Een nieuwe wereld uit het niets

Een nieuwe wereld uit het niets
Gert Vegter
Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG)
[email protected]
HOVO, 17 april 2007
1
Overzicht
Contents
1
Inleiding
2
Het parallellenpostulaat en de Elementen van Euclides
2.1 Definities, postulaten, proposities . . . . . . . . . . .
2.2 Kritiek op het parallellenpostulaat . . . . . . . . . .
2.3 Het parallellenpostulaat . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Saccheri en Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
3
4
7
7
Hyperbolische meetkunde
3.1 Gauss, Bolyai en Lobatchewski . . . . . . .
3.2 Het Beltrami model . . . . . . . . . . . . .
3.3 Het Poincaré-model . . . . . . . . . . . . .
3.4 Riemann, Einstein en de relativiteitstheorie
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
13
14
17
Escher
4.1 Spiegelingen en betegelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Inversie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Betegelingen van het hyperbolische vlak . . . . . . . . . . . . . . . .
19
21
24
26
3
4
1
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Inleiding
Meetkunde in Babylonië, Egypte en Griekenland
• Egypte: vooral praktisch (piramides, navigatie)
• Babylonië: praktisch (bouwkunst, astronomie), constructief (rekenmethoden)
• Griekenland:
– Praktisch, constructief (inductief)
– Theoretisch: meetkunde als deductief systeem
∗
∗
∗
∗
Thales (ca. 624–546 v. Chr.)
Pythagoras (ca. 569–507 v. Chr.)
Aristoteles (384–322 v. Chr.)
Euclides (325–265 v. Chr)
2
Het parallellenpostulaat en de Elementen van Euclides
Euclides
Euclides
325–265 v. Chr.
Papyrus met Elementen (Grieks)
Euclides: deductief systeem voor de meetkunde
Vóór Euclides:
• Veel meetkundige kennis
• Stellingen met bewijzen (bijv. stellingen van Pythagoras en Thales)
Euclides:
1. Definities
2. Postulaten (Axioma’s)
3. Proposities (Stellingen)
Paradigmawisseling: Van inductief (Egypte, Babylonië) naar deductief systeem (Aristoteles, Euclides)
Euclides: meetkunde van vlak en ruimte
1. Eigenschappen van figuren
2. Gebaseerd op eigenschappen van vlak en ruimte:
• Congruentie
• Gelijkvormigheid
• Evenwijdigheid
2
2.1
Definities, postulaten, proposities
Definities van Euclides – enkele voorbeelden
Definitie 1 (Punt – I.1). Een punt is, wat geen deel heeft
Definitie 2 (Rechte hoek – I.10). Wanneer een lijn, op een lijn staande, de aan elkaar
grenzende hoeken aan elkaar gelijk maakt, is elk der gelijke hoeken recht en de opstaande lijn heet de loodlijn op die, waarop ze staat
Definitie 3 (Parallelle lijnen – I.23). Parallel zijn lijnen, die in hetzelfde platte vlak gelegen en naar weerszijde tot in het oneindige verlengd, naar geen van beide zijden elkaar ontmoeten
Postulaten van Euclides
Postulaat 1 (I.1). Van een punt naar een ander punt kan een lijn worden getrokken
Postulaat 2 (I.2). Een lijnstuk kan worden verlengd tot een lijn
Postulaten van Euclides
Postulaat 3 (I.3). Bij een gegeven middelpunt en een gegeven straal kan een cirkel
beschreven worden
Postulaat 4 (I.4). Alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk
Deze postulaten zijn onafhankelijk
3
Het parallellenpostulaat
Postulaat 5 (I.5, versie van Euclides). Als twee lijnen gesneden worden door een derde,
en de som van de binnenhoeken aan één kant van de derde lijn is kleiner dan 180o , dan
snijden deze twee lijnen elkaar aan diezelfde kant van de derde lijn
Postulaat 6 (I.5, versie van Playfair – 1795 na Chr.). Door een gegeven punt buiten
een lijn gaat precies één lijn evenwijdig aan die lijn
2.2
Kritiek op het parallellenpostulaat
DE kwestie
Is het parallellenpostulaat (PP) te bewijzen uit de overige postulaten?
• Euclides gebruikte PP zo weinig mogelijk
• Proclus (Griekenland, 411–485 na Chr.). Dit (het PP) zou als postulaat verwijderd moeten worden. Want het is een propositie . . .
Kritiek uit het Westen
• John Wallis (1616–1703): bewees het PP uit de aanname dat er gelijkvormige
driehoeken bestaan
• Giordano Vitale (1633–1711): probeerde te bewijzen dat de equidistant van een
lijn een lijn is. H.u.v. het PP (Fout)
• Girolamo Saccheri, S.J. (1667 – 1733): Reductio ad absurdum
– Hypothese van de scherpe (stompe) hoek: de som van de hoeken van een
driehoek is kleiner (groter) dan 180o .
