Uittreksel boek Calculus 5e editie hoofdstuk 1 t/m 4

Uittreksel Meetkunde B
Inhoudsopgave
Voorwoord ................................................................................................................................... 1
1. Lijnen en cirkels ................................................................................................................... 2
1.1 Lijnen (boek § 9.1) .......................................................................................................... 2
1.2 Cirkels (boek § 9.2) ........................................................................................................ 4
2. Kegelsneden ........................................................................................................................ 6
2.1 Parabolen, ellipsen, hyperbolen, kegelsneden (boek § 9.3 t/m § 9.6) ............................. 6
2.2 Raaklijnen en poollijnen .................................................................................................. 7
3. Transformaties en matrices .................................................................................................. 8
3.1 Meetkundige transformaties ........................................................................................... 8
3.2 Matrices........................................................................................................................ 10
4. Congruentieafbeeldingen samenstellen ............................................................................. 11
4.1 Classificatie van congruentieafbeeldingen .................................................................... 14
5. Gelijkvormigheidsafbeeldingen ........................................................................................... 15
Bijlage 1: Samenvatting samengestelde congruentieafbeeldingen ............................................ 18
Bijlage 2: Gebruik van de TI-89 bij Meetkunde B ....................................................................... 19
Voorwoord
Dit is een uittreksel van de module Meetkunde B. Het bevat alle begrippen en formules in de
volgorde zoals die in het boek en de studiewijzer aan bod komen.
Succes met deze module!
Bert Kraai
Uittreksel Meetkunde B
1. Lijnen en cirkels
1.1 Lijnen (boek § 9.1)
§ 9 Instap
Descartes was er van overtuigd dat ieder wiskundig probleem teruggebracht kan worden tot een
algebraïsch probleem. Meetkundige objecten als lijnen en cirkels kunnen beschreven worden
met vergelijkingen: de analytische meetkunde. Hierbij wordt gebruik gemaakt van twee
loodrechte assen met daarop dezelfde schaalverdeling: het cartesisch assenstelsel.
Descartes maakt veelvuldig gebruik van de stelling van Pythagoras
§ 9.1 Lijnen
Bepalen van de vergelijking van een rechte lijn
Als de coördinaten van 2 punten P en Q bekend zijn, is de richtingscoëfficiënt m te berekenen
met de vergelijking voor een rechte lijn:
Punt P ( x, y )
y  mx  n
Punt Q ( x1 , y1 )
y1  mx1  n _
Aftrekken levert de formule y  y1  m( x  x1 ) .
De constante n is te berekenen door invullen van m in de vergelijking van punt P of Q.
De rechtlijnige baan van een punt P kan beschreven worden door een parametervoorstelling:
 x  x0  pt

 y  y0  qt
 p
q 
Hierbij zijn ( x0 , y0 ) de coördinaten op t  0 en is   een richtingsvector, een vector die de
richting van de lijn aangeeft. Deze vind je als verschilvector van twee punten van de lijn.
De variabele t heet de parameter.
Omrekenen van parametervoorstellingen:
 x  5  3t
2 x  10  6t
= 
. Optellen van beide vergelijkingen levert 2 x  3 y  14 .

 y  8  2t 3 y  24  6t
Vergelijkingen
De algemene formule voor een rechte lijn is Ax  By  C  0 .
Dit noemen we een lineaire vergelijking in x en y .
Nadeel van deze vergelijking is, dat er bij 1 rechte lijn oneindig veel waarden voor A, B en C te
vinden zijn, waarbij de verhouding A:B:C gelijk blijft.
Vandaar het veel gebuikte type vergelijking y  mx  n . Beperking hiervan is dat verticale lijnen niet
beschreven kunnen worden, zij hebben immers een oneindig grote (negatieve) richtingscoëfficiënt.
Verticale lijnen worden geschreven in de vorm x  a .
Lijn door twee punten
Gaat een lijn door de punten ( x1 , y1 ) en ( x2 , y2 ) , dan voldoen de punten ( x, y ) van de lijn aan
de vergelijking y  y1 
Versie 2
y2  y1
( x  x1 ) mits x1  x2 .
x2  x1
Blz. 2 van 19
Uittreksel Meetkunde B
Hoek tussen twee lijnen
De hoek tussen 2 lijnen p en q wordt bepaald door de richtingscoëfficiënten m en n .
De hoek tussen beide lijnen is      .
tan   tan 
mn
(gonioformule voorin boek Calculus).

1  tan  tan  1  mn
mn
De scherpe hoek is tan  
.
1  mn
Dus geldt tan   tan(   ) 
Afstand tussen twee punten
De afstand tussen 2 punten P(a, b) en Q( s, t ) is te berekenen via de stelling van Pythagoras:
| PQ | (a  s) 2  (b  t ) 2 .
Middelloodlijn
Bij de middelloodlijn op lijnstuk AB geldt dat de afstand tot A gelijk is aan de afstand tot B .
Voor alle punten P ( x, y ) op de middelloodlijn op A(a, b) en B( s, t ) geldt dus dat:
| PA | ( x  a) 2  ( y  b) 2 = | PB | ( x  s) 2  ( y  t ) 2  ( x  a)2  ( y  b)2  ( x  s)2  ( y  t )2 .
Afstand van een punt tot een lijn
De afstand d ( P, l ) van punt P( x1 , y1 ) tot de lijn l met vergelijking Ax  By  C is te berekenen
met de formule
| Ax1  By1  C |
A2  B 2
. De herleiding van deze formule hoeven we niet te kunnen
reproduceren.
Deellijnen
Voor deellijnen van de hoeken die 2 snijdende lijnen l met vergelijking Ax  By  C en m met
vergelijking Dx  Ey  F geldt de volgende formule:
| Ax  By  C |
A B
2
2
=
| Dx  Ey  F |
D E
2
2

