf. Dus dat wegdelen dat mág!
Overigens, omdat de noemer gelijk is aan (x − 3)(x + 2) zou ik hier ook de limiet van x → −2
13
bekijken. Die is echter veel makkelijker: gewoon direct invullen geeft -25/0 dus dat is ±∞.
Het hangt er vanaf of je de linkerlimiet of de rechterlimiet neemt welk van beiden
(+∞ of −∞) het wordt.
Nog een voorbeeld
 x 4 − x3 
 x3 ( x − 1) 
 x3 ( x − 1) 
 x2  1
lim  3
lim
lim
lim
=
=
=
 x→1 




 = = ±∞
2
x →1 x − 2 x 2 + x


 x( x − 2 x + 1)  x→1  x( x − 1)( x − 1)  x→1  x − 1  0
" iets "
uitkomt weet je al dat het +∞ of −∞ wordt.
Zodra je op
0
Weer hangt het er vanaf van welke kant je naar x = 1 gaat of er +∞ of −∞ uitkomt. In dit geval
is de linkerlimiet gelijk aan −∞ en de rechterlimiet gelijk aan +∞ (ga dat zelf maar na).
Het kan zijn dat het te moeilijk is om in factoren te ontbinden. Dan kun je soms gebruik
maken van een staartdeling om dat toch voor elkaar te krijgen (zie “url”).
Als de limiet voor x→ a namelijk 00 oplevert, dan kun je de teller en de noemer beiden door
(x − a) delen.
lim f ( x) geeft
x →a
0
dan teller en noemer door (x − a) delen
0
Nog een voorbeeld
 x3 − x − 6 
Bereken lim  3 2

x →2 x − x − 4


x = 2 invullen levert (helaas) 00 op. Daarom gaan we met een staartdeling zowel teller als
noemer door (x – 2) delen (doe dat zelf!). Het resultaat is:
 x3 − x − 6 
 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 3) 
 x2 + 2x + 3  8
lim  3 2
 = lim

 = lim  2
=
2
x →2 x − x − 4

 x→2  ( x − 2)( x + x + 2)  x→2  x + x + 2  11
Gelukkig; bij opnieuw invullen komt er nu gewoon
gebeuren dat er wéér
0
0
11
8
uit deze limiet. Het zou zelfs kunnen
uitkomt. Dan ga je gewoon het hele verhaal nóg een keer uitvoeren.
Laatste voorbeeld

x3 − 3x − 2 
Bereken lim  3

x →−1 2 x + 5 x 2 + 4 x + 1


0
x = −1 invullen geeft weer 0 , daarom weer teller en noemer delen door (x + 1):

 ( x + 1)( x 2 − x − 2) 
 x2 − x − 2 
x3 − 3x − 2 
lim  3
lim
lim
=
=
 x→−1 

 2

2
x →−1 2 x + 5 x 2 + 4 x + 1


 ( x + 1)(2 x + 3x + 1)  x→−1  2 x + 3x + 1 
Maar als je nu x = −1 invult komt er weer 00 uit.
Dus nog maar een keer door (x + 1) delen:
 x2 − x − 2 
 ( x + 1)( x − 2) 
 x − 2  −1 − 2
lim 
=3
 = xlim

 = xlim

=
x →−1 2 x 2 + 3x + 1
→−1 ( x + 1)(2 x + 1)
→−1 2 x + 1

 −2 + 1




14
Truc 2: een merkwaardig product.
Deze truc werkt omdat geldt: ( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2
Dat kun je soms handig gebruiken om wortelvormen kwijt te raken. Als in die a of in die b
een wortel zit, dan verdwijnt die als je a2 − b2 berekent.
 2 − x2 + 3 
Stel je wilt uitrekenen: lim 
 . Als je x = 1 invult komt er weer 00 uit (natuurlijk).
x →1 

x
−
1


Maar als je de teller leest als a – b dan valt de wortel weg als je teller en noemer
vermenigvuldigt met a + b.
 2 − x2 + 3 
 2 − x2 + 3 2 + x2 + 3 


4 − ( x 2 + 3)
⋅
=
lim 
 = lim 
 = lim 

2
x →1 
 x→1 
 x→1  ( x − 1)(2 + x 2 + 3) 
−
−
x
x
1
1
+
+
x
2
3






 −( x − 1)( x + 1) 
 − x + 1  −2
= lim 
= − 12
lim 

=
2
2

x →1 
x →1
4
 2+ x +3 
 ( x − 1)(2 + x + 3) 
Opgave 16
Bereken de volgende limieten:
 x 2 − 4 x − 12 
lim  2
a)

x →−2
 x + x−2 
b)
c)
d)
e)


