Eigenschappen van vierhoeken

6
Eigenschappen van vierhoeken
Dit kun je al
1
2
3
4
de verschillende benamingen van de vierhoeken
de congruentiekenmerken van driehoeken verwoorden
hoeken bij evenwijdige rechten en een snijlijn herkennen
de eigenschap van de middelloodlijn verwoorden
Test jezelf
Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel.
Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek of je vademecum.
A
1
B
C
Verder
oefenen?
In welke vierhoek is een diagonaal getekend?
ad
2
3
Uit welke drie gegevens kun HZH
je geen congruentie aﬂeiden?
In welke tekening zijn de
verwisselende binnenhoeken
aangeduid?
ZZZ
In welke tekening ligt het
punt A op de middelloodlijn
van het lijnstuk XY?
a
a
a
b
b
b
a // b
A
X
oef. nr. 795
oef. nr. 731
a // b
4
HHH
a // b
A
Y X
oef. nr. 834
A
Y X
Y
Dit heb je nodig
Inhoud
•
•
•
•
•
M35 Eigenschappen van vierhoeken
M36 Classiﬁcatie van vierhoeken
M37 Bewijs: de eigenschap van de som van
leerwerkboek p. 119 - 134
oefenboek nr. 968 - 1035
geodriehoek
kleurpotloden
een groene en rode pen
de hoeken in een vierhoek
p. 120
p. 124
p. 128
M38 Bewijs: de eigenschappen van de zijden, hoeken
en diagonalen in een vierhoek
p. 130
119
M35
Eigenschappen van vierhoeken
Op verkenning
a
De som van de hoeken in een vierhoek
• Teken in elke vierhoek één diagonaal.
–
–
–
–
–
Uit hoeveel driehoeken bestaat je vierhoek?
2
.........................................
180°
De som van de hoeken van de twee driehoeken is gelijk aan .360°
.........
Elke vierhoek bestaat uit .twee
. . . . . . . . . . . . . driehoeken.
De som van de hoeken van een vierhoek is dus gelijk aan . .360°
..............
De som van de hoeken in een driehoek is gelijk aan
...........................
Eigenschap – de som van de hoeken in een vierhoek
De som van de hoeken in een
vierhoek is gelijk aan 360°.
ABCD is een vierhoek.

| A | + | B | + | C | + | D | = 360°
A
57°
B
118°
125°
60°
D
C
| A | + | B | + | C | + | D | = 360°
Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M37.
b
Diagonalen, zijden en hoeken
• Gebruik de tekeningen in de tabel om de eigenschappen van vierhoeken te onderzoeken.
• Zet een kruisje op de juiste plaats in de tabel.
minstens één paar
evenwijdige zijden
X
X
X
X
twee paar
evenwijdige zijden
X
X
X
X
de overstaande zijden zijn even lang
X
X
X
X
de overstaande hoeken zijn even groot
X
X
X
X
X
X
X
de vier zijden zijn
even lang
alle hoeken zijn
rechte hoeken
de diagonalen snijden
elkaar middendoor
de diagonalen zijn
even lang
de diagonalen staan
loodrecht op elkaar
120
Eigenschappen van vierhoeken
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Wiskundetaal – deﬁnitie
DEFINITIE
A
Een trapezium is een vierhoek met minstens één paar
evenwijdige zijden.
B
D
C
[AB] // [DC]
Wiskundetaal – deﬁnitie en eigenschappen
EIGENSCHA
P
Een parallellogram is een vierhoek
met twee paar evenwijdige zijden.
In een parallellogram:
• zijn de overstaande zijden even
lang;
• zijn de overstaande hoeken even
groot;
• delen de diagonalen elkaar
middendoor.
ABCD is een parallellogram.

DEFINITIE
A
[AB] // [DC] en [AD] // [BC]
ABCD is een parallellogram.

| AB | = | CD | en | AD | = | BC |
| A | = | C | en | B | = | D |
B
M
D
C
| AM | = | MC | en | BM | = | MD |
Wiskundetaal – deﬁnitie en eigenschappen
ABCD is een ruit.
Een ruit is een vierhoek met vier
even lange zijden.

DEFINITIE
B
| AB | = | BC | = | CD | = | DA |
EIGENSCHA
P
ABCD is een ruit.
In een ruit:

• zijn de overstaande zijden
AB // DC en AD // BC
evenwijdig;
• zijn de overstaande hoeken even
| A | = | C | en | B | = | D |
groot;
• delen de diagonalen elkaar
| AM | = | MC | en | BM | = | MD |
middendoor;
• staan de diagonalen loodrecht
[AC] ʗ [BD]
op elkaar.
M is het snijpunt van de diagonalen.
A
M
C
D
Wiskundetaal – deﬁnitie en eigenschappen
Een rechthoek is een vierhoek met
vier rechte hoeken.
ABCD is een rechthoek.

DEFINITIE
| A | = | B | = | C | = | D | = 90°
P
EIGENSCHA
In een rechthoek:
• zijn de overstaande zijden
evenwijdig;
• zijn de overstaande zijden even
lang;
• zijn de diagonalen even lang;
• delen de diagonalen elkaar
middendoor.
ABCD is een rechthoek.

AB // CD en AD // BC
A
B
M
| AB | = | CD | en | AD | = | BC |
| AC | = | BD |
D
C
| AM | = | MC | = | BM | = | MD |
M is het snijpunt van de diagonalen.
121
Eigenschappen van vierhoeken (vervolg)
M35
Wiskundetaal – deﬁnitie en eigenschappen
DEFINITIE
ABCD is een vierkant.

Een vierkant is een vierhoek met
vier even lange zijden en vier rechte
hoeken.
| A | = | B | = | C | = | D | = 90°
A
en | AB | = | BC | = | CD | = | DA |
EIGENSCHA
P
B
M
ABCD is een vierkant.