– Toonde aan dat de hypothese van de stompe hoek leidt tot een tegenspraak
(Correct)
– Beweerde dat de hypothese van de scherpe hoek leidt tot een tegenspraak
(Fout)
• Johann Heinrich Lambert (1728–1777):
– Weerlegde de hypothese van de stompe hoek (Correct)
– Leidde een aantal (niet-euclidische) stellingen af uit de hypothese van de
scherpe hoek (Correct)
4
Proposities zonder parallellenpostulaat (2)
Stelling 1 (Congruentiegeval ZHZ – Propositie I.4). Twee driehoeken zijn congruent als twee zijden van de eerste driehoek even lang zijn als twee zijden van de andere
driehoek en de ingesloten hoeken even groot zijn
C
F
A
D
B
E
C
F
A
D
B
E
C
F
A
D
B
E
‘Bewijs’ zonder parallellenpostulaat
Proposities zonder parallellenpostulaat (2)
Stelling 2 (Propositie I.6). Een buitenhoek is groter dan elk van de niet-aanliggende
binnenhoeken
5
[1cm] ∠CBZ > ∠BAC en
C
A
B
Z
∠CBZ > ∠ACB
[1cm] D: midden van BC
C
D
A
B
Z
[1cm] E: zó dat D midden is van AE
C
E
D
A
B
Z
[1cm] ∆ACD ∼
= ∆EBD
C
E
D
A
B
C
[1cm] Dus: ∠ACD = ∠EBD < ∠ZBC
E
D
A
B
Z
6
[1cm] ‘Bewijs’ zonder parallellenpostulaat
C
E
D
A
B
Z
(gebruik ZHZ)
2.3
Het parallellenpostulaat
Stellingen equivalent met het parallellenpostulaat (1)
Stelling 3 (I.29). Als twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde, dan
zijn de verwisselende binnenhoeken gelijk
C
A
Stelling 4 (I.32a). De buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de nietaanliggende binnenhoeken
Stellingen equivalent met het parallellenpostulaat (2)
Stelling 5 (I.32b). De som van de hoeken van een driehoek is 180o
C
A
2.4
B
Saccheri en Legendre
Girolamo Saccheri, S.J. (1667 – 1733)
• Kritiek op Euclides’ parallellenpostulaat
7
B
Z
• Poging parallellenpostulaat te bewijzen uit de overige postulaten
•
Euclide Ab Omni Naevo Vindicatus (Euclides van
elke smet bevrijd)
Saccheri vierhoek (1)
• Vele pogingen het PP te bewijzen uit overige postulaten
• Poging Saccheri: bewijs uit het ongerijmde
Stelling 6 (Saccheri). Laat AC en BD gelijke lengte hebben en loodrecht staan op
AB, zó dat C en D aan dezelfde kant van AB liggen. Als we CD trekken, dan zijn de
hoeken bij C en D gelijk
C
D
C
D
A
B
A
B
C
D
A
B
Bewijs zonder parallellenpostulaat
Saccheri vierhoek (2)
Stelling 7 (Saccheri). Laat AC en BD gelijke lengte hebben en loodrecht staan op
AB, zó dat C en D aan dezelfde kant van AB liggen. Als we CD trekken, dan zijn de
hoeken bij C en D gelijk
8
C
A
C
A
C
A
C
A
F
D
B
E
F
D
B
E
F
D
B
E
F
D
B
E
9
C
A
C
A
F
D
B
E
F
D
B
E
Bewijs zonder parallellenpostulaat (gebruik ZHZ)
Stellingen van Saccheri, bewijs zonder PP
Stelling 8 (Drie musketiersstelling). Als er een Saccheri-vierhoek is met scherpe/rechte/stompe
tophoeken, dan heeft elke Saccheri-vierhoek is met scherpe/rechte/stompe tophoeken
Stelling 9. Bij een gegeven driehoek is een Saccheri-vierhoek te construeren waarvan
de som van de tophoeken gelijk is aan de som van de hoeken van de driehoek
Stelling 10 (Saccheri-Legendre). De som van de hoeken van een driehoek is niet
groter dan 180o
Saccheri’s fout
• Voorwaarde: alleen bewijzen zonder gebruik te maken van het Parallellenpostulaat
•
– Hypothese van de stompe hoek: De tophoeken van een Saccheri-vierhoek
zijn groter dan een rechte hoek.