Ax  By  C
A B
2
2
= 
Dx  Ey  F
D2  E 2
.
Lijnenbundels
Een lijnenbundel is de verzameling van alle rechte lijnen die door één gemeenschappelijk punt
gaan. Dit punt heet de top of het centrum.
Als de top S ( x0 , y0 ) bekend is, dan is de algemene vergelijking voor de lijnenbundel
Ax  By  Ax0  By0 .
Als de vergelijking van twee lijnen l : Ax  By  C  0 en m : Dx  Ey  F  0 bekend is,
is de algemene vergelijking van de lijnenbundel  ( Ax  By  C )   ( Dx  Ey  F )  0
waarin  en  alle waarden aan kunnen nemen, mits ze maar niet beide nul zijn.
Bepalend voor het hellingsgetal van elke lijn is de verhouding tussen  en  .
De lijnen l en m worden basisexemplaren van de lijnenbundel genoemd.
Voor het snijpunt S ( x0 , y0 ) geldt dat het zowel op l als m ligt.
Dus geldt: Ax0  By0  C  0 en Dx0  Ey0  F  0 . Snijpunt S is daarmee niet afhankelijk van
de waarden van  en  en ligt dus op alle lijnen van de lijnenbundel.
Omdat  en  beide reële getallen zijn (niet beide nul) levert de algemene vergelijking van de
lijnenbundel opnieuw een eerstegraads vergelijking op in x en y en is daarmee en rechte lijn.
Versie 2
Blz. 3 van 19
Uittreksel Meetkunde B
1.2 Cirkels (boek § 9.2)
Vergelijkingen
De middelpuntsvergelijking van een cirkel met middelpunt M ( a, b) en straal r is
( x  a)2  ( y  b)2  r 2 .
Een cirkel plotten: ( x  a) 2  ( y  b) 2  r 2  ( y  b) 2  r 2  ( x  a) 2  y   r 2  ( x  a) 2  b
Alternatieve schrijfwijze: x 2  y 2  Ax  By  C  0  ( x 
1 2
1
1
1
A)  ( y  B ) 2  A2  B 2  C .
2
2
4
4
De beweging van een punt P langs deze cirkel kan beschreven worden door de
 x  a  r cos t
.
 y  b  r sin t
In dat geval bevindt P zich op t  0 in het punt (a  r , b) en draait tegen de klok in.
parametervoorstelling 
Voor twee lijnen l1 en l2 met richtingscoëfficiënten r1 en r2 geldt: l1  l2  r1  r2  1 .
Bewijs: zie opgave 12 op blz. 227.
Raaklijnen
Er zijn 2 manieren om na te gaan of een gegeven lijn l met de vergelijking Ax  By  C
een gegeven cirkel met middelpunt M (m1 , m2 ) en straal r raakt:
1. Bereken de snijpunten van de lijn met de cirkel. Als de lijn de cirkel raakt, is er slechts 1
snijpunt
2. Bereken de afstand van het middelpunt tot de lijn. Als de lijn de cirkel raakt, is deze afstand
gelijk is aan de straal van de cirkel. In formulevorm: d ( M , l ) 
| Am1  Bm2  C |
A2  B 2
r
Als we de richtingscoëfficiënt van de raaklijnen kennen en de middelpuntsvergelijking van de
cirkel, kunnen we met behulp van de laatste formule de vergelijking van de raaklijnen opstellen.
Voor de raaklijnen geldt immers y  mx  n , waarbij m de richtingscoëfficiënt is.
Zie oefenopgave 26.
Raaklijnen vanuit een punt aan de cirkel
Voor de raaklijn vanuit een punt P( x0 , y0 ) aan een cirkel met middelpunt M ( a, b) geldt dat
d ( M , raaklijn)  r .
De vergelijking van de raaklijn in P voldoet bijna altijd aan de vergelijking
y  y0  m( x  x0 )  mx  y  mx0  y0  Ax  By  C  0 .
Dus geldt d ( M , raaklijn)  r 
| Am1  Bm2  C |
A2  B 2

