H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
WISKUNDE
H.8
H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie
8.1
Kwadratische vergelijking
Een kwadratische vergelijking (of 2e graadsvergelijking) is een vergelijking van de
vorm:
a ⋅ x2 + b ⋅ x + c = 0
Ook wordt een kwadratische vergelijking wel een vierkantsvergelijking (kortweg
v.k.v.) genoemd.
In deze vergelijking is x de onbekende, terwijl a, b en c constanten zijn.
Omdat de onbekende x met de hoogste macht de exponent 2 heeft, noemen we dit
een kwadratische vergelijking.
Een voorbeeld van zo’n kwadratische vergelijking is:
x2 − 2 x − 3 = 0
Opmerking: Voor het oplossen van een kwadratische vergelijking moet deze
vergelijking eerst ‘op nul’ worden herleid, d.w.z. dat alle termen links
van het ‘= teken’ staan. In het rechterlid staat dan het getal nul.
Er zijn op zijn minst 2 methoden om een kwadratische vergelijking op te lossen:
1.
Ontbinden in factoren:
Los op in \ :
Voorbeeld 1a:
Oplossing:
x 2 − 7 x + 12 = 0
In H. 1 hebben we al gezien dat we voor het ontbinden
(van het linkerlid) moeten zoeken naar 2 getallen waarvan
het product 12 en de som –7 is. Dus:
x 2 − 7 x + 12 = 0 ⇒ ( x − 3) ( x − 4) = 0
Dus de oplossing is: ( x − 3) = 0 ⇒ x = 3 of
( x − 4) = 0 ⇒ x = 4
Los op in \ :
Voorbeeld 1b:
2.
x 2 + 11 x = −30
abc-formule of wortelformule:
De v.k.v. a ⋅ x + b ⋅ x + c = 0 kent een zgn. discriminant D.
Deze discriminant kunnen we berekenen met de formule:
2
D = b2 − 4 a ⋅ c
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
WISKUNDE
H.8
De oplossingen van de v.k.v. zijn dan te berekenen met de abc-formule:
x1,2 =
−b ± D
2a
x2 + 4 x + 2 = 0
Voorbeeld 2a: Los op in \ :
Oplossing:
In deze v.k.v. geldt:
a = 1, b = 4, c = 2
We berekenen eerst de discriminant D:
D = b 2 − 4 a ⋅ c = 42 − 4 ⋅1 ⋅ 2 = 16 − 8 = 8
Dan berekenen we de oplossingen van de v.k.v. met de abc-formule:
−b ± D
−4± 8
=
= −2± 2
2a
2
1
Dus: x1 = − 2 +
8 = −2 + 2 ≈ − 0.59 of
2
1
x2 = − 2 −
8 = −2 − 2 ≈ − 3.41
2
Deze v.k.v. heeft dus 2 oplossingen !!
x1,2 =
x2 − 4 x + 2 = 0
Voorbeeld 2b: Los op in \ :
Niet in alle gevallen heeft een v.k.v. 2 oplossingen.
Dit hangt af van de waarde van de discriminant D.
We onderscheiden 3 gevallen:
1. D > 0
⇒ v.k.v. heeft 2 verschillende reële oplossingen:
x1 =
2. D = 0
−b + D
2a
−b − D
2a
⇒ v.k.v. heeft 2 gelijke reële oplossingen:
x1 = x2 =
3. D < 0
of x2 =
−b
2a
⇒ v.k.v. heeft geen reële oplossingen, want
negatief getal kan niet in \
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
Voorbeeld 3a:
Los op in \ :
WISKUNDE
H.8
x 2 − 10 x + 25 = 0
Oplossing:
In deze v.k.v. geldt: a = 1, b = - 10, c = 25
We berekenen eerst de discriminant D:
D = b 2 − 4 a ⋅ c = 102 − 4 ⋅1 ⋅ 25 = 100 − 100 = 0
Dus de v.k.v. heeft 2 gelijke reële oplossingen:
x1 = x2 =
−b
−10
= −
= 5
2a
2
Voorbeeld 3b:
Los op in \ :
4 x 2 − 12 x + 9 = 0
Voorbeeld 4a:
Los op in \ :
2 x 2 − 6 x + 15 = 0
Oplossing:
In deze v.k.v. geldt: a = 2, b = - 6, c = 15
De discriminant D is: D = b 2 − 4 a ⋅ c = (−6) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅15 = 36 − 120 = − 84
Omdat de discriminant negatief is heeft de v.k.v. geen reële
oplossingen.
Voorbeeld 4b:
Los op in \ :
−2 x 2 + 7 x − 8 = 0
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
8.2
WISKUNDE
H.8
Kwadratische functie
Een kwadratische functie (of 2e graadsfunctie) is een functie van de vorm:
f ( x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c
In plaats van f ( x ) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c gebruiken we ook de notatie:
y = a ⋅ x2 + b ⋅ x + c
In deze functie is x de (onafhankelijke) variabele, terwijl a, b en c constanten zijn.
Omdat de hoogste macht van de variabele x de exponent 2 heeft, noemen we dit
een kwadratische functie.
Een voorbeeld van zo’n kwadratische functie is:
f ( x) = x 2 − 2 x − 3
De grafiek van een kwadratische functie is een parabool, zoals we o.a. in het
voorbeeld 5a kunnen zien.
