Rekenen met machten

Presentatie
Machten,Wortels
& Ontbinden
Deel 1
Gemaakt door J. Aarts
Inhoudsopgave
Theorie
• Rekenen met machten.
• Wortels herleiden.
TIP: Pak
ook je
boek er
even bij!!
• Ontbinden in factoren.
• Kwadratische vergelijkingen
• Einde presentatie
Als je mij ziet kun
je op mij klikken
om terug te keren
naar de
inhoudsopgave!
Theorie
Rekenen met
machten
Gelijksoortige termen met en
zonder machten:
1. Optellen en aftrekken is toegestaan.
2. Vermenigvuldigen en delen is toegestaan.
Niet-gelijksoortige termen met
en zonder machten:
1. Optellen en aftrekken is NIET toegestaan.
2. Vermenigvuldigen en delen is toegestaan.
Gelijksoortige termen met en
zonder machten:
Optellen mag:
Bijvoorbeeld:
2a + -a =
2a + -1a = 1a = a
vermenigvuldigen mag:
2a -a
en
2a · -a =
2 · -1 · a · a = -2 a2
Optellen mag:
2a3 + -a3 =
2a3 + -1a3 = a3
3
2a
3
en -a
vermenigvuldigen mag:
2a3 · -a3
=
2 · -1 · a3 · a3
=
2 · -1 · a·a·a · a·a·a = -2 a6
Niet gelijksoortige termen met
en zonder machten:
Optellen mag niet:
Bijvoorbeeld:
2a + -b =
2a – b = Kan niet
vermenigvuldigen mag:
2a -b
en
2a · -b =
2 · -1 · a · b = -2ab
Optellen mag niet:
2a3 + -b3 =
2a3 – b3 = Kan niet
3
2a
3
en -b
vermenigvuldigen mag:
2a3 · -b3
=
2 · -1 · a3 · b3
=
2 · -1 · a·a·a · b·b·b = -2 a3b3
Niet gelijksoortige termen met
en zonder machten:
Maar ook de onderstaande
Termen zijn Niet gelijksoortig:
Optellen mag niet:
2a3 + -a5 =
2a3 – a5 = Kan niet
3
2a
5
en -a
vermenigvuldigen mag:
2a3 · -a5
=
2 · -1 · a3 · a5
=
2 · -1 · a·a·a · a·a·a·a·a = -2a8
Machten delen
Het principe van wegstrepen
a12 a  a  a  a  a  a  a  a  a  a  a  a

7
a
aaaaaaa
:a
aaaaaaaaaaaa

aaaaaaa
:a
aaaaa

1
12 7
a
a
5
Machten delen
Het principe van wegstrepen
36a8 36  a  a  a  a  a  a  a  a

2
3a
3 a  a
:3
36  a  a  a  a  a  a  a  a

3 a  a
:3
12  a  a  a  a  a  a

1
 12  a
8 2
 12a
6
:a
:a
Een macht tot de macht…..
Bijvoorbeeld:
(x2)3
x2 · x2 · x2
x·x · x·x · x·x
=
=
= x6
2
3
(x )
2
3
(-5x )
(-5x2)3 =
(-5x2) · (-5x2) · (-5x2)=
-5 · -5 · -5 · x2 · x2 · x2 = -125
x6
Rekenen met machten
Samengevat!
a b  a b
p
Nietgelijksoortig
! Kan! niet
q
p
pq
a a  a
p
a
p q

a
q
a
p q
p q
(a )  a
p
q
(ab)  a b
p
p
q
q
Rekenen met machten
Samengevat!
a b  a b
p
Nietgelijksoortig
! Kan! niet
q
p
pq
a a  a
p
a
p q