| ma  1b  (mx0  y0 ) |
m 2  (1) 2

| b  y0  m(a  x0 ) |
m2  1
Na kwadrateren vinden we de waarden van m . Zie oefenopgave 27.
Versie 2
Blz. 4 van 19
.
Uittreksel Meetkunde B
Raaklijn in een gegeven punt op de cirkel
Voor een raaklijn in een punt P( x0 , y0 ) op een cirkel met middelpunt M ( a, b) geldt dat deze
raaklijn loodrecht op de voerstraal staat.
Er zijn 3 manieren om de vergelijking van deze raaklijn op te stellen:
1. Bereken het hellingsgetal van de voerstraal door M en P. Het product van dit hellingsgetal
met het hellingsgetal van de raaklijn is -1. Zie oefenopgave 28 en 29.
2. Als de vergelijking van de cirkel gegeven is met ( x  a)2  ( y  b)2  r 2 met de vergelijking
( x0  a)( x  a )  ( y0  b)( y  b)  r 2 .
3. Als de vergelijking van de cirkel gegeven is met x 2  y 2  Ax  By  C  0 met de vergelijking
x0 x  y0 y 
1
1
1
1
Ax0  Ax  By0  By  C  0
2
2
2
2
Methode 2 en 3 staan bekend als "eerlijk delen", "half invullen" of "halve substitutie".
Bewijs: zie oefenopgave 30.
Pool en poollijn
De lijn met de vergelijking ( x0  a)( x  a )  ( y0  b)( y  b)  r 2 heet de poollijn van punt
P( x0 , y0 ) ten opzichte van de cirkel ( x  a)2  ( y  b)2  r 2 .
Punt P heet de pool ten opzichte van de cirkel.
Ligt P buiten de cirkel, dan is de poollijn de lijn door de raakpunten van de raaklijnen uit P .
Ligt P op de cirkel, dan is de poollijn tevens de raaklijn.
Ligt Q binnen de cirkel, dan ligt de poollijn volledig buiten de cirkel. De poollijn is te construeren
door een willekeurige koorde door Q te tekenen. De raaklijnen in de snijpunten van de koorde
met de cirkel snijden elkaar in een punt P van de poollijn. Herhaal dit proces met een tweede
willekeurige koorde. De lijn door beide snijpunten is de poollijn.
Hieruit volgt dat Q op de poollijn ligt van P en omgekeerd. Zie blz. 16, oefenopgave 32.
Cirkelbundels
Een cirkelbundel wordt als volgt geconstrueerd uit de basisexemplaren
x 2  y 2  Ax  By  C  0 en x 2  y 2  Dx  Ey  F  0 :
 ( x2  y 2  Ax  By  C )   ( x 2  y 2  Dx  Ey  F )  0 , waarin  en  alle waarden aan
kunnen nemen, mits ze maar niet beide nul zijn.
A. Als beide basisexemplaren elkaar snijden, gaat elk exemplaar van de cirkelbundel door deze
snijpunten.
B. Als beide basisexemplaren elkaar niet snijden, geldt dat voor alle exemplaren van de
cirkelbundel.
C. Als beide basisexemplaren hetzelfde middelpunt hebben, heeft elke cirkel uit de cirkelbundel
dat middelpunt.
De middelpunten van een cirkelbundel van een cirkel en een lijn liggen in elkaars verlengde.
Zie oefenopgave 38.
Versie 2
Blz. 5 van 19
Uittreksel Meetkunde B
2. Kegelsneden
2.1 Parabolen, ellipsen, hyperbolen, kegelsneden (boek § 9.3 t/m § 9.6)
§ 9.3 Parabolen
Door de top van een parabool te projecteren op O(0,0) , het brandpunt op F(0,c) en de richtlijn l
op y  c ontstaat de meest eenvoudige vorm voor de vergelijking van een parabool: y 
x2
.
4c
Een parabool is ook te construeren door een rechthoek ABCD te tekenen, twee haakse zijden in
evenveel gelijke stukken te verdelen en vervolgens lijnen te trekken. Zie blz. 229 van het boek.
§ 9.4 Ellipsen
Door het snijpunt van de assen te projecteren op O(0,0) , krijgt de ellips de vergelijking in de
x2 y 2

 1 . Het bewijs wordt geleverd in opgave 24 met x  a cos t en y  b sin t en
a 2 b2
het gegeven dat bij de eenheidscirkel cos 2 t  sin 2 t  1 . Met andere woorden:
 x  a cos t
x2 y 2
de parametervoorstelling 
geeft als kromme de ellips met vergelijking 2  2  1 .
a
b
 y  b sin t
Als a  b dan liggen de brandpunten op de x -as. De brandpunten zijn dan F1 (c, 0) en F2 (c, 0) .
vorm van
Hierin is a de halve horizontale as en b de halve verticale as. Er geldt dat a 2  b 2  c 2 .
Een ellips is ook te construeren uit 2 concentrische cirkels met straal a en b . Zie de figuur op
blz. 231 van het boek.
§ 9.5 Hyperbolen
Bij een ellips is de som van de afstanden tot F1 en F2 constant.
Bij een hyperbool is het absolute verschil van de afstand tussen F1 en F2 constant.
Met 2 stelsels van concentrische cirkels om brandpunten F1 en F2 kun je dus zowel een ellips
als een hyperbool maken.
Met brandpunten F1 (c, 0) en F2 (c, 0) ontstaat de vergelijking
De toppen zijn T1 (a, 0) en T2 (a, 0) .
De asymptoten hebben de vergelijkingen y 
x2 y 2

 1.
a 2 b2
b
b
x en y   x . Er geldt dat a 2  b 2  c 2
a
a
§ 9.6 Welke kegelsnede?
Met Cabri kun je meetkundige plaatsen tekenen en een indruk krijgen van de vorm van de
kegelsnede. Kies een assenstelsel zodat de oorsprong samenvalt met het middelpunt of de top.
Nu kun je de vergelijking van de kegelsnede afleiden via een parametervoorstelling.
Samenvatting hoofdstuk 9
2 