x2 −1
lim  3

2
x →1 x + 2 x − 3x


f)
 3− x +5 
lim  2

x→4
 x − 16 
 1− x 
lim 

x →1 4 x − 4 


g)
h)
15
 x3 + 2 x 2 − x − 2 
lim  3

x↓−2 x + 7 x 2 + 16 x + 12


 21 − x − 4 
lim  2

x →5
 x − 6x + 5 


x3 − 3x + 2
lim  3

2
x →1 2 x − 12 x + 18 x − 8


 x3 − 2 x 2 − 9 
lim 

3
x →3
 x − 9x 
De insluitstelling.
Stel dat in de buurt van x = c geldt dat f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
Stel verder dat geldt: lim f ( x) = lim h( x) = L
x →c
x →c
dan geldt ook : lim g ( x) = L
x →c
Deze stelling heet de insluitstelling (engels: squeeze theorem), en zegt eigenlijk niets anders dan:
"Als een functie in de buurt van x = c altijd tussen twee anderen inzit, en die anderen gaan beiden
voor x = c naar dezelfde waarde L, dan gaat die functie daar tussenin ook naar die waarde L".
Je moet daar zo'n soort plaatje bij in gedachten hebben:
Voorbeeld

 1 
Bereken lim  x 2 ⋅ cos   
x →0
 x 

Bedenk dat −1 ≤ cos(1/x) ≤ 1 zolang x maar niet gelijk is aan nul (En dat laatste is hier het
geval, want we nemen de limiet van x naar nul toe, dus x is nooit gelijk aan nul).
Dan geldt: −x2 ≤ x2 cos(1/x) ≤ x2 (alles met x2 vermenigvuldigen verandert de tekens niet,
want x2 is positief) Maar −x2 en x2 gaan beiden naar nul als x naar nul gaat.
Dus gaat dat middelste deel ook naar nul; dat zegt de insluitstelling.
De gevraagde limiet is dus gelijk aan nul.
Hier zie je wat er aan de hand is:
16
Limieten voor x → ±∞
Voor limieten waarbij x naar oneindig gaat heb je wat andere tactieken nodig dan
voor limieten waarbij x naar een bepaald getal nadert. Oneindig is namelijk geen
getal (al is er wel zo'n "8 op zijn kant" voor bedacht).
Laten we de twee meest voorkomende varianten bekijken.
1. Quotiënt van Polynomen.
Klinkt goed, toch? Het betekent niets anders dan: twee functies met machten op elkaar
gedeeld.
 x 2 + 4 x3 + 4 
lim 
Bijvoorbeeld:

3
x →∞
 x + 2x 
Daar staan duidelijk twee functies met machten ("polynomen") die op elkaar gedeeld worden
("quotiënt"). Met een beetje gezond boerenverstand kom je een heel eind.
Kijk dat zit zo: als x heel heel groot wordt, dan zal de hoogste macht van x bepalen wat er
gebeurt. Die x2 en die 4 en de noemer zijn voor erg grote x volledig te verwaarlozen ten
opzichte van die 4x3 . En op dezelfde manier is die x in de noemer natuurlijk wel erg groot,
maar toch te verwaarlozen ten opzichte van 2x3.
(zelfs 10000x zou nog te verwaarlozen zijn; als x maar groot genoeg wordt)
Dat betekent dat er voor erg grote x gewoon in de teller 4x3 staat en in de noemer 2x3 dus daar
komt 42 = 2 uit.
Oké nu snappen we hoe het werkt, maar hoe noteren we dat een beetje handig?
Dat gaat als volgt:
Deel alles door de hoogste macht
van x in de noemer.
In dit voorbeeld delen we alles door x3 en dat geeft het volgende:
 1x + 4 + x43  0 + 4 + 0
 x 2 + 4 x3 + 4 
lim 
lim
=
=2
 1
=

3
x →∞
0+2
 x + 2 x  x→∞  x2 + 2 
Daarin gaan al die breuken naar nul, en blijft er over 42 = 2. 't Is natuurlijk precies wat die
boer hierboven al beweerde, maar zo staat het een beetje netter genoteerd.
2. Wortelvormen.
Bij functies met wortels erin kun je het best zoveel mogelijk machten van x buiten de wortel
proberen te halen. Daarbij moet je je wel één ding goed bedenken:
 x als x > 0
x2 = 
− x als x < 0
Dat betekent dat je voor x → ∞ elke keer
je
x 2 kunt vervangen door x, maar voor x −∞ moet
x 2 vervangen door −x. Zo’n wortel moet nou eenmaal positief zijn. Bij bijvoorbeeld
heb je dat probleem niet, want dat is gewoon x2 en dat is altijd positief. maar
daarentegen weer gelijk aan +x3 of −x3
17
x 6 is
x4
Hier zie je hoe het werkt:
Voorbeeld 1








