Basiswiskunde Hoorcollege 10 - Getaltheorie

Getallen
We bekijken
Basiswiskunde Hoorcollege 10
N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .},
Getaltheorie
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Herinnering: Principe van Volledige Inductie
Stel we willen bewijzen dat een uitspraak geldt voor alle natuurlijke
getallen. Het is nu voldoende om twee dingen aan te tonen:
Gerrit Oomens
[email protected]
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
1
De uitspraak geldt voor n = 1.
2
Als de uitspraak geldt voor n, dan ook voor n + 1.
Principe van Volledige Inductie (iets sterker)
Stel we willen bewijzen dat een uitspraak geldt voor alle natuurlijke
getallen. Het is nu voldoende om twee dingen aan te tonen:
2 oktober 2013
Gerrit Oomens
2
Als de uitspraak geldt voor alle 1 ≤ x < n, dan ook voor n.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 10
Grootste gemene deler
Stelling 27.3
Zij a, b ∈ Z met b > 0. Dan bestaan er unieke q, r ∈ Z zodat
a = qb + r
0 ≤ r < b.
en
V = {. . . , a − 2b, a − b, a, a + b, a + 2b, . . .} = {a − kb : k ∈ Z}.
Zij r het kleinste niet-negatieve element van V . Dan is
⇒
Definitie
Zij a, b ∈ Z. De grootste gemene deler (ggd) van a en b is het
grootste gehele getal dat zowel a als b deelt.
Voorbeelden: ggd(12, 8) = 4, ggd(−25, 5) = 5 en ggd(12, 17) = 1.
Bekijk de verzameling
a = qb + r
voor zekere q ∈ Z. Als r ≥ b, dan is r − b ≥ 0 en r − b ∈ V , een
tegenspraak. Dus r < b zoals gewenst. Voor uniciteit, stel dat
0
De uitspraak geldt voor n = 1.
Basiswiskunde Hoorcollege 10
Deling met rest
r = a − qb
1
0
q b + r = a = qb + r ,
met 0 ≤ r < b
en
0 ≤ r < b.
We mogen aannemen q > q 0 . Aftrekken geeft
b ≤ (q − q 0 )b = r 0 − r ≤ r 0 < b,
Gerrit Oomens
een tegenspraak.
Basiswiskunde Hoorcollege 10
0
Eigenschappen van de ggd
1
ggd(a, b) = ggd(b, a)
2
ggd(a, b) = ggd(−a, b)
3
ggd(a, b + ka) = ggd(a, b) voor k ∈ Z
Bewijs van eigenschap 3:
Als d | a en d | b dan ook d | b + ka.
Andersom, als d | a en d | b + ka, dan d | b + ka − ka = b.
Dus de delers van (a, b + ka) en (a, b) zijn gelijk.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 10
Grootste gemene deler
Grootste gemene deler
Stelling 27.6
Stelling 27.6
Zij a, b ∈ Z \ {0}. Dan is ggd(a, b) het kleinste positieve element
van de verzameling V = {ax + by : x, y ∈ Z}.
Zij a, b ∈ Z \ {0}. Dan is ggd(a, b) het kleinste positieve element
van de verzameling V = {ax + by : x, y ∈ Z}.
Laat d = ax0 + by0 het kleinste positieve element van V .
Merk op dat ggd(a, b) | d, dus ggd(a, b) ≤ d.
Neem nu c = ax1 + by1 ∈ V en pas deling met rest toe:
Gevolg
c = qd + r ,
0 ≤ r < d.
met
Nu geldt
r = c − qd = ax1 + by1 − qax0 − qby0
= a(x1 − qx0 ) + b(y1 − qy0 ).
Dus r ∈ V . Maar r < d, dus moet gelden r = 0.
We concluderen dat d | ax1 + by1 voor elke x1 , y1 ∈ Z.
In het bijzonder geldt d | a en d | b, dus d ≤ ggd(a, b).
Gerrit Oomens
Zij a, b ∈ Z. Er bestaan x, y ∈ Z zodat ggd(a, b) = ax + by .
Propositie
Laat a, b, c ∈ Z. Stel dat ggd(a, b) = 1 en a | bc. Dan a | c.
Bewijs.
Er bestaan x, y ∈ Z zodat 1 = ax + by .
Dan ook c = cax + cby .
Er geldt a | cax en a | cby , dus a | c.
Gevolg (Lemma van Euclides)
Zij b, c ∈ Z en p priem. Als p | bc, dan p | b of p | c.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 10
Priemgetallen
Basiswiskunde Hoorcollege 10
Hoofdstelling van de Rekenkunde
Definitie
Een geheel getal p heet een priemgetal als p > 1 en de enige
positieve delers van p de getallen 1 en p zijn.