 1 
De richting van een lijnstuk wordt gegeven door een vector, bijvoorbeeld 
De baan van een punt over dit lijnstuk kan beschreven worden met een parametervoorstelling,
 x  2  2t
.
 y  1 t
bijvoorbeeld 
Versie 2
Blz. 6 van 19
Uittreksel Meetkunde B
2.2 Raaklijnen en poollijnen
Het hellingsgetal van een raaklijn aan een kegelsnede vinden we met impliciet differentiëren.
Zo geldt bijvoorbeeld voor een ellips dat y '  
b2 x
.
a2 y
Vullen we het punt P( x0 , y0 ) in in de vergelijking van een lijn, dan ontstaat
xx0 yy0
 2  1.
a2
b
Dit is precies de vergelijking die ontstaat door in de vergelijking van de ellips halve substitutie
(eerlijk delen) toe te passen.
Ook voor een parabool vinden we de vergelijking van de raaklijn door middel van halve
substitutie.
Algemene vergelijking kegelsnede
Vergelijking raaklijn in P( x0 , y0 ) aan de kegelsnede
door middel van halve substitutie
x2
parabool
y
 x 2  4cy
4c
2
x
y2
ellips

1
a 2 b2
x2 y 2
hyperbool

1
a 2 b2
xx0  2cy  2cy0
xx0 yy0
 2 1
a2
b
xx0 yy0
 2 1
a2
b
Poollijn
Onder de poollijn van een punt P ten opzichte van een kegelsnede verstaan we
de lijn die verkregen wordt door halve substitutie.
1. Ligt P op de kegelsnede, dan is de poollijn de raaklijn in P aan de kegelsnede.
2. Ligt P "buiten" de kegelsnede, dan snijdt de poollijn de kegelsnede in de raakpunten van de
raaklijnen vanuit P.
3. Ligt P "binnen" de kegelsnede, dan zijn er geen raaklijnen vanuit P aan de kegelsnede
mogelijk.
Onder het "binnengebied" wordt het gebied verstaan waarin een brandpunt ligt.
Versie 2
Blz. 7 van 19
Uittreksel Meetkunde B
3. Transformaties en matrices
3.1 Meetkundige transformaties
We onderscheiden 3 soorten transformaties:

2 
 betekent bijvoorbeeld een horizontale
 3 
Translaties (verschuivingen). Translatie 
verschuiving van 2 naar rechts en een verticale verschuiving van 3 naar beneden;
 Spiegelingen;
 Rotaties.
Bij origineel P ( x, y ) hoort beeldfiguur P' ( x' , y ' ) .
Algemene aanpak
De algemene aanpak bij transformaties is:
1. Ga uit van een vergelijking in x en y .
2. Bepaal de uitdrukkingen van x ' in x en van y ' in y .
3. Herschrijf deze uitdrukkingen zodat x in x ' en y in y ' wordt uitgedrukt.
4. Vervang in de vergelijking x door de uitdrukking in x ' en y door de uitdrukking y ' .
5. Weglaten van de accenttekens leidt tot de vergelijking van het beeldfiguur.
Lijnspiegeling
Bij lijnspiegeling maken we gebruik van de volgende 2 eigenschappen om de coördinaten van
het origineel ( x, y ) uit te drukken in de coördinaten ( x ' , y ' ) van het beeldpunt:
a) Het midden van origineel en beeldpunt ligt op de spiegellijn.
 x  x' y  y ' 
,
 ligt op de spiegellijn.
2 
 2
Dus coördinaat 
Vul deze coördinaten in in de vergelijking van de spiegellijn.
b) De lijn door origineel en beeld staat loodrecht op de spiegellijn.
Hieruit is de richtingscoëfficiënt
y'  y
te bepalen.
x'  x
Het product van dit hellingsgetal met het hellingsgetal van de spiegellijn is -1.
Bereken nu het hellingsgetal van de lijn door origineel en beeld en stel die gelijk aan
y'  y
.
x'  x
Uitwerken van a) en b) levert 2 vergelijkingen waarbij x en y zijn uitgedrukt in x ' en y ' .
Door substitutie is hieruit een vergelijking op te stellen voor x in x ' en y ' , en een vergelijking
voor y in x ' en y ' (stap 3). Vervolgens kunnen we dan stap 4 en 5 uitvoeren.
Versie 2
Blz. 8 van 19
Uittreksel Meetkunde B
Rotaties
Bij rotaties over een hoek  om de oorsprong O(0, 0) geldt
x'  x cos   y sin 
y '  x sin   y cos  .
Bewijs:
x'  r cos(   )  r (cos cos   sin  sin  )  r cos cos   r sin  sin   x cos   y sin 
y '  r sin(   )  r (sin  cos   cos sin  )  r sin  cos   r cos sin   y cos   x sin 
Bij rotatie om een ander punt dan de oorsprong nemen we als rotatiecentrum C (a, b) . Nu geldt:
x'  ( x  a) cos   ( y  b)sin   a
y '  ( x  a)sin   ( y  b) cos   b
Dit komt overeen met de volgende stappen:
1. Verschuiven van centrum C (a, b) naar O(0, 0) : x '  x  a en y '  y  b .
2. Roteren om de oorsprong: x''  x' cos   y ' sin  en y ''  x' sin   y ' cos 
3. Terugschuiven van O(0, 0) naar centrum C (a, b) : x '''  x ''  a en y '''  y ''  b .
Puntspiegeling
Bij puntspiegeling van punt P ( x, y ) in het punt C (a, b) is het beeld P' ( x' , y ' )  (2a  x, 2b  y) .
Een puntspiegeling is hetzelfde als een rotatie om C over 180o .
Welke kegelsnede
Door tweedegraads vergelijkingen te herschrijven wordt duidelijk met welke kegelsnede we te
maken hebben. Een belangrijke techniek daarbij is het kwadraat afsplitsen.
Deze techniek is gebaseerd op: x 2  2bx  ( x  b)2  b2 .
Als de vergelijking van de kegelsnede een term met xy bevat, hebben we meestal te maken
met een geroteerde kegelsnede.
De rotatiehoek  is dan de hoek waarbij deze term verdwijnt uit de vergelijking.
Zie voorbeeld 8 op blz. 39.
Belangrijke gonioformules daarbij zijn:
sin 
mits cos   0
cos 
sin 2   cos 2   1
sin 2  2sin  cos 
tan  
cos 2  cos 2   sin 2   2 cos 2   1
1
1
cos 2 
2
2
1 1
 sin 2    cos 2
2 2
 cos 2  
Versie 2
Blz. 9 van 19
Uittreksel Meetkunde B
3.2 Matrices
Tot nu toe was steeds de transformatie meetkundig gegeven: transleren, spiegelen in een lijn of
punt of roteren om een punt. Daarna hebben we de vergelijking van de getransformeerde figuur
berekend.
Het kan echter ook andersom. Starten met een transformatieformule en kijken welke
meetkundige transformatie of afbeelding hier bij hoort.
 x '  ax  cy
'
 y  bx  dy
De eenvoudigste transformatieformules zijn van het type 
 x'   a c   x 
  
