Basiswiskunde Hoorcollege 9 - Cardinaliteit

Basiswiskunde Hoorcollege 9
Cardinaliteit
Gerrit Oomens
[email protected]
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
3 oktober 2016
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Gelijkmachtigheid
Herinnering
Een bijectie is een afbeelding f : X → Y die injectief en surjectief
is.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Gelijkmachtigheid
Herinnering
Een bijectie is een afbeelding f : X → Y die injectief en surjectief
is. De afbeelding f is bijectief dan en slechts dan als er een inverse
f −1 : Y → X bestaat.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Gelijkmachtigheid
Herinnering
Een bijectie is een afbeelding f : X → Y die injectief en surjectief
is. De afbeelding f is bijectief dan en slechts dan als er een inverse
f −1 : Y → X bestaat.
Definitie
Verzamelingen X , Y heten gelijkmachtig (boek: equivalent)
als er een bijectie f : X → Y bestaat.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Gelijkmachtigheid
Herinnering
Een bijectie is een afbeelding f : X → Y die injectief en surjectief
is. De afbeelding f is bijectief dan en slechts dan als er een inverse
f −1 : Y → X bestaat.
Definitie
Verzamelingen X , Y heten gelijkmachtig (boek: equivalent)
als er een bijectie f : X → Y bestaat. Notatie: X ≈ Y .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Gelijkmachtigheid
Herinnering
Een bijectie is een afbeelding f : X → Y die injectief en surjectief
is. De afbeelding f is bijectief dan en slechts dan als er een inverse
f −1 : Y → X bestaat.
Definitie
Verzamelingen X , Y heten gelijkmachtig (boek: equivalent)
als er een bijectie f : X → Y bestaat. Notatie: X ≈ Y .
Een verzameling X heet eindig als er een n ∈ Z≥0 bestaat en
een bijectie f : {1, . . . , n} → X .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Gelijkmachtigheid
Herinnering
Een bijectie is een afbeelding f : X → Y die injectief en surjectief
is. De afbeelding f is bijectief dan en slechts dan als er een inverse
f −1 : Y → X bestaat.
Definitie
Verzamelingen X , Y heten gelijkmachtig (boek: equivalent)
als er een bijectie f : X → Y bestaat. Notatie: X ≈ Y .
Een verzameling X heet eindig als er een n ∈ Z≥0 bestaat en
een bijectie f : {1, . . . , n} → X . We noemen n het aantal
elementen van X .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Gelijkmachtigheid
Herinnering
Een bijectie is een afbeelding f : X → Y die injectief en surjectief
is. De afbeelding f is bijectief dan en slechts dan als er een inverse
f −1 : Y → X bestaat.
Definitie
Verzamelingen X , Y heten gelijkmachtig (boek: equivalent)
als er een bijectie f : X → Y bestaat. Notatie: X ≈ Y .
Een verzameling X heet eindig als er een n ∈ Z≥0 bestaat en
een bijectie f : {1, . . . , n} → X . We noemen n het aantal
elementen van X .
Een verzameling X heet aftelbaar als X eindig is of als er een
bijectie f : N → X bestaat.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Gelijkmachtigheid
Herinnering
Een bijectie is een afbeelding f : X → Y die injectief en surjectief
is. De afbeelding f is bijectief dan en slechts dan als er een inverse
f −1 : Y → X bestaat.
Definitie
Verzamelingen X , Y heten gelijkmachtig (boek: equivalent)
als er een bijectie f : X → Y bestaat. Notatie: X ≈ Y .
Een verzameling X heet eindig als er een n ∈ Z≥0 bestaat en
een bijectie f : {1, . . . , n} → X . We noemen n het aantal
elementen van X .
Een verzameling X heet aftelbaar als X eindig is of als er een
bijectie f : N → X bestaat. Een verzameling die niet aftelbaar
is heet overaftelbaar.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Gelijkmachtigheid
Herinnering
Een bijectie is een afbeelding f : X → Y die injectief en surjectief
is. De afbeelding f is bijectief dan en slechts dan als er een inverse
f −1 : Y → X bestaat.
Definitie
Verzamelingen X , Y heten gelijkmachtig (boek: equivalent)
als er een bijectie f : X → Y bestaat. Notatie: X ≈ Y .
Een verzameling X heet eindig als er een n ∈ Z≥0 bestaat en
een bijectie f : {1, . . . , n} → X . We noemen n het aantal
elementen van X .
Een verzameling X heet aftelbaar als X eindig is of als er een
bijectie f : N → X bestaat. Een verzameling die niet aftelbaar
is heet overaftelbaar.
Gezien: Z is aftelbaar.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid
Definitie
Een verzameling X heet aftelbaar als X eindig is of als er een
bijectie f : N → X bestaat.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid
Definitie
Een verzameling X heet aftelbaar als X eindig is of als er een
bijectie f : N → X bestaat.
Merk op: een functie f : N → X
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid
Definitie
Een verzameling X heet aftelbaar als X eindig is of als er een
bijectie f : N → X bestaat.
Merk op: een functie f : N → X is niets anders dan een rij
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid
Definitie
Een verzameling X heet aftelbaar als X eindig is of als er een
bijectie f : N → X bestaat.
Merk op: een functie f : N → X is niets anders dan een rij
f (1), f (2), f (3), . . . .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid
Definitie
Een verzameling X heet aftelbaar als X eindig is of als er een
bijectie f : N → X bestaat.
Merk op: een functie f : N → X is niets anders dan een rij
f (1), f (2), f (3), . . . .
Vaak schrijven we an = f (n)
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid
Definitie
Een verzameling X heet aftelbaar als X eindig is of als er een
bijectie f : N → X bestaat.
Merk op: een functie f : N → X is niets anders dan een rij
f (1), f (2), f (3), . . . .
