Analytische Meetkunde en andere soorten meetkunde

Analytische en andere soorten
meetkunde
van Mavo tot Maple
Utrecht, 9 januari 2016
Wintersymposium KWG
Jeroen Spandaw
[email protected]
Puzzel mavo 3
Puzzel mavo 3
Puzzel mavo 3
• Veronderstel:
– zijde 1
– rechte hoeken
– enzovoorts
• Relaties tussen x en y
• Geven x = 2/3.
• Analytische meetkunde
zonder coördinaten!
Dudeney
• Puzzel van 4 stukjes,
• waarmee je een
vierkant kunt leggen
• en een gelijkzijdige
driehoek.
• Construeer!
Synthetisch versus Analytisch
• Synthetisch:
– samenvoegen
– opbouw van start (gegevens) tot finish (conclusie)
– axiomatisch
• Analytisch:
–
–
–
–
–
uit elkaar halen
van finish (conclusie) naar start (gegevens)
coördinaten, vectoren
algebraïsche (!) & analytische methoden (= limieten)
R2, R3 en deelverzamelingen (bollen, torus, wilder)
Samenvatting
• Synthetische oplossingen kunnen
– mooi zijn
– inzicht geven
– lastig te vinden zijn
• Maar het tegendeel kan ook
• Voor analytische oplossingen
Samenvatting
• Synthetische oplossingen kunnen
– mooi zijn
– inzicht geven
– lastig te vinden zijn
• Maar het tegendeel kan ook
• Voor analytische oplossingen geldt hetzelfde.
• Wees dus niet dogmatisch en geniet van alle
soorten mooie wiskunde!
Maar ik moet wel toegeven dat
• coördinatenmeetkunde flexibeler en daarom
belangrijker is dan axiomatische meetkunde.
• coördinatenmeetkunde heeft geleid tot:
– differentiaalmeetkunde & relativiteitstheorie
– algebraïsche meetkunde (verband met algebra)
– analytische meetkunde (verbanden met analyse)
– arithmetische meetkunde (verband met
getaltheorie)
Rode Draad: Stelling van Pythagoras
• Gegeven: Rechthoekige driehoek in R2
• Lengtes zijden a, b, c ; c tegenover rechte hoek
• Dan: a2 + b2 = c2
Euclides
Pythagoras volgens Euclides
•
•
•
•
Vierkanten op zijden
Oppervlakten A, B, C
C tegenover rechte hoek
Dan: A + B = C.
Bewijs volgens Euclides
• Hoogtelijn op zijde c
deelt vierkant op c in
twee rechthoeken.
• Deze rechthoeken
hebben oppervlakte A
en B.
• Gevolg: A + B = C.
Bewijs volgens Euclides
• Bewijzen alleen de
linkerkant, want rechts
analoog.
Bewijs volgens Euclides
• Bewijzen alleen de
linkerkant, want rechts
analoog.
• Beide rechthoeken
halveren door diagonaal
• Voldoende te bewijzen:
Rode driehoeken hebben
gelijke oppervlakte.
Tussenstap 1
• Rode driehoek ACP heeft
dezelfde oppervlakte als
• blauwe driehoek ABP,
• want BC // AP.
Tussenstap 2
• Rode driehoek ABP
congruent met
• blauwe driehoek AQC
• wegens ZHZ.
• Dus hebben ABP en AQC
dezelfde oppervlakte.
Bewijs volgens Euclides
• Rode driehoek ACQ heeft
dezelfde oppervlakte als
• blauwe driehoek ARQ,
• want CR // AQ.
Bewijs volgens Euclides
• Dus hebben de rode
driehoeken inderdaad
dezelfde oppervlakte
Bewijs volgens Euclides
• Dus hebben de rode
rechthoeken inderdaad
dezelfde oppervlakte.
• Q.E.D.
Terugblik
Waar werd in dit bewijs
gebruikt:
1) vierkant op b?
2) vierkant op c?
3) hoogtelijn op zijde c?
4) rechte hoek in C?
Legpuzzelbewijs van Pythagoras
Legpuzzelbewijs van Pythagoras
• Waarom deed Euclides het
niet zo?
• Gemakkelijk te begrijpen
zonder algebra!
• Hoe kunnen leerlingen
Pythagoras zelf ontdekken?
Brugklassers ontdekken Pythagoras
• Scheef vierkant op
ruitjespapier
• Hoekpunten op rooster
• Bereken de oppervlakte
• Ze konden het allemaal!
• Pythagoras = methode
voor oppervlaktebepaling
• Generaliseerbaar!
• Rekenen → algebra
Stellingen
1) Analytische meetkunde kan mooie,
betekenisvolle problemen opleveren in
algebra, analyse & goniometrie.
2) Probleemoplossen overstijgt meetkunde:
– strategie (keuze, vergelijk & mix van methoden)
– controle, verificatie & interpretatie (goede spoor?
speciale gevallen, symmetrie, dimensieanalyse, …)
Pythagoras in coördinaten
• Afstand tussen (x1, y1) en
(x2, y2) is per definitie
gelijk aan (∆𝑥𝑥)2 +(∆𝑦𝑦)2
• Dus Pythagoras (over
lengtes van zijden van
rechthoekige driehoek)
geldt vrijwel per definitie
in R2.
• Verdacht eenvoudig…
Verdienste synthetisch bewijs
• Pythagoras volgt uit verzameling ‘redelijke’
meetkundige axioma’s
• ‘Redelijk’: ze lijken “vlakke werkelijkheid” te
modelleren.