AB // DC en AD // BC
In een vierkant:
• zijn de overstaande zijden
evenwijdig;
• zijn de diagonalen even lang;
• delen de diagonalen elkaar
middendoor;
• staan de diagonalen loodrecht
op elkaar.
D
| AC | = | BD |
C
| AM | = | MC | en | BM | = | MD |
[AC] ʗ [BD]
De bewijzen van de eigenschappen vind je in les M38 en in het oefenboek: oef 1014 - 1027.
Oefeningen
WEER?
968 - 970
WEER?
971
1
2
Van een vierhoek zijn drie hoekgrootten gegeven. Bereken de grootte van de vierde hoek.
|B|
|C|
|D|
20°
100°
120°
120°
130°
90°
90°
50°
82°
100°
102°
76°
Bereken de hoekgrootten. Toon je berekening.
a
MEER?
972
|A|
D
A
?
50°
b
B
120°
51°
40°
| A | = 360° – 120° – 50°– 40°
C
........................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= 360° – 210° = 150°
........................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
WEER?
973
974
MEER?
975
976
3
F
E
Bereken de onbekende hoekgrootten in …
a vierhoek ABCD met AB//CD en AD//BC en |Â|=100°.
Maak eerst een schets.
80°
| B | = .................................................................
..............................
H
?
G
| G | = 180° – 51° = 129°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
In een parallellogram zijn de over.staande
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . even
. . . . . . . . . . . . . . .groot
. . . . . . . . . . . . . . . . . en
. . . . . . . . .de
. . . . . . . .som
. . . ...
van twee aanliggende hoeken (binnenhoeken aan dezelfde kant) is 180°.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
A
100°
100°
| C | = ................................................................
..............................
80°
| D | = ................................................................
..............................
In een parallellogram zijn de
overstaande
hoeken even groot.
....
.......................................................................
..............................
B
80°
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80°
D
122
Eigenschappen van vierhoeken
100°
C
b
vierhoek KLMN met | M | = 60° en | K | = | L | = | N |.
c
(360° – 60°) : 3 = 300° : 3 = 100°
100°
| L | = .................
100°
| N | = ................
|K| =
4
vierhoek XYZQ met | X | = 25° en | Y | = 2| X | en
| Z | = 3| Y |.
25° · 2 = 50°
| Z | = . .50°
. . . . . . . . . . ·. . 3 = 150°
| Q | = .360°
. . . . . . . . . . . . – 150° – 50° – 25° = 135°
|Y| =
................
..............
WEER?
977
Onderzoek de regelmaat bij de som van de hoeken in een veelhoek.
a Teken alle diagonalen die vertrekken vanuit het hoekpunt A.
b Vul de tabel verder aan.
A
B
MEER?
978
E
H
D
C
C
D
D
G
F
E
Aantal
hoekpunten
5
6
8
Aantal
driehoeken
3
4
6
Som van de
hoeken
3 · 180°
4 · 180°
6 · 180°
Weetje
c
A
B
C
E
B
A
F
Vul de tabel aan.
In een regelmatige ve
elhoek zijn alle hoeken even groot en alle
zijden even lang.
aantal hoekpunten
aantal driehoeken waarin de
veelhoek kan worden verdeeld
som van de hoeken
grootte van elke hoek in een
regelmatige veelhoek
3
1
2
3
4
8
13
n–2
1 · 180° = 180°
2 · 180° = 360°
3 · 180° = 540°
4 · 180° = 720°
8 · 180° = 1440°
13 · 180° = 2340°
(n – 2) · 180°
180° : 3 = 60°
360° : 4 = 90°
540° : 5 = 108°
720° : 6 = 120°
1440° : 10 = 144°
2340° : 15 = 156°
4
5
6
10
15
n
(n – 2) · 180°
B
n
5
WEER?
979 - 981
Bereken de ontbrekende hoekgrootten in het trapezium.
Verklaar.
De hoeken tussen de evenwijdige zijden
zijn binnenhoeken
aan dezelfde
.............
.......................................................................
. . . . . . . . .kant
......................
van de
snijlijn en zijn dus supplementair.
.............
.......................................................................
...............................
|.............
|
A =.......................................................................
180° – 70° = 110°
...............................
|.............
|
C =.......................................................................
180° – 100° = 80°
...............................
| = 360° – 100° – 70° – 110°
of | C.......................................................................
.............
. . . . . .=
. . . . .80°
....................
A
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100°
D 70°
B
MEER?
982
C
Wat moet je kunnen?
τ de eigenschappen van de vierhoeken verwoorden
τ de eigenschappen van de vierhoeken gebruiken
123
M36
Classificatie van vierhoeken
Op verkenning
Elke mus is een vogel maar niet elke vogel is een mus!
• Geef de meest nauwkeurige benaming van de vierhoeken.
2
3
4
Vierhoek
Trapezium
...........................................
Parallellogram
...........................................
Rechthoek
...........................................
...........................................
Vlieger
Ruit
.....
..............................................
Vierkant
.....
..............................................
5
..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
1
2
5
3
6
Weetje
1
n
ek waarva
Een vierho liggende
aan
twee paar
lang zijn, is
n
e
v
e
n
e
zijd
een vlieger.
•
Noteer de cijfers van:
–
alle trapeziums: . . .2,
. . . . . .3,
. . . . . . 4,
. . . . . . .6
. . . . .en
. . . . . . . .7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
–
alle rechthoeken: . . . .4
. . . . en
. . . . . . . . .7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
–
alle ruiten: . . 6
. . . . . en
. . . . . . . . .7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
–
alle vliegers: . .5,
. . . . . .6
. . . . .en
. . . . . . . . .7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
–
alle vierhoeken met loodrecht op elkaar staande diagonalen:
–
5,
. . . . . .6
. . . . .en
. . . . . . . .7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
alle vierhoeken met even lange diagonalen: . . .4
. . . . en
. . . . . . . . .7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
4
7
•
Wat is de betekenis van de pijlen tussen de vierhoeken?
•
Waarvoor staat de pijl tussen ﬁguur 3 en ﬁguur 6?
•
Waarom staat er geen pijl tussen ﬁguur 5 en ﬁguur 3?
•
Tussen welke twee ﬁguren is de pijl getekend die staat voor de eigenschap vier rechte hoeken?
•
Zet de cijfers van de vierhoeken in de juiste verzameling.
V = de verzameling van alle vierhoeken.
T = de verzameling van alle trapeziums.
P = de verzameling van alle parallellogrammen.
Ru = de verzameling van alle ruiten.
Re = de verzameling van alle rechthoeken.
Vi = de verzameling van alle vierkanten.
Er
komt telkens een extra kenmerk
.... .......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .bij.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
De
eigenschap even lange .zijden
.... .......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . .komt
. . . . . . . . . . . . . . . . bij
. . . . . . . . .de
. . . . . . ..figuur.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Figuur
5 heeft geen evenwijdige
.... .......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . .zijden,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . figuur
. . . . . . . . . . . . . . .. . . .3
. . . . .wel.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Tussen
figuur 3 en 4 en tussen
.... .......................................................................
. . . . . . . . . .figuur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
. . . . en
. . . . . . . . .7.
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
V
P
Ru
2
T
1
6
7
4
5
Vi
124
Eigenschappen van vierhoeken
3
Re
Volgend schema leidt je naar de meest passende naam van een vierhoek.
Is er een paar
evenwijdige zijden?
NEEN
Twee paar aanliggende
zijden even lang?
NEEN
vierhoek
JA
vlieger
JA
Zijn er twee paar
evenwijdige zijden?
NEEN
trapezium
JA
Zijn alle
zijden even lang?
NEEN
Zijn er vier
rechte hoeken?
NEEN
parallellogram
JA
rechthoek
JA
Zijn er vier
rechte hoeken?
NEEN
ruit
JA
vierkant
125
M36
Classificatie van vierhoeken (vervolg)
Oefeningen
3
WEER?
983
6
MEER?
984
Om de deur van de schatkamer te openen moet
je op de juiste vierhoek drukken. Je hebt echter
maar een stukje van de ﬁguur meegekregen. Vul
de onderstaande tabel in en maak dan je keuze.
1
2
5
4
6
de vierhoek waarop je
moet drukken is …
naam vierhoek
waarom?
vierkant
Geen 4 rechte hoeken
Geen 4 even lange zijden
rechthoek
Geen 4 rechte hoeken
ruit
Geen even lange zijden
vlieger
Diagonalen kunnen niet
loodrecht op elkaar staan.
parallellogram
Onderste zijde kan evenwijdig
zijn met de bovenste zijde.
gelijkbenig
trapezium
Onderste zijde kan even lang
zijn als de bovenste zijde.
rechthoekig
trapezium
Onderste zijde kan
loodrecht staan.
trapezium
De vierhoek heeft een paar
evenwijdige zijden.
zeker geen …
misschien een …
zeker een …
7
WEER?
985
MEER?
986
987
Wanneer heeft een tovenaar zijn toverkracht nodig? Geef steeds een verklaring. De tovenaar heeft toverkracht nodig als hij …
a alle vierkanten omzet naar rechthoeken.
Geen
toverkracht nodig, want elk .vierkant
....
.......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . is
. . . . .al
. . . . .een
. . . . . . . . .rechthoek.
. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b
alle rechthoeken omzet naar vierkanten.
c
alle ruiten omzet naar vierkanten.
d
alle vierkanten omzet naar ruiten.
Wel
toverkracht nodig, want niet elke
....
.......................................................................
. . . . . . . . . .rechthoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . is
. . . . .een
. . . . . . . . .vierkant.
. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wel
toverkracht nodig, want niet elke
....
.......................................................................
. . . . . . . . . .ruit
. . . . . . . . .is
. . . .een
. . . . . . . . .vierkant.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geen
toverkracht nodig, want elk .vierkant
....
.......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . is
. . . . .reeds
. . . . . . . . . . . . .een
. . . . . . . . .ruit.
. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
Eigenschappen van vierhoeken
8
Geef de meest correcte benaming.
a
b
c
d
e
f
9
rechthoek
Een parallellogram met vier even lange zijden is een . . . .ruit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .
Een vierhoek met de eigenschappen van een ruit en van een rechthoek is een .vierkant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .
Een parallellogram met even lange diagonalen is een . .rechthoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .
Een ruit waarin twee opeenvolgende hoeken even groot zijn, is een . . vierkant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .
Een parallellogram waarvan twee opeenvolgende zijden even lang zijn, is een . .ruit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .
Een parallellogram met een rechte hoek is een
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .
Symmetrische vierhoeken.
a Teken alle symmetrieassen in de symmetrische vierhoeken.
WEER?
988
MEER?
989 - 994
WEER?
995 - 1003
MEER?
1004 - 1012
b
C
Vul in met één, twee, drie of vier.
–
Elk vierkant heeft . .vier
. . . . . . . . . . . symmetrieas(sen).
–
Elke rechthoek heeft ten minste twee
. . . . . . . . . . . . . symmetrieas(sen).
–
Elke ruit heeft ten minste .twee
. . . . . . . . . . . . symmetrieas(sen).
–
Elke vlieger heeft ten minste . .één
. . . . . . . . . . . symmetrieas(sen).
Waarom wordt 'ten minste' vermeld in bovenstaande uitdrukkingen?
Sommige rechthoeken en ruiten zijn vierkanten. Deze figuren hebben meer
symmetrieassen.
Sommige. . . . vliegers
....
.......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijn
. . . . . . . . . . . .ruiten
. . . . . . . . . . . .. . . . . .of
. . . . . . .vierkanten.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Wat moet je kunnen?
τ vierhoeken classiﬁceren op basis van eigenschappen van hoeken en zijden
τ vierhoeken classiﬁceren op basis van de eigenschappen van hun diagonalen
τ vierhoeken classiﬁceren op basis van het aantal symmetrieassen
127
M37
Bewijs: de eigenschap van de som van de hoeken
in een vierhoek
Op verkenning
eigenschap De som van de hoeken in een vierhoek is gelijk aan 360°
STAP 1 Verkennen
•
Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen erin voor?
Een vierhoek. De som van de hoeken van een vierhoek is 360°.
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•
Noteer de eigenschap in symbolen.
ABCD is een vierhoek ͹ | Â | + | B | + | C | + | D | = 360°
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
A
2
B
1
D
vraag
| Â | + | B | + | C | + | D | = 360°
| Â | + | B | + | C | = 180°
• Teken diagonaal AC. Hoeveel
driehoeken ontstaan er?
De diagonaal verdeelt A in A1 en A2
en C in C1 en C2.
Twee driehoeken
| Â1 | + | B | + | C1 | = 180°
| Â2 | + | C2 | + | D | = 180°
Hoe groot is de som van de hoeken van
de twee driehoeken?
• Noteer dit in symbolen.
verklaring
Vierhoek ABCD
Welke eigenschap (van driehoeken) kun
je gebruiken om deze eigenschap te
bewijzen?
• Noteer deze eigenschap in symbolen.
• Noteer in symbolen de som van de
hoeken voor de twee driehoeken.
C
antwoord
Wat is gegeven?
Wat moet je bewijzen?
• Noteer dit in symbolen.
1
2
Beide leden van de
gelijkheden optellen.
360°
| Â1 | + | B | + | C1 | + | A2 | + | C2 | + | D | = 180° + 180°
| Â1 | + | B | + | C1 | + | A2 | + | C2 | + | D | = 360°
Mag je de grootte van de twee delen
van hoek A en van hoek C bij elkaar
optellen? Welke eigenschappen van de
optelling heb je gebruikt?
• Noteer dit in symbolen.
Ja, in een optelling mag je de Het optellen is commutatermen van plaats verwisselen
tief en associatief in Q.
en haakjes toevoegen.
| Â1 | + | Â2 | + | B | + | C1 | + | C2 | + | D | = 360°
( | Â | + | Â | )+ B +( | C | + | C | )+ D = 360°
1
128
Eigenschappen van vierhoeken
2
| |
1
2
|
|
Reken uit. Is dit wat je moet bewijzen?
Indien niet, welke stap moet je nog
zetten?
| Â | + | B | + | C | + | D | = 360°
Ja
STAP 3 Bewijs
Eigenschap – de som van de hoeken in een vierhoek is 360°
Gegeven:
ABCD is een vierhoek.
A
Te bewijzen: | A | + | B | + | C | + | D | = 360°
2 1
D
2
n Teken de diagonaal AC.
Bewijs:
B
1
C
o Noem de hoeken die gevormd worden A1, A2 en C1 en C2.
p
In ΔABC geldt: | A1 | + | B | + | C1 | = 180°
(eig. som van de hoeken in een driehoek)
q In ΔACD geldt: | A2 | + | C2 | + | D | = 180°
(eig. som van de hoeken in een driehoek)
p + q
| A | + | B | + | C | + | A | + | C | + | D | = 180° + 180°
1
1
2
2