Vaak schrijven we an = f (n) en noteren we deze
(an )n∈N
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid
Definitie
Een verzameling X heet aftelbaar als X eindig is of als er een
bijectie f : N → X bestaat.
Merk op: een functie f : N → X is niets anders dan een rij
f (1), f (2), f (3), . . . .
Vaak schrijven we an = f (n) en noteren we deze
(an )n∈N = (a1 , a2 , a3 , . . .).
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid
Definitie
Een verzameling X heet aftelbaar als X eindig is of als er een
bijectie f : N → X bestaat.
Merk op: een functie f : N → X is niets anders dan een rij
f (1), f (2), f (3), . . . .
Vaak schrijven we an = f (n) en noteren we deze
(an )n∈N = (a1 , a2 , a3 , . . .).
Een verzameling X is dus aftelbaar dan en slechts dan als er een rij
(x1 , x2 , x3 , . . .)
bestaat
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid
Definitie
Een verzameling X heet aftelbaar als X eindig is of als er een
bijectie f : N → X bestaat.
Merk op: een functie f : N → X is niets anders dan een rij
f (1), f (2), f (3), . . . .
Vaak schrijven we an = f (n) en noteren we deze
(an )n∈N = (a1 , a2 , a3 , . . .).
Een verzameling X is dus aftelbaar dan en slechts dan als er een rij
(x1 , x2 , x3 , . . .)
bestaat zodat xi ∈ X voor elke i
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid
Definitie
Een verzameling X heet aftelbaar als X eindig is of als er een
bijectie f : N → X bestaat.
Merk op: een functie f : N → X is niets anders dan een rij
f (1), f (2), f (3), . . . .
Vaak schrijven we an = f (n) en noteren we deze
(an )n∈N = (a1 , a2 , a3 , . . .).
Een verzameling X is dus aftelbaar dan en slechts dan als er een rij
(x1 , x2 , x3 , . . .)
bestaat zodat xi ∈ X voor elke i en ieder element van X precies
één keer voorkomt.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid
Definitie
Een verzameling X heet aftelbaar als X eindig is of als er een
bijectie f : N → X bestaat.
Merk op: een functie f : N → X is niets anders dan een rij
f (1), f (2), f (3), . . . .
Vaak schrijven we an = f (n) en noteren we deze
(an )n∈N = (a1 , a2 , a3 , . . .).
Een verzameling X is dus aftelbaar dan en slechts dan als er een rij
(x1 , x2 , x3 , . . .)
bestaat zodat xi ∈ X voor elke i en ieder element van X precies
één keer voorkomt. Bijvoorbeeld voor Z
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid
Definitie
Een verzameling X heet aftelbaar als X eindig is of als er een
bijectie f : N → X bestaat.
Merk op: een functie f : N → X is niets anders dan een rij
f (1), f (2), f (3), . . . .
Vaak schrijven we an = f (n) en noteren we deze
(an )n∈N = (a1 , a2 , a3 , . . .).
Een verzameling X is dus aftelbaar dan en slechts dan als er een rij
(x1 , x2 , x3 , . . .)
bestaat zodat xi ∈ X voor elke i en ieder element van X precies
één keer voorkomt. Bijvoorbeeld voor Z:
(0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . .).
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We kunnen de elementen van Q in een tabel zetten:
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We kunnen de elementen van Q in een tabel zetten:
1
2
3
4
5
···
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
···
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
···
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
···
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
.
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We kunnen de elementen van Q in een tabel zetten:
1
2
3
4
5
···
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
···
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
···
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
···
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
.
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We kunnen de elementen van Q in een tabel zetten:
1
2
3
4
5
···
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
···
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
···
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
···
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
.
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We kunnen de elementen van Q in een tabel zetten:
1
2
3
4
5
···
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
···
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
···
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
···
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
.
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We kunnen de elementen van Q in een tabel zetten:
1
2
3
4
5
···
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
···
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
···
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
···
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
.
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We kunnen de elementen van Q in een tabel zetten:
1
2
3
4
5
···
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
···
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
···
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
···
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
.
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We kunnen de elementen van Q in een tabel zetten:
1
2
3
4
5
···
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
···
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
···
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
···
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
.
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We kunnen de elementen van Q in een tabel zetten:
1
2
3
4
5
···
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
···
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
···
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
···
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
.
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We kunnen de elementen van Q in een tabel zetten:
1
2
3
4
5
···
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
···
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
···
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
···
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
.
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We kunnen de elementen van Q in een tabel zetten:
1
2
3
4
5
···
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
···
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
···
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
···
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
.
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We kunnen de elementen van Q in een tabel zetten:
1
2
3
4
5
···
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
···
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
···
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
···
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Doorloop nu de tabel volgens de pijlen
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We kunnen de elementen van Q in een tabel zetten:
1
2
3
4
5
···
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
···
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
···
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
···
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Doorloop nu de tabel volgens de pijlen, waarbij breuken die je
al hebt gehad overslaat.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We kunnen de elementen van Q in een tabel zetten:
1
2
3
4
5
···
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
···
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
···
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
···
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Doorloop nu de tabel volgens de pijlen, waarbij breuken die je
al hebt gehad overslaat.
Dit geeft een bijectieve afbeelding N → Q+ .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We hebben gezien dat er een bijectie N → Q+ bestaat.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We hebben gezien dat er een bijectie N → Q+ bestaat.
Dit geeft een rij
(q1 , q2 , q3 , . . .)
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We hebben gezien dat er een bijectie N → Q+ bestaat.
Dit geeft een rij
(q1 , q2 , q3 , . . .)
die alle positieve breuken één keer langsloopt.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We hebben gezien dat er een bijectie N → Q+ bestaat.
Dit geeft een rij
(q1 , q2 , q3 , . . .)
die alle positieve breuken één keer langsloopt.