– Leidt tot een tegenspraak (correct)
•
– Hypothese van de scherpe hoek: De tophoeken van een Saccheri-vierhoek
zijn kleiner dan een rechte hoek.
– Saccheri’s "bewijs" uit het ongerijmde: Hieruit volgt een tegenspraak (niet
correct), dus zijn de tophoeken van elke Saccheri-vierhoek recht
• "Gevolg": de som van de hoeken van een driehoek is 180o , en daaruit volgt het
Parallellenpostulaat
10
Vooravond van de hyperbolische meetkunde
• Het parallellenpostulaat houdt (voorlopig?) de status van Postulaat
• Als er een driehoek is waarvan de som van de hoeken gelijk is aan 180o , dan
is de som van de hoeken van elke driehoek gelijk aan 180o , en dan geldt het
Parallellenpostulaat
• Als er een driehoek is met hoekensom kleiner dan 180o , dan is de som van de
hoeken van elke driehoek kleiner dan 180o , en dan geldt het Parallellenpostulaat niet
3
3.1
Hyperbolische meetkunde
Gauss, Bolyai en Lobatchewski
Hyperbolische meetkunde: grondleggers
Karl Friedrich
Gauss (Duitsland)
Nikolay Ivanovich
Lobachevsky (Rusland)
1777–1855
1792–1856
11
János
Bolyai (Hongarije)
(nu: Roemenië)
1802–1860
Hyperbolische meetkunde: eer van het nageslacht
Gauss (Brunswick)
1777–1855
Lobachevsky (Kazan)
1792–1856
Bolyai (Tsjechië)
1802–1860
Kant’s ruimte en Gauss
• Kant = Euclides + Newton
• Kant: Onze (euclidische!) ruimte is a priori en synthetisch
• Gauss: “Ik kom meer en meer tot de overtuiging dat de noodzaak van onze
meetkunde niet kan worden bewezen. ( . . . ) moet men de Meetkunde niet
dezelfde status geven als de Rekenkunde, die waarlijk a priori is, maar als de
Mechanica.” [Gauss in een brief aan Olbers, 1817]
Historie: Gauss
• De eerste (?) die een niet-euclidische meetkunde niet uitsloot
• Enkele resultaten op dit terrein
• Geen publicaties over niet-euclidische meetkunde: “Ondertussen zal ik deze
uitvoerige onderzoekingen vermoedelijk niet meer tijdens mijn leven publiceren,
want ik vrees de schreeuw van de Boeötiers die zou opklinken als ik mijn kijk op
deze zaak zou geven” [Brief aan Bessel, 1929]
Historie: Lobachevsky
• Was met Janos Bolyai de eerste die aantoonde dat een niet-euclidische meetkunde
tegenspraakvrij is.
• Publicatie in 1829 in de Boodschapper van Kazan Lange tijd onopgemerkt
gebleven.
12
Historie: Janos Bolyai
• Farkas Bolyai (vriend van Gauss) aan zijn zoon János: “Je moet deze benadering van de parallellen niet uitproberen. ( . . . ) Ik heb door deze bodemloze nacht
gereisd, die alle licht en mijn levensvreugde doofde.”
• János Bolyai aan zijn vader (3 november 1823): Ik heb nu besloten een werk
over parallellen te publiceren. ( . . . ) Ondertussen kan ik alleen dit zeggen: Ik
heb een wereld uit het niets geschapen.
• Toonde onafhankelijk van Lobachevsky aan dat een niet-euclidische meetkunde
tegenspraakvrij is. Publicatie in 1831, als appendix in vader’s boek
• Reactie van Gauss op het werk van Janos Bolyai: Dit werk te prijzen zou betekenen dat ik mijzelf prijs. Want de hele inhoud van het werk komt bijna exact
overeen met mijn eigen gedachten, die mij de laatste dertig jaar bezig houden.
[Brief van Gauss aan Farkas Bolyai, 1832]
3.2
Het Beltrami model
Beltrami model van de hyperbolische meetkunde
C
• Punt: binnen de cirkel C
• Lijn: open lijnstuk dat punten op C verbindt
• Horizon: de cirkel C (het oneindige)
• Voldoet aan Postulaten I.1–4 van Euclides.
• Voldoet niet aan het Parallellenpostulaat.
• Hoek- en afstandmeting zijn lastig.
13
3.3
Het Poincaré-model
Het Poincaré-model
Ultraparallel
Parallel
• Punt: binnen de cirkel C.
• Lijn: cirkelboog die punten op C verbindt, en C loodrecht snijdt.
• Horizon: de cirkel C (het oneindige).
