Eigenschappen van hoeken en driehoeksmeting

fex
em
pla
ar
Mark De Feyter
Filip Geeurickx
Jan Thoelen
Roger Van Nieuwenhuyze
bewerkt voor het GO!
onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door
Wendy Luyckx
Els Sas
Cartoons
Dave Vanroye
Leerwerkboek
Eigenschappen van
Pr
oe
hoeken en driehoeksmeting
3
fex
em
pla
ar
2
voorw oord
2
90 8661
179 7
9
ISBN: 978 904
860 930
0147/2006/118
Kon. Bib.: D/2011/0147/185
0000
Bestelnr.: 94 303 0102
NUR: 126
Copyright by die Keure Brugge
Dit boek bestaat uit
3 grote delen. Elk deel is
onderverdeeld in kleinere
paragrafen.
De volgende handige pictogrammen gebruiken we in
het leerwerkboek:
leerboek:
Elk hoofdstuk eindigt met
een samenvatting waarin
duidelijk wordt gemaakt wat
je moet kennen en kunnen,
zodat je de oefeningen en
de volgende hoofdstukken
probleemloos kunt
aanpakken.
1
3
Dit is leerstof die je én goed
in je hoofd moet prenten
én moet onthouden. Alle
definities vind je op een rode
achtergrond, eigenschappen
en stellingen op een groene.
Bij het lampje vind je de
herkomst van wiskundige
woorden of symbolen.
Verantwoordelijke uitgever: N.V. die Keure,
Oude Gentweg
108 - 8000
Brugge
- België
- Kleine
Pathoekeweg
3 - 8000
Brugge
- België
H.R. Brugge 12.225
Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of
openbaar gemaakt worden door middel van druk,
fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder
voorafgaande schriftelijke toestemming van de
uitgever.
No part of this book may be reproduced in any form
by print, photoprint, microfilm or any other means
oe
without written permission from the publisher.
Pr
Te onthouden
Deze leerstof moet
je goed kennen en
begrijpen vooraleer je
verder kunt.
Samenvatting
De belangrijkste
eigenschappen,
begrippen en
regels van een
leerstofonderdeel.
Betekenis
Waar komen al
die wiskundige
begrippen vandaan?
4
fex
em
pla
ar
3
6
Geen wiskunde zonder
computer. Als computerprogramma’s kunnen
helpen,
Na ieder leerstofonderdeel
vind je een reeks oefeningen. De moeilijkste zijn in
het blauw gedrukt.
zie je dit pictogram. Veel
meer over het gebruik
van ICT vind je in het ‘ICT
practicumboek 5 Computer’ .
Om iets gemakkelijk terug
te vinden kun je terecht in
het trefwoordenregister
achteraan in het boek. Deze
woorden staan ook voor de
kantlijn afgedrukt, op de
plaats waar ze het eerst
gebruikt worden.
Achteraan in het boek staat
een trefwoordenlijst. Om
het gemakkelijker te maken
zijn deze woorden cursief in
de kantlijn gedrukt, telkens
zij voor het eerst gebruikt
worden.
oe
Na wiskunde
De
ieder leerstofonderdeel
die we vandaag
kennen
vind
je een
is het
reeks
resultaat
oefeningen.
van
een eeuwenlang groeiproces.iets
Om
Onder
gemakkelijk
de wereldbol
terug
vind
je meer
te
vinden,
informatie
kun je terecht
over bein
langrijke
het
trefwoordenregister
historische figuren
en staan ook
achteraan
in het
leuke
boek.
anekdoDeze
tes vermeld.
woorden
staan ook in de
marge afgedrukt, op de
plaats waar ze het eerst
5
Het grafische
gebruikt
worden.
rekentoestel is
een onmisbaar hulpmiddel
geworden.
De
schrijvers
Telkens
van ditdit
boek
toestel hulp
wensen
je veel
kanplezier
bieden,
met
vind
je dit
het
vak
icoontje
wiskunde.
in de kantlijn.
Veel meer over het gebruik
van het grafische rekentoestel vind je in het speciale
‘ICT practicumboek 5
TI-83(Plus)’.