Dan krijgen we met
(0, q1 , −q1 , q2 , −q2 , . . .)
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbaarheid van Q
Claim
De verzameling Q van rationale getallen is aftelbaar.
We hebben gezien dat er een bijectie N → Q+ bestaat.
Dit geeft een rij
(q1 , q2 , q3 , . . .)
die alle positieve breuken één keer langsloopt.
Dan krijgen we met
(0, q1 , −q1 , q2 , −q2 , . . .)
ieder element van Q precies één keer.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbare verenigingen van aftelbare verzamelingen
Claim
Zij A1 , A2 , . . . aftelbaar. Dan is A =
Gerrit Oomens
S∞
n=1 An
ook aftelbaar.
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Aftelbare verenigingen van aftelbare verzamelingen
Claim
Zij A1 , A2 , . . . aftelbaar. Dan is A =
S∞
n=1 An
ook aftelbaar.
We kunnen iedere Ai aftellen:
A1 :
a11
a21
a31
a41
a51
···
A2 :
a12
a22
a32
a42
a52
···
A3 :
a13
a23
a33
a43
a53
···
A4 :
a14
a24
a34
a44
a54
···
A5 :
a15
a25
a35
a45
a55
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
.
Aftelbare verenigingen van aftelbare verzamelingen
Claim
Zij A1 , A2 , . . . aftelbaar. Dan is A =
S∞
n=1 An
ook aftelbaar.
We kunnen iedere Ai aftellen:
A1 :
a11
a21
a31
a41
a51
···
A2 :
a12
a22
a32
a42
a52
···
A3 :
a13
a23
a33
a43
a53
···
A4 :
a14
a24
a34
a44
a54
···
A5 :
a15
a25
a35
a45
a55
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
.
Aftelbare verenigingen van aftelbare verzamelingen
Claim
Zij A1 , A2 , . . . aftelbaar. Dan is A =
S∞
n=1 An
ook aftelbaar.
We kunnen iedere Ai aftellen:
A1 :
a11
a21
a31
a41
a51
···
A2 :
a12
a22
a32
a42
a52
···
A3 :
a13
a23
a33
a43
a53
···
A4 :
a14
a24
a34
a44
a54
···
A5 :
a15
a25
a35
a45
a55
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
.
Aftelbare verenigingen van aftelbare verzamelingen
Claim
Zij A1 , A2 , . . . aftelbaar. Dan is A =
S∞
n=1 An
ook aftelbaar.
We kunnen iedere Ai aftellen:
A1 :
a11
a21
a31
a41
a51
···
A2 :
a12
a22
a32
a42
a52
···
A3 :
a13
a23
a33
a43
a53
···
A4 :
a14
a24
a34
a44
a54
···
A5 :
a15
a25
a35
a45
a55
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
.
Aftelbare verenigingen van aftelbare verzamelingen
Claim
Zij A1 , A2 , . . . aftelbaar. Dan is A =
S∞
n=1 An
ook aftelbaar.
We kunnen iedere Ai aftellen:
A1 :
a11
a21
a31
a41
a51
···
A2 :
a12
a22
a32
a42
a52
···
A3 :
a13
a23
a33
a43
a53
···
A4 :
a14
a24
a34
a44
a54
···
A5 :
a15
a25
a35
a45
a55
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
.
Aftelbare verenigingen van aftelbare verzamelingen
Claim
Zij A1 , A2 , . . . aftelbaar. Dan is A =
S∞
n=1 An
ook aftelbaar.
We kunnen iedere Ai aftellen:
A1 :
a11
a21
a31
a41
a51
···
A2 :
a12
a22
a32
a42
a52
···
A3 :
a13
a23
a33
a43
a53
···
A4 :
a14
a24
a34
a44
a54
···
A5 :
a15
a25
a35
a45
a55
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
.
Aftelbare verenigingen van aftelbare verzamelingen
Claim
Zij A1 , A2 , . . . aftelbaar. Dan is A =
S∞
n=1 An
ook aftelbaar.
We kunnen iedere Ai aftellen:
A1 :
a11
a21
a31
a41
a51
···
A2 :
a12
a22
a32
a42
a52
···
A3 :
a13
a23
a33
a43
a53
···
A4 :
a14
a24
a34
a44
a54
···
A5 :
a15
a25
a35
a45
a55
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
.
Aftelbare verenigingen van aftelbare verzamelingen
Claim
Zij A1 , A2 , . . . aftelbaar. Dan is A =
S∞
n=1 An
ook aftelbaar.
We kunnen iedere Ai aftellen:
A1 :
a11
a21
a31
a41
a51
···
A2 :
a12
a22
a32
a42
a52
···
A3 :
a13
a23
a33
a43
a53
···
A4 :
a14
a24
a34
a44
a54
···
A5 :
a15
a25
a35
a45
a55
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
.
Aftelbare verenigingen van aftelbare verzamelingen
Claim
Zij A1 , A2 , . . . aftelbaar. Dan is A =
S∞
n=1 An
ook aftelbaar.
We kunnen iedere Ai aftellen:
A1 :
a11
a21
a31
a41
a51
···
A2 :
a12
a22
a32
a42
a52
···
A3 :
a13
a23
a33
a43
a53
···
A4 :
a14
a24
a34
a44
a54
···
A5 :
a15
a25
a35
a45
a55
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
.
Aftelbare verenigingen van aftelbare verzamelingen
Claim
Zij A1 , A2 , . . . aftelbaar. Dan is A =
S∞
n=1 An
ook aftelbaar.
We kunnen iedere Ai aftellen:
A1 :
a11
a21
a31
a41
a51
···
A2 :
a12
a22
a32
a42
a52
···
A3 :
a13
a23
a33
a43
a53
···
A4 :
a14
a24
a34
a44
a54
···
A5 :
a15
a25
a35
a45
a55
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
.