 3x 
3x
3x
3x
3
3




 = lim 
=
lim 
= lim
= lim
= lim 
=3

2
2
2
4
4
x →∞
1+ 0
 x + 4  x→∞  x (1 + x42 )  x→∞  x (1 + x42 )  x→∞  x (1 + x2 )  x→∞  (1 + x2 ) 
Bij de derde stap is gebruikt dat √(x2) = x omdat x → +∞. Als x naar −∞ was gegaan dan
had hier −x moeten staan en dan was de limiet gelijk geworden aan −3.
Voorbeeld 2
 x 6 (1 − 14 ) 
 x 6 (1 − 14 ) 
 x 6 (1 − 14 ) 
 − x3 (1 − 14 ) 
 x6 − x2 
x
x
x
x







lim 
= lim
= lim
= lim 
 = lim
3
3
3
3
→−∞
→−∞
→−∞
x →−∞  2 x 3 + x 
x →−∞ 
x
x
x
 2x + x 





2
x
x
2
x
x
2
x
x
+
+
+










En nu nog alles delen door de hoogste macht uit de noemer:
 − x3 (1 − 14 ) 
 −1 ⋅ (1 − 14 )  −1⋅ 1 + 0
x
x
 = lim 
=
lim 
= − 12
x →−∞ 

2 x3 + x  x →−∞ 
2 + x12
2+0




Oh ja, waarom deden we dit ook alweer?
Die limieten van x naar ±∞ worden natuurlijk vooral gebruikt om te
onderzoeken of een grafiek horizontale asymptoten heeft. Dat is zo als
er uit zo'n limiet een constant getal komt. Zo zal de grafiek van het
laatste voorbeeld aan de linkerkant naar de lijn y = − 12 lopen en aan de
rechterkant naar y = 12 . In dat vreemde grafiekje hiernaast zie je dat dit
inderdaad het geval is.
Het is niet altijd feest!
Natuurlijk komt er niet altijd zo mooi een constante uit een limiet. Eigenlijk meestal juist niet!
Meestal als x naar oneindig gaat, dan gaat de y óók naar oneindig. Dat noteren we uiteraard
als volgt:
lim f ( x) = ∞
x →∞
(en natuurlijk kunnen al die "oneindig" ook worden vervangen door "min-oneindig", maar dat
spreekt intussen voor zich hoop ik)
Voorbeeld.
 2 x + 1 − 10

 2 x 4 + x3 − 10 
 2x +1− 0 
x3
lim 
=
lim
=
lim




 = −∞
3
2
8
x →−∞
 10 x + 8 x  x→−∞  10 + x  x→−∞  10 + 0 
Bij de eerste stap is gedeeld door x3 (de hoogste macht van de noemer). Je ziet dat uiteindelijk
in de teller 2x + 1 overblijft en dat gaat naar −∞.
18
Opgave 17
Bereken algebraïsch de waarde van de volgende limieten:
 10 x3 − 3x + 6 
 25x + x3 
lim  2
lim
a)
e)



3
x →∞
x →−∞ 1000 − 4 x 2
 x − 2x + 8 


 x 4x2 − 2x 
 2x − 8 
lim 
lim
f)
b)



2
4
x →∞
x →∞ 

 12 + 9 x 
 x + 5x 
 6 − 2 x2 
 x 4 − 100 x 
lim 
lim
c)
g)


5 
x →−∞
x →∞ 

x
 2x + x 


2
 2 4 + 2x 


6x x
lim 
d)
h)

lim 

x →−∞ 
x →∞ (3 x + 2)( x − 1) 



