Basiswiskunde Hoorcollege 1 - Introductie en logica

Wiskunde
Basiswiskunde Hoorcollege 1
Introductie en logica
Simon Stevin (17e eeuw): wisconst, “kunst van het gewisse”.
De ingrediënten:
Axioma’s: als grondslag aangenomen beweringen.
Voorbeeld: “elk natuurlijk getal n heeft een opvolger”.
Gerrit Oomens
Definities: formele beschrijvingen van begrippen.
[email protected]
Voorbeeld: “een natuurlijk getal p heet een priemgetal als het niet
te schrijven is als product van twee getallen ongelijk aan p”.
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
Stellingen: resultaten die afgeleid zijn uit eerdere beweringen.
Voorbeeld: “het kwadraat van een oneven getal is weer oneven”.
Varianten hierop:
31 augustus 2015
Gerrit Oomens
Lemma: een “hulpstelling”.
Propositie: een “minder belangrijke” stelling.
Gevolg: een stelling die direct uit een eerder resultaat volgt.
In de wiskunde houdt men zich bezig met het geven van bewijzen:
logische afleidingen van een stelling uit axioma’s, definities en
andere stellingen.
Basiswiskunde Hoorcollege 1
Een voorbeeld
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 1
Logica
Stelling
Als k een oneven geheel getal is, dan is k 2 ook oneven.
Bewijs.
Zij k een oneven geheel getal. Aan te tonen: k 2 is oneven.
Er bestaat een geheel getal n zodat k = 2n + 1.
Dan is k 2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1.
Er geldt k 2 = 2(2n2 + 2n) + 1.
Een logische redenering bestaat uit een aantal beweringen:
uitspraken waarvan kan worden nagegaan of ze waar of onwaar
zijn. Deze kunnen in woorden zijn geformuleerd:
P: “mijn haar is blauw”.
Q: “3 is een priemgetal”.
R: “alle vogels kunnen vliegen”.
We kunnen beweringen ook weergeven met propositieletters. Ze
kunnen worden samengesteld om nieuwe beweringen te krijgen:
Dus k 2 is te schijven als 2m + 1 (met m = 2n2 + 2n geheel).
Niet P: “mijn haar is niet blauw”.
Per definitie is k 2 oneven.
P en Q: “mijn haar is blauw en 3 is een priemgetal”.
Definitie
Een geheel getal x heet oneven als er een geheel getal n bestaat
zodat x = 2n + 1.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 1
Als Q, dan R: “als 3 een priemgetal is, dan kunnen alle vogels
vliegen”.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 1
Connectieven en waarheidstabellen
Implicatie en equivalentie
De logica kent connectieven om beweringen en logische formules
samen te stellen:
Negatie: ¬P (“niet P”).
Conjunctie: P ∧ Q (“P en Q”)
Disjunctie: P ∨ Q (“P of Q”)
Implicatie: P → Q (“als P, dan Q”)
Equivalentie: P ↔ Q (“P dan en slechts dan als Q”)
We bekijken de implicatie: P → Q (“als P, dan Q”). Welke van
de volgende beweringen zijn waar?
Als 2 even is, dan is 3 oneven.
Als 2 even is, dan is 3 even.Als 2 even is, dan is 3 even.
Als 2 oneven is, dan is 3 oneven.
Als 2 oneven is, dan is 3 even.
Dit geeft
We kunnen deze weergeven met waarheidstabellen:
P
T
F
P
T
T
F
F
¬P
F
T
P ∧Q
T
F
F
F
Q
T
F
T
F
Gerrit Oomens
P
T
T
F
F
Q
T
F
T
F
P ∨Q
T
T
T
F
P ∨ ¬P
T
T
Twee formules heten (logisch) equivalent als ze dezelfde
waarheidstabel hebben. Voorbeeld:
P
T
T
F
F
Q
T
F
T
F
¬(P ∨ Q)
F
F
F
T
Gerrit Oomens
P→Q
T
F
T
T
P
T
T
F
F
Gerrit Oomens
Q
T
F
T
F
P↔Q
T
F
F
T
Basiswiskunde Hoorcollege 1
Contrapositief
Een logische formule heet een tautologie als hij waar is voor elke
waarde van de propositieletters. Voorbeeld:
¬P
F
T
Q
T
F
T
F
Basiswiskunde Hoorcollege 1
Tautologie en equivalentie
P
T
F
P
T
T
F
F
P
T
T
F
F
Q
T
F
T
F
¬P ∧ ¬Q
F
F
F
T
Basiswiskunde Hoorcollege 1
Bij implicaties
equivalentie:
P
T
T
F
F
is de contrapostief een belangrijke logische
Q
T
F
T
F
P→Q
T
F
T
T
P
T
T
F
F
Q
T
F
T
F
¬Q → ¬P
T
F
T
T
Zo is “als het regent, dan word ik nat” equivalent met “als ik niet
nat word, dan regent het niet”.
Let op: dit is iets anders dan het tegenovergestelde “als ik nat
word, dan regent het”. Deze is niet equivalent:
P
T
T
F
F
Q
T
F
T
F
Gerrit Oomens
Q→P
T
T
F
T
Basiswiskunde Hoorcollege 1
Toepassing van contrapositief
Verzamelingen
Stelling 3.3
Een verzameling is een collectie objecten. Bijvoorbeeld:
Zij k een geheel getal. Als
k2
oneven is, dan is k oneven.
Stelling (contrapositief van Stelling 3.3)
Zij k een geheel getal. Als k even is, dan is k 2 even.
Z = {koe, varken, neushoorn}.
We noemen de objecten in Z de elementen van Z . We schrijven
koe ∈ Z
Bewijs.
Zij k een even geheel getal. Aan te tonen: k 2 is even.
Er bestaat een geheel getal n zodat k = 2n.
Dan k 2 = (2n)2 = 4n2 = 2(2n2 ), dus k 2 = 2m met m = 2n2 .
Per definitie is
k2
Definitie
Een geheel getal x heet even als er een geheel getal n bestaat
zodat x = 2n.
Basiswiskunde Hoorcollege 1
Een irrationaal getal
Stelling 5.2
√
2 is geen rationaal getal.
Bewijs.
Stel dat
√
2 rationaal is.
√
Dan geldt 2 = m
n voor zekere m, n ∈ N.
We mogen aannemen dat m en n geen gemeenschappelijke
delers hebben: geen getal deelt zowel m als n.
√
Er geldt 2 · n = m, dus 2n2 = m2 .
m2 is even, dus m ook: m = 2k voor zekere k.
Er geldt 2n2 = (2k)2 = 4k 2 , dus n2 = 2k 2 .
n2 is even
⇒
n is even.
m en n zijn beide even, dus deelbaar door 2.
√
Tegenspraak! Dus 2 is niet rationaal.
Gerrit Oomens
N = {1, 2, 3, . . .}
(“natuurlijke getallen”)
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
even.
Gerrit Oomens
voor “koe is een element van Z ”. Veelvoorkomende verzamelingen
zijn
Basiswiskunde Hoorcollege 1
(“gehele getallen”)
Q = {p/q : p, q ∈ Z en q 6= 0}
(“rationale getallen”)
(“reële getallen”)
R
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 1