H12-Hoeken-berekenen..

H12 Hoeken berekenen
Net zoals je de lengte van lijnstukken kunt meten met een liniaal, kun je ook de grootte van hoeken meten
met een geodriehoek. De grootte van een hoek meten we in graden.
Als een wijzer van de klok helemaal rond is gegaan, heeft hij een hoek van 360 graden beschreven. Voor
graden gebruiken we het symbool °.
Som 1 De wijzers van de klok
a
Over hoeveel graden draait de grote wijzer van een klok in een half uur?
En in tien minuten?
En in één minuut?
b
°
°
°
Over hoeveel graden draait de kleine wijzer van een klok in één uur?
°
Som 2
b
Hoeveel graden is een rechte hoek?
Vul het passende getal in.
c
Een scherpe hoek is kleiner dan
Vul de passende getallen in.
d
Een stompe hoek is groter dan
Vul de passende getallen in.
a
Een gestrekte hoek is
°
°.
° en kleiner dan
°.
°
Met je geodriehoek of kompasroos kun je scherpe, rechte, stompe en gestrekte hoeken meten. Ook
inspringende hoeken kun je meten. Daarvoor moet je wel een trucje gebruiken.
Som 3
a
Meet de hoek van de geodriehoek hiernaast.
Hoe groot is de hoek, 73° of 107°?
b
Hierboven staan twee hoeken
Meet ze op.
Hoe groot zijn de twee getekende hoeken?
°
en
°
Hierna volgt een aantal opgaven om te maken. Het gaat erom heel precies te tekenen en te meten.
Later gaan we over hoeken redeneren. Dan hebben we de resultaten van deze opgaven weer nodig.
Som 4
a
Teken in je schrift een hoek van 1°.
b
Teken in je schrift een hoek van 63° en ook een hoek van 108°.
Som 5
a
Teken in je werkschrift een driehoek waarvan één zijde 5 cm, één zijde 4 cm en de derde zijde 3 cm
lang is. (Let op er zit een rechte hoek in)
b
Meet met je geodriehoek hoe groot de drie hoeken zijn. Schrijf bij elke hoek het aantal graden.
Som 6
a
Teken in je schrift een driehoek met een zijde van 3 cm, een zijde van 5
cm en met een rechte hoek tussen deze twee zijden, zoals in het plaatje. Meet de
hoeken van de driehoek. Schrijf weer bij elke hoek het aantal graden.
b
c
Hoe groot zijn de drie hoeken van deze driehoek samen?
°
Teken nog een andere driehoek met een rechte hoek. Hoe groot zijn
hiervan de drie hoeken samen?
°
Een driehoek met een rechte hoek noemen we een rechthoekige driehoek.
In tekeningen zijn onnauwkeurigheden niet te vermijden. Ook meten is onnauwkeurig. Het is dus goed
mogelijk dat twee leerlingen bij de vorige opgave uitkomsten krijgen die een beetje verschillen. Toch kunnen
ze allebei nauwkeurig te werk zijn gegaan.
Som 7 Hieronder is een vijfhoek getekend.
Wij noemen dit een vijfhoek omdat het figuur
.... hoeken heeft.
a Meet de vijf hoeken van de vijfhoek en schrijf bij elk
van de hoeken hoe groot hij is.
b
Hoe groot zijn de vijf hoeken samen?
De hoekpunten van de driehoek hiernaast zijn A, B en C. Daarom
noemen we deze figuur driehoek ABC. De lengte van zijde AB is 65
mm. De grootte van hoek A is 66°. We schrijven dat zo op: AB = 65
mm; A = 66°. A betekent: de grootte van hoek A.
Som 8
a
In je schrift teken je een driehoek ABC met alleen maar scherpe hoeken. Meet de hoeken en schrijf de
resultaten erbij.
b
Welke uitkomst krijg je voor A + B + C? =
°
Teken In je schrift een driehoek PQR met een stompe en twee scherpe hoeken. Meet de hoeken en
schrijf de resultaten erbij.
Welke uitkomst krijg je voor P + Q + R? =
°
Een scherphoekige driehoek is een driehoek met alleen maar
scherpe hoeken.
Een stomphoekige driehoek is een driehoek met een stompe
hoek.
In deze paragraaf hebben we geleerd dat hoeken worden gemeten in
graden en dat, als je 360 graden draait, je helemaal rond bent.
Vanaf nu zul je vaak hoeken moeten berekenen; je mag dan niet
meten!
Som 9 In deze tekening zie je lijn l met daarop punt S en halve lijn k die scharniert om punt S. De hoeken a
en b zijn dus steeds verschillend. Samen vormen a en b wel steeds een
gestrekte hoek.
a
Neem aan dat a = 77°. Wat is dan b? b =
b
Neem aan dat k nu zó staat dat b 111° is. Hoe groot is dan hoek a? a =
c
In nog een andere situatie weten we dat hoek b twee keer zo groot is als hoek a.
Hoe groot is dan hoek a? a =
°
°
°
In het plaatje hiernaast zie je twee lijnen die elkaar snijden. Zoals je ziet
ontstaan er daardoor vier hoeken. In het plaatje hebben we die hoeken a,
b, c en d genoemd. De hoeken a en c liggen tegenover elkaar. We noemen
ze daarom overstaande hoeken.
De hoeken b en d liggen ook tegenover elkaar, dus dat zijn ook
overstaande hoeken.
Kijk nog eens naar het plaatje van de definitie van overstaande hoeken. Je zult wel niet twijfelen aan het
volgende:

