Gereedschapskist meetkunde tweede graad so

GEREEDSCHAPSKIST VLAKKE MEETKUNDE
Hoe kunnen we bewijzen dat de maatgetallen van 2 hoeken even groot zijn? (H)
Als we bijv. kunnen aantonen dat:
 ze hetzelfde complement (supplement) hebben
 het overstaande hoeken zijn
 de benen van de ene hoek evenwijdig zijn met of loodrecht staan op de benen van de andere
hoek en ze beiden scherp (of stomp) zijn
 ze hetzelfde maatgetal hebben (na berekening bijvoorbeeld)
 het twee overeenkomstige hoeken, verwisselende binnenhoeken, verwisselende buitenhoeken, …
zijn bij evenwijdige rechten gesneden door een snijlijn
 het basishoeken zijn van een gelijkbenige driehoek
 het hoeken zijn die gevormd worden door een bissectrice van een hoek
 ze allebei rechte hoeken zijn
 het overeenkomstige hoeken zijn van congruente driehoeken
 het basishoeken zijn van een gelijkbenig trapezium
 het overstaande hoeken zijn van een parallellogram (dus ook van rechthoek, ruit, vierkant)
 de ene hoek het beeld is van de andere door een verschuiving, een spiegeling, een draaiing, een
puntspiegeling of een homothetie





het overeenkomstige hoeken zijn van gelijkvormige driehoeken
het scherpe hoeken zijn met dezelfde tangens, sinus en cosinus
door bijv. gebruik te maken van de omgekeerde bissectricestelling
door bijv. gebruik te maken van betrekkingen tussen booglengten en hoeken:
het maatgetal van een omtrekshoek is de helft van het maatgetal van de boog waarop hij staat
……
Hoe kunnen we bewijzen dat 2 rechten evenwijdig zijn? (ER)
Door bijv. aan te tonen dat
 de ene rechte het beeld is van de andere door een verschuiving, een puntspiegeling of een
gelijkvormigheid (ev. homothetie)
 beide rechten elk evenwijdig zijn met een gegeven andere rechte
 eenzelfde rechte loodrecht staat op beide rechten
 het twee rechten zijn die gesneden worden door een snijlijn en als zich daarbij één van de
volgende gevallen voordoet:
 2 overeenkomstige hoeken gelijk zijn
 2 verwisselende binnenhoeken (buitenhoeken) gelijk zijn
 2 binnenhoeken (buitenhoeken) aan dezelfde kant van de snijlijn elkaars supplement zijn
 beide rechten de middelloodlijnen zijn van 2 lijnstukken met evenwijdige dragers
 de rechten dragers zijn van overstaande zijden van een parallellogram (rechthoek, ruit, vierkant).
 de rechten niet snijdend zijn en niet kruisend zijn
 de richtingscoëfficiënten gelijk zijn
 het dragers zijn van gelijke vectoren…
Door bijv. gebruik te maken van
 de omgekeerde van de stelling van Thales:
 als een rechte twee zijden van een driehoek in evenredige stukken verdeelt,
dan is die rechte evenwijdig met de derde zijde (of een andere formulering)
 de eigenschap van een middenparallel in een driehoek
 …
Hoe kunnen we de gelijkheid van (het maatgetal van) de lengte van 2 lijnstukken bewijzen? (L)
Door bijv. aan te tonen dat
 het ene lijnstuk het beeld is van het andere door een spiegeling, puntspiegeling, draaiing of
verschuiving
1











de lijnstukken de gelijke benen zijn van een gelijkbenige driehoek
beide lijnstukken de helften zijn van een gegeven lijnstuk
beide lijnstukken een gemeenschappelijk eindpunt hebben op de middelloodlijn van een derde
lijnstuk (de andere eindpunten zijn deze van het derde lijnstuk)
beide lijnstukken een gemeenschappelijk eindpunt hebben op de bissectrice van een hoek (de
andere eindpunten zijn de voetpunten van de loodlijnen op de benen van de hoek)
de lijnstukken overeenkomstige zijden zijn van 2 congruente driehoeken
de lijnstukken de opstaande zijden zijn van een gelijkbenig trapezium (een parallellogram)
de lijnstukken zijden zijn van een gelijkzijdige driehoek, een ruit of een vierkant
de lijnstukken de diagonalen zijn van een rechthoek
de lijnstukken zijden zijn van een regelmatige veelhoek
de lijnstukken koorden zijn in cirkels met gelijke straal op een gelijke middelpuntshoek
…
Door bijv. berekeningen uit te voeren gebruikmakend van
 de stelling van Pythagoras
 de afstandsformule
 …
Hoe kunnen we bewijzen dat een punt het midden is van een lijnstuk? (Mi)
Door bijv. aan te tonen dat
 het punt even ver ligt van de eindpunten van het lijnstuk en dat het punt ligt op dat lijnstuk
 het lijnstuk een diagonaal is van een parallellogram en dat het punt samenvalt met het snijpunt
van de diagonalen
 het punt het centrum is van een puntspiegeling waarbij de uiteinden van het lijnstuk elkaars beeld
zijn
 het punt het voetpunt is van de hoogtelijn uit de top in een gelijkbenige driehoek
 het punt het snijpunt is van een zijde en de overeenkomstige zwaartelijn in een driehoek
 het punt het snijpunt is van een koorde en de loodlijn op die koorde uit het middelpunt van een
cirkel
 …
Door bijv. gebruik te maken van
 eigenschap van een verschuiving, een puntspiegeling, een spiegeling en een draaiing (behoud
van het midden)
 de formule voor het midden na het invoeren van coördinaten
 …
Hoe kunnen we bewijzen dat 2 rechten loodrecht op elkaar staan? (Lo)
Door bijv. aan te tonen dat
 de rechten het beeld zijn van 2 loodrechte rechten door een verschuiving, een puntspiegeling, een
spiegeling, een draaiing of een homothetie
 de ene rechte het beeld is van de andere door een draaiing over een rechte hoek
 de ene rechte de middelloodlijn is van een lijnstuk gelegen op de andere rechte
 de ene rechte hoogtelijn is van een driehoek met betrekking tot de zijde gedragen door de andere
rechte
 …
Door bijv. berekeningen uit te voeren
 maatgetallen van hoeken berekenen
 goniometrische getallen van hoeken bepalen
 de analytische voorwaarde voor de loodrechte stand gebruiken (verband zoeken tussen de
richtingscoëfficiënten)
 …
Door bijv. gebruik te maken van
 een kenmerk van spiegelingen (spiegelas en drager van het lijnstuk dat punt en beeldpunt
verbindt staan loodrecht op elkaar)
2




