Babylonische wiskunde.

Babylonische wiskunde.
Kleitabletten ontcijferen.
Wat gaan we doen:






Nog even de Stelling van Pythagoras (550 v.
Chr.) bekijken en bewijzen.
Kennismaken met de notatie van getallen in
een 60-tallig talstelsel.
Even oefenen met het 60-tallig stelsel.
Babylonische getaltekens in spijkerschrift
leren (2000 v. Chr).
Als echte veldarcheologen kleitabletten
ontcijferen en ons verbazen.
Pythagoras “ontmaskeren”.
De Stelling van Pythagoras.
Bewijs de Stelling van Pythagoras:
(stencil).
De oppervlakte van het volledige vierkant is:
(a + b)∙(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
De oppervlakte van de afzonderlijke delen is:
4∙1/2∙ab + c2 = 2ab + c2
Deze uitkomsten zijn gelijk, dus:
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
a2 + b2 = c2
-2ab
Dat levert bijvoorbeeld het drietal:
8 – 15 - 17
C
17
8
A
15
B
Pythagoreïsche drietallen.

3–4–5
want

5 – 12 – 13
want

8 – 15 – 17
want

Zijn er nog meer….. ??
32 + 42 = 52
9 + 16 = 25
52 + 122 = 132
25 + 144 = 169
82 + 152 = 172
64 + 225 = 289
Meso (tussen) potamie (wateren)
Hunebedbouwers
(3000 v. Chr.)
West-Europa:
Germanen
(1000 v. Chr.)
Het oude Babylonië = het huidige
Iran & Irak
Sumerisch pictografisch kleitablet
Spijkerschrift Mesopotamië.
Een vierduizend jaar oud kleitablet met een wiskundige
opgave. Van de twee cirkels moet de omtrek berekend
worden. Irak, 2500-1800 v Chr.
Een
indrukwekkende
berekening
over
(alweer)
cirkels.
Soemerische kleitablet. Telling van
geiten en schapen. Zuid Irak.
Deze gaan we straks ontcijferen.
En deze ook !
Het 10-tallig positiestelsel.
103
1000
102
100
101
10
3
0
8
100
1
5
,
10-1
0,1
10-2
0,01
0
9
Staat voor het getal 3085,09
9
3
0
3
,
7
Staat voor het getal 9303,7
0
Het 60-tallig positiestelsel.
603
216000
602
3600
601
60
0
2
12
600
1
43
,
60-1
1/
60
60-2
1/
3600
45
0
Staat voor: 2 x 3600 + 12 x 60 + 43 x 1 + 45 x 1/60 =
7963,75
1
0
51
14
,
20
50
Staat voor: 1 x 216000 + 51 x 60 + 14 x 1 + 20 x 1/60
+ 50 x 1/3600 = 219 074,3472
Ontcijfer het volgende 60-tallige getal:
8 23 , 45
45 x 1/60 = ¾ = 0,75
23 x 1 = 23
8 x 60 = 480
Dat is dus samen 480 + 23 + 0,75 = 503,75
Babylonische cijfertekens.
YBC 7344
(Yale Babylonian Collection nr 7344)
Welk getal staat hier ?
,
12 x 1/60 = 1/5 = 0,2
28 x 1 = 28
55 x 60 = 3300
13 x 3600 = 46800
Samen dus: 46800 + 3300 + 28 + 0,2 = 50128,2
Zelf aan de slag:

Ontcijfer nu de tabel in je stencilpakket.
YBC 7289
Plimpton 322
(plm 2000 v. Chr.)
4
5
6
7
8
9
10
11
12
De laatste twee
kolommen:
Een vaste
uitdrukking,
en rangnummers.
De tweede kolom:
Ontcijfer de
regels 5 - 8 en
11 - 12.
Vul de resultaten
in, in de tabel op
het stencil.
De derde kolom:
Ontcijfer de
regels 5 – 8 en
11 - 12.
Vul de
resultaten in, in
de tabel op het
stencil.
Breedte AB
(2eK)
Diagonaal BC
(3eK)
1
119
169
2
3367
11521
3
4601
6649
4
12709
18541
5
65
97
6
319
481
7
2291
3541
8
799
541 (481)
1249
769
4961
45
8161
75
nr
9
10
11
??????
(1eK)
12
1679
13
25921
14
1771
3229
15
56
53
(4825)
2929
(161)
289
(106)
Hoogte AC
(niet opgenomen)
C
diagonaal
hoogte
A
breedte
B
Breedte AB
(2eK)
Diagonaal BC
(3eK)
1
119
169
2
3367
11521
3
4601
6649
4
12709
18541
5
65
97
72
6
319
481
360
7
2291
3541
2700
8
799
541 (481)
1249
769
4961
45
8161
75
nr
9
10
11
???????
(1eK)
12
1679
13
25921
14
1771
3229
15
56
53
(4825)
2929
(161)
Hoogte AC
(niet opgenomen)
289
(106)
960
60
2400
nr
Ahá !!
(1eK)
1
2
3
BC2 / AC2
4
Breedte AB
(2eK)
Diagonaal BC
(3eK)
119
169
3367
11521
4601
6649
12709
18541
Hoogte AC
(niet opgenomen)
(4825)
5
1,81501..
65
97
72
6
1,78519..
319
481
360
7
1,71998..
2291
3541
2700
8
1,6928..
799
541 (481)
1249
769
4961
45
8161
75
9
10
11
1,5625,,
12
1,48942..
1679
2929
13
25921
14
1771
3229
15
56
53
(161)
289
(106)
960
60
2400
Slot.





Het is zo goed als zeker dat de Stelling van
Pythagoras al ruim 1000 jaar eerder bij de
Babyloniërs bekend was.
Het 60-tallig stelsel heeft duidelijke sporen
nagelaten in onze cultuur (klok, graden).
Het is opmerkelijk dat het cijfer “nul” nog
niet bekend was (is later “uitgevonden”).
Deze presentatie is terug te zien op
www.wiskan.nl
Ik ga nu lekker slapen ………………