Het triootje van Pythagoras

Het trio van Pythagoras
Het 12-knopentouw
De Egyptenaren kenden al jaren voor de geboorte van Pythagoras de Stelling van
Pythagoras. De Stelling is dus helemaal niet van deze beroemde wiskundige en
filosoof. Waarom kreeg die dan wel zijn naam? Heeft hij deze Stelling bewezen? Ook
dat weten we niet, omdat Pythagoras nooit iets heeft opgeschreven. Zeker is, dat hij
op een van zijn reizen in Egypte met deze stelling heeft kennis gemaakt. En als er
een wiskundige is, die het verdient, dat we zijn naam na 2500 jaar later nog kennen,
dan is het Pythagoras wel. De Stelling heeft twee richtingen:
ALS we een rechthoekige driehoek hebben DAN is de oppervlakte van het vierkant
aan de schuine zijde gelijk aan de som van oppervlakten van de vierkanten aan de
rechthoekszijden.
ALS de som van de oppervlakten van de vierkanten aan de rechthoekszijden gelijk is
aan de oppervlakte van het vierkant aan de schuin’ zijde , DAN hebben we een
rechte hoek.
De Egyptenaren gebruikten vooral de tweede richting om daarmee loodrechte
hoeken van hun piramiden te construeren. Als zo’n piramide niet van de grond af aan
heel exact wordt uitgezet, kan deze nooit zo hoog worden gemaakt.
Als je de Stelling van Pythagoras hebt gehad, sla dan opdracht 1, 2 en 3 over.
Opdracht 1
Volgens Pythagoras is de oppervlakte van het grote vierkant gelijk aan de
oppervlaktes van de andere twee samen.
Vul de ontbrekende oppervlaktes in.
Opdracht 2
Als je een zijde van een vierkant kent kun je met onderstaand schema de
oppervlakte bepalen:
Zijde ---------------------------------- kwadraat----------------------> Oppervlakte
3
---------------------------------- kwadraat---------------------->
9
Omgekeerd, als je de oppervlakte kent kun je met onderstaand schema aan de
lengte van de zijde komen:
Zijde <---------------------------------- wortel---------------------- Oppervlakte
3
<---------------------------------- wortel-----------------------
9
Schrijf bij de volgende vierkanten de lengten van de zijden of de oppervlakte op.
Opdracht 3
We gaan nu opdracht 1 en 2 combineren. In plaats van de oppervlakte geven we nu
de lengten van twee zijden en vragen aan jou om met de ‘oppervlaktestelling’ aan de
lengte van de ombekende zijde te komen.
Voorbeeld:
Je berekent eerst de oppervlakten van de twee vierkanten met een bekende zijde.
Nu weet je ook de oppervlakte van het derde
vierkant.
En dus ook de onbekende zijde.
Bereken de nog onbekende zijde bij de volgende rechthoekige driehoeken.
Opdracht 4
Verklaar met eigen woorden waarom ze de stelling van Pythagoras ook wel eens zo
schrijven:
Opdracht 5
Als je de stelling van Pythagoras gebruikt vind je heel vaak een wortelgetal voor de
lengte van een zijde. Maar niet altijd!! Je kent (nu) de 3-4-5-driehoek. Bij deze
driehoek is de som van beide kwadraten ook weer een mooi kwadraat.
(9 + 16 = 25 allemaal kwadraten!!!) Dat lijkt niet zo vaak voor te komen. Heel af en
toe komt het mooi uit.
Noem nog eens de maten van twee andere rechthoekige driehoeken die geen
wortelgetallen als zijde hebben.
De Egyptenaren gebruikten het twaalfknopentouw als hulpmiddel om een rechte
hoek uit te zetten. Een touw begin en eind aan elkaar geknoopt en op gelijke afstand
voorzien van 12 knopen. Bij het eerste vierde en achtste knoopje werden paaltjes in
de grond geslagen zodat het touw er strak omheen gespannen stond. De hoek bij het
vierde knoopje was dan recht.