| A | + | B | + | C | + | A | + | C | + | D | = 360°
1
1
2
2
Eig. het optellen is commutatief in q
| A | + | A | + | B | + | C | + | C | + | D | = 360°
1
2
1
2
Eig. het optellen is associatief in q
( | A | + | A | ) + | B | + ( | C | + | C | ) + | D | = 360°
1
2
1
2
| A1 | + | A2 | = | A | en | C1 | + | C2 | = | C |
| A | + | B | + | C | + | D | = 360°
Oefeningen
10 Bewijs dat de som van de hoeken in een vijfhoek gelijk is aan 540°.
Je kunt een vijfhoek verdelen in een vierhoek en een driehoek.
ΔABE | A | + | B1 | + | E1 | = 180°
(Eig. som v.d. hoeken in een driehoek.)
A
EBCD | E2 | + | B2 | + | C | + | D | = 360° (Eig. som van de hoeken in een vierhoek)
ͺ beide leden optellen
| A | + | B | + | E | + | E | + | B | + | C | + | D | = 180° + 360° = 540°
1
1
E
B
1
1
2
2
ͺ het optellen is commutatief in q
2
2
| A | + | B | + | B | + | C | + | D | + | E | + | E | = 540°
1
2
1
2
ͺ het optellen is associatief in q
| A | + | B | + | B | + | C | + | D | + | E | + | E | = 540°
1
1
2
1
2
C
D
ͺ | B1 | + | B2 | = | B | | E1 | + | E2 | = | E |
| A | + | B | + | C | + | D | = 540°
Wat moet je kunnen?
[
]
[
τ de eigenschap van de som van de hoeken in een vierhoek bewijzen
WEER?
1013
]
129
M38
Bewijs: de eigenschappen van de zijden, hoeken en diagonalen
in een vierhoek
Op verkenning
eigenschap
Vierhoek ABCD is een parallellogram als en slechts
als de overstaande zijden even lang zijn
STAP 1 Verkennen
•
Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen er in voor?
oor?
Vierhoek
ABCD is een parallellogram.
.... .......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De
. . . . . . . . . .overstaande
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn
. . . . . . . . . . .even
. . . . . . . . . . . . . . .lang.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
•
Maak een schets en duid de informatie aan.
A2
2
D
•
B
1
1
C
Vul aan.
In de eigenschap zie je de notatie ‘als en slechts als’. Dit betekent dat
Deel 1:
Deel 2:
•
de eigenschap uit twee delen bestaat.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
vierhoek ABCD een parallellogram is
zijn de overstaande
dan ...............................................
. . . . . . . . . . .zijden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . even
. . . . . . . . . . . . . . .lang.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
in een vierhoek de
Als ................................................
. . . . . . . overstaande
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijden
. . . . . . . . . . . . . . . . . .even
. . . . . . . . . . . . . . .lang
.. . . . . . . . . . . . . zijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
is de vierhoek een
dan ...............................................
. . . . . .parallellogram.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
Als
................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Je bewijst eerst deel 1 (in het leerwerkboek) en dan deel 2 (in het oefenboek).
DEEL 1 eigenschap
Als vierhoek ABCD een parallellogram is dan zijn de overstaande zijden even lang
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
A
D
vraag
Wat is gegeven?
Wat moet je bewijzen?
• Noteer dit in symbolen.
• Duid wat bewezen moet worden in
het rood aan op de tekening.
Hoe kun je bewijzen dat lijnstukken
even lang zijn?
Hoe kun je twee congruente
driehoeken bekomen?
• Teken dit.
130
Eigenschappen van vierhoeken
B
2 1
2
1
C
antwoord
Vierhoek ABCD is een parallellogram.
AB // DC en AD // BC
|AB| = |CD| en |AC| =|BD|
Via congruente driehoeken
Door een diagonaal
te tekenen.
verklaring
• Noteer en kleur de driehoeken
waarvan je vermoedt dat ze congruent
zijn, elk in een andere kleur.
Welk congruentiekenmerk kun je
gebruiken?
• Noteer de gelijkheden.
Is dit wat je moet bewijzen?
Indien niet, welke stap moet je dan nog
zetten?
Δ ABC en Δ CDA
HZH
H | Â1 | = | C2 |
Z | AC | = | AC |
H | Â2 | = | C1 |
Verwisselende binnenhoeken:
Neen, maar hieruit volgt:
|AB| = |CD| en
|AC| = |BD|.
Overeenkomstige zijden in
congruente driehoeken
AB // CD met snijlijn AC
Gemeensch. zijde
Verwisselende binnenhoeken:
AD // BC met snijlijn AC
STAP 3 Bewijs
Eigenschap – als vierhoek ABCD een parallellogram is dan zijn de overstaande zijden even lang
Gegeven:
ABCD is een parallellogram.
A
2
Te bewijzen: | AB | = | CD | en | AD | = | BC |
Bewijs:
B
1
2
D
1
C
n Teken de diagonaal AC.
o Noem de hoeken die gevormd worden A1, A2 en C1, C2.
p Voor ΔABC en ΔCDA geldt:
H
Z
H
|A | = |C |
1
2
| AC | = | AC |
|C | = |A |
1
2
(eig. verwisselende binnenhoeken van AB // CD met snijlijn AC)
(gemeenschappelijke zijde)
(eig. verwisselende binnenhoeken van AD // BC met snijlijn AC)
HZH
ΔABC ΔCDA
Eig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken
| AB | = | CD | en | BC | = | AD |
Het bewijs van deel 2 vind je in je oefenboek: oef. 1014.
131
M38
Bewijs: de eigenschappen van de zijden, hoeken en diagonalen
in een vierhoek (vervolg)
eigenschap
Als vierhoek ABCD een ruit is, dan staan de diagonalen loodrecht op elkaar
STAP 1 Verkennen
•
Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen er in voor?
Vierhoek ABCD is een ruit. De diagonalen staan loodrecht op elkaar.
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•
Formuleer de omgekeerde bewering.
Als in een vierhoek de diagonalen loodrecht op elkaar staan, dan is deze
•
Is deze bewering een eigenschap?
vierhoek een ruit.
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geen eigenschap: bij een vlieger staan de diagonalen ook loodrecht op elkaar.
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken
A
D
B
C
vraag
antwoord
Wat is gegeven?
Wat leer je uit de deﬁnitie van een ruit?
• Noteer dit in symbolen.
• Duid het gegeven in het groen aan op
de tekening.
Vierhoek ABCD is een ruit.
|AB| = |BC| = |CD| = |AD|
Wat moet je bewijzen?
• Noteer dit in symbolen.
• Duid wat bewezen moet worden in
het rood aan op de tekening.
Hoe liggen de punten A en C ten
opzichte van de punten B en D?
Op welke rechte liggen de punten
A en C?
Hoeveel rechten kun je tekenen door
twee verschillende punten?
132
Eigenschappen van vierhoeken
verklaring
De diagonalen staan
loodrecht op elkaar.
[ AC ] [ BD ]
De punten A en C liggen |AB| = |AD| (Def. ruit) en
op gelijke afstand van
|BC| = |CD| (Def. ruit)
de punten B en D.
De punten A en C
liggen op de middelloodlijn van [BD].
Eigenschap middelloodlijn: als een
punt op gelijke afstand ligt van de
grenspunten van een lijnstuk,
dan behoort dat punt tot de middelloodlijn van dat lijnstuk.
Juist één
Een rechte wordt
bepaald door twee
verschillende punten.
Wat is de onderlinge ligging van [AC]
en [BD]?
Loodrecht
Def. middelloodlijn
• Noteer dit in symbolen.
[BD]
[AC]
STAP 3 Bewijs
Bewijs – in een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar
Gegeven:
ABCD is een ruit.
A
D
B
Te bewijzen: [AC] ʗ [BD]
Bewijs:
C
Voor de ruit ABCD geldt:
| AB | = | AD | (def. ruit)
en
| BC | = | CD |
(eig. van de middelloodlijn)
(def. ruit)
(eig . van de middelloodlijn)
A ligt op de middelloodlijn [BD] en
C ligt op middelloodlijn van [BD]
Een rechte wordt bepaald door twee verschillende punten.
AC is de middelloodlijn van [BD]
Def. middelloodlijn
[AC] ʗ [BD]
Je kunt deze eigenschap ook met congruentie bewijzen.
Oefeningen
11 Bewijs dat in een parallellogram de overstaande hoeken even groot zijn.
Er zijn verschillende mogelijkheden.
A
21
D
B
2
1
C
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
WEER?
1014
MEER?
1015 - 1035
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Wat moet je kunnen?
τ de eigenschappen van vierhoeken bewijzen
133
Problemsolving
1
In de ﬁguur hiernaast is de oppervlakte van de ruit gelijk
aan 6 cm2. Hoe groot is de oppervlakte van de rechthoek?
24 cm2. Elke driehoek is een halve ruit.
In het
totaal heb je dus de oppervlakte
.............
.......................................................................
......................................
van 4.......................................................................
ruiten.
.............
......................................
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
De twee regelmatige zeshoeken zijn even groot. Welk
lkk deel van het
he parallellogram is lichtgekleurd?
A
3
1
B
B
6
1
B
C
5
1
B
1
B
D
4
E
3
1
B
A
2
Van een gelijkzijdige driehoek kun je een trapezium maken door er een hoekje af te
snijden. Vervolgens maak je nog zo’n even groot trapezium en je legt dit omgekeerd
tegen het eerste trapezium aan zodat je een parallellogram bekomt. De omtrek
van dit parallellogram is 10 cm meer dan de omtrek van de eerste gelijkzijdige E
driehoek waar je mee begon. Wat is de omtrek van die gelijkzijdige driehoek? z
A
10
B
30
C
D
40
E
60
Kun je niet
weten.
x
D
F
z–x
C
z
B x
Driehoek
ABC met zijde z
............. .......................................................................
.Omtek
. . . . . . . . . . . . . . dubbel
. . . . . . . . . . . . . . . .trapezium:
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .2(z
. . . . . . .+
. . . .x
. . .+
. . . .z
. . .–
. . . .x)
. . . . .=
. . . .2. . .·. .2z
. . . . . .=
. . . .4z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Omtrek
driehoek ABC = 3z .Omtrek
............. .......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . .dubbel
. . . . . . . . . . . . . . . .trapezium
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .–
. . . Omtrek
. . . . . . . . . . . . . . . . .driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . .4z