   .
'
y
b
d
  
 y 
Transformatieformules noteren we als 

Hierin noteren we de getallen a, b, c en d in een matrix, bestaande uit rijen en kolommen.
1 0 
 resulteert in een identieke afbeelding, aangeduid met hoofdletter I.
 0 1
 2 0

 resulteert in een vermenigvuldiging vanuit de oorsprong met factor 2.
0 2
3 0

 resulteert in een lijnvermenigvuldiging met factor 3 vanuit de y -as.
0 1
 12 12 

 resulteert in loodrechte projectie op de lijn y  x .
1 1
2 2
 12  12 

 resulteert in loodrechte projectie op de lijn y   x .
 1 1 
 2 2
Matrix 

Matrix
Matrix
Matrix
Matrix
Enkele eigenschappen van transformaties die gegeven zijn door een matrix:
1. Het beeld door (0,0) is altijd (0,0)
2. Het beeld van (1,0) is de eerste kolom van de matrix.
3. Het beeld van (0,1) is de tweede kolom van de matrix.
Matrices vermenigvuldigen
Het is gebruikelijk om hoofdletters te gebruiken voor matrices en de bijbehorende transformatie
of afbeelding.
Bij de samenstelling BA = B o A (B na A) is de uitvoer van A de invoer van B.
a c 
 en B door
b
d


c   pa  rb pc  rd 
 =
.
d   qa  sb qc  sd 
Als A gegeven is door 

 p r


q s 
a

b
 p r

 dan geldt voor de samenstelling B o A:
q
s


De productmatrix bestaat steeds uit de som van alle elementen uit de rij van de eerste matrix *
de overeenkomstige elementen uit de kolom van de tweede matrix.
Dekpunten zijn punten die na transformatie zichzelf als beeld hebben.
Bij een rotatie is het centrum waarom geroteerd wordt een dekpunt.
Versie 2
Blz. 10 van 19
Uittreksel Meetkunde B
4. Congruentieafbeeldingen samenstellen
In dit hoofdstuk worden samenstellingen van afbeeldingen onderzocht. Stapsgewijs wordt
toegewerkt naar het invullen van het volgende schema:
translatie
rotatie
translatie
translatie
rotatie of
translatie
rotatie
lijnspiegeling
schuifspiegeling
rotatie of
translatie of
puntspiegeling
schuifspiegeling
puntspiegeling
puntspiegeling
schuifspiegeling
lijnspiegeling
puntspiegeling
rotatie of
translatie of
puntspiegeling
schuifspiegeling
translatie
(De vakken rechtsboven zijn leeg gelaten. Door de symmetrie in de tabel kunnen die afgeleid worden.)
Notaties
De studiewijzer hanteert de volgende notatiewijzen:
 Met Sl wordt de lijnspiegeling in lijn l bedoeld.
 v1 
 aangegeven.
 v2 

Met Tv wordt de translatie v  

TAB is de translatie van punt A naar punt B.

R( x , y ), is de rotatie over hoek  om het punt ( x, y )

Met S C wordt de puntspiegeling in punt C bedoeld.
Twee translaties samenstellen = translatie
 v1   w1   v1  w1 
   