Pr
Geschiedenis
Een wiskundige
terugblik in
de tijd. Leuke
wetenswaardigheden
over hoe het vroeger
was.
REKENMACHINE
Hier wordt uitgelegd
hoe je rekenmachine
je kan helpen.
De schrijvers van dit boek
wensen je veel plezier met
het vak wiskunde op je
nieuwe school.
4
maken hebt. Wiskunde in de
realiteit dus.
Zoals je kunt zien bij de tandwielen
op deze foto is elk onderdeeltje
noodzakelijk om tot een degelijk
resultaat te komen.
Pr
oe
fex
em
pla
ar
Welkom (opnieuw) in de wakkere
wetenschappelijke wereld van de
wiskunde.
De boekenreeks ‘Van Basis tot
Limiet’ heeft als doel de wiskunde
niet voor te stellen als een saaie en
droge materie, maar wel als een
levende en boeiende wetenschap
waarmee je overal rondom je te
Zet de wiskundige machine maar in
werking !
fex
em
pla
ar
5
inhoud
1 Hoeken
1.1Hoeken meten > 8
1.2Omzetten > 8
1.3Bewerkingen met hoeken > 9
1.4Eigenschappen van hoeken > 9
1.5 Toepassingen > 12
1.6 Samenvatting > 17
1.7Oefeningen > 18
2
S telling van Pythagoras
Pr
oe
2.1Even herhalen > 24
2.2 Stelling van Pythagoras > 24
2.3Omgekeerde stelling van Pythagoras > 28
2.4 Toepassingen op de stelling van
Pythagoras > 29
2.5 Rechthoekige driehoek en de oppervlakte
van een vierkant > 33
2.6 De stelling van Pythagoras, de beroemdste
der stellingen? > 35
2.7 De Pythagorasboom > 40
2.8 Samenvatting > 41
2.9Oefeningen > 42
Goniometrie: goniometrische
3
waarden
3.1 Constante waarden in gelijkvormige
rechthoekige driehoeken > 60
3.2 Sinus, cosinus en tangens van een scherpe
hoek in een rechthoekige driehoek > 61
3.3 Verband tussen sinus en cosinus > 62
3.4Berekening met de rekenmachine > 62
3.5 Grondformule van de goniometrie > 64
3.6Het oplossen van een rechthoekige
driehoek > 64
3.7 Toepassingen > 67
3.8 Samenvatting > 72
3.9Oefeningen > 73
Trefwoordenregister > 95
fex
em
pla
ar
oe
Pr
6
fex
em
pla
ar
7
Hoeken
1.1
Hoeken meten > 8
1.2
Omzetten > 8
1.3
Bewerkingen met hoeken > 9
1.4
Eigenschappen van hoeken > 9
1.4.1Hoeken met benen die paarsgewijs evenwijdig zijn > 9
1.4.2Hoeken met benen die paarsgewijs loodrecht zijn > 10
1.4.3Hoeken die ontstaan bij het snijden van twee rechten met een derde
rechte > 10
1.4.3.1 Terminologie > 10
1.4.3.2Eigenschap > 11
1.5
Toepassingen > 12
1.5.1
In een parallellogram snijden de diagonalen elkaar middendoor > 12
1.5.2Het lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt,
is evenwijdig met, en half zo lang als de derde zijde > 13
1.5.3Bewijs stellingen som van de hoekgroottes > 15
1.5.3.1 Som van de hoekgroottes in een driehoek > 15
1.5.3.2 Som van de hoekgroottes in een convexe vierhoek > 16
Samenvatting > 17
1.7
Oefeningen > 18
Pr
oe
1.6
1
8
Hoeken
fex
em
pla
ar
1
1.1) Hoeken meten
We herhalen even kort dat je overal meet.
• De lengte van een lijnstuk is 6 cm.
0
340
350
33
0
10
• De inhoud van een tetrapak is 1 liter.
20
• De massa van je leerkracht is 82 kg.