Aftelbare verenigingen van aftelbare verzamelingen
Claim
Zij A1 , A2 , . . . aftelbaar. Dan is A =
S∞
n=1 An
ook aftelbaar.
We kunnen iedere Ai aftellen:
A1 :
a11
a21
a31
a41
a51
···
A2 :
a12
a22
a32
a42
a52
···
A3 :
a13
a23
a33
a43
a53
···
A4 :
a14
a24
a34
a44
a54
···
A5 :
a15
a25
a35
a45
a55
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
.
Aftelbare verenigingen van aftelbare verzamelingen
Claim
Zij A1 , A2 , . . . aftelbaar. Dan is A =
S∞
n=1 An
ook aftelbaar.
We kunnen iedere Ai aftellen:
A1 :
a11
a21
a31
a41
a51
···
A2 :
a12
a22
a32
a42
a52
···
A3 :
a13
a23
a33
a43
a53
···
A4 :
a14
a24
a34
a44
a54
···
A5 :
a15
a25
a35
a45
a55
···
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Op dezelfde manier als bij Q+ krijgen we een aftelling van A.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Overaftelbaarheid van de reële getallen
Stelling 23.12
De verzameling reële getallen R is overaftelbaar.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Overaftelbaarheid van de reële getallen
Stelling 23.12
De verzameling reële getallen R is overaftelbaar.
Stel dat het interval (0, 1) aftelbaar is.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Overaftelbaarheid van de reële getallen
Stelling 23.12
De verzameling reële getallen R is overaftelbaar.
Stel dat het interval (0, 1) aftelbaar is.
Dan bestaat er een surjectieve functie f : N → (0, 1).
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Overaftelbaarheid van de reële getallen
Stelling 23.12
De verzameling reële getallen R is overaftelbaar.
Stel dat het interval (0, 1) aftelbaar is.
Dan bestaat er een surjectieve functie f : N → (0, 1).
Schrijf nu de decimale ontwikkelingen uit:
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Overaftelbaarheid van de reële getallen
Stelling 23.12
De verzameling reële getallen R is overaftelbaar.
Stel dat het interval (0, 1) aftelbaar is.
Dan bestaat er een surjectieve functie f : N → (0, 1).
Schrijf nu de decimale ontwikkelingen uit:
f (1)
f (2)
f (3)
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Overaftelbaarheid van de reële getallen
Stelling 23.12
De verzameling reële getallen R is overaftelbaar.
Stel dat het interval (0, 1) aftelbaar is.
Dan bestaat er een surjectieve functie f : N → (0, 1).
Schrijf nu de decimale ontwikkelingen uit:
f (1) = 0.a11 a12 a13 · · ·
f (2)
f (3)
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Overaftelbaarheid van de reële getallen
Stelling 23.12
De verzameling reële getallen R is overaftelbaar.
Stel dat het interval (0, 1) aftelbaar is.
Dan bestaat er een surjectieve functie f : N → (0, 1).
Schrijf nu de decimale ontwikkelingen uit:
f (1) = 0.a11 a12 a13 · · ·
f (2) = 0.a21 a22 a23 · · ·
f (3)
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Overaftelbaarheid van de reële getallen
Stelling 23.12
De verzameling reële getallen R is overaftelbaar.
Stel dat het interval (0, 1) aftelbaar is.
Dan bestaat er een surjectieve functie f : N → (0, 1).
Schrijf nu de decimale ontwikkelingen uit:
f (1) = 0.a11 a12 a13 · · ·
f (2) = 0.a21 a22 a23 · · ·
f (3) = 0.a31 a32 a33 · · ·
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Overaftelbaarheid van de reële getallen
Stelling 23.12
De verzameling reële getallen R is overaftelbaar.
Stel dat het interval (0, 1) aftelbaar is.
Dan bestaat er een surjectieve functie f : N → (0, 1).
Schrijf nu de decimale ontwikkelingen uit:
f (1) = 0.a11 a12 a13 · · ·
f (2) = 0.a21 a22 a23 · · ·
f (3) = 0.a31 a32 a33 · · ·
Let op: schrijf hierbij 0.399 · · · i.p.v. 0.400 · · · voor uniciteit.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Overaftelbaarheid van de reële getallen
Stelling 23.12
De verzameling reële getallen R is overaftelbaar.
Stel dat het interval (0, 1) aftelbaar is.
Dan bestaat er een surjectieve functie f : N → (0, 1).
Schrijf nu de decimale ontwikkelingen uit:
f (1) = 0.a11 a12 a13 · · ·
f (2) = 0.a21 a22 a23 · · ·
f (3) = 0.a31 a32 a33 · · ·
Let op: schrijf hierbij 0.399 · · · i.p.v. 0.400 · · · voor uniciteit.
Kies nu voor elke i een getal bi ∈ {0, 1, . . . , 9}
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Overaftelbaarheid van de reële getallen
Stelling 23.12
De verzameling reële getallen R is overaftelbaar.
Stel dat het interval (0, 1) aftelbaar is.
Dan bestaat er een surjectieve functie f : N → (0, 1).
Schrijf nu de decimale ontwikkelingen uit:
f (1) = 0.a11 a12 a13 · · ·
f (2) = 0.a21 a22 a23 · · ·
f (3) = 0.a31 a32 a33 · · ·
Let op: schrijf hierbij 0.399 · · · i.p.v. 0.400 · · · voor uniciteit.
Kies nu voor elke i een getal bi ∈ {0, 1, . . . , 9} zodat bi 6= aii
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Overaftelbaarheid van de reële getallen
Stelling 23.12
De verzameling reële getallen R is overaftelbaar.
Stel dat het interval (0, 1) aftelbaar is.