• Standaardmodel waarin al deze axioma’s
gelden is R2 met standaarddefinities van
‘punt’, ‘lijn’, ‘ordening van 3 punten op een
lijn’, ‘congruentie van lijnstukken’ en
‘congruentie van hoeken’.
Welke axioma’s voor Pythagoras?
• Bron: Euclid and Beyond, Robin Hartshorne
• Axioma’s voor Pythagoras:
– 4 axioma’s over lijnen en punten (inclusief P.P.)
– 4 axioma’s over ordening van punten op lijnen
– 3 axioma’s over congruentie van lijnstukken
– 3 axioma’s over congruentie van hoeken
(waaronder het ZHZ-criterium!)
• Veel axioma’s: 4 + 4 + 3 + 3 = 14 stuks!
Welke axioma’s voor R2?
• 14 axioma’s + volledigheidsaxioma van
Dedekind karakteriseren R2 :
• R2 met standaarddefinities is het enige vlak
dat aan al die 15 axioma’s voldoet.
• Dan geen wiskundig verschil tussen
axiomatische meetkunde en meetkunde in R2,
• maar wel een psychologisch verschil!
Welke structuur heeft R2?
Alleen begrip ‘afstand’ is nodig.
Opgave: Alle andere begrippen (lijn, ordening,
hoek) zijn daarvan afgeleid.
Vectormeetkunde in R2 en R3
•
•
•
•
Lengte gedefinieerd via Pythagoras:
|(a1, a2, a3)|2 := a2 := a2 := a12 + a22 + a32
Handig: dit uitbreiden naar inproduct
(a1, a2, a3) ⋅ (b1, b2, b3) := a1b1 + a2b2 + a3b3
want dan heb je meteen ook hoeken:
cos(∠(a, b)) := a ⋅ b / (a⋅b)
• Opgave: Deze definitie compatibel met
onderbouwdefinitie van cosinus (SOLCALTOA)
Toepassing: Cosinusregel
•
•
•
•
•
•
•
cos(γ) = a⋅ b / (a⋅ b)
a=b+c
c2 = (a – b) ⋅ (a – b)
c2 = a2 – 2 a ⋅ b + b2
c2 = a2 – 2ab cos(γ) + b2
Speciaal geval: γ = 90°
Pythagoras!
Vectormeetkunde zonder inproduct
•
•
•
•
Affiene meetkunde = vectoren zonder inproduct
Dus geen begrip ‘lengte’ en geen ‘hoek’
Dus ook niet: ‘rechthoek’, ‘ruit’, ‘cirkel’
Maar wel:
– ‘parallel’, ‘parallellogram’, ‘trapezium’
– ‘midden van lijnstuk’
– ‘verhouding van lengtes van parallelle lijnstukken’
– ‘verhouding van oppervlakten’
Toepassing: Zwaartepunt
• Noem positievectoren
van hoekpunten a, b, c
• Positievector van
midden M van AB
is m = ½ (a + b)
Toepassing: Zwaartepunt
• Noem positievectoren
van hoekpunten a, b, c
• Positievector van midden
M van AB is m = ½ (a + b)
• Neem Z op CM
zodat CZ : ZM = 2 : 1.
• Positievector van Z
is z = (2/3)m + (1/3)c
• z = (a + b + c) / 3.
Toepassing: Zwaartepunt
• z = (a + b + c) / 3
• is symmetrisch in a, b, c
• Dus Z ligt ook op zwaartelijnen door A en B
• en verhoudingen 2 : 1.
• Q.E.D.
2 affiene Sangaku’s
Meetkunde op boloppervlak
Pythagoras op de bol?
• Pythagoras geldt niet op de bol!
• Opgaven:
– Geef een tegenvoorbeeld
– Wat gaat fout in Euclides’ bewijs?
– Wat gaat fout in legpuzzelbewijs?
– Wat gaat fout in volgende bewijs?
Schalingsbewijs Pythagoras
•
•
•
•
A + B = C en
A : B : C = a2 : b2 : c2,
dus a2 + b2 = c2.
Waar gaat dit bewijs
fout op de bol?
Toegift: Sangaku
• a2 + b2 = c2.
Oplossing met Pythagoras?
Gegeven:
• a22 + b22 = 1
• a2 + b12 = 1
• a12 + b2 = 1
Te bewijzen:
• ab1 + a1b = a2b2 .
Kunt u dat zonder Maple?
Mijn bewijs in Appendix 1
Veel plezier!
Appendix 1
Bewijs:
(1 – a22 – b22) ⋅ (a1b1 + ab)
+ (a2 + b12 – 1) ⋅ (a2b – a1b2)
+ (a12 + b2 – 1) ⋅ (ab2 – a2b1)
= ab1 + a1b – a2b2.
Dus:
Als 1 = a22 + b22 = a2 + b12 = a12 + b2,
dan ab1 + a1b = a2b2.
Q.E.D.
Appendix 2
• Gedachtenexperiment over
constructie in Geogebra geeft:
• Alles is uit te drukken in ϕ!
• Bij zijde 1 heeft onderste
driehoek oppervlakte
½ sin(ϕ)cos(ϕ) = ¼ sin(2ϕ)
• Andere blauwe driehoek
heeft opp. ¼ sin(2ϕ + 120°)
• Rode driehoek heeft opp.
¼ sin(120° – 2ϕ)
Appendix 2
•
•
•
•
•
Dus te bewijzen:
sin(2ϕ) + sin(2ϕ + 120°) = sin(120° – 2ϕ)
Symmetrischer:
sin(2ϕ) + sin(2ϕ + 120°) + sin(2ϕ – 120°) = 0
Symmetrie vectorsom in
Q.E.D.
• Bonus: Analoge formules voor 360°/n ; ook voor cos.