30
40
0
Ook hoeken kun je meten. Een hoek meten is deze hoek vergelijken met een
andere hoek, die we als eenheid gebruiken. Om tot de hoek te komen die als
eenheid gebruikt kan worden, neemt men een cirkel en verdeelt men die in
360 gelijke stukjes.
Als men nu vanuit het middelpunt van de cirkel twee stralen tekent, naar
100
260
90
270
80
280
70
290
30
60
0
31
50
0
32
twee opeenvolgende streepjes, dan ligt tussen deze twee stralen de hoek
250
110
0
12
0
24
die wij als eenheid zullen nemen: DE GRAAD (°).
Elke graad kan nog verder onderverdeeld worden in minuten en seconden.
0
0
23
13
1 graad = 1° = 60 minuten = 60’
14
0
0
15
0
1 minuut = 1’ = 60 seconden = 60”
160
170
180
0
190
200
22
21
1.2) Omzetten
Je kunt een hoek die uitgedrukt is in graden, minuten en seconden ook schrijven in graden met
een decimale onderverdeling en omgekeerd.
^
Voorbeeld:
|A| = 72° 30’ = 72,5°
|B| = 23,582° = 23° 34’ 55’’
^
Pr
oe
Bekijk samen met je leerkracht hoe je dit met je rekentoestel doet.
Hoeken
Deel 1
fex
em
pla
ar
9
1.3) Bewerkingen met hoeken
Je gaat met behulp van je rekenmachine hoekgroottes bij elkaar optellen, van elkaar aftrekken en
vermenigvuldigen met een reëel getal.
Voorbeeld:
26° 34’ 19”
+ 15° 20’ 31”
= 41° 54’ 50”
≈ 41,91°
89° 30’ - 25° 16’ 8” = 64° 13’ 52”
≈ 64,23°
1
· (25,03°) = 3° 34’ 33”
7
≈ 3,58°
1.4) Eigenschappen van hoeken
1.4.1 Hoeken met benen die paarsgewijs evenwijdig zijn
Hoeken met benen die paarsgewijs evenwijdig zijn, zijn gelijk of supplementair.
Geval 1
gegeven
Geval 2
B
1
2
D
oe
A
C
^
^
Beschouw nu de verschuiving t(AB) . Elke ver-
De verschuiving t(cd) beeld C af op D2.
schuiving behoudt de grootte van een hoek.
|D1| = 180° - |D2|
Pr
Bijgevolg geldt:
^
^
^
|A| = |B|
^
^
= 180° - |C|
^
^
⇒ |D1| + |C| = 180°
fex
em
pla
ar
10
1.4.2 Hoeken met benen die paarsgewijs loodrecht zijn
Hoeken met benen die paarsgewijs loodrecht op elkaar staan, zijn gelijk of supplementair.
Geval 1
gegeven
Geval 2
B’
B
D
1
2
A
C
Beschouw r(B,90°), een draaiing met centrum B
Uit geval 1 volgt dat:
en een draaiingshoek van 90°.
|C| = |D2|.
^
^
^
^
Hoek B wordt hierdoor op hoek B’ afgebeeld.
^
Bovendien weten we dat:
De benen van hoek B’ zijn paarsgewijs even^
wijdig met die van hoek A .
^
^
|D1| = 180° - |D2|.
^
^
⇒ |D1| + |C| = 180°
Er geldt dus:
^
^
^
|B| = |B|’ = |A|
oe
1.4.3 Hoeken die ontstaan bij het snijden van twee evenwijdige rechten met een
derde rechte
1.4.3.1 Terminologie
c
1
2
4
A
a // b
B
1
2
b
4
3
c //
\ a en c //
\b
Pr
overeenkomstige hoeken
a
3
^
^
^
^
^
^
^
^
Overeenkomstige hoeken: A1 en B1
A2 en B2
A3 en B3
A4 en B4
Hoeken
Deel 1
fex
em
pla
ar
11
1.4.3.2 Eigenschap
Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn elke twee
overeenkomstige hoeken gelijk.
c
1
Gegeven:
a
A
a // b
c //
\ a en c //
\b
^
^
A1 en B1 zijn overeenkomstige hoeken
1
b
^
^
B
Te bewijzen: |A1| = |B1|
Bewijs:We beschouwen t(ab)
t(a) = b omdat t(A) = B en omdat het beeld van een rechte door een verschuiving een
evenwijdige rechte is.