Dan bestaat er een surjectieve functie f : N → (0, 1).
Schrijf nu de decimale ontwikkelingen uit:
f (1) = 0.a11 a12 a13 · · ·
f (2) = 0.a21 a22 a23 · · ·
f (3) = 0.a31 a32 a33 · · ·
Let op: schrijf hierbij 0.399 · · · i.p.v. 0.400 · · · voor uniciteit.
Kies nu voor elke i een getal bi ∈ {0, 1, . . . , 9} zodat bi 6= aii
en definieer x = 0.b1 b2 b3 · · · .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Overaftelbaarheid van de reële getallen
Stelling 23.12
De verzameling reële getallen R is overaftelbaar.
Stel dat het interval (0, 1) aftelbaar is.
Dan bestaat er een surjectieve functie f : N → (0, 1).
Schrijf nu de decimale ontwikkelingen uit:
f (1) = 0.a11 a12 a13 · · ·
f (2) = 0.a21 a22 a23 · · ·
f (3) = 0.a31 a32 a33 · · ·
Let op: schrijf hierbij 0.399 · · · i.p.v. 0.400 · · · voor uniciteit.
Kies nu voor elke i een getal bi ∈ {0, 1, . . . , 9} zodat bi 6= aii
en definieer x = 0.b1 b2 b3 · · · .
Er bestaat n ∈ N zodat
x = f (n)
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Overaftelbaarheid van de reële getallen
Stelling 23.12
De verzameling reële getallen R is overaftelbaar.
Stel dat het interval (0, 1) aftelbaar is.
Dan bestaat er een surjectieve functie f : N → (0, 1).
Schrijf nu de decimale ontwikkelingen uit:
f (1) = 0.a11 a12 a13 · · ·
f (2) = 0.a21 a22 a23 · · ·
f (3) = 0.a31 a32 a33 · · ·
Let op: schrijf hierbij 0.399 · · · i.p.v. 0.400 · · · voor uniciteit.
Kies nu voor elke i een getal bi ∈ {0, 1, . . . , 9} zodat bi 6= aii
en definieer x = 0.b1 b2 b3 · · · .
Er bestaat n ∈ N zodat
0.b1 b2 b3 · · · bn · · · = x = f (n)
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Overaftelbaarheid van de reële getallen
Stelling 23.12
De verzameling reële getallen R is overaftelbaar.
Stel dat het interval (0, 1) aftelbaar is.
Dan bestaat er een surjectieve functie f : N → (0, 1).
Schrijf nu de decimale ontwikkelingen uit:
f (1) = 0.a11 a12 a13 · · ·
f (2) = 0.a21 a22 a23 · · ·
f (3) = 0.a31 a32 a33 · · ·
Let op: schrijf hierbij 0.399 · · · i.p.v. 0.400 · · · voor uniciteit.
Kies nu voor elke i een getal bi ∈ {0, 1, . . . , 9} zodat bi 6= aii
en definieer x = 0.b1 b2 b3 · · · .
Er bestaat n ∈ N zodat
0.b1 b2 b3 · · · bn · · · = x = f (n) = 0.an1 an2 an3 · · · ann · · · .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Overaftelbaarheid van de reële getallen
Stelling 23.12
De verzameling reële getallen R is overaftelbaar.
Stel dat het interval (0, 1) aftelbaar is.
Dan bestaat er een surjectieve functie f : N → (0, 1).
Schrijf nu de decimale ontwikkelingen uit:
f (1) = 0.a11 a12 a13 · · ·
f (2) = 0.a21 a22 a23 · · ·
f (3) = 0.a31 a32 a33 · · ·
Let op: schrijf hierbij 0.399 · · · i.p.v. 0.400 · · · voor uniciteit.
Kies nu voor elke i een getal bi ∈ {0, 1, . . . , 9} zodat bi 6= aii
en definieer x = 0.b1 b2 b3 · · · .
Er bestaat n ∈ N zodat
0.b1 b2 b3 · · · bn · · · = x = f (n) = 0.an1 an2 an3 · · · ann · · · .
Dus ann = bn .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Overaftelbaarheid van de reële getallen
Stelling 23.12
De verzameling reële getallen R is overaftelbaar.
Stel dat het interval (0, 1) aftelbaar is.
Dan bestaat er een surjectieve functie f : N → (0, 1).
Schrijf nu de decimale ontwikkelingen uit:
f (1) = 0.a11 a12 a13 · · ·
f (2) = 0.a21 a22 a23 · · ·
f (3) = 0.a31 a32 a33 · · ·
Let op: schrijf hierbij 0.399 · · · i.p.v. 0.400 · · · voor uniciteit.
Kies nu voor elke i een getal bi ∈ {0, 1, . . . , 9} zodat bi 6= aii
en definieer x = 0.b1 b2 b3 · · · .
Er bestaat n ∈ N zodat
0.b1 b2 b3 · · · bn · · · = x = f (n) = 0.an1 an2 an3 · · · ann · · · .
Dus ann = bn . Tegenspraak!