 x +8 
Opgave 18
 x + sin x 
Bereken lim 

x →∞ x + cos x


(denk aan de insluitstelling…)
19
Differentieerbaarheid.
Deze les gaan we bekijken wat het betekent als de afgeleide functie f ' van een functie f
continu is. Volgens de simpelste afspraak van continuïteit betekent dat, dat je de grafiek van
f ' kunt tekenen zonder je potlood van het papier te halen. En volgens de "officiële" afspraak
betekent het dat voor x = a geldt:
lim f '( x) = lim f '( x) = lim f '( x) = f '(a)
x↓ a
x↑ a
x →a
Daarin staan die eerste twee er alleen maar om er voor te zorgen dat de derde bestaat.
Maar wat betekent het nou voor f zélf?
Als f ' continu is, dan betekent dat, dat de grafiek van f ' geen vreemde
sprongen vertoont. Maar f ' stelt de helling van f voor. Dus dat
betekent dat de helling van f geen vreemde sprongen vertoont.
De helling van f mag dus best veranderen maar dan wel gelijkmatig,
niet ineens heel abrupt. Een hele abrupte verandering in de helling zou
je in de grafiek zien als een "knik", immers dan verandert de helling
ineens van de ene waarde naar de andere. Hiernaast zie je onder elkaar
de grafiek van zo'n f met de bijbehorende f ' (Het is de trouwens de
grafiek van f ( x ) = x ⋅ x − 2 maar dat doet er even niet toe)
Je ziet dat bij x = 2 de grafiek van f ' een sprong vertoont (dus niet
continu is). De grafiek
springt van −2 naar 2. Dat zie je in de grafiek van f terug als een knik.
Aan de linkerkant van die knik is de helling immers gelijk aan −2, en
aan de rechterkant gelijk aan 2.
Als de afgeleide f' van een functie f continu is, dan noemen we deze
functie f zelf differentieerbaar.
Manieren om niet-differentieerbaar te zijn.
Er zijn eigenlijk drie basis-manieren waarop een functie f niet-differentieerbaar kan zijn, en
dat zijn de volgende:
manier I:
De functie f zelf is niet continu.
Kijk, als de functie f niet continu is bij x = a , dan kun je het ook niet hebben
over de helling in dat punt. Die hebben we ooit immers gedefinieerd als de
helling tussen dat punt en een "punt-vlak-ernaast". Nou, als de functie niet
continu, dan is dat "punt-vlak-ernaast" er niet! In dit geval bestaat de
helling f '(a) uiteraard ook niet.
manier II:
f is wél continu, maar f ' vertoont een sprong.
Dat is het geval hierboven: f heeft een knik.
manier III:
f is wél continu, maar f ' heeft een verticale asymptoot.
Dat betekent dat de grafiek van f dus wel gewoon te tekenen is, maar dat de
helling in x = a oneindig groot wordt. Dat is zo als de raaklijn in x = a verticaal
is! Dan bestaat f´ niet, en dus kan hij ook niet continu zijn.
20
Hieronder zie je bij alle drie de manieren een voorbeeld.
Manier I kan natuurlijk op veel meer manieren gebeuren, bijvoorbeeld door een functie met
een verticale asymptoot, of een enkele sprong ergens. Grafiek III heeft in de oorsprong een
verticale raaklijn, dus bestaat daar de helling f ' niet. Een bekend voorbeeld van zo'n functie is
bijvoorbeeld f ( x) = 3 x Je ziet verder dat de functies in II en III wél overal continu zijn,
maar dus niet differentieerbaar.
Opgave 19
Onderzoek of de volgende functies differentieerbaar zijn op hun hele domein.
 x 2 + 4 voor
f ( x) = 
a)
f ( x) = 2 x + 6
c)
2 x + 3 voor
 x3 + 1 voor
f ( x) =  2
f ( x) = 3 ( x − 1)2
b)
d)
voor
 3x
x >1
x ≤1
x>2
x≤2
Opgave 20
a + ln x voor x > 1
f a ,b ( x ) = 
2
voor x ≤ 1
 bx
Onderzoek voor welke a en b deze functies differentieerbaar zijn op hun domein.
Gegeven zijn de functies fa,b door:
Opgave 21
a + bx 2 voor x < −3
f
(
x
)
=
Gegeven zijn de functies fa,b door:
 2
a ,b
ax + b voor x ≥ −3
Toon aan dat er oneindig veel waarden voor a en b zijn te vinden waarvoor deze functies
differentieerbaar zijn op hun domein.
21
Opgave 22
 ax + b voor x > 1
f a ,b ( x ) =  2
 x + a voor x ≤ 1
Onderzoek voor welke a en b deze functies differentieerbaar zijn op hun domein.
Gegeven zijn de functies fa,b door:
Opgave 23
 25 − x 2
voor − 4 ≤ x ≤ 4
f ( x) = 
 a ⋅ x + b voor x < −4 of x > 4
Bereken a en b als deze functie differentieerbaar is in de punten x = 4 en x = −4.
Gegeven is de volgende functie f:
Opgave 24
examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1988
 x → ax 2 + 2 x + b voor x ∈ −3, 0
Gegeven is de op −3, π differentieerbare functie: f : 
voor x ∈ [ 0, π
 x → a + sin 2bx
Bewijs dat a = b = 1
Opgave 25
examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1989.
 x → x 2 + 1 voor x ∈ ←,1]

f :
Gegeven is op R de continue functie:
1 + ln ax
voor x ∈ 1, →
x →
x

Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is F de grafiek van f.
a)
Bewijs dat a = e.
b)
Bewijs ook dat f niet differentieerbaar is in x = 1.
Opgave 26
examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1991.
Van R naar R is gegeven de functie: f ( x ) = 2 − 2 x + 4
Toon aan dat f niet differentieerbaar is in x = 0.
22
De regel van l'Hôpital
Onbepaalde vormen.
Als je een limiet probeert te berekenen vul je eigenlijk eerst altijd de waarde van x maar eens
in. Je weet immers maar nooit... misschien komt er "gewoon" wat uit...
Alhoewel, als dat zo is, dan zou het wel geen opgave zijn! Bijna altijd krijg je er een waarde
uit die "onbepaald" is. Dat zijn dan meestal twee delen die elkaar "tegenspreken" zoals in
deze voorbeelden:
x
 2 x2  ∞
 2x − 4  0
−x
lim  2
=
en
en lim xe = ∞⋅ 0 en lim ( 1x ) = ∞0
=
lim



