Antwoordenblad bij werkblad 1 - lessenserie Getallen Opdracht 2

Werkblad 1
bij lessenserie Getallen
Dit is een regelmatige vijfhoek.
Opdracht 1
Verleng alle zijden naar beide kanten, tot ze elkaar snijden. De figuur is nu een
stervijfhoek. Het herkenningsteken van de Pythagoreeërs.
Binnenin kan je steeds weer kleinere stervijfhoeken tekenen. Ga als volgt te
werk: Verbind alle hoekpunten van de regelmatige vijfhoek (die nog niet
verbonden zijn) door een rechte lijn.
Opdracht 2
De figuur is symmetrisch. Er zijn 5 symmetrielijnen in de figuur. Teken één van
deze symmetrielijnen (met een andere kleur) in je figuur.
In opdracht 1 heb je een figuur gemaakt met stervijfhoeken, zoals de figuur
hieronder. Je kan nu verder werken met deze figuur.
Vanwege de symmetrie zijn veel driehoeken in de figuur congruent en nog
meer driehoeken gelijkvormig.
Opdracht 3
Vind zoveel mogelijk congruente driehoeken. Je hoeft ze niet allemaal op te
schrijven. Je hoeft ook niet het bewijs van congruentie te geven.
Wat voor soort driehoeken zijn alle driehoeken in de figuur?
We bekijken nu de lengten van de zijden van ΔABE .
We kiezen de eenheid zo klein dat er precies een geheel aantal eenheden past
in |AB| en in |BE|. Met andere woorden, we kiezen 1 zodanig dat |AB| en
|BE| gehele getallen zijn.
|AB| en |BE| zijn dus zowel lengtes als getallen.
Opdracht 4
Probeer de ggd van de getallen |AB| en |BE| te vinden. Gebruik hiervoor de
procedure van de Pythagoreeërs om de ggd te vinden en de meetkundige
eigenschappen van de figuur met de
Procedure van de Pythagoreeërs om de ggd te vinden
stervijfhoeken.
van twee getallen
Lukt het?
Zo ja, wat is de ggd?
Zo nee, waarom kan je de ggd niet
vinden? En wat betekent dat?






Neem de twee getallen
Trek de kleinste af van de grootste
Ga verder met het antwoord en de kleinste
Trek weer de kleinste af van de grootste
Herhaal dit tot je twee dezelfde getallen hebt.
Dat is de ggd
Opdracht 5
Of opdracht 4 nu gelukt is of niet,
|BE|
je kan de verhouding
berekenen met de meetkundige eigenschappen
|AB|
van de figuur.
Bereken
|BE|
|AB|
Antwoordenblad bij werkblad 1
-
lessenserie Getallen
Opdracht 2. De figuur is symmetrisch in de lijn door A en A’, ook in de lijn door
B en B’ en in de lijn door C en C’ en in de lijn door D en D’ en in die door E en E’.
Opdracht 3
Congruente driehoeken zijn bijvoorbeeld:
ΔABD’≅ ΔAEC’ ≅ΔBCE’ … en ΔAC’D’≅ ΔEC’B′ ≅ΔDB’A’ …
en ΔAED’≅ ΔABC’ ≅ΔB’AE’≅ΔC’BA’ … en ΔEAB≅ ΔABC ≅ΔBCD … en
en overal een accent bij:
ΔA’B’D’’≅ ΔA′E′C′’ ≅ΔB’C’E’’ … en ΔA’C’’D’’≅ ΔE′C′′B′′ ≅ΔD’B’’A’’ …
en ΔA’E’D’’≅ ΔA′ B ′ C′′ ≅ΔB’’A’E’’≅ΔC’’B’A’’ … en ΔE’A’B’≅ ΔA′B′C′
≅ΔB’C’D’ … etc.
gelijkvormige driehoeken zijn bijv: ∆BEA ~∆ABD’ ~∆D′B′C′ ~∆D’C’A” … etc
en ∆CDA ~∆𝐸′𝐵′𝐴 ~∆𝐷′ 𝐶 ′ 𝐴 ~∆B′A′D’ ~∆𝐶′′E′′D′ … etc
Alle driehoeken zijn gelijkbenig.
Opdracht 4
We beginnen met de twee getallen: |AB| en |BE|
(Zijden van ∆BEA)
De kleinste van de grootste aftrekken geeft: |BE| -|AB| = |BE|-|BC’|=|EC’|
We hebben dan nu als getallen:
Of (omdat |EC’| = |BD’|) :
Of (omdat ook |AB| = |BC’|):
|EC’| en |AB|
|BD’| en |AB|
|BD’| en |BC’|
(zijden van ∆ABD’)
Nog een keer de kleinste van de grootste aftrekken geeft:
|BC’|- |BD’| = |C’D’|
Dus we hebben nu als getallen |C’D’| en |BD’|
Of (omdat |BD’| = |B’D’|):
|C’D’| en |B’D’|
We weten: ∆BEA ~∆ABD’ ~∆D′B′C′
(zijden van ∆D’B’C’)
We zien dat de getallen die we steeds krijgen zijn: de lengten van steeds
kleinere maar gelijkvormige driehoeken. In de figuur zijn oneindig veel van die
steeds kleinere gelijkvormige driehoeken. We kunnen dus oneindig lang
doorgaan met de procedure. We zullen nooit twee dezelfde getallen vinden.
Of: De twee getallen die we na elke stappen krijgen, hebben steeds dezelfde
verhouding tot elkaar (omdat ze de lengten zijn van gelijkvormige driehoeken).
Die verhouding blijft hetzelfde na elke stap. We zullen dus nooit uitkomen op
twee gelijke getallen, hoeveel stappen we ook nemen.
Er is dus geen ggd!
Maar twee gehele getallen hebben altijd een ggd! (de kleinste is 1)
Kennelijk hebben we ergens een verkeerde aanname gedaan.
We hebben aangenomen dat we een eenheid konden vinden zodanig dat |AB|
en |BE| gehele getallen zijn.
Dat kan dus kennelijk niet.
Dat betekent dat de verhouding tussen |BE| en |AB| niet als een breuk te
schrijven is.
Hoe dan wel? Zie volgende opdracht
Opdracht 5
Er zijn veel wegen naar de goede oplossing. Dit is er één:
∆BEA ~∆ABD’ =>
|BE|
=
|AB|
|AB|
|BD’|
Neem nu |AB|=1 |BE| = x
(1)
(2)
ΔABD’≅ ΔAEC’ => |BD’| = |EC’|
ΔABC is gelijkbenig => |AB|=|BC’|
=> |BD’| = x-1
(3)
|EC’| = |BE| - |BC’|
(1) en (2) en (3) =>
𝑥
1
=
1 𝑥−1
=> x2-x- 1=0 => x =
1
2
+
1
2
√5
(de andere oplossing heeft geen betekenis)