a
q
a
p q
p q
(a )  a
p
q
(ab)  a b
p
p
q
q
Theorie
Wortels
herleiden
3√6 + 2√6 = 5√6
Gelijk soortige
wortelgetallen
mag je
samennemen.
3√6 + 2√7 = Kan niet.
Niet-gelijk soortige
wortelgetallen mag
je niet
samennemen.
Vermenigvuldigen
mag wel!
√6 · √6 =
√7 · √7 =
√(6 · 6) = √36 = 6
√(7 · 7) = √49 = 7
√8 · √11 =
√5 · √125 =
√(8 · 11) = √88
√(5 · 125) = √625 = 25
Wortels herleiden
√117 =
√80 =
√ (9 · 13) =
√ (16 · 5) =
√ 9 · √13 = 3√13
√ 16 · √5 = 4√5
√99 =
√525 =
√ (9 · 11) =
√ (25 · 21) =
√ 9 · √11 = 3√11
√ 25 · √21 =
5√21
(3√6)2 =
(3√6) · (3√6) =
3 · 3 · √6 · √6 =
9 · √36 =
9 · 6
= 54
C
AB2 + BC2 = AC2
(3√6)2 + 92 = AC2
?
54 + 81 = AC2
9
AC2 = 135
AC = √ 135  11,62
A
3√6
B
Rekenen met wortelgetallen
Samengevat!
a  b  onmogelijk
d  e  d e
p p 
p p
2
Theorie
Ontbinden in
factoren
•
•
•
Herken alleréérst de twee verschillende
vormen bij kwadratische uitdrukkingen.
Vorm 1:
Vorm 2:
2
2x
+ 4x
x2 + 5x + 6
De ontbinding is:
(x + …) · (x + …)
Twee “groepjes”
vermenigvuldigen
De ontbinding is:
…. · (…x + …)
Een factor
vermenigvuldigd
met een
“groepje”
Ontbindingen bij de éérste vorm.
2
2x
: 2x
+ 4x =
: 2x
2x ·(…
x + …)
2 =
…
2x(x + 2)
De ontbinding is:
…. · (…x + …)
Zoek een
gemeenschappelijke
deelfactor
Ontbindingen bij de éérste vorm.
2
3x
– 12x =
: 3x
: 3x
3x ·(…
x – …)
4 =
…
3x(x – 4)
De ontbinding is:
…. · (…x + …)
Zoek een
gemeenschappelijke
deelfactor
Ontbindingen bij de éérste vorm.
2
-x
: -x
– 9x =
: -x
-x ·(…
x + …)
9
…
=
-x(x + 9)
De ontbinding is:
…. · (…x + …)
Zoek een
gemeenschappelijke
deelfactor
Ontbindingen bij de twééde vorm.
2
x
De ontbinding is:
(x + …) · (…x + …)
Zoek door te
proberen twee
getallen:
+ 9x + 20 =
?
?
(x + …)·(x
+ …)
=
(x + 4) ·(x + 5)
4?
+ 5? = 9
?4 · 5? = 20
Ontbindingen bij de twééde vorm.
2
x
De ontbinding is:
(x + …) · (…x + …)
– 5x + 6 =
?
?
(x + …)·(x
+ …)
=
(x – 2) ·(x – 3)
Zoek door te
proberen twee
getallen:
-2
?
+ ?-3 = -5
-2?
· -3
? =6
Ontbindingen bij de twééde vorm.
2
x
De ontbinding is:
(x + …) · (…x + …)
–1 x – 2 =
?
?
(x + …)·(x
+ …)
=
(x + 1) ·(x – 2)
Zoek door te
proberen twee
getallen:
?1 + ?-2 = -1
1?
· ?-2 = -2
Ontbindingen bij de twééde vorm.
2
x
De ontbinding is:
(x + …) · (…x + …)
– 14x + 49 =
Zoek door te
proberen twee
getallen:
?
?
(x + …)·(x
+ …)
= ?-7 + ?-7 = -14
(x – 7) ·(x – 7)
-7
?
· ?-7 = 49
Theorie
Kwadratische
vergelijkingen
Los de kwadratische vergelijking van de twééde vorm op.
2
x
Ontbindt het
linkerlid van de
vergelijking.
─ 7x + 6 = 0
?
?
(x + …)·(x
+ …)
=0
(x ─ 1) ·(x ─ 6) = 0
-1
?
+ -6? = -7
-1
?
· -6? = 6
Los de kwadratische vergelijking van de twééde vorm op.
2
x
─ 7x + 6 = 0
(x ─ 1) ·(x ─ 6) = 0
x=1
of
x=6
De kwadratische
vergelijking is nu
ontbonden in
factoren
Het is nu heel
makkelijk om de
twee oplossingen
van de vergelijking
te “raden”.
Los de kwadratische vergelijking van de twééde vorm op.
2
x
─ 10x + 24 = 0
?
?
(x + …)·(x
+ …)
=0
(x ─ 4) ·(x ─ 6) = 0
Ontbindt het
linkerlid van de
vergelijking.
?-4 + -6? = -10
?-4 · ?-6 = 24
Los de kwadratische vergelijking van de twééde vorm op.
2
x
─ 10x + 24 = 0
(x ─ 4) ·(x ─ 6) = 0
x=4
of
x=6
De kwadratische
vergelijking is nu
ontbonden in
factoren
Het is nu heel
makkelijk om de
twee oplossingen
van de vergelijking
te “raden”.
Los de kwadratische vergelijking van de éérste vorm op.
2
5x
─ 10x = 0
:5x
:5x
5x(x ─ 2) = 0
x=0
of
x=2
Ontbindt het
linkerlid van de
vergelijking.
Het is nu heel
makkelijk om de
twee oplossingen
van de
vergelijking te
“raden”.
Los de kwadratische vergelijking van de éérste vorm op.
2
4x
─ 18x = 0
:2x
:2x
2x(2x ─ 9) = 0
x=0
of
2x - 9 = 0
+9
+9
2x = 9
:2
:2
x = 4½
Ontbindt het
linkerlid van de
vergelijking.
Het is nu heel
makkelijk om de
twee oplossingen
van de
vergelijking te
“raden”.
Los de kwadratische vergelijking van de éérste vorm op.
2
3x
─ 10x = 0
:x
:x
x(3x ─ 10) = 0
x=0
of
3x - 10 = 0
+10
+10
3x = 10
:3
:3
1
x = 3 /3
Ontbindt het
linkerlid van de
vergelijking.
Het is nu heel
makkelijk om de
twee oplossingen
van de
vergelijking te
“raden”.