2
x →2 x − 4
x→∞
x→0
x →∞ x + 4 x

 0

 ∞
Die ingevulde waarden bestaan allemaal uit twee delen die elkaar tegenwerken.
Bijvoorbeeld van 00 wil die bovenste 0 er nul van maken, maar die onderste 0 wil er oneindig
(
)
van maken. Van ∞∞ is het net andersom: die bovenste maakt het oneindig groot, die onderste
wil er nul van maken. Dit soort vormen heten "onbepaalde vormen", in tegenstelling tot
sommige andere vormen waarvan meteen duidelijk is wat de limiet wordt.
Hier zijn er nog een paar:
onbepaald:
bepaald:
0
=?
0
0
=0
∞
∞
=?
∞
∞
=∞
0
∞⋅ 0 = ?
1∞ = ?
∞ 0 = ? ∞ −∞ = ?
0⋅0 = 0
∞⋅∞ = ∞
∞∞ = ∞
00 = ?
Daarbij moet je alle getallen als 0, 1, ∞ uiteraard lezen als "gaat naar".
Nou heeft de Fransman l'Hôpital voor twee van die onbepaalde
vormen een handige regel gevonden. Zelfs handiger dan de meeste
lessen over limieten hiervoor!
Hij bedacht het volgende:
 f ( x)  0
 f ( x)  ∞
=
In de gevallen lim 
en lim 

=
x →a g ( x )
x →a g ( x)

 0

 ∞
dan geldt er:
 f ( x) 
 f '( x) 
= lim 
lim 


x →a g ( x)

 x→a  g '( x) 
Daarbij mag a zelfs ∞ of −∞ zijn!!
De regel geldt voorlopig in deze twee gevallen, maar we zullen straks zien dat veel andere
gevallen zijn te herleiden tot één van deze beiden.
Eerst maar even een paar voorbeeldjes van dit geweldig handige regeltje in werking. De
volgende limieten kon je met de theorie van de vorige lessen ook al wel uitrekenen, maar ze
zijn nu gewoon veel makkelijker geworden.
23
Voorbeeld 1. De vorm
0
0
 x 4 − 3x 2 − 4 
 4 x3 − 6 x  4 ⋅ 8 − 6 ⋅ 2
=
= 1 14
lim  3
lim
 x→2  2
=
2
x→2
 x + x − 12 
 3x + 2 x  3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2
Voorbeeld 2. De vorm
∞
∞
 4x + x2 
 4 + 2x 
 2 1
lim 
 = lim

 = lim
 = 5
x →∞ 3 + 2 x + 5 x 2
x →∞ 2 + 10 x
x →∞ 10


 


Hier is de regel zelfs twee keer toegepast. Eerst de afgeleides, maar dat gaf weer ∞/∞ dus
daarna gewoon wéér de afgeleides. Geen enkel probleem!
Maar de regel van l’Hôpital maakt het ook mogelijk limieten te berekenen die we eerst niet
konden, kijk maar:
Voorbeeld 3. Een nieuwe limiet!
 sin x 
 cos x  1
= lim 
lim 

 = =1
x →0
 x  x →0  1  1
Producten herleiden.
f
is, maar een product f ⋅ g dan kun je op de volgende twee
g
f
g
=
manieren die veranderen in wel een breuk: f ⋅ g =
1
1
g
f
Voorbeeld
 1 
 ln x 
 = lim  x  = lim ( − x ) = 0
lim ( x ln x ) = lim 
x↓0
x↓0  1
 x ↓ 0  −1 2  x ↓ 0
 x
 x 
Als de limiet niet een breuk
In de eerste stap is van xlnx een breuk gemaakt, in de tweede stap is l'Hôpital gebruikt. De
limiet moest wel van de bovenkant naar nul, omdat anders lnx niet bestaat.
Soms moet je wel een beetje handig kiezen.
x
Neem lim xe . Als je die x gaat schrijven als 1/x in de noemer, dan blijf je alsmaar door
x →−∞
( )
"L'Hôpitallen", kijk maar:
 x 
 x 
 x 
 ex 
 = lim  e  = lim  e  = lim  e  = ....
lim ( xe x ) = lim 
x →−∞
x →−∞  1 
x →−∞  −1
 x →−∞  2 3  x →−∞  −6 4 
 x
 x2 
 x 
 x 
Dat schiet niet op, het wordt alleen maar erger.....
Maar als je ervoor kiest om ex in de noemer te zetten in plaats van die x, dan gaat het allemaal
een stuk soepeler:


x 
 x
= lim  − x
lim ( xe x ) = lim 
x →−∞
x →−∞  1
x →−∞ e


 ex 

 1
 = xlim

→−∞ −e − x


24

=0

Machten herleiden.
We hebben van de onbepaalde vormen nog over 0 0 en ∞0 en dat soort machten.
Die vorm kun je op de volgende manier handig anders schrijven:
A = e ln A
Dat is nogal logisch natuurlijk, maar het helpt wel om dit soort limieten te berekenen.
Het werkt als volgt:
 ln  x 1x  
1
1 ln x
A
ln
lim x x = lim ( A) = lim ( e ) = lim  e    = lim e x
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞ 
 x →∞


Bij de laatste stap is gebruikt dat ln(xp) = plnx.
Maar de limiet van die exponent kun je apart met l' Hôpital berekenen:
1 0
 ln x 
= lim  x  = = 0
lim ( 1x ln x ) = lim 

x →∞
x →∞
 x  x→∞  1  1
( )
( )
( )
1
(
1
)
lim ( 1x ln x )
Dus de oorspronkelijke limiet : lim x x = .... = lim e x ln x = e x→∞
x →∞
x →∞
Opgave 27
Bereken de volgende limieten:
 x −2
a)
lim 

x→4
 x−4 
 x5 + 1 
b)
lim  8

x →−1 x + 1


c)
d)
e)
f)
 ln x 
lim 
x →∞ 2 x 


 ln ( x − 2 ) 
lim 

x →3
 x −3 
g)
h)
25
= e0 = 1
 ex 
lim  2 
x →∞ x
 
 e3 x − 1 
lim 

x →0
 x 
 tan x 
lim 

x →0
 x 
lim ( x x )
x↓0
Standaardlimieten
We hebben intussen al heel wat methodes bekeken om limieten te berekenen. Nou is het zo,
dat sommige limieten gewoon erg vaak voorkomen. Daarom is het voor die limieten
misschien de moeite waard om ze uit het hoofd te leren. Hoef je niet steeds weer het wiel uit
te vinden.....
In deze les verzamelen we een aantal nuttige limieten.
Ik heb ze in twee categorieën gesplist: "limieten naar een getal" en "limieten naar oneindig".
Limieten van x → a.
Daarvan zijn er eigenlijk DRIE wel vrij nuttig, en dat zijn de volgende:
 sin x 
 tan x 
xn ⋅ ln x = 0
= 1 en lim 
lim 

 = 1 en lim
x →0
x →0
x↓0
x
x




(
)
Het bewijs laat ik achterwege, want dat is vrij eenvoudig met l'Hôpital. Let op dat bij die
laatste alleen de rechterlimiet bestaat (omdat voor x < 0 natuurlijk lnx niet bestaat).
Er is een hele serie andere limieten die je vrij makkelijk in één van deze drie kunt veranderen.
Als je je maar bedenkt dat daar op de plaats van die x-en in de limieten ook best andere
"dingen" mogen staan die naar nul gaan. Bijvoorbeeld 3x in plaats van x.
Hier zie je een aantal voorbeelden van hoe je deze standaardlimieten gewoon zelf af en toe
tevoorschijn kunt toveren.
Voorbeeld 1
 sin 4 x 
 sin 4 x 
 sin 4 x 
= lim 
⋅ 4  = 4 ⋅ lim 
lim 

 = 4 ⋅1 = 4
x →0
x →0
 x  x →0  4 x

 4x 
Deze kon trouwens ook vrij makkelijk direct met l'Hôpital. Ga dat maar na.
Voorbeeld 2
3x
1 
2
 tan 2 x 
 tan 2 x
 tan 2 x 3x 2 
= lim 
⋅ 2x ⋅
⋅  = lim 
⋅
⋅  = 1 ⋅1 ⋅ =
lim 

x →0 tan 3 x
tan 3x 3x  x→0  2 x tan 3x 3 
3

 x →0  2 x
2
3
Voorbeeld 3
 x (1 − sinx x ) 
 1 − sinx x  1 − 1
 x − sin x 
lim 
lim
lim
=
=
=0



