Basiswiskunde Hoorcollege 5 - Equivalentierelaties

Relaties
Basiswiskunde Hoorcollege 5
Equivalentierelaties
Gerrit Oomens
[email protected]
Definitie
Zij X een verzameling. Een relatie op X is een deelverzameling van
het Cartesisch product X × X .
Als S een relatie is, dan zijn de elementen van S geordende paren
(x, y ). In plaats van (x, y ) ∈ S schrijven we ook wel x ∼ y .
Voorbeeld van een relatie op R is de ongelijkheid ≤:
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
S = {(x, y ) ∈ R × R : x ≤ y }.
Er geldt (x, y ) ∈ S
16 september 2013
Gerrit Oomens
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 5
Equivalentierelaties
Definitie
Zij X een verzameling. Een relatie op X is een deelverzameling van
het Cartesisch product X × X .
Als S een relatie is, dan zijn de elementen van S geordende paren
(x, y ). In plaats van (x, y ) ∈ S schrijven we ook wel x ∼ y .
Een relatie op een verzameling X heet
reflexief wanneer x ∼ x voor alle x ∈ X ,
symmetrisch wanneer voor alle x, y ∈ X geldt dat als x ∼ y ,
dan ook y ∼ x,
transitief wanneer voor alle x, y , z ∈ X geldt dat als x ∼ y en
y ∼ z, dan ook x ∼ z.
Een relatie die deze drie eigenschappen heeft noemen we een
equivalentierelatie.
Gerrit Oomens
x ≤ y.
Zij X een verzameling. De inclusie ⊆ is een relatie op P(X ):
S = {(A, B) ∈ P(X ) × P(X ) : A ⊆ B}.
Basiswiskunde Hoorcollege 5
Eigenschappen van relaties
⇔
S
Basiswiskunde Hoorcollege 5
Een equivalentierelatie op X is een relatie die voldoet aan:
Reflexiviteit: x ∼ x voor alle x ∈ X ,
Symmetrie: als x ∼ y , dan ook y ∼ x,
Transitiviteit: als x ∼ y en y ∼ z, dan ook x ∼ z.
Voorbeeld: definieer een relatie op R met x ∼ y desda x − y ∈ Z.
Dit is een equivalentierelatie.
Bewijs.
Laat x, y , z ∈ R.
Reflexiviteit: er geldt x − x = 0 ∈ Z, dus x ∼ x.
Symmetrie: stel x ∼ y , dan is x − y ∈ Z. Maar dan is ook
y − x = −(x − y ) ∈ Z, dus y ∼ x.
Transitiviteit: stel x ∼ y en y ∼ z, dan is x − y ∈ Z en
y − z ∈ Z. Dan ook
x − z = (x − y ) + (y − z) ∈ Z,
dus x ∼ z.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 5
Equivalentieklassen
Equivalentieklassen
Voorbeeld: definieer een relatie op R met x ∼ y desda x − y ∈ Z.
Bekijk 0 ∈ R. Welke elementen staan allemaal in relatie tot 0
volgens ∼? We zoeken
{x ∈ R : x ∼ 0} = {x ∈ R : x − 0 ∈ Z} = Z.
Zo ook voor 3:
{x ∈ R : x ∼ 3} = {x ∈ R : x − 3 ∈ Z} = Z.
Definitie
Zij ∼ een equivalentierelatie op X . Voor y ∈ X is de
equivalentieklasse Ey de verzameling van alle elementen
gerelateerd aan y , dus Ey = {x ∈ X : x ∼ y }.
Merk op dat
y ∈ Ex ⇔
y ∼x
⇔
x ∼y
⇔
x ∈ Ey .
Claim
Zij x, y ∈ X , dan is x ∼ y dan en slechts dan als Ex = Ey .
Maar voor 1/2:
x ∈ R : x ∼ 21 = x ∈ R : x − 12 ∈ Z
= 12 + k : k ∈ Z = . . . , − 32 , − 12 , 12 , 32 , 52 , . . . .
Bewijs.
“⇒“: stel x ∼ y .
Neem z ∈ Ex . Dan is z ∼ x.
In het algemeen is verzameling van elementen gerelateerd aan
y ∈ R gelijk aan {y + k : k ∈ Z}. Deze verzameling wordt ook wel
de equivalentieklasse Ey van y genoemd.
Dus Ex ⊆ Ey . Analoog volgt Ey ⊆ Ex .
“⇐”: stel Ex = Ey . Merk op dat x ∈ Ex vanwege reflexiviteit. Dus
x ∈ EY , oftewel x ∼ y .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 5
Een voorbeeld van een equivalentierelatie
Bekijk X = Z × (Z \ {0}) = {(n, m) : n, m ∈ Z, m 6= 0}. Definieer
(x, y ) ∼ (w , z) desda xz = yw .
Bewijs dat ∼ een equivalentierelatie is.
