Powerpoint Pythagoras

G-10 College
PYTHAGORAS
De wiskundige stelling van een Grieks
Filosoof
G-10 College
Waar gaat deze
presentatie over?
Wie was Pythagoras
Wat weten we al van hem
De stelling van Pythagoras:
Wat kunnen we daarmee
Een voorbeeld
G-10 College
Wie was Pythagoras
Grieks filosoof
•
•
•
•
•
•
580 – 490 voor Christus
Samos, +/- 520: Croton(e) Italië
Filosofische school:
Geestelijke zuiverheid door filosofie
De ziel één met het goddelijke;
Beïnvloedt door de filosofen Thales en
Anaximander
• Wiskundig filosoof
• Wiskunde, filosofie, muziek,
astronomie
G-10 College
Wie was Pythagoras (2)
• Zag wiskunde als
wetenschap
• Leer van Pythagoras:
het wezen van alles is
wiskunde;
• Volgelingen: Pythagoreërs:
onderlinge strikte loyaliteit
• Bepaalde symbolen mystiek
(zie ster)
• Benadrukte belang van de
studie van abstracte
getallen
• Geïnteresseerd in:
– Getal
– Figuur
– bewijs
G-10 College
Werk van Pythagoras
•
•
•
•
•
•
Dat de som van de oppervlakten van de vierkanten op de rechthoekszijden van een
rechthoekige driehoek, gelijk is aan de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde.
Een methode die ook de Oude Grieken kenden;
Het bewijs dat de hoeken van een driehoek samen twee rechte hoeken vormen, alsmede
de uitbreiding van deze stelling: van een veelhoek met n zijden is de som van de
binnenhoeken gelijk aan die van 2n - 4 rechte hoeken;
Het construeren van figuren met een gegeven oppervlakte en een soort van meetkundige
algebra. (Wat wij nu vergelijkingen noemen losten zij meetkundig op.)
De ontdekking van de irrationale getallen: getallen die niet als breuk zijn te schrijven, zoals
de wortel van 2;
De vijf regelmatige lichamen: tetraëder (regelmatig viervlak), kubus, octoëder (regelmatig
achtvlak); dodecaëder (regelmatig twaalfvlak); isocaëder (regelmatig twintigvlak);
In de astronomie leerden ze dat de aarde een bol was in het centrum van het heelal, dat de
baan van de maan een hoek maakte met de evenaar en dat Venus de morgenster dezelfde
planeet was als Venus de avondster.
Bron: http://www.math4all.nl/Wiskundegeschiedenis/Wiskundigen/Pythagoras.html
G-10 College
De stelling van Pythagoras
het bewijs dat de som van de
rechthoekszijden van een
driehoek gelijk is aan schuine
zijde
G-10 College
Wat is de stelling
• a² + b² = c²
of
• AB²+AC²=BC²
Een paar
bewijzen
van de
stelling:
G-10 College
G-10 College
Algebraïsch bewijs
Algebraïsch bewijs:
De lengte en breedte van de zijden van het
vierkant zijn (a+b), dus de oppervlakte van
het grote vierkant is (a+b)2.
De oppervlakte: (4 × ½ab) geeft c2.
=>
(a + b)² = 2ab +c²
Uitwerken van het kwadraat links geeft:
a² + 2ab +b² = 2ab + c²
=>
a² + b² = c²
Q.E.D.
http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Pythagoras
Bewijs met
gelijkvormigheid
G-10 College
G-10 College
G-10 College
Wanneer Pythagoras
gebruiken?
Vragen?
G-10 College
Geniet dan van de stelling van Pythagoras
(EI)²+(ND)² =E²