Basiswiskunde Hoorcollege 2 - Bewijzen en verzamelingen

Verzamelingen
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Bewijzen en verzamelingen
Gerrit Oomens
[email protected]
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
Een verzameling is een collectie objecten. Bijvoorbeeld:
Z = {koe, varken, neushoorn}.
We noemen de objecten in Z de elementen van Z . We schrijven
koe ∈ Z
voor “koe is een element van Z ”. Veelvoorkomende verzamelingen
zijn
N = {1, 2, 3, . . .}
(“natuurlijke getallen”)
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
3 september 2015
(“gehele getallen”)
Q = {p/q : p, q ∈ Z en q 6= 0}
(“rationale getallen”)
(“reële getallen”)
R
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Voorbeelden van verzamelingen
Andere veelvoorkomende verzamelingen:
Het vlak R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
Intervallen in R:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
(a, ∞) = {x ∈ R : x > a}.
De elementen van verzamelingen kunnen allerlei objecten zijn,
waaronder verzamelingen:
B = {A, ∅, R}.
Let op: verzamelingen zijn ongeordend en bevatten ieder element
maximaal één keer: {1, 1, 2} = {1, 2} = {2, 1}.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Quantoren
Vaak komen we uitspraken tegen als “er bestaat een getal groter
dan 3” of “ieder natuurlijk getal is positief”. We kunnen hier de
volgende quantoren gebruiken:
∀: “voor alle”,
∃: “er bestaat een”.
Bovenstaande uitspraken zijn dan te schrijven als
De lege verzameling ∅ = {}.
A = {∅, 3, koe},
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
∃n, n > 3
∀n, (n ∈ N → n > 0).
Voor dit soort uitspraken is de context (het universum) belangrijk:
de eerste uitspraak is waar als we het hebben over R, maar onwaar
als we het hebben over [0, 1]. Als dit niet uit de context duidelijk
is, moet het expliciet worden vermeld.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Volgorde van quantoren, negatie
Deelverzamelingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. We schrijven A ⊆ B (“A is bevat in B” of
“A is een deelverzameling van B”) als voor elke x ∈ A geldt x ∈ B.
Bekijk de volgende uitspraak over reële getallen:
∀x, ∃y , x + y = 0.
Deze uitspraak is waar, in tegenstelling tot
∃y , ∀x, x + y = 0.
B
Wat is de negatie van een dergelijke uitspraak?
De negatie van “er is een x zodat p(x)” is “er is geen x zodat
p(x)”, oftewel “voor alle x geldt p(x) niet”.
In symbolen: ¬∃x, p(x) is equivalent met ∀x, ¬p(x).
Zo ook is ¬∀x, p(x) equivalent met ∃x, ¬p(x).
Dit geeft
¬(∃y , ∀x, x + y = 0)
⇔
∀y , ¬(∀x, x + y = 0)
⇔
∀y , ∃x, ¬(x + y = 0)
⇔
∀y , ∃x, x + y 6= 0.
Gerrit Oomens
Bijv.: S = {n ∈ Z : n is oneven},T = {s 2 : s ∈ S}. Claim: T ( S.
Bewijs.
We bewijzen eerst T ⊆ S:
Het kwadraat van een oneven getal is oneven, dus t ∈ S.
Om in te zien dat T 6= S, is het voldoende op te merken dat
−1 ∈ S, maar −1 6∈ T .
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Complement
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De vereniging van A en B is
Definitie
Zij A, B verzamelingen. De verschilverzameling van A en B is
A ∪ B = {x : x ∈ A of x ∈ B}.
A \ B = {x ∈ A : x 6∈ B}.
De doorsnede is
Binnen een universum X is het complement van A gedefinieerd als
de verzameling Ac = X \ A.
A ∩ B = {x : x ∈ A en x ∈ B}.
Voorbeeld: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 6} en X = {1, 2, 3, . . .}. Dan
Voorbeeld: A = {1, 2, 3} en B = {2, 3, 6}. Dan is
A
Merk op A ⊆ A. We schrijven A ( B als A ⊆ B maar niet A = B.
