Gereedschapskist meetkunde

Gereedschapskist meetkunde
Op het einde van het derde jaar zou de gereedschapskist meetkunde er bijvoorbeeld als volgt kunnen
uitzien (uiteraard aan te passen aan de studierichting en verder aan te vullen in het vierde jaar):
Hoe kunnen we bewijzen dat de maatgetallen van 2 hoeken even groot zijn?
Als we bijvoorbeeld kunnen aantonen dat:
 ze hetzelfde complement (supplement) hebben
 het overstaande hoeken zijn
 de benen van de ene hoek evenwijdig zijn met of loodrecht staan op de benen van de andere
hoek en ze beide scherp (of stomp) zijn
 ze hetzelfde maatgetal hebben (na berekening bijvoorbeeld)
 het twee overeenkomstige hoeken, verwisselende binnenhoeken, verwisselende buitenhoeken, …
zijn bij evenwijdige rechten gesneden door een snijlijn
 het basishoeken zijn van een gelijkbenige driehoek
 het hoeken zijn die gevormd worden door een bissectrice van een hoek
 ze allebei rechte hoeken zijn
 het overeenkomstige hoeken zijn van congruente driehoeken
 het basishoeken zijn van een gelijkbenig trapezium
 het overstaande hoeken zijn van een parallellogram (dus ook van rechthoek, ruit, vierkant)
 de ene hoek het beeld is van de andere door een verschuiving, een spiegeling, een draaiing, een
puntspiegeling of een homothetie
 het overeenkomstige hoeken zijn van gelijkvormige driehoeken
 het scherpe hoeken zijn met dezelfde tangens, sinus en cosinus
 …
Door bijvoorbeeld gebruik te maken van
 de omgekeerde bissectricestelling
 …
Hoe kunnen we bewijzen dat 2 rechten evenwijdig zijn?
Door bijvoorbeeld aan te tonen dat
 de ene rechte het beeld is van de andere door een verschuiving, een puntspiegeling of een
gelijkvormigheid (ev. homothetie)
 beide rechten elk evenwijdig zijn met een gegeven andere rechte
 eenzelfde rechte loodrecht staat op beide rechten
 het twee rechten zijn die gesneden worden door een snijlijn en als zich daarbij één van de
volgende gevallen voordoet:
* 2 overeenkomstige hoeken gelijk zijn
* 2 verwisselende binnenhoeken gelijk zijn
* 2 verwisselende buitenhoeken gelijk zijn
* 2 binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn elkaars supplement zijn
* 2 buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn elkaars supplement zijn
 beide rechten de middelloodlijnen zijn van 2 lijnstukken gelegen op evenwijdige rechten
 de rechten dragers zijn van overstaande zijden van een parallellogram (rechthoek, ruit, vierkant)
 de rechten niet snijdend zijn en niet kruisend zijn
 de richtingscoëfficiënten gelijk zijn
 het dragers zijn van gelijke vectoren
 …
Door bijvoorbeeld gebruik te maken van
 de omgekeerde van de stelling van Thales: als een rechte twee zijden van een driehoek in
evenredige stukken verdeelt, dan is die rechte evenwijdig met de derde zijde (of een andere
formulering)
 de eigenschap van een middenparallel in een driehoek
 …
1
Hoe kunnen we de gelijkheid van (het maatgetal van) de lengte van 2 lijnstukken bewijzen?
Door bijvoorbeeld aan te tonen dat
 het ene lijnstuk het beeld is van het andere door een spiegeling, puntspiegeling, draaiing of
verschuiving
 de lijnstukken de gelijke benen zijn van een gelijkbenige driehoek
 de lijnstukken zijden zijn van een gelijkzijdige driehoek
 beide lijnstukken de helften zijn van een gegeven lijnstuk
 beide lijnstukken een gemeenschappelijk eindpunt hebben op de middelloodlijn van een derde
lijnstuk (de andere eindpunten zijn deze van het derde lijnstuk)
 beide lijnstukken een gemeenschappelijk eindpunt hebben op de bissectrice van een hoek (de
andere eindpunten zijn de voetpunten van de loodlijnen op de benen van de hoek)
 de lijnstukken overeenkomstige zijden zijn van 2 congruente driehoeken
 de lijnstukken de opstaande zijden zijn van een gelijkbenig trapezium
 de lijnstukken de overstaande zijden zijn van een parallellogram
 de lijnstukken 2 zijden zijn van een ruit of een vierkant
 de lijnstukken de diagonalen zijn van een rechthoek
 de lijnstukken zijden zijn van een regelmatige veelhoek
 …
Door bijvoorbeeld gebruik te maken van
 de stelling van Pythagoras (door berekeningen aantonen dat de lengtes van lijnstukken gelijk zijn)
 de afstandsformule
 …
Hoe kunnen we bewijzen dat een punt het midden is van een lijnstuk?