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
(0, 1)
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
(0, 1)
0
Gerrit Oomens
1
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
=
(0, 1)
∞
[
1
1
n+1 , n
0
1
n=1
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
(0, 1)
=
1
2
∞
[
1
1
n+1 , n
0
1
n=1
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
(0, 1)
=
1
2
∞
[
1
1
n+1 , n
0
1
n=1
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
(0, 1)
=
1
3
∞
[
1
1
n+1 , n
1
2
0
1
n=1
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
(0, 1)
=
1
3
∞
[
1
1
n+1 , n
1
2
0
1
n=1
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
(0, 1)
=
1
4
∞
[
1
1
n+1 , n
1
3
1
2
0
1
n=1
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
(0, 1)
=
1
4
∞
[
1
1
n+1 , n
1
3
1
2
0
1
n=1
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
(0, 1)
=
1
4
∞
[
1
1
n+1 , n
1
3
1
2
0
1
n=1
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
(0, 1)
=
1
4
∞
[
1
1
n+1 , n
0
1
3
1
2
···
···
1
n=1
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
(0, 1)
=
1
4
∞
[
1
1
n+1 , n
1
3
1
2
0
···
···
1
0
···
···
1
n=1
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
(0, 1)
=
1
4
∞
[
1
1
n+1 , n
1
3
1
2
0
···
···
1
0
···
···
1
n=1
Claim 2
De intervallen [a, b) en (a, b] zijn gelijkmachtig.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
(0, 1)
=
1
4
∞
[
1
1
n+1 , n
1
3
1
2
0
···
···
1
0
···
···
1
n=1
Claim 2 (duidelijk)
De intervallen [a, b) en (a, b] zijn gelijkmachtig.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
(0, 1)
=
1
4
∞
[
1
1
n+1 , n
0
1
3
1
2
···
···
1
n=1
(claim 2)
0
···
···
1
Claim 2 (duidelijk)
De intervallen [a, b) en (a, b] zijn gelijkmachtig.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
(0, 1)
=
1
4
∞
[
1
1
n+1 , n
0
1
3
1
2
···
···
1
n=1
(claim 2)
0
···
···
1
Claim 2 (duidelijk)
De intervallen [a, b) en (a, b] zijn gelijkmachtig.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
(0, 1)
=
1
4
∞
[
1
1
n+1 , n
0
1
3
1
2
···
···
1
n=1
∞
[
(claim 2)
1
1
n+1 , n
n=1
0
···
···
1
Claim 2 (duidelijk)
De intervallen [a, b) en (a, b] zijn gelijkmachtig.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
(0, 1)
=
1
4
∞
[
1
1
n+1 , n
0
1
3
1
2
···
···
1
n=1
≈
∞
[
(claim 2)
1
1
n+1 , n
n=1
0
···
···
1
Claim 2 (duidelijk)
De intervallen [a, b) en (a, b] zijn gelijkmachtig.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Intervallen in R
Claim 1
De intervallen (0, 1) en (0, 1] zijn gelijkmachtig.
(0, 1)
=
1
4
∞
[
1
1
n+1 , n
0
1
3
1
2
···
···
1
n=1
n=1
≈
1
1
n+1 , n
=
∞
[
(claim 2)
0
···
···
1
(0, 1]
Claim 2 (duidelijk)
De intervallen [a, b) en (a, b] zijn gelijkmachtig.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Verzamelingen van afbeeldingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. Dan is AB de verzameling van alle
afbeeldingen van B naar A:
AB = {f : B → A}.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Verzamelingen van afbeeldingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. Dan is AB de verzameling van alle
afbeeldingen van B naar A:
AB = {f : B → A}.
Deze notatie is niet geheel onlogisch:
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Verzamelingen van afbeeldingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. Dan is AB de verzameling van alle
afbeeldingen van B naar A:
AB = {f : B → A}.
Deze notatie is niet geheel onlogisch:
Stel dat A en B eindig zijn
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Verzamelingen van afbeeldingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. Dan is AB de verzameling van alle
afbeeldingen van B naar A:
AB = {f : B → A}.
Deze notatie is niet geheel onlogisch:
Stel dat A en B eindig zijn met |A| en |B| elementen
respectievelijk.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Verzamelingen van afbeeldingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. Dan is AB de verzameling van alle
afbeeldingen van B naar A:
AB = {f : B → A}.
Deze notatie is niet geheel onlogisch:
Stel dat A en B eindig zijn met |A| en |B| elementen
respectievelijk.
Om een functie f : B → A te kiezen moeten we voor ieder
element van B er één van A kiezen.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Verzamelingen van afbeeldingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. Dan is AB de verzameling van alle
afbeeldingen van B naar A:
AB = {f : B → A}.
Deze notatie is niet geheel onlogisch:
Stel dat A en B eindig zijn met |A| en |B| elementen
respectievelijk.
Om een functie f : B → A te kiezen moeten we voor ieder
element van B er één van A kiezen.
Er zijn telkens |A| keuzes
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Verzamelingen van afbeeldingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. Dan is AB de verzameling van alle
afbeeldingen van B naar A:
AB = {f : B → A}.
Deze notatie is niet geheel onlogisch:
Stel dat A en B eindig zijn met |A| en |B| elementen
respectievelijk.
Om een functie f : B → A te kiezen moeten we voor ieder
element van B er één van A kiezen.
Er zijn telkens |A| keuzes en we moeten |B| keer kiezen.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Verzamelingen van afbeeldingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. Dan is AB de verzameling van alle
afbeeldingen van B naar A:
AB = {f : B → A}.
Deze notatie is niet geheel onlogisch:
Stel dat A en B eindig zijn met |A| en |B| elementen
respectievelijk.
Om een functie f : B → A te kiezen moeten we voor ieder
element van B er één van A kiezen.
Er zijn telkens |A| keuzes en we moeten |B| keer kiezen.
Dus het aantal elementen van AB
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Verzamelingen van afbeeldingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. Dan is AB de verzameling van alle
afbeeldingen van B naar A:
AB = {f : B → A}.
Deze notatie is niet geheel onlogisch:
Stel dat A en B eindig zijn met |A| en |B| elementen
respectievelijk.
Om een functie f : B → A te kiezen moeten we voor ieder
element van B er één van A kiezen.
Er zijn telkens |A| keuzes en we moeten |B| keer kiezen.
Dus het aantal elementen van AB is |A||B| .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Verzamelingen van afbeeldingen
Definitie
Zij A, B verzamelingen. Dan is AB de verzameling van alle
afbeeldingen van B naar A:
AB = {f : B → A}.