De hoeken a en c zijn even groot,

de hoeken b en d zijn even groot.
We kunnen dat ook beredeneren.
Som 10
Vul in.
a + b =
° en b + c =
°
Dus net als in de vorige opgave concluderen we: a = c.
Met een soortgelijke redenering kunnen we concluderen: b = d.
We hebben nu heel algemeen laten zien dat overstaande hoeken even groot
zijn. Dit resultaat willen we later misschien nog eens gebruiken. Zo'n
belangrijk resultaat van een redenering noemen we een stelling. In
paragraaf 4 vertellen we hier meer over.
Omdat we deze stelling graag willen onthouden, schrijven we hem nog even
duidelijk op.
Stelling van de overstaande hoeken
Overstaande hoeken zijn even groot.
Som 11
Van de hoeken in deze figuur weten we: c = 60° en d = 40°.
Hoe groot zijn de volgende hoeken?
e =
° f =
° g =
° h =
°
Som 12
De drie hoeken die in de figuur bij A samenkomen zijn even groot. De vijf hoeken bij B ook. Bij C komen drie
hoeken samen. Twee ervan zijn even groot en de derde is, zoals in de figuur is aangegeven, recht.
a
Hoe groot is elk van de hoeken bij A? En bij B?
A :=
b
°
B :=
°
Bereken de grootte van de twee even grote hoeken bij C.
C :=
°
Som 13
Om drie uur maken de wijzers van de klok een hoek van 90°.
a
Bereken de hoek tussen de wijzers van de klok
op de volgende tijden.
Om half 2, is de hoek
°
b
om 12 minuten voor 2, is de hoek
c
en om kwart over 11 is de hoek
°
°
Som 14
Drie lijnen gaan door één punt. Er zijn zes hoeken bij het snijpunt.
Drie van die hoeken zijn
aangegeven.
Hoe groot zijn die drie hoeken samen? Schrijf ook op hoe je je antwoord hebt gevonden.
Som 15
Hoeken van 90°, 180° en 270° zijn gemakkelijk te herkennen. Deze geven daarom een houvast om te
schatten hoe groot hoeken zijn. Het is in deze opgave niet de bedoeling dat je hoeken meet. Je antwoorden
hoeven alleen maar ongeveer te kloppen.
a
Schat hoe groot de hoeken a, b en c zijn. Je mag 10°van de ware grootte afzitten.
a =
b
°
b =
°
c =
°
Schat hoe groot de hoeken van de vierhoek zijn.
a =
°
b =
°
c =
°
d =
°