Door bijvoorbeeld aan te tonen dat
 het punt even ver ligt van de eindpunten van het lijnstuk en dat het punt ligt op dat lijnstuk
 het lijnstuk een diagonaal is van een parallellogram en dat het punt samenvalt met het snijpunt
van de diagonalen
 het punt het centrum is van een puntspiegeling waarbij de uiteinden van het lijnstuk elkaars beeld
zijn
 het punt het voetpunt is van de hoogtelijn uit de top in een gelijkbenige driehoek
 het punt het snijpunt is van een zijde en de overeenkomstige zwaartelijn in een driehoek
 …
Door bijvoorbeeld gebruik te maken van
 Een eigenschap van een verschuiving, een puntspiegeling, een spiegeling en een draaiing
(behoud van het midden)
 de formule voor het midden na het invoeren van coördinaten
 …
2
Hoe kunnen we bewijzen dat 2 rechten loodrecht op elkaar staan?
Door bijvoorbeeld aan te tonen dat
 de rechten het beeld zijn van 2 loodrechte rechten door een verschuiving, een puntspiegeling, een
spiegeling, een draaiing of een homothetie
 de ene rechte het beeld is van de andere door een draaiing over een rechte hoek
 de ene rechte de middelloodlijn is van een lijnstuk gelegen op de andere rechte
 de ene rechte hoogtelijn is van een driehoek met betrekking tot de zijde gedragen door de andere
rechte
 …
Door bijvoorbeeld berekeningen uit te voeren:
 maatgetallen van hoeken te berekenen
 goniometrische getallen van hoeken bepalen
 …
Door bijvoorbeeld gebruik te maken van
 een kenmerk van spiegelingen (spiegelas en drager van het lijnstuk dat punt en beeldpunt
verbindt staan loodrecht op elkaar)
 de omgekeerde stelling van Pythagoras
Hoe kunnen we aantonen dat een vierhoek een parallellogram is?
Door bijvoorbeeld aan te tonen dat
 de overstaande zijden evenwijdig zijn
 de overstaande zijden gelijk zijn
 de overstaande hoeken gelijk zijn
 de diagonalen elkaar middendoor delen
 twee overstaande zijden gelijk zijn én evenwijdig
 ...
Hoe kunnen we aantonen dat een parallellogram een rechthoek is?
Door bijvoorbeeld aan te tonen dat
 één van de hoeken recht is
 de diagonalen gelijk zijn
 twee opeenvolgende hoeken gelijk zijn
 …
Hoe kunnen we aantonen dat een parallellogram een ruit is?
Door bijvoorbeeld aan te tonen dat
 de diagonalen loodrecht op elkaar staan
 twee opeenvolgende zijden gelijk zijn
 ...
Hoe kunnen we aantonen dat een parallellogram een vierkant is?
Door bijvoorbeeld aan te tonen dat
 twee opeenvolgende hoeken en twee opeenvolgende zijden gelijk zijn
 ...
3
Hoe kunnen we aantonen dat maatgetallen van lengtes van lijnstukken een evenredigheid
bepalen?
Door bijvoorbeeld gebruik te maken van
 de stelling van Thales
 gelijkvormige driehoeken
- Let op: laat gelijke hoeken corresponderen bij het noteren van de driehoeken.
- Twee driehoeken zijn gelijkvormig als
o ze twee hoeken één aan één gelijk hebben
o twee zijden van de ene evenredig zijn met twee zijden van de andere en de
ingesloten hoeken gelijk zijn
o de drie zijden van de ene driehoek evenredig zijn met de drie zijden van de
andere driehoek
 formules waarbij uit één evenredigheid een andere evenredigheid wordt afgeleid
 de bissectricestelling
 …
Hoe kunnen we bewijzen dat drie rechten concurrent zijn?
Door bijvoorbeeld aan te tonen dat
 een rechte door het snijpunt van de twee andere rechten gaat (als reeds bewezen is dat die
rechten snijden)
 er juist één punt bestaat dat tot de drie rechten behoort
 het zwaartelijnen (hoogtelijnen, bissectrices, middelloodlijnen) zijn van een driehoek
 …
Hoe kunnen we bewijzen dat 3 punten a, b en c collineair zijn?
Door bijvoorbeeld aan te tonen dat
 het derde punt gelegen is op de rechte bepaald door de 2 andere punten
 de rechte door a en b samenvalt met de rechte door b en c
 ab // bc
 …
Door bijvoorbeeld berekeningen te maken:
 de afstanden tussen de punten te berekenen en na te gaan of er een verband bestaat van de
vorm x = y + z waarbij x, y en z de bekomen afstanden zijn
 …
Eigenschappen:





Het zwaartepunt verdeelt de zwaartelijn in twee stukken die zich verhouden als twee tot één.
De driehoeksongelijkheid:
In elke driehoek is elke zijde langer dan het verschil van de twee andere,
maar korter dan hun som.
De eigenschap van een middenparallel in een driehoek
De metrische betrekkingen in een rechthoekige driehoek:
In een rechthoekige driehoek is de hoogtelijn middelevenredig tussen de
stukken waarin ze de schuine zijde verdeelt.
In een rechthoekige driehoek is elke rechthoekszijde middelevenredig
tussen de schuine zijde en haar loodrechte projectie op de schuine zijde.
…
4