. . . . . .-. .3z
. . . . . .=
. . . .z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Driehoek
DEF met zijde x.
............. .......................................................................
.Omtrek
. . . . . . . . . . . . . . . .driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . .3z
. .. . . .=
. . . .3
. . . ·. . 10
. . . . . .cm
. . . . . . .=
. . . . 30
. . . . . . cm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
4
De driehoeken ABC en ADE zijn even groot. | AB | en | AD | zijn 1, | AC | en | AE | zijn 4. De oppervlakte van vierhoek ADFB is ... keer zo groot als de oppervlakte van driehoek ABC.
A
1
B
5
B
1
B
4
C
2
B
5
D
1
B
2
E
1
B
3
De driehoeken
AFD en AFC hebben dezelfde
.............
.......................................................................
. . . . . . . hoogte
. . . . . . . . . . . . . . . .en
. . . . . .basis
. . . . . . . . . . . AC
. .. . . . .is
. . . .4
. . . keer
. . . . . . . . . .basis
. . . . . . . . . . . AD.
.........
Dus is de oppervlakte van AFC 4 keer de oppervlakte van AFD.
Hetzelfde geldt voor AEF en ABF.
B1 .deel
ABF en.......................................................................
ADF hebben dezelfde oppervlakte,. . . beiden
.............
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .van
. . . . . . . . driehoek
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . AFC
. . . . . . . . . .dus
...............
4
B1 deel van driehoek ABC.
5
.............
....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vierhoek ADFB is B25 van driehoek ABC.
C
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
F
D
E
A
B
Een gelijkzijdige driehoek is verdeeld in een ruit, een kleine gelijkzijdige driehoek en twee trapeziums. De ruit heeft oppervlakte 18, de kleine gelijkzijdige
driehoek heeft oppervlakte 1. Wat is de oppervlakte van een van de trapeziums?
Je kunt de ruit opdelen in twee gelijkzijdige driehoeken, beide met oppervlakte 9.
De zijde van de bovenste driehoek is dan 3 keer zo groot als de zijde van de kleine driehoek vermits de oppervlakte 9 keer zo groot is. De hoogte van de grote driehoek is ook
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 keer zo groot. De hoogte van de gehele driehoek is dan 3 + 3 + 1 = 7 keer zo groot.
Dit betekent
dat de oppervlakte van de grote
.............
.......................................................................
. . . . .driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . .49
. . . . . .keer
. . . . . . . . .zo
. . . .. .groot
. . . . . . . . . . . is
. . . .als
. . . . . . de
. . . . . .opper.............
vlakte van het kleine driehoekje. De oppervlakte van de grote driehoek – de oppervlakte van het kleine driehoekje en
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
de oppervlakte van de ruit is 49 – 1 – 9 – 9 = 30. De oppervlakte van één trapezium is dan 30 : 2 = 15.
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
134
10
problemsolving
B
12,5
C
15
D
16
E
18
G
Thema's
Thema 1
Wiskunde, boeiend en fascinerend: is het toveren?
p. 136
Thema 2
Erfenissen, waterputten, gorilla's, een benefietconcert
en ... meetkunde
p. 144
135
Thema 1 - Wiskunde, boeiend en fascinerend: is het toveren?
Een heel bijzondere verhouding in de meetkunde
1
Over een vierkant, een driehoek, een cirkel en… een heel bijzondere verhouding
In het vierkant zie je een gelijkbenige driehoek en daarin de ingeschreven cirkel.
E'
K
G
E
K'
G'
•
Meet en bereken in de eerste ﬁguur de verhouding.
2,9 cm
B
| GK |
B
= 1,611...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
= ............................................................
| KE |
1,8 cm
| G'K' |
Meet en bereken in de tweede ﬁguur B
.
| K'E' |
Wat is het resultaat?
•
| G'K' |
1,5 cm
B
= 1,66... (opnieuw ongeveer 1,6)
= B
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
| K'E' |
2
0,9 cm
Over een knoop, een ster en… een heel bijzondere verhouding
• Maak een gewone knoop in een reep papier, trek hem voorzichtig aan terwijl je hem plat drukt, en er verschijnt een pentagon. Wat is een synoniem
voor het woord pentagon?
Regelmatige vijfhoek
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
•
Maak op de ﬁguur het pentagon zichtbaar.
•
In elk pentagon kun je een vijfpuntige ster tekenen (een pentagram).
•
Meet en bereken de verhouding:
2 cm
B
| AS |
B
= 1,66...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
= ...........................................................
| SC |
1,2 cm
•
E
Bepaal op het lijnstuk EB een punt dat het lijnstuk in dezelfde verhouding
verdeelt.
B
S
D
Weetje
Je kunt kiezen, de twee getekende punten zijn allebei goed.
136
Euclides was een Griekse wiskundige (ca 325 v.C. – 265 v.C). Van zijn leven is
niet veel meer bekend dan dat hij onderwees in Alexandrië. Toen de koning
hem vroeg of er geen eenvoudige behandeling van de meetkunde mogelijk was,
antwoordde Euclides: “Sire, er is geen koninklijken weg naar de meetkunde”.
Zijn boek ‘De Elementen’ behoort tot de mooiste en meest invloedrijke wetenschappelijke werken. De schoonheid ervan ligt in de logische opbouw van de
meetkunde en enkele andere takken van de wiskunde. Het voldoet ook aan de
door de grote ﬁlosoof Plato gestelde eis “Wiskundige kennis wordt alleen door denken verkregen
en dient losgemaakt te worden van het materiële”. Het boek bestaat uit 13 delen en begint met een
aantal deﬁnities zoals “Een punt is datgene wat geen delen heeft” en “Een lijn is een lengte zonder
breedte”. Veel van de meetkunde uit zijn boeken gebruiken we nu nog altijd.
Thema 1 - Wiskunde boeiend en fasinerend: is het toveren?
C
3
A
Over een driehoek, een driehoek en… een heel bijzondere verhouding
In de gelijkbenige driehoek ABC: | A | = 36°. BD is de bissectrice van B .
•
Meet en bereken de verhouding:
2,2 cm
B
| AD |
B
= 1,57
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
= ..........................................................
| DC |
1,4 cm
•
Waar zit in de vijfhoek een driehoek verborgen die dezelfde eigenschappen bezit
als driehoek ABC?
Vb driehoek ACD
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D
B
C
We keren terug in de tijd…
Rond 300 voor Christus worstelt de Griekse wiskundige Euclides met een meetkundig probleem. “Hoe kun je een lijnstuk in
twee delen verdelen zodat de verhouding van het grootste deel tot het kleinste deel gelijk is aan de verhouding van de som
van de delen tot het grootste deel? Hoe lang moeten die twee delen dan zijn?”
(Euclides zelf sprak over: “een lijn in uiterste en middelste reden verdelen”)
1
“Vertaal” dit probleem in wiskundetaal.
•
| AB |
| AS |
= B
Euclides zoekt een punt S op het lijnstuk AB zodat: B
[AS] is het grootste deel
| SB |
| AS |
[SB] is het kleinste deel.
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
•
A
•
•
2
Neen
Controleer op [AB] of het punt S op de juiste plaats staat (op 0,1 cm).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
S
Controleer opnieuw op [AB] of het punt S op de juiste plaats staat (op 0,1 cm).
B
Ja
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
A
S
6,2 cm
B
| AB |
B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
| AS |
= 1,6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bereken B
= ..........................................
| SB |
3,8 cm
| AS |
B
10 cm
= 1,6
6,2 cm
Hoe vind je op het lijnstuk AB de juiste plaats voor dit speciale punt S?
1 | AB |.
In de rechthoekige driehoek ABC: | BC | = B
2
Maak in de driehoek de volgende constructie.
C
D
B
S
A
•
Teken een cirkelboog met middelpunt C en straal | CB |. D is het snijpunt van deze boog met de zijde AC.
•
Teken een cirkelboog met middelpunt A en straal | AD |. S is het snijpunt van deze boog met de zijde AB.
137
3
Bereken in de constructie de volgende verhoudingen.
– De verhouding tussen de lengten van de volgende lijnstukken
3,4 cm
B
| AS |
B
= 1,6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
= ....................................................
| SB |
2,1 cm B
5,4 cm
|B
AB | = 1,6
= ...................................................
| AS |
3,4 cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
De verhoudingen
Wat stel je vast? .................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn
. . . . . . . . . . . ongeveer
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1,6!
.....................
– Omschrijf in woorden wat je net berekend en getekend hebt.
»
»
Weetje
Thema 1 - Wiskunde, boeiend en fascinerend:
is het toveren? (vervolg)
Φ = 1,618034
Een meer nauw
keurige waarde
voor de Gulden
Verhouding is 1,
618034. Dit geta
l noemt men
Phi (uitgesprok
en als ‘ﬁe’ en ee
n letter uit het
Grieks alfabet).
Het symbool
voor Phi is Φ,
ter nagedachte
nis van de Grie
kse bouwheer
Phidias.
1,6 maal groter
dan de lengte van het lijnstuk AS.
De lengte van het lijnstuk AS is . . . . . . . . . . . . . . . . 1,6
. . . . . . . . . .maal
. . . . . . . . . . . . . . . .groter
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dan de lengte van het lijnstuk SB.
De lengte van het lijnstuk AB is
.........................................................................
Je maakte zonet een heel belangrijke meetkundige constructie! Het punt S verdeelt het lijnstuk AB in
de Gulden Verhouding of Gulden Snede. Naar dit punt S was Euclides en waren wij op zoek.
De Gulden Verhouding ontstaat als je een lijnstuk in twee delen verdeelt zodat de verhouding van het grootste deel