  v  w.
 v2   w2   v2  w2 
Dit schrijven we als Tv Tw  Tv  w . Hierbij geldt dat v  w  
Twee lijnspiegelingen samenstellen = translatie, rotatie of puntspiegeling
Er zijn drie gevallen te onderscheiden:
1. l  m . Hierdoor ontstaat de identieke afbeelding I.
2. l // m . Hierdoor ontstaat een translatie met 2x de afstand tussen l en m . Sl S m  T2 v
3. l snijdt m . Hierdoor ontstaat een rotatie om het snijpunt C van l en m over de dubbele
hoek die l en m met elkaar maken. Sl Sm  RC ,2 met   (l , m) .
c) Let op de rotatierichting!
Die is van lijn m (waar het eerst in gespiegeld wordt) over hoek  naar lijn l .
d) Als l  m  Sl S m  S C , een puntspiegeling in het snijpunt C.
e) Elke rotatie is de samenstelling van 2 lijnspiegelingen. De beide lijnen maken met elkaar
de halve hoek waarover geroteerd wordt. Let op de rotatierichting!
f) Een translatie is de samenstelling van 2 lijnspiegelingen . De beide lijnen zijn onderling
evenwijdig, staan loodrecht op de translatierichting, de onderlinge afstand is de helft van
de te transleren afstand en de volgorde waarin we de lijnspiegelingen uitvoeren is
bepalend voor de translatierichting.
Versie 2
Blz. 11 van 19
Uittreksel Meetkunde B
Twee rotaties samenstellen = translatie, rotatie of puntspiegeling
Voor twee rotaties om het hetzelfde centrum geldt: RC , RC ,   RC ,  
Twee rotaties om verschillende centra geldt: RC , RD ,  . Iedere afzonderlijke rotatie kan
geschreven worden als twee lijnspiegelingen:
1
RC ,  Sl1 Sl2 waarbij (l1 , l2 )   en l1 en l2 snijden elkaar in C en
2
1
RD ,   S m1 S m2 waarbij (m1 , m2 )   en m1 en m2 snijden elkaar in D .
2
Door l2 en m1 samen te laten vallen geldt dat RC , RD ,  = Sl1 S m2 .
Als l1 en m2 evenwijdig aan elkaar zijn, hebben we te maken met een translatie.
Als l1 en m2 elkaar snijden, hebben we te maken met een rotatie RE ,   met E als snijpunt.
Als l1 en m2 elkaar loodrecht snijden, hebben we te maken met een puntspiegeling.
Twee puntspiegelingen samenstellen = translatie
Omdat een puntspiegeling hetzelfde is als een rotatie over 180o kunnen we al concluderen dat
S D S C een translatie is. Uit de meetkundige figuur die ontstaat (2 gelijkvormige driehoeken)
blijkt dat S D S C  T2CD (Let op de volgorde van C en D!).
Een rotatie en een translatie samenstellen = rotatie of translatie
We gaan uit van rotatie RC , en translatie Tv .
1
Tv RC ,  Sm1 Sm2 Sl1 Sl2 met (l1 , l2 )   en m1 // m2  v .
2
Door l2 en m1 samen te laten vallen geldt dat
Tv RC ,  S m1 Sl2  RD , , een rotatie om D, waarbij D het snijpunt is van m1 en l2 .
Als m1 en l2 evenwijdig zijn, resulteert dit in een translatie.
Een translatie en een puntspiegeling samenstellen = puntspiegeling
Omdat een translatie te zien is als de samenstelling van twee puntspiegelingen, is de
samenstelling van een translatie en een puntspiegeling te zien als een samenstelling van drie
puntspiegelingen. Als we punt C en D samen laten vallen ontstaat:
Tv S C  S E S D S C  S E I  S E
Versie 2
Blz. 12 van 19
Uittreksel Meetkunde B
Een schuifspiegeling Sv ,l  Sl Tv  Tv Sl , waarbij v een verschuiving is en lijn l een lijn
evenwijdig aan v . Een schuifspiegeling is commutatief = verwisselbaar in volgorde.
0
0
Een schuifspiegeling is een lijnspiegeling als v    .
Een translatie en een lijnspiegeling samenstellen = schuifspiegeling
Sl Tv  Sl Ts Tr met r // l en s  l . Zie tekening blz. 56.
Tekenen van l1 , het beeld van l na verschuiving 
1
s levert Sl Ts  Sl1 .
2
Dus is Sl Tv  Sl Ts Tr  Sl1 Tr
Uit oefenopgave 9 blijkt dat Tv Sl  Tr Ts Sl  Tr Sl1 met l1 = l na verschuiving 
1
s!
2
Een rotatie en een lijnspiegeling samenstellen = schuifspiegeling
1
RC , Sl  S n S m Sl waarbij (n, m)   . Door m // l te kiezen geldt dat Sm Sl  Tv voor
2
een zekere v . Hierdoor ontstaat RC , Sl  Sn Tv , zie hierboven.
Een puntspiegeling en een lijnspiegeling samenstellen = schuifspiegeling
Omdat een puntspiegeling in C hetzelfde is als een rotatie over 180o om C, is ook deze
samenstelling een schuifspiegeling.
Voor een samenvatting samenstellingen van congruentieafbeeldingen: zie bijlage 1.
Versie 2
Blz. 13 van 19
Uittreksel Meetkunde B
4.1 Classificatie van congruentieafbeeldingen
Lijnspiegelingen, rotaties, translaties, schuifspiegelingen en de identieke afbeelding zijn allemaal
congruentieafbeeldingen.
Een congruentieafbeelding F in het platte vlak laat de afstand tussen elk tweetal punten
invariant. Dat wil zeggen dat de afstand tussen twee willekeurige punten P en Q steeds gelijk is
aan de afstand tussen de beeldpunten F(P) en F(Q).
We kunnen congruentieafbeeldingen indelen (classificeren) door te letten op het aantal
dekpunten van F.
1. F heeft minstens twee dekpunten
Hierbij kunnen we twee gevallen onderscheiden:
a. de dekpunten liggen niet allemaal op één lijn.
F heeft nu minstens drie dekpunten. In de studiewijzer wordt bewezen dat dit zich alleen
voordoet bij een identieke afbeelding.
b. de dekpunten liggen allemaal op één lijn l .
Dit doet zich voor bij de lijnspiegeling.
2. F heeft één dekpunt
Dit doet zich voor bij een rotatie.
3. F heeft geen dekpunten
Dit doet zich voor bij een translatie en een schuifspiegeling.
Versie 2
Blz. 14 van 19
Uittreksel Meetkunde B
5. Gelijkvormigheidsafbeeldingen
Vermenigvuldigen
 k 0
 kunnen we een vermenigvuldiging uitvoeren.
0
k


k is de factor van de vergroting en O(0, 0) het centrum van de vermenigvuldiging.
vergroting
k 1
identieke afbeelding I
k 1
verkleining.
0  k 1
alles wordt afgebeeld op O(0, 0)
k 0
samenstelling van puntspiegeling na vermenigvuldiging met k .
k 0
Met een matrix van het type 