Deze notatie is niet geheel onlogisch:
Stel dat A en B eindig zijn met |A| en |B| elementen
respectievelijk.
Om een functie f : B → A te kiezen moeten we voor ieder
element van B er één van A kiezen.
Er zijn telkens |A| keuzes en we moeten |B| keer kiezen.
Dus het aantal elementen van AB is |A||B| .
Vraag
Zij X een verzameling. Wat is {0, 1}X = f : X → {0, 1} ?
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Nullen en enen
Vraag
Zij X een verzameling. Wat is {0, 1}X = f : X → {0, 1} ?
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Nullen en enen
Vraag
Zij X een verzameling. Wat is {0, 1}X = f : X → {0, 1} ?
Een f ∈ {0, 1}X wijst voor elke x ∈ X een 0 of een 1 aan.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Nullen en enen
Vraag
Zij X een verzameling. Wat is {0, 1}X = f : X → {0, 1} ?
Een f ∈ {0, 1}X wijst voor elke x ∈ X een 0 of een 1 aan.
Dit lijkt op de machtsverzameling
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Nullen en enen
Vraag
Zij X een verzameling. Wat is {0, 1}X = f : X → {0, 1} ?
Een f ∈ {0, 1}X wijst voor elke x ∈ X een 0 of een 1 aan.
Dit lijkt op de machtsverzameling: bekijk
ϕ : {0, 1}X → P(X )
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Nullen en enen
Vraag
Zij X een verzameling. Wat is {0, 1}X = f : X → {0, 1} ?
Een f ∈ {0, 1}X wijst voor elke x ∈ X een 0 of een 1 aan.
Dit lijkt op de machtsverzameling: bekijk
ϕ : {0, 1}X → P(X )
f
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Nullen en enen
Vraag
Zij X een verzameling. Wat is {0, 1}X = f : X → {0, 1} ?
Een f ∈ {0, 1}X wijst voor elke x ∈ X een 0 of een 1 aan.
Dit lijkt op de machtsverzameling: bekijk
ϕ : {0, 1}X → P(X )
f 7→ {x ∈ X : f (x) = 1}.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Nullen en enen
Vraag
Zij X een verzameling. Wat is {0, 1}X = f : X → {0, 1} ?
Een f ∈ {0, 1}X wijst voor elke x ∈ X een 0 of een 1 aan.
Dit lijkt op de machtsverzameling: bekijk
ϕ : {0, 1}X → P(X )
f 7→ {x ∈ X : f (x) = 1}.
Dit is een bijectie
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Nullen en enen
Vraag
Zij X een verzameling. Wat is {0, 1}X = f : X → {0, 1} ?
Een f ∈ {0, 1}X wijst voor elke x ∈ X een 0 of een 1 aan.
Dit lijkt op de machtsverzameling: bekijk
ϕ : {0, 1}X → P(X )
f 7→ {x ∈ X : f (x) = 1}.
Dit is een bijectie met inverse
ϕ−1 : P(X ) → {0, 1}X
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Nullen en enen
Vraag
Zij X een verzameling. Wat is {0, 1}X = f : X → {0, 1} ?
Een f ∈ {0, 1}X wijst voor elke x ∈ X een 0 of een 1 aan.
Dit lijkt op de machtsverzameling: bekijk
ϕ : {0, 1}X → P(X )
f 7→ {x ∈ X : f (x) = 1}.
Dit is een bijectie met inverse
ϕ−1 : P(X ) → {0, 1}X
A
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Nullen en enen
Vraag
Zij X een verzameling. Wat is {0, 1}X = f : X → {0, 1} ?
Een f ∈ {0, 1}X wijst voor elke x ∈ X een 0 of een 1 aan.
Dit lijkt op de machtsverzameling: bekijk
ϕ : {0, 1}X → P(X )
f 7→ {x ∈ X : f (x) = 1}.
Dit is een bijectie met inverse
ϕ−1 : P(X ) → {0, 1}X
A 7→ χA ,
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Nullen en enen
Vraag
Zij X een verzameling. Wat is {0, 1}X = f : X → {0, 1} ?
Een f ∈ {0, 1}X wijst voor elke x ∈ X een 0 of een 1 aan.
Dit lijkt op de machtsverzameling: bekijk
ϕ : {0, 1}X → P(X )
f 7→ {x ∈ X : f (x) = 1}.
Dit is een bijectie met inverse
ϕ−1 : P(X ) → {0, 1}X
A 7→ χA ,
waarbij χA (x) = 1 als x ∈ A en χA (x) = 0 anders.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Nullen en enen
Vraag
Zij X een verzameling. Wat is {0, 1}X = f : X → {0, 1} ?
Een f ∈ {0, 1}X wijst voor elke x ∈ X een 0 of een 1 aan.
Dit lijkt op de machtsverzameling: bekijk
ϕ : {0, 1}X → P(X )
f 7→ {x ∈ X : f (x) = 1}.
Dit is een bijectie met inverse
ϕ−1 : P(X ) → {0, 1}X
A 7→ χA ,
waarbij χA (x) = 1 als x ∈ A en χA (x) = 0 anders.
Dus P(X ) ≈ {0, 1}X .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Nullen en enen
Vraag
Zij X een verzameling. Wat is {0, 1}X = f : X → {0, 1} ?
Een f ∈ {0, 1}X wijst voor elke x ∈ X een 0 of een 1 aan.
Dit lijkt op de machtsverzameling: bekijk
ϕ : {0, 1}X → P(X )
f 7→ {x ∈ X : f (x) = 1}.
Dit is een bijectie met inverse
ϕ−1 : P(X ) → {0, 1}X
A 7→ χA ,
waarbij χA (x) = 1 als x ∈ A en χA (x) = 0 anders.