• Hoek tussen lijnen: euclidische hoek tussen euclidische raaklijnen (Conform
model)
• Afstand: ‘evenredig met euclidische afstand tot C’
Het Poincaré-schijfmodel
• Voldoet aan Postulaten I.1–4 van Euclides.
• Voldoet niet aan het Parallellenpostulaat.
Postulaten I.1 en I.2
Postulaat 7 (I.1). Van een punt naar een ander punt kan een lijn worden getrokken
14
Postulaat 8 (I.2). Een lijnstuk kan worden verlengd tot een lijn.
Cirkels in de Poincaréschijf
Postulaat 9 (I.3). Bij een gegeven middelpunt en een gegeven straal kan een cirkel
beschreven worden.
Hyperbolische cirkel: Ronde (euclidische) cirkel, met ‘verschoven’ middelpunt.
15
Van Beltrami naar Poincaré (Klein)
16
3.4
Riemann, Einstein en de relativiteitstheorie
Riemann en de elliptische meetkunde
Alle geodeten hebben twee snijpunten
Georg Friedrich Bernhard
Riemann (1826-1866)
• Leerling van Gauss
• Über die Hypothesen welche die Geometrie zugrunde liegen Habilitationsschrift, 1854
Riemann en grondslagen van de meetkunde
Elliptische meetkunde
Hyperbolische meetkunde
Positieve kromming
Negatieve kromming
Som van de hoeken van een driehoek:
> 180o
< 180o
Niet-euclidische meetkundes!
Riemann, Einstein en de relativiteitstheorie
• Riemann: kromming en geodeten zijn intrinsiek voor het oppervlak (ook voor
bolbewoners merkbaar)
• Einstein: lichtstralen zijn geodeten in een gekromde ruimte-tijd (Algemene relativiteitstheorie, 1915)
17
• Zonsverduistering 1919 (West Afrika): lichte afbuiging van sterrenlicht langs de
zon. Bevestiging van Einstein Algemene Relativiteitstheorie.
• Paradigmawisseling: ruimte en tijd zijn gekromd!
18
4
Escher
Circle Limit III
Circle Limit IV (met betegeling)
19
Symmetry Work 45
20
4.1
Spiegelingen en betegelingen
Lijnspiegeling in zijden eenheidsvierkant
C
B
D
A
Betegeling via lijnspiegeling
C
B
D
A
21
C
BC = CB
B
D
A
Betegeling met zeshoeken (1)
Betegeling met zeshoeken (2)
22
Regelmatige vlakbetegelingen
Alleen met regelmatige
• driehoeken (graad 6, want 6 × 60o = 360o )
• vierkanten (graad 4, want 4 × 90o = 360o )
• zeshoeken (graad 3, want 3 × 120o = 360o )
23
4.2
Inversie
Inversie in een cirkel (1)
• Spiegeling in hyperbolische lijn?
• Inversie in cirkel C beeldt A (6= O) af op A0 , met OA · OA0 = r2 .
• Punten op C worden op zichzelf afgebeeld.
C
A’
A
O
r
Inversie in een cirkel (2)
Stelling 11 (Orthogonale cirkels). Als cirkel C 0 de inversiecirkel C loodrecht snijdt,
dan gaat C 0 onder inversie in C in zichzelf over.
A’
C
A
C’
O
r
• Laat A punt op C 0 zijn, A0 tweede snijpunt van OA met C 0 .
• Dan OA · OA0 = r2 , dus A0 is beeld van A onder inversie in C.
24
Een stelling uit de vlakke meetkunde
B
B
A
A
O
O
M
C
D
P
OA · OB = OP 2
OA · OB = OC · OD
Inversie in een cirkel (3)
A’
B’
A
O
B’
B
B
[1cm]
• Inversie in C beeldt A af op A0 , en B op B 0
• Inversie
⇐⇒
spiegeling in hyperbolische lijn
25
4.3
Betegelingen van het hyperbolische vlak
Circle Limit IV (met betegeling)
Hoe zit het met Escher’s cirkellimieten?
Inversie in zijden moedertegel
Inversie van moedertegel in zijden.
Inversie van eerste generatie in zijden moedertegel.
Zeshoeken met hoeken van 900 (graad 4).
Circle Limit IV (met betegeling)
26
Regelmatige betegelingen van de Poincaréschijf
Zeshoeken met hoeken van 72o (graad 5) en 60o (graad 6).
Aanbevolen literatuur
1. Jeremy Gray: Ideas of Space. Euclidean, Non-Euclidean and Relativistic, Clarendon Press, Oxford, 1979
Toegankelijk
2. Robin Hartshorne: Geometry: Euclid and beyond, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, New York, 2000
Iets lastiger
3. H.S.M. Coxeter: Introduction to Geometry, Wiley, New York, 1969
27