→
t(c) = c want c is de drager van het geörienteerde lijnstuk AB.
^
^
Een verschuiving bewaart de grootte van een hoek, dus |A1| = |B1|.
Gevolgen: Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan gelden ook
de volgende gelijkheden:
1)
c
1
2)
a
3
A
1
Gegeven:
c
1
b
B
a // b en c //
\ a en c //
\b
B
Gegeven:
a
3
A
3
b
a // b en c //
\ a en c //
\b
^
^
Te bewijzen: |A 1| + |B3|
|A 3| + |A1| (overstaande hoeken)
^
^
Bewijs:
^
^
|A 1| = |B1| (overeenkomstige hoeken)
⇒
^
^
|A 3| = |B3| (overeenkomstige hoeken)
|A 3| = |B1|
⇒
|A 1| = |B3|
Te bewijzen: |A 3| + |B1|
oe
Bewijs:
3)
c
2
A
Pr
Gegeven:
4)
^
^
^
^
^
^
^
^
|A 1| + |A 3| (overstaande hoeken)
c
a
3
2
B
2
A
b
a // b en c //
\ a en c //
\b
a
3
B
Gegeven:
3
b
a // b en c //
\ a en c //
\b
^
^
Te bewijzen: |A 2| + |B3| = 180°
|A 3| + |A2| = 180° (nevenhoeken)
^
^
Bewijs:
^
^
|A 2| = |B2| (overeenkomstige hoeken)
⇒
^
^
|A 3| = |B3| (overeenkomstige hoeken)
|A 3| + |B2| = 180°
⇒
|A 2| + |B3| = 180°
Te bewijzen: |A 3| + |B2| = 180°
Bewijs:
^
^
^
^
^
^
^
^
|A 2| + |A3| = 180° (nevenhoeken)
fex
em
pla
ar
12
a
Gevolg:Als een rechte loodrecht staat op een van twee
evenwijdigen, dan staat ze ook loodrecht op de andere
evenwijdige.
Inderdaad: |A1| = 90°, dus moet volgens de stelling ook
^
|B1| = 90°
b
1
^
^
A
^
(A1 en B1 zijn overeenkomstige hoeken).
1
B
1.5) Toepassingen
1.5.1 In een parallellogram snijden de diagonalen elkaar middendoor
A
1
B
E1
2
D
1
Bewijs:Beschouw ∆ ABE en ∆ CDE.
Als je goed kijkt, ontdek je dat
|AB| = |CD| (in een parallellogram zijn de
oe
^
^
|E 1| = |E2| overstaande zijden even lang)
(overstaande hoeken)
^
^
|B1| = |D1| (hoeken ontstaan bij het snijden
C
}
van twee evenwijdige rechten met
een derde rechte)
Pr
ZHH
⇒ ∆ ABE ≅ ∆ CDE
en dus geldt |AE| = |CE| en |BE| = |DE|
Je weet vast nog dat deze eigenschap
ook omgekeerd geldt.
Deel 1
Hoeken
fex
em
pla
ar
13
1.5.2 Het lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt, is
evenwijdig met, en half zo lang als, de derde zijde
C
D
F
A
Gegeven:
∆ ABC
|AD| = |DC| = (D is midden van [AC])
|BE| = |EC| = (E is midden van [BC])
Te bewijzen: DE // AB
Bewijs:
en
E
B
|DE| = 1 |AB|
2
Construeer op ED het punt F zodat |FD| = |DE|.
Steunend op de eerste toepassing ontdekken we dat vierhoek AECF
een parallellogram is.
We onthouden vooral dat
|FA| = |CE|
⇓(gegeven)
oe
en
Pr
|FA| = |EB|
en
FA // CE
⇓(|CE| en |EB| hebben dezelfde drager)
FA // EB
fex
em
pla
ar
14
Beschouw nu de vierhoek ABEF.