(Major) tot het kleinste deel (minor) gelijk is aan de verhouding van de som van de delen (de lengte van het gehele
lijnstuk) tot het grootste deel.
A
major
S verdeelt [AB] in de Gulden Verhouding
Het symbool voor de Gulden Verhouding is Φ.
S
minor
B
| AS | B
| AB |
B
=
| SB |
| AS |
Phi is overal ... !?
1
Phi duikt op de meest onverwachte plaatsen op. Het lijkt wel of het magische eigenschappen bezit…
• Tal van toepassingen vind je in de architectuur.
Vb het Parthenon in Athene
•
•
•
138
Ook in de schilderkunst vind je Φ vaak terug. Een mooi voorbeeld zie je
bij ‘De man van Vitruvius‘ van Leonardo Da Vinci.
Het pentagram, de vijfpuntige ster, is één van de oudste heilige symbolen ter wereld. In de magische wetenschappen van de Middeleeuwen
was het pentagram ook een symbool dat bescherming bood tegen heksen en boze geesten.
Spiegeltje, spiegeltje aan de wand…
Thema 1 - Wiskunde boeiend en fasinerend: is het toveren?
2
Waar is Φ?
• Bereken in de bovenstaande afbeeldingen telkens de verhouding tussen de lengten van het grootste en het
kleinste lijnstuk.
Lengte van het grootste lijnstuk
Lengte van het kortste lijnstuk
Verhouding van de lengten
•
Parthenon
Man van Vitruvius
vijfhoek
vrouw
3,7 cm
2,3 cm
1,6
4,3 cm
2,7 cm
1,6
4,4 cm
2,8 cm
1,6
1 cm
0,5 cm
2,0
Wat valt je op in je berekeningen?
(Behalve de laatste verhouding.
De verhouding benadert telkens het getal: .1,6
........
Niemand is perfect!)
Toeval of niet?
Leonardo da Vinci en andere kunstenaars zijn gefascineerd door wiskunde en door Phi. Zij zijn overtuigd dat
het begrip “schoonheid” veel samenhang vertoont met de Gulden Snede. Als we iets mooi vinden, zou de
Gulden Snede erin terug te vinden zijn…
Eens controleren in de klas?
Meet en bereken de verhouding van je totale lengte tot de afstand van je navel tot de grond. Vergelijk je
resultaat met dat van je klasgenoten. Benaderen jullie lichaamsmaten de Gulden Verhouding?
Mijn totale lengte =
Verhouding =
eigen antwoord leerling
.................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Afstand van mijn navel tot mijn voeten = .eigen
. . . . . . . . . . . . . . .antwoord
. . . . . . . . . .....
berekening
leerling
.............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
De verhoudingen van de lichaamsmaten van mijn klasgenoten:
Het gemiddelde van deze verhoudingen is
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
De gulden rechthoek
Een rechthoek waarvan de zijden de Gulden Verhouding hebben, noemt men een gulden
rechthoek. Sommige kunstenaars noemen de gulden rechthoeken opnieuw de mooiste
rechthoeken die er bestaan.
1
Teken een gulden rechthoek.
• Neem voor de langste zijde een lengte van 8 cm. Bereken de lengte van de kortste
zijde van deze gulden rechthoek.
8 cm
B
= 5 cm
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•
1,6
Teken heel nauwkeurig de gulden rechthoek.
8 cm
2 cm
5 cm
5 cm
3 cm
3 cm
139
Thema 1 - Wiskunde, boeiend en fascinerend:
is het toveren? (vervolg)
•
Een gulden rechthoek is heel speciaal, hij lijkt wel een toverrechthoek…
Neem van de gulden rechthoek een zo groot mogelijk vierkant af en arceer dit vierkant.
Is de overgebleven rechthoek ook een gulden rechthoek? Reken dit na.
lengte langste zijde = 5 cm
lengte
kortste zijde = 3 cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
....
.......................................................................
verhouding
= 1,6
....
.......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
•
Doe dit nog eens opnieuw. Wat kun je zeggen van de rechthoek die nu overblijft?
De rechthoek is opnieuw een gulden rechthoek.
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Als je deze stappen met steeds kleiner wordende
rechthoeken blijft herhalen, merk je dat er een
spiraalvormig patroon kan ontdekt worden. Deze
gulden spiraal lijkt misschien wel sterk op de
nautilusschelp…
2
Gulden rechthoeken, vierkanten en een bijzondere rij van getallen Kijk naar de ﬁguur:
De ﬁguur ontstaat door telkens speciﬁeke
vierkanten aan elkaar te rijgen.
4
Je begint bij vierkant 1, de zijde heeft een maatgetal
1. Dan wordt vierkant 2 getekend, vervolgens
vierkant 3, vervolgens vierkant 4, vervolgens de
vierkanten 5 en 6.
5
1
3
•
Vervolledig de ﬁguur met vierkant 7.
•
Je vervolledigde de ﬁguur met een vierkant 7 en
het eindresultaat is een rechthoek. Deze rechthoek benadert een gulden rechthoek! Verklaar.
2
De afmetingen van de rechthoek
21 = 1,6
verhouden
zich als B
....
.......................................................................
....................
13
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•
Vervolledig de tabel en verklaar hoe je de twee
laatste cijfers berekende.
Nr. van het vierkant
1
2
3
4
5
6
Maatgetal van een zijde
1
1
2
3
5
8
21 = 13 + 8 en 34 = 21 + 13
7
8
9
(door jou getekend)
(niet getekend)
(niet getekend)
13
21
34
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........
140
Thema 1 - Wiskunde boeiend en fasinerend: is het toveren?
Een héél bijzondere getallenrij
Vervolledig de rij van de maatgetallen van de zijden van de vierkanten uit de vorige opgave.
1
1
2
5
3
•
Vul de rij aan met de drie volgende getallen.
•
Hoe ontstaan de getallen in deze rij?
...........
55
.........
8
13
...........
89
.........
21
...........
34
...........
...........
144
.........
Elk getal in de rij (behalve de twee eerste getallen) is gelijk aan de som
van
de 2 voorgaande getallen.
....
.......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
•
Deze bijzondere rij blijkt ook op te duiken bij de studie van een bijzondere konijnenpopulatie.
Een paartje jonge konijntjes wordt vruchtbaar na 2 maanden en daarna produceert zo’n paartje elke maand een
nieuw paartje jonge konijntjes. Stel dat we met 1 paartje jonge konijntjes beginnen, hoeveel konijnenpaartjes zijn
er dan na 1, 2, 3, 4… maanden? In dit verhaal gaan de konijntjes niet dood. De 1ste 2 maanden heb je alleen maar 1
paartje. Daarna krijg je steeds de konijntjes die je al had (dat is het vorige aantal) plus de nieuwe babykonijntjes die
geboren worden.
1 koppel
1 koppel
2 koppels
3 koppels
5 koppels
Vervolledig de tabel:
Aantal maanden
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Aantal konijnenpaartjes
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
Noteer de getallenrij van het aantal konijnenpaartjes:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ....
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Je ontdekte zonet een merkwaardige rij van getallen.
De rij van Fibonacci is een getallenrij waarin elk getal (behalve de
eerste twee) gelijk is aan de som van de twee voorgaande getallen.
(afhankelijk van het probleem kan deze rij in toepassingen beginnen met
de getallen 1,1,2,3,… of 0,1,1,2,3,…)
Weetje
1
De beroemde
rij van Fibona
cci
werd ongeve
er 800 jaar ge
leden
ontdekt door
Leonardo Fibo
nacci
uit Pisa in Ital
ië.
141
Thema 1 - Wiskunde, boeiend en fascinerend:
is het toveren? (vervolg)
2
Een merkwaardig verband
• Bereken ver genoeg in de rij de verhouding van twee opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci:
34
55 = . . .1,618
89 = . . . . .1,618
B
B
B
1,619
= .........................................................
...............................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
12
55
34
De
resultaten benaderen meer
...........................................................................
. . . . . . . . . . . . en
. . . . . . . . .meer
. . . . . . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . .waarde
. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .1,618.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
•
Herhaal deze berekening nog 2 keer. Neem telkens de verhouding van 2 opeenvolgende getallen in de rij.
Wat stel je vast?
233
144 = 1,618
B
B
.... .......................................................................
.......
.=
. . . . . .1,618
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
89
•
144
Een merkwaardig verband!
De verhouding van twee opeenvolgende getallen, ver genoeg in de rij van Fibonacci is gelijk aan Phi
of de Gulden Verhouding.
3
De Fibonacci-rij zit vol met eigenaardigheden…
Elke optelsom van tien opeenvolgende getallen uit de rij is deelbaar door elf.
Probeer dit maar eens uit!
Tel
de eerste
tien getallen uit de reeks op. .1. . . .+. . . .1. . .+
.............
.......................................................................
. . . .2
. . . .+
. . . .3. . .+
. . . .5
. . . .+
. . . .8. . ..+. . .13
. . . . . .+
. . . .21
.....+
. . . . 34
......+
. . . . 55
. . . . . .=
. . . . 154
..............
Deel
door
11.
154 : 11 = 14
.............
.......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tel
het.......................................................................
tweede t.e.m. 11de getal op. 1 + 2 +. . . 3. . . .+. . . .5. . . +
.............
. . . .8
. . . .+
. . . .13
.....+
. . . . 21
. . . . . .+
.. . .34
. . . . . .+
. . . .55
. . . . . .+
. . . .89
. . . . . .=
. . . .242
........................
Deel
door
11.
242 : 11 = 22
.............
.......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fibonacci is overal
Fibonacci duikt op heel wat plaatsen op. Toeval of niet?
•
•
Bekijk aandachtig de foto van een piano. Vul de ontbrekende getallen in de tekst aan.
. . . . . . toetsen: . . 8
. . . . . witte toetsen
Een octaaf op een piano bestaat uit .13