Volgens transitiviteit geldt z ∼ y , dus z ∈ Ey .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 5
Een voorbeeld van een equivalentierelatie
Bekijk X = Z × (Z \ {0}) = {(n, m) : n, m ∈ Z, m 6= 0}. Definieer
(x, y ) ∼ (w , z) desda xz = yw .
Wat zijn de equivalentieklassen? Neem bijvoorbeeld a = (1, 2), dan
Neem (x, y ), (w , z), (u, v ) ∈ X .
Reflexiviteit (a ∼ a): er geldt xy = yx, dus (x, y ) ∼ (x, y ).
Symmetrie (a ∼ b ⇒ b ∼ a): stel (x, y ) ∼ (w , z), dan is
xz = yw . We willen (w , z) ∼ (x, y ), oftewel wy = zx. Ok.
Transitiviteit (a ∼ b, b ∼ c ⇒ a ∼ c):
Stel (x, y ) ∼ (w , z) en (w , z) ∼ (u, v ).
Dan is xz = yw en wv = zu.
Aan te tonen is (x, y ) ∼ (u, v ), dus xv = yu.
Er geldt xzwv = ywzu, dus 0 = xzwv − ywzu = zw (xv − yu).
Dus xv − yu = 0 of zw = 0. Als xv − yu = 0 zijn we klaar.
Als zw = 0, dan w = 0, want z 6= 0.
Dan xz = 0 en zu = 0, dus x = u = 0. Er volgt xv = yu.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 5
Ea = {(x, y ) : (x, y ) ∼ (1, 2)} = {(x, y ) : 2x = y }.
Voor b = (3, 1) krijgen we
Eb = {(x, y ) : (x, y ) ∼ (3, 1)} = {(x, y ) : x = 3y }.
Merk op dat Ea bestaat uit alle paren gehele getallen (x, y ) zodat
x
1
x
3
y = 2 . Evenzo bestaat Eb uit paren (x, y ) zodat y = 1 = 3.
In het algemeen geeft E(m,n) alle manieren om de breuk m
n op te
schrijven. Er is dus een correspondentie tussen equivalentieklassen
van ∼ en breuken.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 5
Partities
Partities
Een partitie van een verzameling X 6= ∅ is een collectie
{Aα : α ∈ I } van deelverzamelingen Aα ⊆ X zodat
1
2
3
Iedere Aα is niet leeg.
S
Er geldt α∈I Aα = X .
Voor elke α, β ∈ I geldt Aα ∩ Aβ = ∅ of Aα = Aβ .
Neem X = R en Ai = [i, i + 1) voor i ∈ Z.
Voorbeelden:
Neem X = Z. Bekijk A1 = Z+ , A2 = Z− en A3 = {0}.
Neem X = R en Ai = [i, i + 1) voor i ∈ Z.
Neem X = R en Ax = {y ∈ R : |x| = |y |} voor x ∈ R.
Neem X = R en Ax = {y ∈ R : |x| = |y |} voor x ∈ R.
Bewijs dat de Ax een partitie vormen.
Voorbeelden:
Neem X = Z. Bekijk A1 = Z+ , A2 = Z− en A3 = {0}.
Bewijs dat de Ax een partitie vormen.
1
Merk op Ax = {x, −x} 6= ∅.
2
S
Voor S
elke x ∈ R geldt x ∈ Ax , dus x ∈ y ∈R Ay . Er volgt
R ⊆ y ∈R Ay ⊆ R, want er geldt ook Ay ⊆ R.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 5
Equivalentieklassen en partities
Ey = {x ∈ X : x ∼ y }.
Merk op Ax = {x, −x} 6= ∅.
2
S
Voor S
elke x ∈ R geldt x ∈ Ax , dus x ∈ y ∈R Ay . Er volgt
R ⊆ y ∈R Ay ⊆ R, want er geldt ook Ay ⊆ R.
3
Neem x, y ∈ R.
Stel dat ∅ 6= Ax ∩ Ay = {x, −x} ∩ {y , −y }.
A =A
Dan is |x| = |y Gerrit
|. Dus
y.
Oomensx
Basiswiskunde
Hoorcollege 5
We concluderen dat of Ax ∩ Ay = ∅ of Ax = Ay .
Zij {Aα : α ∈ I } een partitie van een verzameling X . Definieer nu
een relatie op X door x ∼ y desda er een α ∈ I is zodat x, y ∈ Aα .
Claim: dit is een equivalentierelatie.
Claim: {Ey : y ∈ X } is een partitie van X .
Bewijs.
We gaan na:
2
Iedere Ey is niet leeg: ja, want y ∈ Ey (reflexiviteit).
S
Er geldt y ∈X S
Ey = X : voor y ∈ X geldt y ∈ Ey , maar dan
geldt ook y ∈ y ∈X Ey .
3
Voor y , z ∈ X geldt Ey ∩ Ez = ∅ of Ey = Ez :
We hebben gezien dat y ∼ z desda Ey = Ez .