Neem t ∈ T . Dan is t = s 2 voor zekere s ∈ S.
Vereniging en doorsnede
A ∪ B = {1, 2, 3, 6},
A
A \ B = {1},
A ∩ B = {2, 3}.
B
A∪B
A
A∩B
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
A
B
B \ A = {6},
Ac = {4, 5, 6, . . .}.
B
A
Ac
A\B
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
B
Gelijkheid van verzamelingen
Een distributieve wet
Stelling
Stelling
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Zij A, B, C verzamelingen. Dan is A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Bewijs.
A ∪ (B ∩ C )
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
A
We bewijzen eerst A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ):
Neem x ∈ A ∪ (B ∩ C ). Dan is x ∈ A of x ∈ B ∩ C .
A
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C , dus in de doorsnede.
Als x ∈ B ∩ C , dan x ∈ B en x ∈ C , dus in A ∪ B en A ∪ C .
Nu (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) ⊆ A ∪ (B ∩ C ):
Neem x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).
Dan x ∈ A ∪ B en x ∈ A ∪ C .
B
C
B
C
We onderscheiden twee gevallen: x ∈ A en x 6∈ A.
Als x ∈ A, dan x ∈ A ∪ (B ∩ C ).
Is dit een bewijs?
Als x 6∈ A, dan moet x ∈ B en x ∈ C . Dus x ∈ B ∩ C .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Een irrationaal getal
Stel dat
Stelling 5.3
Zij x, y ∈ R. Dan is |xy | = |x||y |.
Bewijs.
Als x, y ≥ 0, dan is |x| = x, |y | = y en |xy | = xy . Dus
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben: geen getal deelt zowel m als n.
√
Er geldt 2 · n = m, dus 2n2 = m2 .
m2 is even, dus m ook: m = 2k voor zekere k.
Er geldt 2n2 = (2k)2 = 4k 2 , dus n2 = 2k 2 .
n2
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Absolute waarde
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Gerrit Oomens
is even
⇒
n is even.
m en n zijn beide even, dus deelbaar door 2.
√
Tegenspraak! Dus 2 is niet rationaal.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
|xy | = xy = |x||y |.
Als x, y < 0, dan is |x| = −x, |y | = −y en |xy | = xy . Dus
|xy | = xy = (−x)(−y ) = |x||y |.
Als y ≥ 0 en x < 0, dan is |x| = −x, |y | = y en |xy | = −xy :
|xy | = −xy = (−x)y = |x||y |.
Definitie
De absolute(waarde x van een reëel getal x is gedefinieerd als
x
als x ≥ 0,
|x| =
−x als x < 0.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Samenvatting: bewijzen
Bewijs en tegenvoorbeeld
Een aantal veelvoorkomende strategieëen om iets te bewijzen:
Bewijs uit het ongerijmde: neem aan dat hetgeen dat je
probeert te bewijzen onwaar is, en laat zien dat dit tot een
tegenspraak leidt.
Onderscheiden van gevallen.
Opsplitsen in eenvoudigere beweringen.
Voorbeeld van het laatste:
Claim
Zij x een geheel getal. Dan is x even.
Als we willen aantonen dat de claim waar is, dan moeten we een
willekeurig geheel getal x nemen en laten zien dat dit even is.
Stelling
Als we echter willen laten zien dat de claim niet waar is, dan is het
voldoende om één x ∈ Z aan te wijzen waarvoor de claim niet
geldt (een tegenvoorbeeld). In dit geval voldoet x = 3.
Zij k een geheel getal. Dan is k even dan en slechts dan als k 2
even is.
Voorbeeld
Bewijs.
We moeten hier twee dingen bewijzen:
Als k even is, dan is
Als
k2
k2
even.
De eerste waarden zijn 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97. Maar voor n = 41:
412 + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1).
even is, dan is k even.
Gerrit Oomens
Bewijs of ontkracht: voor elke n ∈ Z+ is n2 + n + 41 priem.
Basiswiskunde Hoorcollege 2
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 2