=
 x →0 
sin x 
x → 0 x + sin x
x → 0 1 + sin x
1+1


x 

 x (1 + x ) 
Voorbeeld 4
lim ( x ln 4 x ) = lim
x↓0
x↓0
(( x
0,25
ln x )
4
)=0
4
=0
Voorbeeld 5
Je kunt die laatste standaardlimiet ook gebruiken door een grondtal g te schrijven als elng
Hier is een hele beroemde:
(
lim ( x x ) = lim ( e ln x )
x↓0
x↓0
x
) = lim ( e
x↓0
x ln x
)=e
0
=1
26
Limieten van x → ∞
Een groot aantal limieten waar machten van lnx en van x en van ex in voorkomen kun je
berekenen met het podium hiernaast. Daarin zie je dat ex de winnaar
van deze drie soorten functies is. Op de tweede plaats komt xn en op
xn
de laatste plaats lnx.
lnx
2
3
Dat is tenminste zo als het om limieten gaat waarin x naar ±∞ gaat.
ex
1
En het mooie is: wat er verder nog aan constanten bijstaat doet er niet toe!
ex wint het zelfs van 1000000x400, en 2000000lnx verliest nog van x0,01 !!!! Op den duur
dan..... Op den langen duur....
Voorbeelden van hoe het werkt met dat winnen en verliezen:
Voorbeeld 1
 ln x 
Bereken lim  3 
x →∞
 x 
De lnx gaat naar ∞ dus die wil deze limiet heel groot maken. De x3 gaat ook naar oneindig
maar staat in de noemer dus die wil deze limiet juist heel klein maken. Het podium zegt dat x3
wint! Er komt daarom 0 uit.
Voorbeeld 2
9
x
Bereken lim x ⋅ e
x →−∞
(
)
De ex gaat naar nul dus die wil deze limiet heel klein maken. De x9 gaat naar min-oneindig,
dus die wil deze limiet juist heel groot (negatief) maken. Het podium zegt dat ex wint! Er
komt dus 0 uit.
En natuurlijk kun je dit ook in andere gevallen gebruiken:
Voorbeeld 3.
x
 e x ln 2 
−x
lim 1x ⋅ ( 12 ) = lim ( 1x ⋅ 2 x ) = lim 1x ⋅ ( e ln 2 ) = lim 

x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
 x 
(
)
(
)
Als x naar oneindig gaat, dan gaat xln2 naar oneindig (want ln2 > 0)
De teller gaat (dus) naar oneindig, en de noemer ook. Maar volgens het podium wint de teller,
dus er komt ∞ uit. Je verandert dus eigenlijk gx in exlng . Op dezelfde manier kun je ook glogx
veranderen in lnln gx en daar dus zo'n standaardlimiet met lnx van maken:
Voorbeeld 4
 2 log x 
 lnln 2x 
 ln x 1 
1
=
lim  3
lim
1  = lim 
1 ⋅ ln 2  = 0 ⋅ ln 2 = 0


→∞
→∞
x →∞
x
x
3
3
x 
x 
 x


Eigenlijk zijn alle Loggen dus Losers!!!!
27
Tot slot een hele speciale standaardlimiet.
lim (1 + ax ) = ea
x
x →±∞
Het bewijs hiervan komt eigenlijk uit de oorspronkelijke definitie van het getal e. Dat was het
getal waarvoor gold dat de afgeleide van ex gelijk is aan ex. In de les waarin we dat hebben
afgeleid vonden we de volgende uitdrukking voor e:
e = lim (1 + dx ) dx
1
dx ↓ 0
Als je daarin dx vervangt door ax dan is dus x = dxa en dan gaat x naar ∞ als dx van de
bovenkant naar nul gaat. Dan wordt de bovenstaande limiet:
e = lim (1 + ax ) a
x
x →∞
Beide kanten tot-de-macht a verheffen geeft de standaardlimiet hierboven.
Voorbeeld
x
x
 x+5
lim 
= lim (1 + 5x ) = e5

x →∞
 x  x →∞
Opgave 28
Bereken de volgende limieten:
a)
lim ( x 4 ln 2 x )
g)
b)
lim x x
( )
h)
c)
d)
x↓0
1
x↓0
x x
lim  0,5 x 
x →∞ e


 2 x − tan x 
lim 

x →0
 x + sin x 
i)
j)
e)
f)
 x 
lim 

x →0 sin(7 x)


 x 
lim  − x 
2 
x →−∞
 sin( x − π ) 
lim 

x →π tan(3 x − 3π )


x2
0,5 x
 2+ x
lim 

x →∞
 x 
 x 2 − sin x 
lim 

x →0
2x


 ln 5 x 
lim 

x →∞
 x 
k)
i)
 x2 + 1 
lim  2 
x →∞
 x 
 sin ( 3 x ) 
lim 

x → 0 sin ( 8 x ) 