Stelling
Ieder geheel getal n > 1 kan geschreven worden als product van
priemgetallen: er zijn p1 , . . . , pr priem zodat
Stelling (Euclides)
n = p1 · · · pr .
Deze schrijfwijze is op volgorde na uniek.
Er zijn oneindig veel priemgetallen.
Stel dat er eindig veel priemgetallen p1 , . . . , pr zijn.
Bekijk N = p1 p2 · · · pr + 1.
Laat p de kleinste deler van N.
Dan is p priem, want anders zou N een kleinere deler hebben.
Dus p = pi voor zekere i.
Maar dan deelt p ook N − p1 p2 · · · pr = 1.
Tegenspraak.
We bewijzen eerst dat deze bestaat met inductie naar n:
Voor n = 2 geldt het met r = 1, p1 = 2.
Laat n > 2 en stel dat de uitspraak geldt voor 1 < x < n.
Als n een priemgetal is, dan zijn we klaar.
Anders bestaan er a > 1 en b > 1 zodat n = ab. Volgens de
inductieaanname bestaan er p1 , . . . , ps en q1 , . . . , qt zodat
a = p1 · · · ps ,
b = q1 · · · qt .
Dan is n = ab = p1 · · · ps q1 · · · qt .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 10
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 10
Hoofdstelling van de Rekenkunde
Rekenen modulo 3
Stelling
Ieder geheel getal n > 1 kan geschreven worden als product van
priemgetallen: er zijn p1 , . . . , pr priem zodat
n = p1 · · · pr .
Deze schrijfwijze is op volgorde na uniek.
Merk op p1 | q1 · · · qs , dus vanwege het Lemma van Euclides
moet gelden p1 | qi voor zekere i. Er volgt p1 = qi .
Dan is n/p1 = p2 · · · pr = q1 · · · qi−1 qi+1 · · · qs .
Maar n was minimaal, dus n/p1 heeft op volgorde na maar 1
schrijfwijze. Tegenspraak.
3|x −y
⇔
x ≡y
mod 3.
[x]3 = {x +3k : k ∈ Z} = {. . . , x −6, x −3, x, x +3, x +6, . . .}.
We hebben drie equivalentieklassen: [0]3 , [1]3 en [2]3 . De
verzameling van equivalentieklassen noteren we met
Z3 = Z/3Z = {[0]3 , [1]3 , [2]3 }.
Het getal 0 heet een representant van de equivalentieklasse [0]3 .
We hebben [0]3 = [3]3 = [−6]3 .
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 10
Rekenen modulo n
Basiswiskunde Hoorcollege 10
Optellen modulo 3
Bekijk de equivalentierelatie op Z gegeven door
⇔
⇔
De equivalentieklasse van x noteren we met
n = p1 · · · pr = q1 · · · qs .
x ∼y
x ∼y
We zeggen dat x congruent is met y modulo 3.
Stel nu dat de schrijfwijze niet uniek is.
Laat n het kleinste getal waarvoor uniciteit niet geldt.
Dan zijn er priemgetallen p1 , . . . , pr en q1 , . . . , qs zodat
Gerrit Oomens
Bekijk de equivalentierelatie op Z gegeven door
n |x −y
⇔
x ≡y
mod n.
We zeggen dat x congruent is met y modulo n.
De equivalentieklasse van x noteren we met
[x]n = {x+nk : k ∈ Z} = {. . . , x−2n, x−n, x, x+n, x+2n, . . .}.
We hebben n equivalentieklassen: [0]n , [1]n , . . . [n − 1]n . De
verzameling van equivalentieklassen noteren we met
Bekijk
Z3 = {[0]3 , [1]3 , [2]3 }.
We kunnen hierin optellen:
[0]3 + [1]3 = [0 + 1]3 = [1]3
[1]3 + [1]3 = [1 + 1]3 = [2]3
[1]3 + [2]3 = [1 + 2]3 = [3]3 = [0]3
Gaat dit goed? We kiezen hier een representant, is het antwoord
onafhankelijk van de keuze?
Zn = Z/nZ = {[0]n , [1]n , . . . , [n − 1]n }.
[0]3 = [1]3 + [2]3 = [4]3 + [8]3 = [12]3 = [0]3 .
Het getal 0 heet een representant van de equivalentieklasse [0]n .
We hebben [0]n = [n]n = [kn]n voor k ∈ Z.
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 10
Gerrit Oomens
Basiswiskunde Hoorcollege 10