Opdracht 6
a
Welke driehoek onstaat er bij een
twaalfknopentouw?
b
c
d
d
Maak van een papieren strookje een 12-knopentouw. Bedenk eerst hoe je dat
gaat aanpakken. (Tip: Zet op de plaats van een ‘knoop’ een streepje.)
Teken een grote rechte hoek op papier. Zet met een speldje het strookje op de
de rechte hoek vast en probeer met twee andere speldjes op de lijnen een
rechthoekige driehoek te maken.
Maak op deze manier een 3-4-5-driehoek door de speldjes precies bij de
streepje te houden.
Is het mogelijk met dit strookje een andere rechthoekige driehoek te maken
met alle speldjes bij een streepje?
e
Maak een nieuw ‘knopentouw’ (streepjesstrook) gebaseerd op de 5-12-13driehoek.
f
Waarom denk je dat de Egyptenaren voor het 3-4-5-touw hebben gekozen.
(Geef 2 redenen.)
g
Met welke knopentouwen kun je rechthoekige driehoeken uitzetten?
Pythagorese drietallen
Met een 12-knopentouw kunnen we een 3-4-5-driehoek construeren. Ook de getallen
5, 12 en 13 komen bij de stelling van Pythagoras vaak voor.
Wij noemen drie positief gehele getallen die voldoen aan de stelling van Pythagoras
Pythagorese drietallen of Pythagorese triples (Triplets).
Wij gaan nu op zoek naar deze Tripels en gaan ontdekken hoeveel het er zijn, wat
voor soorten er zijn, of er regelmaat valt te ontdekken en hoe we ze (makkelijk)
kunnen opsporen.
Opdracht 7
Ga van de onderstaande Tripel-kandidaten na of het daadwerkelijk Tripels zijn.
Streep ze door als ze geen Triples zijn.
A
3
5
6
7
8
15
4,5
9
-3
b
4
12
8
24
10
8
6
12
4
c
5
13
10
25
12
17
7,5
15
5
Voor een verschil van twee kwadraten geldt:
a2 – b2 = ( a – b)( a + b)
De stelling van Pythagoras is ook als een verschil van twee kwadraten te schrijven:
Uit a2 + b2 = c2 volgt a2 = c2 – b2 (een verschil van twee kwadraten)
Uit 32 + 42 = 52 volgt 32 = 52 – 42 = (5 - 4)(5 + 4) = 1 x 9
Uit 52 + 122 = 132 volgt 52 = 132 – 122 = (13 - 12)(13 + 12) = 1 x 25
Uit 62 + 82 = 102 volgt 82 = 102 – 62 = (10 - 6)(10 + 6) = 4 x 16
Opdracht 8
a
Wat valt je op aan de getallen achter het laatste =-teken?
b
Schrijf de tripels die je bij opdracht 2 gevonden hebt ook als product van twee
kwadraten.
Opdracht 9
a
Waarom zijn de 6-8-10-triple en de 9-12-15-triple niet echt nieuwe triples als je
de 3-4-5-triple al hebt?
b
Schrijf ook twee triples op die verwant zijn met het 5-12-13 triple.
Als triples bestaan uit drie getallen die geen gemeenschappelijke deler hebben, dan
noemen we het triple Primitief. 3-4-5 is dus primitief en 6-8-10 niet.
Opdracht 10
Je vraagt je misschien af of er geen formule is om de tripels mee te berekenen. Het
antwoord is ja. Voor ieder even getal kun je een nieuwe tripel vinden.
a is dan twee keer dat even getal,
b is het kwadraat van dat even getal min 1
c is het kwadraat van dat even getal plus 1.
Voorbeeld: Neem voor a het even getal 6, dan is b gelijk aan 35 (36-1) en c gelijk
aan 37 (36 +1)
a
Bereken nog eens twee nieuwe tripels op deze wijze.
b
Schrijf de Stelling van Pythagoras met maar een letter (voor het even getal)
.
Probleem met de formule van 10 is, dat we niet ieder primitief tripel kunnen bereiken.