Een vermenigvuldiging om centrum C met factor k noteren we als VC , k .
'
 x'  a   k 0   x  a 
 x  a  k ( x  a )


 
 
 '

'
 y  b  k ( y  b)
 y b 0 k  y  b
Voor C(a,b) geldt dat 

Dit komt overeen met de volgende stappen:
1. origineel verschuiven van C(a,b) naar de oorsprong
2. vermenigvuldigen met factor k
3. terugschuiven van de oorsprong naar C(a,b).
Vermenigvuldigen van driehoeken levert twee gelijkvormige driehoeken op.
Driehoeken zijn gelijkvormig als:
g) twee paar (en daarmee drie paar) gelijke hoeken (hh);
h) één paar gelijke hoeken en de gelijke verhouding van de aanliggende zijden (zhz);
i) de gelijke verhouding van alle zijden (zzz);
j) één paar rechte hoeken en de gelijke verhouding van één paar aanliggende en één paar
overstaande zijden (zzr).
Gelijkvormigheidsafbeeldingen
Definitie: een afbeelding of transformatie G in het platte vlak heet een
gelijkvormigheidsafbeelding als er een constante k  0 bestaat met de eigenschap dat voor elk
tweetal punten A en B geldt dat AB  k  A' B ' met A'  G( A) en B'  G( B) .
De constante k heet de gelijkvormigheidsfactor.
Als k  1 hebben we te maken met een congruentieafbeelding. Zie hoofdstuk 4.
Eigenschappen van gelijkvormigheidsafbeeldingen
1. Elke gelijkvormigheidsafbeelding voert een lijn over in een lijn,
een lijnstuk AB over in lijnstuk A'B';
2. Gelijkvormigheidsafbeeldingen zijn hoekgetrouw;
3. Als een gelijkvormigheidsafbeelding G drie dekpunten heeft die niet op één lijn liggen,
is G de identieke afbeelding;
Bewijzen: zie blz 68.
Versie 2
Blz. 15 van 19
Uittreksel Meetkunde B
4. Als twee driehoeken ABC en A'B'C' gelijkvormig zijn, dan is er precies één
gelijkvormigheidsafbeelding G met G(A) = A', G(B) = B' en G(C) = C'.
Bewijs
Stel dat er twee gelijkvormigheidsafbeeldingen G en H zouden bestaan. Dan bestaat er
minimaal 1 gelijkvormigheidsafbeelding H* die driehoek A'B'C overvoert in driehoek ABC.
Nu geldt dat H* o G = I en H* o G = I (A, B en C zijn dekpunten van H* o G en H* o G).
Dus geldt dat H o H* o G = H o I  I o G = H o I  G = H. Conclusie: G is de enige
gelijkvormigheidsafbeelding die driehoek ABC overvoert in driehoek A'B'C'.
Definitie gelijkvormigheid
Twee figuren zijn gelijkvormig als ze door een gelijkvormigheidsafbeelding in elkaar over te
voeren zijn.
De inverse afbeelding
Als gegeven is een afbeelding A, dan verstaan we onder de inverse afbeelding een afbeelding
die we noteren met A-1 en waarvoor geldt dat A-1 o A = I en A o A-1= I.
Niet iedere afbeelding heeft een inverse afbeelding.
5. Een afbeelding heeft hoogstens één inverse afbeelding.
Bewijs
Stel dat een afbeelding A zowel A-1 als A* als inverse afbeelding heeft.
Dan geldt dat A* o A = I en A o A-1 =I. Uitgaande van de laatste uitdrukking:
A o A-1 =I
*
A o A o A-1 = A* o I
I o A-1 = A*
A-1 = A*
Conclusie: een afbeelding heeft hoogstens één inverse afbeelding.
Afbeelding
Inverse afbeelding
Sl
Sl
Ta
T a
RC ,
RC , 
b 
 b 
.
.
SC
VC ,k
SC
V 1
C,
A B
B
k
1
A1
Samenstellingen
Twee vermenigvuldigingen samenstellen
Geval 1: Vermenigvuldigen met hetzelfde centrum C: Hierbij geldt dat VC ,k VC , f  VC ,kf
Geval 2: Vermenigvuldigen met verschillende centra C en D.
a.
V 1 VC ,k  T 1  . Bewijs zie blz. 71.
D,
b.
k
1 CD
 k
VD , f VC ,k  VE ,kf mits kf  1 . Punt E hangt af van C, D, k en f. Bewijs zie blz. 72
Een translatie en een vermenigvuldiging samenstellen
Tv VC ,k  VC ,k Tv  VD ,k . Bewijs zie blz. 73.
Versie 2
Blz. 16 van 19
Uittreksel Meetkunde B
Dit resulteert in het volgende overzicht van samenstellingen:
translatie
translatie
translatie
vermenigvuldiging
vermenigvuldiging ( k  1 )
vermenigvuldiging ( k  1 )
vermenigvuldiging
translatie
vermenigvuldiging
Classificatie van gelijkvormigheidsafbeeldingen