Dus P(X ) ≈ {0, 1}X . In het bijzonder geldt |P(X )|
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Nullen en enen
Vraag
Zij X een verzameling. Wat is {0, 1}X = f : X → {0, 1} ?
Een f ∈ {0, 1}X wijst voor elke x ∈ X een 0 of een 1 aan.
Dit lijkt op de machtsverzameling: bekijk
ϕ : {0, 1}X → P(X )
f 7→ {x ∈ X : f (x) = 1}.
Dit is een bijectie met inverse
ϕ−1 : P(X ) → {0, 1}X
A 7→ χA ,
waarbij χA (x) = 1 als x ∈ A en χA (x) = 0 anders.
Dus P(X ) ≈ {0, 1}X . In het bijzonder geldt |P(X )| = 2|X |
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Nullen en enen
Vraag
Zij X een verzameling. Wat is {0, 1}X = f : X → {0, 1} ?
Een f ∈ {0, 1}X wijst voor elke x ∈ X een 0 of een 1 aan.
Dit lijkt op de machtsverzameling: bekijk
ϕ : {0, 1}X → P(X )
f 7→ {x ∈ X : f (x) = 1}.
Dit is een bijectie met inverse
ϕ−1 : P(X ) → {0, 1}X
A 7→ χA ,
waarbij χA (x) = 1 als x ∈ A en χA (x) = 0 anders.
Dus P(X ) ≈ {0, 1}X . In het bijzonder geldt |P(X )| = 2|X |
als X eindig.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Nullen en enen
Vraag
Zij X een verzameling. Wat is {0, 1}X = f : X → {0, 1} ?
Een f ∈ {0, 1}X wijst voor elke x ∈ X een 0 of een 1 aan.
Dit lijkt op de machtsverzameling: bekijk
ϕ : {0, 1}X → P(X )
f 7→ {x ∈ X : f (x) = 1}.
Dit is een bijectie met inverse
ϕ−1 : P(X ) → {0, 1}X
A 7→ χA ,
waarbij χA (x) = 1 als x ∈ A en χA (x) = 0 anders.
Dus P(X ) ≈ {0, 1}X . In het bijzonder geldt |P(X )| = 2|X |
als X eindig.
Nog een vraag: wat is {0, 1}N = f : N → {0, 1} ?
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Grotere verzamelingen
Stelling
Zij X een verzameling. Dan zijn X en P(X ) niet gelijkmachtig.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Grotere verzamelingen
Stelling
Zij X een verzameling. Dan zijn X en P(X ) niet gelijkmachtig.
Stel dat we een bijectie f : X → P(X ) hebben.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Grotere verzamelingen
Stelling
Zij X een verzameling. Dan zijn X en P(X ) niet gelijkmachtig.
Stel dat we een bijectie f : X → P(X ) hebben.
Definieer
Z = {x ∈ X : x 6∈ f (x)}
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Grotere verzamelingen
Stelling
Zij X een verzameling. Dan zijn X en P(X ) niet gelijkmachtig.
Stel dat we een bijectie f : X → P(X ) hebben.
Definieer
Z = {x ∈ X : x 6∈ f (x)} ∈ P(X ).
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Grotere verzamelingen
Stelling
Zij X een verzameling. Dan zijn X en P(X ) niet gelijkmachtig.
Stel dat we een bijectie f : X → P(X ) hebben.
Definieer
Z = {x ∈ X : x 6∈ f (x)} ∈ P(X ).
Er is een y ∈ X zodat f (y ) = Z .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Grotere verzamelingen
Stelling
Zij X een verzameling. Dan zijn X en P(X ) niet gelijkmachtig.
Stel dat we een bijectie f : X → P(X ) hebben.
Definieer
Z = {x ∈ X : x 6∈ f (x)} ∈ P(X ).
Er is een y ∈ X zodat f (y ) = Z .
Stel nu y ∈ Z .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Grotere verzamelingen
Stelling
Zij X een verzameling. Dan zijn X en P(X ) niet gelijkmachtig.
Stel dat we een bijectie f : X → P(X ) hebben.
Definieer
Z = {x ∈ X : x 6∈ f (x)} ∈ P(X ).
Er is een y ∈ X zodat f (y ) = Z .
Stel nu y ∈ Z . Dan geldt y 6∈ f (y ) = Z .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Grotere verzamelingen
Stelling
Zij X een verzameling. Dan zijn X en P(X ) niet gelijkmachtig.
Stel dat we een bijectie f : X → P(X ) hebben.
Definieer
Z = {x ∈ X : x 6∈ f (x)} ∈ P(X ).
Er is een y ∈ X zodat f (y ) = Z .
Stel nu y ∈ Z . Dan geldt y 6∈ f (y ) = Z .
Dus y 6∈ Z .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Grotere verzamelingen
Stelling
Zij X een verzameling. Dan zijn X en P(X ) niet gelijkmachtig.
Stel dat we een bijectie f : X → P(X ) hebben.
Definieer
Z = {x ∈ X : x 6∈ f (x)} ∈ P(X ).
Er is een y ∈ X zodat f (y ) = Z .
Stel nu y ∈ Z . Dan geldt y 6∈ f (y ) = Z .
Dus y 6∈ Z . Maar dan y ∈ Z .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9
Grotere verzamelingen
Stelling
Zij X een verzameling. Dan zijn X en P(X ) niet gelijkmachtig.
Stel dat we een bijectie f : X → P(X ) hebben.
Definieer
Z = {x ∈ X : x 6∈ f (x)} ∈ P(X ).
Er is een y ∈ X zodat f (y ) = Z .
Stel nu y ∈ Z . Dan geldt y 6∈ f (y ) = Z .
Dus y 6∈ Z . Maar dan y ∈ Z .
Tegenspraak!
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 9