Opdracht 11
Neem voor s en t oneven getallen en zorg dat t altijd kleiner is dan s. Als je
systematisch te werk gaat kun je ‘alle’ primitieve triples vinden. Vul de tabel
verder aan.
s
t
a = st
b = (s2 – t2)/2
c = (s2 + t2)/2
3
1
3
4
5
5
1
5
12
13
7
1
7
24
25
9
1
9
40
41
5
3
7
3
7
5
Eigen-aardigheden van tripels.
De wiskundige Fermat bestudeerde de tripels en vroeg zich af hoe het zat bij de
tripels voor de formules
a3 + b3 = c3 , a4 + b4 = c4 of eigenlijk alle formules in de vorm an + bn = cn. (n is
natuurlijk getal) Voor n=4 kon hij nog wel bewijzen, dat er geen tripels bestonden.
Men heeft echter nog nooit een tripel gevonden voor een waarde van n die groter
was dan 2. Het vermoeden bestaat dus, dat het niet kan, maar bewezen is het nog
nooit. Dat laatste is misschien niet helemaal waar, want er gaat het gerucht, dat
Fermat het wel had bewezen en in de kantlijn van een boek had geschreven, maar
dat het verloren is geraakt. De beroemde stelling van Fermat, dat er geen oplossing
bestaat voor a,b en c als gehele positieve getallen voor n > 2 is een van de nog niet
bewezen stellingen in de wiskunde.
13-84-85 en 77-36-85 zijn triples met dezelfde c. Er zijn zelfs nog grotere groepen
tripels met dezelfde c. Bijv.: (47,1104,1105), (817, 744, 1105), (943,576,1105) en
(1073,264,1105).
Als je op zoek bent naar verschillende tripels met dezelfde c, dan valt op, dat je de c
kunt vinden door een al gevonden c met een priemgetal te vermenigvuldigen.
65 = 5 x 13 (twee tripels)
1105 = 5 x 13 x 17 (vier tripels)
32045 = 5 x 13 x 17 x 29 (acht tripels)
1185665 = 5 x 13 x 17 x 29 x 37
Bij een primitieve tripel a-b-c hebben we altijd te maken met twee oneven en een
even getal. (Bij het bewijs gaat men uit van de regel, dat het kwadraat van een
oneven getal ook altijd oneven is, terwijl de som van twee oneven getallen juist even
is.)
Bij een primitieve tripel a-b-c is c altijd oneven. (Zou c even zijn, dan zou c2 een
viervoud moeten zijn. Dat kan nooit als a en b alebij oneven zijn, want dan is de som
van beide nooit door 4 deelbaar)
Voor een trippel geldt altijd , dat a + b + c een deler is van a x b x c.
(Neem voor a=u2 – v2, b = 2uv en c = u2 + v2 en je kunt het bewijzen.)
Omdat geldt a2 + b2 = c2 voor iedere rechthoekige driehoek, geldt er ook
(a/c)2 + (b/c)2 = (c/c)2 en dus (a/c)2 + (b/c)2 = 1
(a/c,b/c) is een punt van de eenheidscirkel (cirkel met middelpunt (0,0) en straal 1)
Alle Pythagorese stellen dus een punt op de eenheidscirkel voor. En omgekeerd
hoort er bij ieder punt van de eenheidscirkel een Pythagorees drietal.
Uitbreiding
1. Bewijzen van enkele hiervoor genoemde eigenaardigheden.
2. Programmeer het zoeken naar Pythagorese tripels.
3. Bepaal tripels door de snijpunten te berekenen van lijnen met de
eenheidscirkel. 4y – 2(x + 1) = 0 en x2 + y2 = 1 levert x = 12/20 en y = 16/20
op. Dus het Pythagorese tripel (12, 16, 20)
4. De omschreven cirkel van een rechthoekige driehoek heeft altijd als straal c/2
(Thales), maar de ingeschreven cirkel heeft altijd als straal (a+b-c)/2
5. De Stelling van Pythagoras modulo 2….
6. De Stelling van Pythagoras met complexe getallen.
Materiaal
Via Google is er heel veel te vinden op internet, maar beperk je niet tot de
Nederlandse sites, gebruik ook eens de trefwoorden ‘Pythagorean Triple’, ‘Triplets’,
RightTriangle of Pythagoraische Zahlentripel