F
D
E
1
2
2
A
1
B
}
ZHZ
Daaruit volgt dan dat |AB| = |FE| = 2 · |DE| ⇔ |DE| =
1 |AB|
2
We ontdekken hierin twee congruente driehoeken.
|AF| = |EB| |A 2| = |E2| ^
^
(zie hierboven)
(FA // EB gesneden door AE)
|AE| = |AE| (gemeenschappelijke zijde)
⇒∆ AEF ≅ ∆ EAB
We kunnen zo ook aantonen dat in vierhoek ABEF
^
^
^
^
|F | = |B| en |A | = |E|
Als in een vierhoek de overstaande hoeken even groot zijn, dan is deze vierhoek een parallellogram.
⇒ AB // EF ⇒ AB // DE
Pr
oe
Het lijnstuk [DE] noemen we een middenparallel van de ∆ ABC. Deze middenparallel verbindt de
middens van zijden [AC] en [CB] en is evenwijdig met [AB]. Elke driehoek heeft dus drie middenparallellen.
Deel 1
Hoeken
fex
em
pla
ar
15
1.5.3 Bewijs stellingen som van de hoekgroottes
1.5.3.1 Som van de hoekgroottes in een driehoek
De som van de hoeken van een driehoek is steeds 180°.
A
Deze eigenschap ken je al uit het eerste jaar.
Je onderzocht ze toen door
te knippen:
Teken een willekeurige driehoek ABC op een blad papier.
C
^ ^
^
Knip de hoeken A , B en C af met een schaar en plak ze tegen elkaar.
B
A
A
B
C

C
B

A
A
en te vouwen:
Teken een willekeurige driehoek ABC en knip die uit.
Vouw dan volgens onderstaande werkwijze.
B
A

A

C
C
B
oe
C
C
A
B
C
CB
A
B
Nu kunnen we ze ook bewijzen.
C
A
4
B
C
3
2
We tekenen d // AB.
De gelijkheid van de overeenkomstige hoeken bewijst dat
d
^
Pr
A
^
|A | + |B| + |C1| = 180°
1
B
B
fex
em
pla
ar
16
1.5.3.2 Som van de hoekgroottes in een convexe vierhoek
Je leraar sprak misschien al over de begrippen convex en concaaf.
Een veelhoek is een convex als geen enkele zijlijn tussen twee hoekpunten ligt.
Voorbeelden:
A
K
L
B
D
M
N
C
Een veelhoek is concaaf als er een zijnlijn is die tussen twee hoekpunten ligt.
K
Voorbeelden:
B
L
A
N
C
D
M
e
De som van de hoeken van een convexe vierhoek is steeds 360°.
Ook deze eigenschap ken je al.
oe
Bewijs:
We gaan hiervoor steunen op het bewijs op bladzijde 15.
Teken in vierhoek ABCD de diagonaal [AC]. Deze diagonaal verdeelt de vierhoek in twee driehoe-
B
ken (∆ ADC en ∆ ABC).
Pr
A
2
1
D
2
^
^
^
^
^
^
In ∆ ADC is de som van de hoeken 180°, dus:
|A 1| + |C 2| + |D | = 180°
In ∆ ABC is de som van de hoeken 180°, dus:
|A 2| + |C 1| + |B | = 180°
^
^
^
^
^
^
1
|A 1| + |A 2| + |C 1|+ |C 2| + |D| + |B | = 180° + 180°
^
^
^
^
|A |
+
|C |
+ |D| + |B | = 360°
C
Deel 1
Hoeken
fex
em
pla
ar
17
Som van de hoeken van een convexe veelhoek
We veralgemenen.
figuur
aantal driehoeken
som van de hoeken
1
180°
2
2 · 180° = 360°
3
3 · 180° = 540°
4
4 · 180° = 270°
8
8 · 180° = 1440°
n-2
(n - 2) · 180°
driehoek
vierhoek
vijfhoek
zeshoek
tienhoek
oe
n-hoek
1.6) Samenvatting
Pr
• Je kunt hoekgroottes uitgedrukt in graden met een decimale onderverdeling omzetten
naar graden, minuten, seconden en omgekeerd.