en . .5
. . . . . zwarte toetsen. De zwarte toetsen worden opgesplitst in
groepjes van . . .2
. . . . en . . .3
.....
Allemaal Fibonacci-getallen!
•
Bekijk de affiche van de Vlaamse Wiskunde Olympiade van 2000.
Wat zie je op de foto?
Waarom...
een
zonnebloem
.... .......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Geef een ander woord voor ‘bochten’.
spiralen
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Waarom gebruikt de Vlaamse Wiskunde
Olympiade deze affiche denk je?
21
en 34 zijn Fibonacci-getallen
.... .......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
...vormen zonnebloempitten
21 bochten in de ene richting
en 34 in de andere?
Vlaamse Wiskunde Olympiade
Kijk alvast op www.kulak.ac.be/vwo/
Een wedstrijd in samenwerking met de Katholieke Universiteit Leuven, de Katholieke Universiteit Leuven Campus Kortrijk, het Limburgs Universitair Centrum,
de Universiteit Antwerpen, de Universiteit Gent, de Vrije Universiteit Brussel, de Vlaamse Vereniging Wiskunde Leraars, het Belgisch Wiskundig Genootschap,
Uitgeverij De Sikkel, Standaard Educatieve Uitgeverij, Rhombus.
z.w., Etienne Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk.
Wiskunde. Van verwondering tot logisch inzicht. Beleef het mee!
bron: www.vwo.be
142
Thema 1 - Wiskunde boeiend en fasinerend: is het toveren?
•
Bekijk de volgende foto.
een dennenappel
8 .................................................
Hoeveel groene spiralen tel je? .............
13
Hoeveel gele spiralen tel je? ....................
................................................
8 en 13 zijn Fibonacci-getallen!
Wat valt je op? .............................................
................................................
Wat zie je op de foto?
............................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Een kritische noot.
Je hoeft het helemaal niet eens te zijn met de theorie dat de
Gulden Verhouding en Fibonacci overal aanwezig zijn. Onder meer
in het boek “De ontstelling van Pythagoras, over de geschiedenis
van de goddelijke proportie” van Albert van der Schoot heeft de
auteur toch wel een andere kijk op het verhaal.
Blijkbaar bestaat er ook een Fibonacci-gedicht!
Dit type gedichten is een beetje vergelijkbaar met de Japanse haiku‘s.
De lettergreepverdeling in een haiku is gebaseerd op priemgetallen 5-7-5 en heeft 17 lettergrepen. In het Fibonaccigedicht is de lettergreepverdeling gelijk aan de rij van Fibonacci. Dit betekent meestal zes regels met telkens 1, 1, 2, 3
enz. lettergrepen.
Schrijf jouw Fibonacci-gedicht!
143
Thema 2 - Erfenissen, waterputten, gorilla's,
een benefietconcert en... meetkunde
Een erfenisprobleem
Tomas en Teo, twee Belgische kinderen zijn helemaal niet zeker of ze later
van hun ouders een stuk grond zullen krijgen om een huis op te bouwen.
In Uganda, hoewel het land niet zo rijk is als België, doen ouders daar heel
hard hun best voor.
Jozeph en Amina uit Namwendwa, een dorpje in Uganda, hebben 3
kinderen, twee zonen en een dochter: Anthony, Jonas en Mebra. Een
vierde kind, Martha, is zeer jong gestorven (ongeveer 89 kinderen per
1000 sterven voor ze 5 jaar zijn). Anthony is tot 15 jaar naar school
geweest, zijn broer Jonas helemaal niet. Een jaar school lopen kost
ongeveer 60 euro. Te veel geld voor deze familie! Mebra, hun grote zus, is
al getrouwd en “behoort nu tot een andere familie” (lees: zij krijgt geen
grond).
Jozeph en Amina willen heel graag hun twee zonen een stuk grond geven
bij hun huwelijk. Na hard werken en sparen kopen zij een stuk grond dat
de vorm heeft van een rechthoekig trapezium
ABCD: | AB | = 50 m | DC | = 80 m | AD | = 40 m.
1 De ﬁguur is een afbeelding van de grond op schaal B
.
1000
A
B
D
C
weg Kaliro - Namwendwa
1
Kun jij de oppervlakte van de grond berekenen? Noteer eerst de formule.
( | AB | + | DC | ) · | AD | BB
(B + b) · h BB
( 50m + 80m ) · 40 m
=
=
= 2600 m2
S = B
2
2
2
................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
2
Jozeph wil de grond eerlijk verdelen tussen zijn twee
zonen en stelt hen voor de scheidingslijn te trekken
evenwijdig aan de grenslijnen [AB] en [DC] en halfweg
de punten A en D.
a Krijgen Jonas en Anthony nu elk een even groot deel?
A
I
B
F
G
E
H
Neen
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b
Bereken het verschil en arceer dit op de ﬁguur.
methode
1
....
.......................................................................
..............................
Zoon 1 krijgt: opp rechthoek ABFI + opp Δ BGF
weg Kaliro - Namwendwa
...........................................................................
. . . . . . . .trapezium
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .FGCE
Zoon 2 krijgt: opp rechthoek IFED + opp
= opp rechthoek IFED + (opp Δ GCH + opp rechthoek FGHE).
........................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .~
..........
Δ BGF en Δ GCH hebben dezelfde opp. (Δ BGF = Δ GCH (HHZ))
Het verschil is de oppervlakte van de .gearceerde
...........................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .rechthoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FGHE.
. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
1
1
1
B
B
opp. rechthoek FGHE = | FE | · | EH | = | AD | · ( | DC | – | AB | ) = B(40 m · 30 m) = 300 m2
.... ....................................................................... . 2
....................2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
of
methode
2
....
.......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Zoon 1 krijgt: opp rechthoek ABFI + opp Δ BGF
....
.......................................................................
. . . . . . . .trapezium
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .FGCE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Zoon
2 krijgt: opp rechthoek IFED + opp
= opp rechthoek IFED + opp Δ FGE + opp Δ EGC
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Het verschil is de oppervlakte van de gearceerde driehoek EGC
| EC | · | FE |
( | DC | – | AB | ) · | FE | B
(30 m) · (20 m)
Opp Δ EGC = B
= BB
=
= 300 m²
2
2
2
Thema 2 - Erfenissen , waterputten, gorilla's, een benefietconcert en ... meetkunde
(
144
D
)
C
3
Omdat beide zonen hun grond moeten kunnen bereiken vanaf de weg besluiten ze de scheidingslijn loodrecht op de twee evenwijdige zijden [AB] en [DC] te trekken en zo de oppervlakte in twee gelijke delen te verdelen. Vader Jozeph stelt ditmaal voor om de afstand AB te verdelen in 2 gelijke delen.
A
D
T
B
U
E
C
weg Kaliro - Namwendwa
a
b
c
Construeer de middelloodlijn van [AB]. Noem T het snijpunt van de middelloodlijn met [AB] en U het snijpunt
van de middelloodlijn met [DC]
Arceer het deel van zoon 1 (////) en van zoon 2 (\\\\) op de ﬁguur hierboven
• Kleur het verschil tussen de twee oppervlaktes.
• Noem het verschil S en bereken S.
Zoon 1 : opp. ATUD
Zoon
2 : opp. TBEU + opp. Δ. . . . .BCE
....
.......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
het
verschil is opp. Δ BCE =. .S.
....
.......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
1 |AD| · (|DC| – |AB|) = B
1 40 m · 30 m = 600 m²
1 |BE| · |EC| = B
S = opp BCE = B
2
2
2
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
4
“De helft van het verschil moet ik bij de ene weghalen, de helft van het verschil moet er bij de andere bijkomen “ redeneert Jozeph.
Is dit een juiste redenering?
a
Ja
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Over welke afstand moet lijnstuk TU evenwijdig (naar rechts) verschoven worden om de oppervlaktes gelijk te
maken? Probeer dit ook op de tekening. Denk na wat er gebeurt als TU opschuift.
• Wat gebeurt er met het oppervlak voor zoon 1 (///)?
Het oppervlak wordt groter.
................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
•
Wat gebeurt er intussen met het oppervlak van zoon 2 (\\\)?
Het oppervlak wordt kleiner. De rechte TU moet opschuiven naar rechts zodat er bij rechthoek ATUD een rechthoekje
bijkomt die een oppervlakte heeft gelijk aan de helft van de oppervlakte van het driehoekige deel BCE
................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
b
Bereken waar de juiste scheidingslijn moet komen en teken op de ﬁguur de juiste verdeling van de grond. Het
rechthoekje dat erbij moet komen noem je TURP.
A
B
T
P
1
B
opp. TPRU = opp. Δ BCE
1 2· (|BE| · (|DC| – |AB|))
|TP| · |TU| = B
...........................................................................
............................
4
| TU | = | AD | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...........................................................................
1 · (| DC | – | AB |) = 7,5 m
| TP | = B
...........................................................................
............................
4
Merk op: de afstand waarover
...........................................................................
. . . . . . . . . . . .je
. . . . . .moet
..........
1
B
verschuiven is van het . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D
...........................................................................
4
verschil van de grote en de. .kleine
...........................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . .basis
........
van het trapezium.
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S
B
2
U
S
R
E
C
weg Kaliro - Namwendwa
145
Thema 2 - Erfenissen, waterputten, gorilla's,
een benefietconcert en... meetkunde (vervolg)