Opgave 29
vervalt vooralsnog
Opgave 30
examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1995.
De functie f met domein  \ {0} is gegeven door: f : x →
Onderzoek lim f ( x) , lim f ( x) en lim f '( x)
x ↓0
x ↑0
x ↑0
28
1 1x
⋅e
x2
Asymptoten en limieten
Horizontale asymptoot
Om aan te tonen dat een functie een horizontale asymptoot heeft kun je een limiet uitrekenen.
De horizontale asymptoot is immers de waarde die de functie ‘op den duur’ aan lijkt te
nemen, ergens in het oneindige (naar links of rechts).
Voor een horizontale asymptoot y = a geldt:
y = a is horizontale asymptoot van f ( x ) ⇔ lim f ( x ) = a en/of lim f ( x ) = a
x →∞
x →−∞
Merk op dat deze uitspraak in beide richtingen geldt!
Voorbeeld:
en
x+2
x−4
1 + 2x 1
x+2
lim f ( x ) = lim
= lim
= =1
x →∞
x →∞ x − 4
x →∞ 1 − 4
1
x
2
1+ x 1
x+2
lim f ( x ) = lim
= lim
= =1
x →−∞
x →−∞ x − 4
x →−∞ 1 − 4
1
x
De horizontale asymptoot is dus y = 1
Gegeven is f ( x ) =
Er bestaan ook functies die twee horizontale asymptoten bezitten:
4e x
Voorbeeld:
g ( x) = x
e +1
4e x
4 ex
4
4
lim g ( x) = lim x
= lim
⋅ x = lim
=
=4
1
1
x →∞
x →∞ e + 1
x →∞ 1 +
x →∞ 1 +
e
1+ 0
ex
ex
y = 4 is dus horizontale asymptoot voor het rechterdeel van de grafiek.
4e x
0
=
=0
lim g ( x ) = lim x
x →−∞
x →−∞ e + 1
0 +1
y = 0 is dus horizontale asymptoot voor het linkerdeel van de grafiek.
Opgave 31
Waarom kan de grafiek van een functie niet drie horizontale asymptoten hebben?
29
Verticale asymptoot
Een verticale asymptoot zie je in de regel bij gebroken functies en wel daar waar de noemer
een nulpunt heeft (nulpunt van de noemer mag geen nulpunt van de teller zijn).
Met de volgende definitie kun je een verticale asymptoot aantonen:
x = a is verticale asymptoot van f ( x) ⇔ lim f ( x) = ±∞ en/of lim f ( x) = ±∞
x↓ a
x↑ a
Ook deze definitie werkt twee kanten op!
Voorbeeld:
en
x+2
x−4
x+2 6
lim f ( x ) = lim
= =∞
x↓ 4
x↓4 x − 4
0
x+2 6
lim f ( x ) = lim
= =∞
x↑ 4
x↑4 x − 4
0
De verticale asymptoot is dus x = 4
Gegeven is f ( x ) =
Opgave 32
Bepaal van de volgende functies de horizontale en verticale asymptoten m.b.v. limieten.
x−4
a
f ( x) = 2
x − 3x − 4
e x − e− x
b
f ( x) = x − x
e +e
sin x
c
f ( x) =
x
30
Schuine of scheve asymptoot
Bij de schuine asymptoot gaat de grafiek steeds meer in één richting lopen. Met andere
woorden, de grafiek gedraagt zich steeds meer als een rechte lijn y = ax + b
Dus voor hele grote (of hele kleine) waarden van ‘x’ nadert de richting van de grafiek tot de
richtingscoëfficiënt van de lijn y = ax + b.
In limietentaal:
y = ax + b is schuine asymptoot van f ( x) ⇔ lim f '( x) = a
x →±∞
ofwel:
f(x) heeft een scheve asymptoot ⇔ f’(x) heeft een horizontale asymptoot
Het enige probleem is nu nog de waarde van ‘b’. Dat kun je beredeneren:
- voor hele grote x wordt f(x) ongeveer gelijk aan ax + b
- als dat zo is, dan wordt f(x) - ax gelijk aan b
Bekijk dus wat er gebeurt met f(x) - ax voor hele grote x
Er geldt:
b = lim f ( x) − ax
x →±∞
Bedenk dat je op dit moment de waarde van a al kent!
Voorbeeld:
f ( x) = x + e x
en dus f '( x) = 1 + e x
lim f '( x) = lim(1 + e x ) = b.n.
x →∞
x →∞
lim f '( x) = lim (1 + e x ) = 1
x →−∞
x →−∞
De scheve asymptoot zal dus aan de
linkerkant zitten en van de vorm
y = x + b zijn.
en b = lim f ( x ) − x = lim x + e x − x = lim e x = 0
x →−∞
x →−∞
x →−∞
De scheve asymptoot is dus y = x (zie afbeelding)
Bij het nauwkeurig bekijken van het functievoorschrift had
je dit al aan kunnen zien komen!
Opgave 33
Bepaal steeds de scheve asymptoot:
5x 2 + 3x + 2
f ( x) =
a
x
2
x + 2x − 4
f ( x) =
b
x −1
1
c
f ( x) = x ⋅ e x
31