Een manier om de grafiek te tekenen zou kunnen zijn om een tabelletje te maken
van waarden van x met bijbehorende y-waarden (= functiewaarden van x).
Om niet lukraak maar wat waarden van x te proberen, verdient het aanbeveling om
systematisch 3 elementen van de kwadratische functie te onderzoeken:
1.
Snijpunten met de X-as
2.
Snijpunten met de Y-as
3.
Symmetrieas, en daaruit volgend de top van de parabool
Aanvullend kunnen dan nog enkele punten worden berekend in een tabelletje zoals
we in voorbeeld 5a zullen zien.
Voorbeeld 5: Teken de grafiek van de functie y = x 2 − 2 x − 3
Oplossing:
1. De snijpunten met de X-as (de ‘nulpunten’) vinden we uit:
y = 0 ⇒ x2 − 2 x − 3 = 0
Door in de kwadratische functie y = 0 te stellen, hebben we een
kwadratische vergelijking in x gekregen !!
Deze v.k.v. lossen we op m.b.v. ontbinden in factoren (zie § 8.1):
( x − 3) ( x + 1) = 0
x−3 = 0 ⇒ x = 3
óf
x + 1 = 0 ⇒ x = −1
De nulpunten zijn dan: N1 (3 , 0) en N2 (-1 , 0)
Dus de oplossing is:
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
WISKUNDE
H.8
2. Het snijpunt met de Y-as vinden we uit:
x = 0 ⇒ y = f (0) = −3 ⇒ S y (0 , − 3)
3. De symmetrieas ligt midden tussen N1 en N2, dus xas =
De top van de parabool: T (1 , f (1))
⇒ T (1 , − 4)
−1 + 3
=1
2
Aanvullend kunnen we nu nog bijvoorbeeld bepalen:
x = 4 ⇒ f (4) = 5
dus het punt (4 , 5)
x = −2 ⇒ f (−2) = 5 dus het punt (-2 , 5)
We noemen de grafiek van deze
functie een dalparabool.
1
Voorbeeld 6: Teken de grafiek van de functie y = − x 2 + 2 x
2
Oplossing:
1. De snijpunten met de X-as (de ‘nulpunten’) vinden we uit:
1
y = 0 ⇒ − x2 + 2 x = 0
2
Deze v.k.v. lossen we op m.b.v. ontbinden in factoren:
⎛ 1
⎞
x ⎜ − x + 2⎟ = 0
⎝ 2
⎠
Dus de oplossing is:
x = 0 of
1
− x+2=0⇒ x = 4
2
De nulpunten zijn dan:
N1 (0 , 0) en N2 (4 , 0)
2. Het snijpunt met de Y-as is derhalve Sy (0 , 0)
3. Symmetrieas: xas =
0+4
=2
2
De top van de parabool: T (2 , f (2))
⇒ T (2 , 2)
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
H.8
WISKUNDE
En aanvullend: x = 6 ⇒ f (4) = −6 dus (6 , -6)
x = −2 ⇒ f (−2) = −6 dus (-2 , 6)
We noemen de grafiek van deze
functie een bergparabool.
Voor de kwadratische functie f ( x ) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c gelden de volgende
eigenschappen:
Eigenschap 1:
Als
Als
a > 0 ⇒ dalparabool
a < 0 ⇒ bergparabool
Eigenschap 2:
Vergelijking van de symmetrieas:
Eigenschap 3:
Top van de parabool:
Voorbeeld 7a: Gegeven zijn:
xas = −
b
2a
⎛ b
⎛ b ⎞⎞
T ⎜−
, f ⎜−
⎟⎟
⎝ 2a ⎠ ⎠
⎝ 2a
lijn l: y = 8 x − 2
parabool p: y = −3 x 2 + 2 x − 5
Toon aan dat de lijn l de parabool p raakt.
Bereken ook de coördinaten van dat raakpunt.
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
H.8
WISKUNDE
Oplossing:
We vinden de eventuele snijpunten van l en p door de functies
van de lijn l en de parabool p aan elkaar gelijk te stellen:
8 x − 2 = −3 x 2 + 2 x − 5
Dit is een v.k.v. die we eerst op nul moeten herleiden:
3 x2 − 2 x + 8 x + 5 − 2 = 0
⇔
2
3 x + 6 x + 3 = 0 """"""""""""" (1)
Deze v.k.v. lossen we op m.b.v. de abc-formule (zie § 8.1). Dus eerst
de discriminant berekenen:
D = b 2 − 4 a ⋅ c = 62 − 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36 − 36 = 0
Er is dus maar één punt dat de lijn l en de parabool p gemeen hebben,
zodat l en p elkaar raken in het raakpunt R.
De x-coördinaat van het raakpunt R vinden we door de v.k.v. (1) op te
lossen:
b
6
x1 = x2 = −
= −
= −1
2a
2×3
De y-coördinaat vinden we door substitutie van x = 1 in de
vergelijking van de lijn l (substitutie in p kan natuurlijk ook):
y = 8 x − 2 = 8 ⋅ (−1) − 2 = − 10
De coördinaten van het raakpunt zijn dan:
R (-1 , -10)
In onderstaande figuur zijn de grafieken van l en p getekend.
l
p