• Je kunt bewerkingen met hoekgroottes uitvoeren.
• Je kunt de eigenschappen van hoeken gebruiken bij berekeningen en bewijzen.
• Je kunt de stellingen voor de som van de hoekgroottes in een driehoek en een convexe
veelhoek gebruiken bij berekeningen en bewijzen.
fex
em
pla
ar
18
1.7) Oefeningen
1 Zet om in graden met decimale onderverdeling.
a. 21° 28’ 30”
= _________________________________________
b. 203° 11’ 20”
= _________________________________________
c. 2° 15’ 45”
= _________________________________________
d. 56’ 20’’
= _________________________________________
e. 23° 54”
= _________________________________________
2. Zet om in graden, minuten en seconden.
a. 17,2356°
= _________________________________________
b. 123,0139°
= _________________________________________
c. 27,0034°
= _________________________________________
d. 0,4579°
= _________________________________________
e. 0,0053°
= _________________________________________
3.Voer de volgende bewerkingen uit.
a. 23° 47’ 54” + 175° 10’ 3”
= _________________________________________
b. 114° 27’ 33” - 27° 45’ 36”
= _________________________________________
oe
c. 5 · (45° 27’ 6”)
= _________________________________________
d. 53° 27” - 10° 39’ 24”
= _________________________________________
e. (317° 12’ 37”) : 3
= _________________________________________
f. 76° 36’ + 120° 22”
= _________________________________________
g. (12° 26’ 14”) · 10
= _________________________________________
h. 10° : 100
= _________________________________________
Pr
Hoeken
Deel 1
fex
em
pla
ar
19
a
4.
b
1
2
4
Bereken alle hoeken als je weet dat a // b.
A
3
1
2
3
5.
B
40°
c
Bewijs dat ∆ ABC gelijkbenig is als a // b.
b
c
B
d
a
A
oe
C
^
6.
A
B
Bepaal de hoekgrootte van B , als je weet dat AB // DE.
Pr
C
D
47° 37’
E
fex
em
pla
ar
20
7.Twee hoeken van een driehoek meten 37° 22’ 17” en 65° 33”. Hoe groot is de derde hoek?
8. In een rechthoekige driehoek meet een van de hoeken 43° 20’ 6”. Bereken de overige
hoekgroottes.
9. Bereken de som van de hoeken van een
a. vijfhoek;
_________________________________________________________
_______________________________________________________________________
c. zeventienhoek; _________________________________________________________
_______________________________________________________________________
b. twaalfhoek; _________________________________________________________
_______________________________________________________________________
d. 25-hoek.
_________________________________________________________
_______________________________________________________________________
oe
10.Construeer een veelhoek waarvan de som van de hoeken 1980° is.
Pr
11.Is het mogelijk een veelhoek te tekenen waarvan de som van de hoeken 3000° is?
Deel 1
Hoeken
fex
em
pla
ar
21
12.Gegeven: vierhoek ABCD
Gevraagd:Bepaal telkens de gevraagde hoek.
|A |
^
|B |
^
|C |
^
13°
67°
140°
140° 20’ 6”
80° 24’ 37”
29°12’44”
148° 16”
^
^
|D |
67° 12’
^
^
71° 16’ 23”
^
^
^
13.In een vierhoek ABCD is |A | = 70° en |B | = 112°. Als |C | = |D |, bereken dan |C | en |D |.
^
^
^
^
14.In een vierhoek ABCD zij B en D recht. Toon aan dat A en C supplementair zijn.
^
^
^
^
^
^
^
oe
15.In de vijfhoek ABCDE geldt |B | = 155°. Bereken de overige hoeken als |A | = |D |, |C | = |2D |, |E | = |3A |.
16.
Bewijs dat de vierhoek AFED een parallellogram is
C
E
D
Pr
A
F
B