de omgekeerde stelling van Pythagoras
de eigenschap dat een omtrekshoek op een middellijn recht is
de eigenschap van de raaklijn in een punt aan een cirkel
…
Hoe kunnen we aantonen dat een vierhoek een parallellogram is? (Pa)
Door bijv. aan te tonen dat
 de overstaande zijden evenwijdig zijn
 de overstaande zijden gelijk zijn
 de overstaande hoeken gelijk zijn
 de diagonalen elkaar middendoor delen
 twee overstaande zijden gelijk zijn én evenwijdig
 ...
Hoe kunnen we aantonen dat een parallellogram een rechthoek is?
Door bijv. aan te tonen dat
 één van de hoeken recht is
 de diagonalen gelijk zijn
 twee opeenvolgende hoeken gelijk zijn
 …
Hoe kunnen we aantonen dat een parallellogram een ruit is?
door bijv. aan te tonen dat
 de diagonalen loodrecht op elkaar staan
 twee opeenvolgende zijden gelijk zijn
 ...
Hoe kunnen we aantonen dat een parallellogram een vierkant is?
door bijv. aan te tonen dat
 twee opeenvolgende hoeken en twee opeenvolgende zijden gelijk zijn
...
Hoe kunnen we aantonen dat maatgetallen van lengtes van lijnstukken een evenredigheid
bepalen?
Door bijv. gebruik te maken van


de stelling van Thales
gelijkvormige driehoeken
- Twee driehoeken zijn gelijkvormig als
o ze twee hoeken één aan één gelijk hebben
o twee zijden van de ene evenredig zijn met twee zijden van de andere en de
ingesloten hoeken gelijk zijn
o de drie zijden van de ene driehoek evenredig zijn met de drie zijden van de
andere driehoek




formules waarbij uit één evenredigheid een andere evenredigheid wordt afgeleid
de bissectricestelling
de eigenschap i.v.m. de macht van een punt t.o.v. een cirkel
…
Hoe kunnen we bewijzen dat drie rechten concurrent zijn?
door bijv. aan te tonen dat
 een rechte door het snijpunt van de twee andere rechten gaat (als reeds bewezen is dat die
3



rechten snijden)
er juist één punt bestaat dat tot de drie rechten behoort
het zwaartelijnen (hoogtelijnen, bissectrices, middelloodlijnen) zijn van een driehoek
…
Hoe kunnen we bewijzen dat 3 punten A, B en C collineair zijn?
door bijv. aan te tonen dat
 het derde punt gelegen is op de rechte bepaald door de twee andere punten
 de rechte door A en B samenvalt met de rechte door B en C
 AB // BC
 …
door bijv. berekeningen te maken
 de afstanden tussen de punten te berekenen en na te gaan of er een verband bestaat van de
vorm x = y + z waarbij x, y en z de bekomen afstanden zijn
 …

Eigenschappen






Het zwaartepunt verdeelt de zwaartelijn in twee stukken die zich verhouden als twee tot één.
De driehoeksongelijkheid:
in elke driehoek is elke zijde langer dan het verschil van de twee andere, maar korter dan
hun som.
De eigenschap van een middenparallel in een driehoek
De metrische betrekkingen in een rechthoekige driehoek:
In een rechthoekige driehoek is de hoogtelijn middelevenredig tussen de stukken
waarin ze de schuine zijde verdeelt.
In een rechthoekige driehoek is elke rechthoekszijde middelevenredig tussen de
schuine zijde en haar loodrechte projectie op de schuine zijde.
…
…
Zie verder leerplan p.66
4