Nog enkele eigenschapen van gelijkvormigheidsafbeeldingen:
6. Elke gelijkvormigheidsafbeelding G met factor k laat zich schrijven als de samenstelling van
een vermenigvuldiging met factor k na een congruentieafbeelding. Dus G  VC , k F voor
een willekeurig centrum C en geschikte congruentieafbeelding F.
Bewijs
(VC,k)-1 o G is een gelijkvormigheidsafbeelding met factor 1.
Dus (VC,k)-1 o G = F is een congruentieafbeelding.
Hieruit volgt dat G  VC , k F .
7. Elke gelijkvormigheidsafbeelding G is:
 een congruentieafbeelding
 een vermenigvuldiging na een lijnspiegeling of
 een vermenigvuldiging na een rotatie.
Bewijs
Stel G is een gelijkvormigheidsafbeelding met factor k.
Als k = 1, is G een congruentieafbeelding.
Als k  1 , is G  VC , k F waarbij F of een lijnspiegeling, of een translatie, of een rotatie of
een schuifspiegeling is.
Als F een translatie is, is G een vermenigvuldiging
Als F een schuifspiegeling is, is G  VC ,k Tv Sl  VD ,k Sl en is G een vermenigvuldiging na
een lijnspiegeling.
Dus elke gelijkvormigheidsafbeelding is
als k = 1
een congruentieafbeelding, dus:
 een lijnspiegeling of
 een translatie of
 een rotatie of
 een schuifspiegeling.
Bij de translaties en rotaties hoort ook de identieke afbeelding I.
als k  1
 een vermenigvuldiging na een lijnspiegeling of
 een vermenigvuldiging na een rotatie
Twee speciale gevallen
8. Elke vermenigvuldiging na een lijnspiegeling is een spiegelvermenigvuldiging.
Deze afbeelding is commutatief, dus VC ,k Sl  Sl VC ,k . Dekpunt: C.
Bewijs: zie blz. 75.
9. Elke vermenigvuldiging na een rotatie is een rotatievermenigvuldiging.
Ook deze afbeelding is commutatief, dus VC ,k RC ,  RC , VC ,k . Dekpunt: C.
Bewijs: zie blz. 75/76.
Versie 2
Blz. 17 van 19
Bijlage 1: Samenvatting samengestelde congruentieafbeeldingen
translatie
Tv Tw  Tv  w
rotatie
translatie
rotatie
Tv RC ,  Sl1 S m2  RD ,
RC , RC ,   RC ,  
als l1 // m2 
Sl1 Sm2  T2 v
RC , RD ,  = Sl1 S m2 =
lijnspiegeling
Sv ,l  Sl Tv  Tv Sl
lijnspiegeling
puntspiegeling
I of T2v of RE ,   of S E
S v ,l
Sl Sm  ...
als l  m  I
als l // m  Sl S m  T2 v
als l snijdt m .
Sl Sm  RC ,2
als l  m  Sl S m  S C
puntspiegeling
Tv S C  S E
S v ,l
S v ,l
S D S C  T2CD
Bijlage 2: Gebruik van de TI-89 bij Meetkunde B
Deze aanwijzingen komen uit Lineaire Algebra, maar zijn ook handig voor deze module.
Oplossen twee (of meer) vergelijkingen met onbekenden
Kies bij MODE, F2 (Page 2) bij Exact/Approx voor "Auto".
Kies de optie "Solve" (via F2, 1).
Voer de vergelijkingen in gescheiden door "and" (opzoeken met Catalog).
Voer een komma in en tussen accolades de namen van de variabelen.
Haakje sluiten, ENTER.
Voorbeeld
Invoer:
Uitvoer:
Solve(2x-3y+4=0 and x+3y-6=0, {x,y})
x=2/3 en y = 16/9.
Rekenen met matrices
Er zijn twee manieren om een matrix in te voeren op de TI-89:
1. Intoetsen op het hoofdscherm
Begin met "blokhaak openen". Voer de elementen van de eerste rij in, gescheiden door
komma's. Ga naar een volgende rij met een puntkomma. Sluit af met "blokhaak sluiten".
Voorbeeld: [1,2,3;2a,3b,x]
2. Via de Data/Matrix Editor
Kies APPS, Data/Matrix Editor. Kies de eerste keer voor New. Kies type 2: Matrix.
Voer bij Variabele een herkenbare naam in , bijvoorbeeld "M1".
Voer de elementen in. Verlaat de Editor met Quit.
Je kunt nu in het hoofdscherm de matrix aanroepen door de naam in te toetsen.
Deze werkwijze is vooral handig als je meerdere bewerkingen met dezelfde matrix uit moet
voeren.
Vermenigvuldigen van matrices: voer de (namen van de ) matrices in met een
vermenigvuldigingsteken ertussen.
Voorbeeld 1
Invoer:
Uitvoer
Voorbeeld 2
Invoer:
Uitvoer
[2, 3; 4, 5] * [6, 7; 8, 9]
 2 3  6 7 
 4 5 8 9 



36 41
64 73


[2, 3; 4, 5] STO M1
[6, 7; 8, 9] STO M2
M1 * M2
M1 * M2
36 41
64 73

