Basiswiskunde Hoorcollege 11 - Axioma`s en verzamelingen

Keuzes
Basiswiskunde Hoorcollege 11
Axioma’s en verzamelingen
Gerrit Oomens
[email protected]
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
7 oktober 2013
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 11
Het keuze-axioma
Een opgave
Zij X een oneindige verzameling. Laat zien dat X een aftelbaar
oneindige deelverzameling A heeft.
We hebben X 6= ∅, dus er is x1 ∈ X .
Nu is X \ {x1 } 6= ∅, dus er is x2 ∈ X \ {x1 }.
We gaan verder met inductie: stel dat we x1 , . . . , xn gekozen
hebben, dan is X \ {x1 , . . . , xn } niet leeg, dus kunnen we xn+1
uit deze verzameling kiezen.
Laat nu A = {x1 , x2 , x3 , . . .}.
Let op: hier moeten we oneindig vaak een willekeurig element
xn+1 ∈ X \ {x1 , . . . , xn } kiezen. Kan dat zomaar?
Keuze-axioma (Axiom of Choice)
Zij X een verzameling. Dan bestaat er een afbeelding
f : P(X ) \ {∅} → X zodat f (E ) ∈ E voor alle E ∈ P(X ) \ {∅}.
Met de functie f uit hetGerrit
axioma
kunnen
we kiezen
Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 11
xn+1 = f (X \ {x1 , . . . , xn }) ∈ X \ {x1 , . . . , xn }.
Het keuze-axioma
Keuze-axioma (Axiom of Choice)
Keuze-axioma (Axiom of Choice)
Zij X een verzameling. Dan bestaat er een afbeelding
f : P(X ) \ {∅} → X zodat f (E ) ∈ E voor alle E ∈ P(X ) \ {∅}.
Zij X een verzameling. Dan bestaat er een functie
f : P(X ) \ {∅} → X zodat f (E ) ∈ E voor alle E ∈ C.
Keuze-axioma (equivalente formulering)
Zij C eenScollectie verzamelingen. Dan bestaat er een afbeelding
f : C → E ∈C E zodat f (E ) ∈ E voor alle E ∈ C.
Let op:
To choose one sock from each of infinitely many pairs of
socks requires the Axiom of Choice, but for shoes the
Axiom is not needed.
(Bertrand Russell, 1872-1970)
Want: voor schoenen is er een logische manier om te kiezen; neem
bijvoorbeeld altijd de linkerschoen.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 11
Voor X = N is het niet lastig om een functie f : P(N) → N
te vinden, bijvoorbeeld f (E ) = min E , het kleinste element.
Bekijk X = Z. Dan voldoet
(
min{|x| : x ∈ E }
als dit een element van E is
f (E ) =
− min{|x| : x ∈ E } anders
de kleinste absolute waarde.
Neem nu X = R. Hier is zo’n functie niet te vinden: we
hebben echt het keuze-axioma nodig.
Herinnering: principe
Iedere niet-lege verzameling van niet-negatieve gehele getallen
heeft een kleinste element.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 11
Ordeningen
Welordenen van verzamelingen
Definitie
Zij X een verzameling met een ordening . We noemen (X , )
welgeordend als iedere niet-lege deelverzameling van X een kleinste
element heeft.
Definitie
Zij X een verzameling met een ordening . We noemen (X , )
welgeordend als iedere niet-lege deelverzameling van X een kleinste
element heeft.
Voor de natuurlijke getallen met de gebruikelijke ordening
1 ≤ 2 ≤ 3 ≤ · · · geldt dit.
Welordeningsstelling (Well-ordering theorem)
Bij X = Z geldt het voor de gebruikelijke ordening niet, bijv.
Voor elke verzameling X bestaat er een ordening zodat X
welgeordend is.
{. . . , −3, −2, −1, 0}
heeft geen kleinste element. Zo’n ordening is wel mogelijk:
0 −1 1 −2 2 −3 3 · · · .
Voor R is dit een stuk lastiger: verzamelingen als (0, 1) hebben bij
de gebruikelijke ordening geen kleinste element, en er is geen voor
de hand liggende ordening die dit oplost.
Gerrit Oomens
Deze stelling volgt uit het keuze-axioma. Sterker nog: de twee
uitspraken zijn equivalent. Uit de welordeningsstelling volgt ook
het keuze-axioma.
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-ordering
theorem is obviously false.
(Jerry Bona, 1945-)
Basiswiskunde Hoorcollege 11
Keuze-axioma en welordenen
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 11
Groottes van verzamelingen
Definitie
Zij X een verzameling met een ordening . We noemen (X , )
welgeordend als iedere niet-lege deelverzameling van X een kleinste
element heeft.
Definitie
Zij X en Y verzamelingen. Dan zijn X en Y gelijkmachtig als er
een bijectie X → Y bestaat. Notatie: |X | = |Y |. Als er een
injectieve afbeelding X → Y bestaat, schrijven we |X | ≤ |Y |.
Welordeningsstelling (Well-ordering theorem)
We weten:
Voor elke verzameling X bestaat er een ordening zodat X
welgeordend is.
Keuze-axioma (Axiom of Choice)
Zij X een verzameling. Dan bestaat er een functie
f : P(X ) \ {∅} → X zodat f (E ) ∈ E voor alle E ∈ C.
Claim: de welordeningsstelling impliceert het keuze-axioma.
Kies een ordening op X zodat deze welgeordend is.
Laat E ∈ P(X ) \ {∅} en definieer f (E ) als het kleinste
element van E volgens . Dit geeft de gewenste functie.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 11
|N| = |Z| = |Q| < |R|.
We schrijven ℵ0 := |N| (“aleph nul”), de kleinste oneindige
cardinaliteit. Verder |R| =: c, de “cardinaliteit van het continuüm”.
Vraag
Is er een verzameling S met |N| < |S| < |R|?
Antwoord (continuümhypothese)
Nee: ℵ1 = c.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 11
Axiomatische verzamelingentheorie
Zermelo-Fraenkel (ZFC) verzamelingentheorie
Axioma’s
1 Als X en Y dezelfde elementen hebben, dan X = Y .
Definitie
Er is een zeker ‘universum’ van objecten.
2
Voor alle X , Y is er een verzameling die X en Y bevat.
3
De verzameling {u ∈ X : φ(u)} bestaat.
S
De verzameling x∈X x bestaat.
Ieder object is een verzameling.
4
Met a ∈ X geven we aan dat een object a bevat is in de
verzameling X .
5
De machtsverzameling P(X ) bestaat.
6
Er bestaat een oneindige verzameling.
7
De verzameling {f (x) : x ∈ X } bestaat.
8
Iedere verzameling X heeft een element Y met Y ∩ X = ∅.
9
(Keuze-axioma) Voor elke X is er een functie
f : P(X ) \ {∅} → X zodat f (E ) ∈ E voor alle E ∈ C.
Een stelsel axioma’s beschrijft welke verzamelingen bestaan.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 11
Terug naar de continuümhypothese
Definitie
Een stelsel axioma’s heet consistent als er geen tegenspraak uit af
te leiden is.
Stelling (Gödel, 1940)
Stel dat ZFC consistent is. Dan is ZFC met de
continuümhypothese ook consistent.
Stelling (Cohen, 1963)
Stel dat ZFC consistent is. Dan is ZFC met de negatie van de
continuümhypothese ook consistent.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 11
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 11