c
Bereken de oppervlakte van de delen van beide zonen.
Zoon
1 krijgt: opp. APRD = (25 m +. . . .7,5
....
.......................................................................
. . . . . . .m)
. . . . . . .·. .40
. . . . . . .m
. . . . .=
. . . . .1300
. . . . . . . . . . . .m²
. .. .
zoon
2 krijgt: opp. PBER + opp. Δ BCE
....
.......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
40 m · 30 m
B
= .......................................................................
(25 m – 7,5 m) · 40 m +
....
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
2
= .......................................................................
700 m² + 600 m² = 1300 m²
....
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
d
Hoe zou je in de praktijk (d.w.z. op het stuk land) de scheidingslijn construeren? Je hebt enkel een stuk touw en
een stok om de klus te klaren.
Meerdere antwoorden mogelijk:
> . . . . . . . . . .@. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
in.......................................................................
het punt P (of R) een evenwijdige
....
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .construeren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .aan
. . . . . . . . . . . . . . .AD
of....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
....
> . . . . . . . .@. . . .(of
> . . . . . . . . . .@. . .).
in.......................................................................
het punt P (of R) de loodlijn
....
. . . . . . . . . .construeren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .op
. . . . . .. . . . ..AB
. . . . . . . . . . .DC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
5
Jonas twijfelt en zegt dat de vorm wel een trapezium is, maar dat de hoek in D misschien geen rechte hoek is.
Hij stelt een controle voor: vanuit de hoekpunten A en D pas je een gelijke afstand af op de evenwijdige grenslijnen [AB] en [DC] en noem je de punten respectievelijk N en L. Dan controleer je of de diagonalen van de
ontstane vierhoek even lang zijn.
a Gebruikt Jonas een juiste methode om te controleren of de hoek in D een rechte hoek is? Verklaar.
Ja,....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
....
• .......................................................................
|AN| = |DL| (constructie) en AN is evenwijdig
....
. . . . . . . . . . . . . .aan
. . . . . . . .DL
. . . . . .(de
. . . . . . .fig
. . . . . is
. . . .een
. . . . . . ..trapezium).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Dus
. . . . . . . .is
. . . .ANLD
. . . . . . . . . . .een
. . . . . . . .parallellogram.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
• .......................................................................
Als de diagonalen in een parallellogram
....
. . . . . . . .even
. . . . . . . . . .lang
. . . . . . . . .zijn,
. . . . . . . . dan
. . . . . . . . .is
. . . het
. . . .. . .parallellogram
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .een
. . . . . . . .rechthoek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Jonas
meet de diagonalen, ze zijn even lang
....
.......................................................................
. . . . . . . .en
. . . . . dus
. . . . . . . .is
. . . ANLD
. . . . . . . . . . . .een
. . . . . . . .rechthoek
. . . . . . .. . . . . . . . . . . .en
. . . . . .is
. . .D
. . . .=
. . . .90°
. . . . . . .(def.
. . . . . . . . .rechthoek).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Zijn
de diagonalen niet even lang dan is de
....
.......................................................................
. . . . . .vierhoek
. . . . . . . . . . . . . . . . .ANLD
. . . . . . . . . . . geen
. . . . . . . . . . rechthoek
. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .en
. . . . . is
. . . .D
. . . .≠
. . . .90°.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
b
Teken de handelingen die ze uitvoeren.
A
N
B
L
D
C
weg Kaliro - Namwendwa
6
De ouders hakken de knoop door en beslissen dat ze de grond zullen verdelen zoals in oplossing 4. Ze zuchten: het waren zuur verdiende centen waarmee ze de grond kochten. Zuur verdiend? Lees de volgende probleemstelling.
Probleemstelling: is België rijker dan Uganda of is Uganda rijker dan België? Vergelijk.
a De grondprijzen
In Uganda kost de grond ongeveer € 100 per hectare. In België is dat € 100 per m².
• Hoeveel betaal je in België per hectare?
1 ha is . . . . . . . . 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . m2.
4
In België betaal je . . . . . .€
. . . . 10
. . . . . . . . . . . . . . . per hectare, in Uganda . . . . . .€
. . . . 10²
. . . . . . . . . . . . . . . per hectare.
6
In België is de grond . . .10
. . . . . . . 000
. . . . . . . . . . . . . . . maal . . duurder
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dan in Uganda!
Uganda scoort beter/slechter dan België? Omcirkel je antwoord.
146
Thema 2 - Erfenissen , waterputten, gorilla's, een benefietconcert en ... meetkunde
Mag je hieruit besluiten welk land het rijkst is? . . .Neen.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Waarmee moet je nog rekening houden?
b
Met het inkomen van een gezin
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Het inkomen van een gezin
In Uganda verdien je gemiddeld € 300 per jaar. In België verdien je (bruto) ongeveer € 30 000 per jaar.
Bereken voor beide landen de verhouding van de grondprijs t.o.v. je inkomen.
Hoeveel ha kan een gezin in Uganda kopen van 1 jaarinkomen? En een gezin in België? Wat kun je besluiten?
In Uganda:
€ 100
1
B
= B
.................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
€ 300
3 B
€ 1 000 000
100
B
In België: ........................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
€
30
000
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Uganda scoort beter/slechter dan België. Omcirkel je antwoord.
c
De schoolkosten
Om een jaar naar school te gaan betaalt een gezin in Uganda € 60 per kind. Maar in Uganda heeft men geen
mooie schoolgebouwen, niet voldoende of geen computers….
In België betaalt een gezin (via de belastingen) ongeveer € 5000 per jaar per kind.
Vergelijk opnieuw het gemiddelde inkomen met de jaarlijkse schoolkosten in beide landen. Wat kun je
besluiten?
In Uganda:
30
€ 300 B
B
= = 5
.................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
€ 60
6
€ 30 000
B
30
B
= = 6
In België: ........................................................ . . . . €
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
5
5 000
Hier liggen de verhoudingen ongeveer gelijk, maar een schoolgebouw, de didactische uitrusting… zijn in
België veel beter. In Uganda kunnen leerlingen misschien wel spelen op grote voetbalvelden en in tuinen met
ananasplanten en passievruchten, maar hun scholen zijn enkel heel elementair uitgerust. Een bibliotheek, labo's
en computerlokalen zijn er meestal niet.
d
De benzinekosten
Benzine voor auto’s kost in Uganda even veel als in België. Auto’s, ﬁetsen en alle andere niet inheemse goederen
zijn in Uganda meestal duurder dan in België. Dikwijls zijn goederen er ook niet te verkrijgen (denk aan water,
elektriciteit, gezondheidszorg, wegen, computers…)
Besluit
Nu je dit allemaal weet, waar lijkt het voor jou het leukste om te wonen?
Voor welk land zou jij kiezen? Bespreek dit met klasgenoten.
Vrije keuze
Een waterput boren
In Uganda heeft slechts 50 % van de bevolking toegang tot drinkbaar
water. De school ‘Kidiki Parents Secundary School’ heeft een waterput
nodig. Gelukkig worden de mogelijke plaatsen waar je een waterput kunt boren opgespoord en doorgegeven. Een
landmeter duidt de juiste plaats voor het boren van een put aan door een steen in de grond te verankeren.
Helaas spoelt in het regenseizoen de steen van Kidiki weg en moet de werkman Tamali de plaats opnieuw zoeken.
Hij telefoneert de landmeter. Die geeft hem de plaatsbepaling zoals landmeters dat doen. Tamali noteert alles snel
op een stukje papier, maar helaas vergeet hij de eerste hoek te noteren die de landmeter opgeeft.
De plaatsbepaling van de landmeter luidt als volgt.
• Vertrek aan het gemeentehuis (punt G) op de weg Kamuli-Namwendwa en kijk naar het oosten.
• Maak met deze richting een hoek van …° in tegenwijzerzin (deze hoek vergeet Tamali te noteren).
Ga in die richting 300 m verder. Je bent nu in punt P.
• Vanaf punt P ga je verder onder een hoek van 160°, gemeten in tegenwijzerzin met het lijnstuk PG. Leg 450 m af.
• Je staat nu in het punt W waar je de waterput kunt boren.
Tamali kan de landmeter niet meer bereiken (elektriciteitspanne) om de eerste hoek opnieuw te vragen. Het
schooljaar gaat beginnen. De tijd dringt. Help Tamali om de plek te zoeken waar de waterput moet komen.
147
Thema 2 - Erfenissen, waterputten, gorilla's,
een benefietconcert en... meetkunde (vervolg)
N
100m
W
O
1 cm
W3
Z
Boom
oom
W2
P1
w
P
160° 2
P3
GSM mast
W1
G
weg Kaliro - Namwendwa
1
Tamali noteerde de eerste hoek niet. Er zijn dus meerdere mogelijkheden. Volg de aanduidingen van de landmeter en test die uit door 3 mogelijke hoeken te tekenen.
• Laat de grootte van de eerste hoek 30° zijn en teken de plaats die erbij hoort. Noem het punt (W1).
• Neem voor de grootte van de eerste hoek 45° en teken de plaats die erbij hoort. Noem het punt W2.
• Kies voor de grootte van de eerste hoek 60° en teken de plaats die erbij hoort. Noem het punt W3.