Stel nu y 6∼ z en Ey ∩ Ez 6= ∅.
Dan is er a ∈ Ey ∩ Ez , oftewel a ∈ Ey en a ∈ Ez .
Er volgt a ∼ y en a ∼ z, dus y ∼ z vanwege transitiviteit.
Tegenspraak, dus Ey ∩ Ez = ∅.
Gerrit Oomens
1
Van partitie naar equivalentierelatie
Zij X een verzameling en ∼ een equivalentierelatie op X . Voor
y ∈ X bekijken we de equivalentieklasse
1
Een partitie van een verzameling X 6= ∅ is een collectie
{Aα : α ∈ I } van deelverzamelingen Aα ⊆ X zodat
1 Iedere A
αSis niet leeg.
2 Er geldt
α∈I Aα = X .
3 Voor elke α, β ∈ I geldt A ∩ A = ∅ of A
α
α = Aβ .
β
Basiswiskunde Hoorcollege 5
Bewijs.
We moeten drie dingen nagaan:
Reflexiviteit (x ∼ x): neem x ∈ X . Er geldt X =
dus er bestaat α ∈ I zodat x ∈ Aα .
S
α∈I
Aα ,
Symmetrie (x ∼ y ⇒ y ∼ x): stel x ∼ y , dan is er een α ∈ I
zodat x, y ∈ Aα . Dan geldt ook y , x ∈ Aα , dus y ∼ x.
Transitiviteit (x ∼ y , y ∼ z ⇒ x ∼ z):
Stel x ∼ y en y ∼ z.
Dan is er α ∈ I zodat x, y ∈ Aα en β ∈ I zodat y , z ∈ Aβ .
Maar dan is Aα ∩ Aβ 6= ∅, dus Aα = Aβ .
Er volgt x, z ∈ Aα = Aβ .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 5
Correspondentie tussen partities en equivalentiesrelaties
Correspondentie tussen partities en equivalentiesrelaties
Samengevat hebben we nu de volgende stelling bewezen:
Samengevat hebben we nu de volgende stelling bewezen:
Stelling 11.4
Zij ∼ een equivalentierelatie op een verzameling X . Dan geeft de
collectie equivalentieklassen {Ex : x ∈ X } een partitie van X .
Andersom, gegeven een partitie {Aα : α ∈ I }, dan is de relatie op
X gegeven door x ∼ y desda x, y ∈ Aα voor zekere α ∈ I een
equivalentierelatie op X .
Stelling 11.4
Zij ∼ een equivalentierelatie op een verzameling X . Dan geeft de
collectie equivalentieklassen {Ex : x ∈ X } een partitie van X .
Andersom, gegeven een partitie {Aα : α ∈ I }, dan is de relatie op
X gegeven door x ∼ y desda x, y ∈ Aα voor zekere α ∈ I een
equivalentierelatie op X .
Voorbeelden:
Voorbeelden:
Bekijk de partitie {[i, i + 1) : i ∈ Z} van R. De bijbehorende
equivalentierelatie voldoet aan
x ∼y
⇔
∃i ∈ Z : x, y ∈ [i, i + 1)
⇔
Bekijk de equivalentierelatie ∼ op Z met x ∼ y desda
2 | x − y . Er geldt
bxc = by c,
E0 = {2n : n ∈ Z},
waarbij bxc het grootste gehele getal kleiner gelijk x is (“x
naar beneden afgerond”).
Gerrit Oomens
Dit geeft de partitie {E0 , E1 } van Z in even en oneven
getallen.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 5
Uitdelen naar equivalentierelaties
Zij ∼ een equivalentierelatie op een verzameling X . We hebben
gezien dat de verzameling
Basiswiskunde Hoorcollege 5
Plakvoorbeeld
Equivalentierelatie op R: a ∼ b ⇐⇒ a − b ∈ Z.
a−3
X / ∼ = {Ex : x ∈ X }
E1 = {2n + 1 : n ∈ Z}.
-3
a−2
-2
a−1
a+1
a
-1
0
1
a+2
2
van equivalentieklassen een partitie geeft van X . We kunnen X / ∼
zien als een versie van X waar alle equivalentie elementen zijn
samengevoegd.
Voorbeeld:
Neem X = R \ {0} en x ∼ y desda xy ≥ 0. Dan geldt x ∼ y
precies als x en y hetzelfde teken hebben. Dus
a
0
1
X / ∼ = {E−1 , E1 }.
Bekijk X = {(n, m) : n, m ∈ Z, m 6= 0} met (x, y ) ∼ (w , z)
desda xz = yw . We zagen
E(x,y ) = (m, n) ∈ X : my = nx
↔ yx ∈ Q.
a
Wat krijg je als je alle equivalente punten op elkaar plakt?
Hier geldt X / ∼ “ = ” Q.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 5
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 5
3