• Kijk goed naar de verschillen en de overeenkomsten tussen de mogelijkheden die je probeerde.
Als je al die mogelijke punten W bekijkt, kun je dan iets zeggen over hun ligging? Kun je zeggen waar overal kan
geboord worden?
De mogelijke punten liggen op het deel van de cirkel (met middelpunt G en straal
| GW .......................................................................
|) dat binnen het schoolterrein
.............
. . . . . . . . . . . . . . . .valt.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
2
Tamali herinnert zich wel nog dat de steen op de verbindingslijn tussen de grote boom met de reigers en de
gsm-zendmast ligt. Teken de verbindingslijn tussen de gsm-mast en de boom.
3
Lokaliseer de plaats waar Tamali moet boren.
Wilde dieren lokaliseren
Een toeristisch hoogtepunt in Uganda is een bezoek aan de berggorilla’s.
De zoektocht naar de dieren door het (“ondoordringbaar”) oerwoud is
één groot avontuur.
Een van de zilverruggen, Georges, (200 kg wegend mannetje) draagt een
zendertje. Baby Nana ook. De gids bepaalt met een antenne de richting
(*) waarin de dieren zich bevinden, hij weet niet op welke afstand ze
zitten.
In 2006 kon de gids zeggen: “in die richting (*) moeten we zoeken”.
Na een paar jaren keert toerist Karel terug en nu weet de gids bovendien
te zeggen: “de gorilla zit op een afstand van ongeveer 1 km”.
Karel denkt na, maar begrijpt niet hoe de gids nu niet alleen de richting
(*) kan bepalen, maar ook de afstand.
Tot er een tweede groep toeristen met een tweede gids opdaagt. Karel
ziet hoe beide gidsen met elkaar in verbinding staan via hun gsm. Het
wordt hem stilaan duidelijk. Karel neemt een plan van de omgeving en
zet zich aan het denken.
Volg zijn denkpatroon mee.
148
Thema 2 - Erfenissen , waterputten, gorilla's, een benefietconcert en ... meetkunde
n
re
ie
sd
at
la
kp
in
Dr
N
W
O
Z
30°
2 cm
20°
Gids1
1
Gids2
1
Beide gidsen bepalen met hun antenne in welke richting zij
gorilla Georges moeten zoeken.
• Volgens gids 1 zit de gorilla op 30° in tegenwijzerzin ten opzichte
van het noorden. Teken op bovenstaande ﬁguur de lijn die vanuit de plaats van gids 1 deze richting (*) aangeeft.
• Weet gids 1 waar de gorilla exact zit?
Neen
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
•
2
Gids 2 meet dat de gorilla zich op 20° in wijzerzin ten opzichte
van het noorden bevindt. Teken de lijn waarop de gorilla te vinden is voor gids 2.
• Waar bevindt zich de gorilla? Teken op de ﬁguur. Op het snijpunt van beide rechten.
Vertrek nu vanuit een andere positie voor gids 1.
• Stel dat gids 1 zich op de kaart 2 cm meer naar het noorden bevindt. Teken op de kaart in welke richting (*)
gids 1 nu de gorilla opspoort.
• Kan een gids de juiste positie van de gorilla’s bepalen als hij alleen is (dit betekent: als hij de plaats van een andere gids niet kent en ook niet de richting waarin de andere gids de gorilla meet)?
Neen.
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
•
Welke informatie moeten de gidsen via gsm aan mekaar doorgeven om de exacte plaats van de groep gorilla’s
te bepalen?
De gidsen moeten elkaars plaats kennen en moeten de richting (*) weten
waarin
ze elk met hun antenne
....
.......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . .gorilla
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .detecteren.
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pas
. . . . . . . . . . . .dan
. . . . . . . . . . . . kunnen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ze
. . . . . . . .zoals
. . . . . . . . . . ......
op
de figuur het snijpunt bepalen.
....
.......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
(*) Zou een professor in de wiskunde hier ook telkens spreken over “in die richting”?
Neen, voor een wiskundige moet naast de richting ook de zin aangeduid worden.
............................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
149
Thema 2 - Erfenissen, waterputten, gorilla's,
een benefietconcert en... meetkunde (vervolg)
Een benefietconcert voor Kidiki
Je school organiseert een beneﬁetconcert voor Kidiki Secundary School. De geluidsinstallatie van de school bestaat uit 1
enorme grote luidspreker (woofer W) die de lage tonen uitstuurt binnen een hoek α (zie ﬁguur). Hogere tonen worden
door twee kleinere luidsprekers S1 en S2 uitgezonden.
Om het geluid optimaal te horen:
a sta je best op gelijke afstand van de benen van de hoek waaronder de woofer W geluid uitzendt;
b (voor de hogere tonen) sta je best op gelijke afstand van de twee kleinere luidsprekers S1 en S2.
Construeer op de ﬁguur op welk plaatsje P de organisatoren voor jou zouden moeten reserveren.
Welke strategie gebruik je om dit punt P te construeren?
1
Strategie
Construeer de bissectrice van de hoek α.
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Construeer de middelloodlijn van het lijnstuk dat de twee kleinere luidsprekers verbindt.
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Het snijpunt P van beide rechten geeft het beste plaatsje.
............. ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
2
Verklaring
Eigenschap
van een bissectrice: alle punten op de bissectrice
.............
.......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . .een
. . . . . . .hoek
. . . . . . . . .liggen
. .. . . . . . . . .op
. . . . . gelijke
. . . . . . . . . . . .afstand
. . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . .de
. . . . benen
. . . . . . . . . . . .van
. . . . . . .de
. . . . hoek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Eigenschap
van de middelloodlijn: alle punten op de
.............
.......................................................................
. . . .middelloodlijn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . .een
. . . . .. lijnstuk
. . . . . . . . . . . . .liggen
. . . . . . . . . . . op
. . . . . .gelijke
. . . . . . . . . . .afstand
. . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . .de
. . . . .grenspunten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . .dat
. ......lijnstuk.
Het snijpunt
P ligt op beide rechten
.............
.......................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
3
Constructie
S1
α
P
S2
150
Thema 2 - Erfenissen , waterputten, gorilla's, een benefietconcert en ... meetkunde
Woofer W
Register
leerwerkboek
pagina
A
aanliggende hoeken
aanzicht
E
46
8
B
basishoeken
100
bissectrice van een hoek construeren
88
binnenhoeken
51
binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn 51, 56
bol
14
buitenhoek driehoek
104
buitenhoeken
51
buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn 51, 56
bewijs van de driehoeksongelijkheid
117
bewijs van de eigenschap van de basishoeken
in een gelijkbenige driehoek
111, 113
bewijs van de eigenschap van de bissectrice
van een hoek
95, 97
bewijs van de eigenschap van de diagonalen
in een ruit
133
bewijs van de eigenschap van de middelloodlijn
van een lijnstuk
91, 93
bewijs van de eigenschap van de overstaande
zijden in een parallellogram
131
bewijs van de eigenschap van de som van de
hoeken in een driehoek
71
bewijs van de eigenschap van de som van de
hoeken in een vierhoek
129
bewijs van de eigenschap van een buitenhoek
van een driehoek
115
bewijs van de eigenschap van overstaande hoeken 64
bewijs van de eigenschappen van hoeken gevormd
door evenwijdige rechten en een snijlijn
67, 69
bewijs van het verband tussen de hoeken en zijden
in een driehoek
116
9
36
107
124
44
76
74
75
D
driehoeken construeren
draaibeeld
draaihoek
draaiing
driehoeksongelijkheid
eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige
driehoek
100
eigenschap van de bissectrice van een hoek
88
eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk 86
eigenschap van de som van de hoeken in
een driehoek
58
eigenschap van de som van de hoeken in
een vierhoek
120
eigenschap van een buitenhoek van een driehoek 105
eigenschap van overstaande hoeken
47
eigenschappen parallellogram
121
eigenschappen rechthoek
121
eigenschappen ruit
121
eigenschappen van hoeken gevormd door
evenwijdige rechten en een snijlijn
55, 56
eigenschappen vierkant
122
F
formule volume bol
formule volume kegel
formule volume piramide
18
17
16
G
grensvlak
8
I
isometrisch perspectief
9
K
kegel
13
M
middelloodlijn van een lijnstuk construeren
87
N
C
cavalièreperspectief
centrum van een draaiing
classiﬁcatie driehoeken
classiﬁcatie vierhoeken
complementaire hoeken
congruente driehoeken
congruente ﬁguren
congruente veelhoeken
leerwerkboek
pagina
natuurlijk perspectief
nevenhoeken
10
46
O
overeenkomstige hoeken
overeenkomstige zijden
overstaande hoeken
overstaande zijden
51, 75
75
47, 121
121
P
106
36
36
37
109
parallellogram
piramide
puntspiegeling
121
12
40
register
151
Wiskunde wandeling
leerwerkboek
pagina
R
rechthoek
rotatie
ruit
121
37
121
S
schuifbeeld
som van de hoeken in een driehoek
som van de hoeken in een vierhoek
spiegelas
spiegelbeeld
spiegeling
spiegelpunt
supplementaire hoeken
symmetrieas
symmetriemiddelpunt
symmetrische ﬁguren
31
58
120
22
22
22
40
44
28, 107
41
28
T
trapezium
121
V
vector
verband tussen de hoeken en zijden
in een driehoek
verdwijnlijn
verdwijnpunt
verschuiving
verwisselende binnenhoeken
verwisselende buitenhoeken
vierkant
vluchtlijn
vluchtpunt
152
REGISTER
30
108
9
10
31
51, 56
51, 56
121
9
10

Eigenschappen van vierhoeken

Related documents

Products

Support

Eigenschappen van vierhoeken

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib