uitwerkingen basiswiskunde opgavenset 5

UITWERKINGEN BASISWISKUNDE
OPGAVENSET 5
Opgave 4
Definieer op Z de equivalentierelatie „ door x „ y desda 5 | px ´ yq.
Onderdeel a)
Uitwerking.
Bewijs dat „ een equivalentierelatie is.
We gaan de eigenschappen na.
1. Reflexiviteit. Voor alle x P Z geldt x ´ x “ 0 “ 5 ¨ 0, dus 5 | px ´ xq, dus
geldt x „ x.
2. Symmetrie Stel dat x „ y, dan 5 | px ´ yq, oftewel, x ´ y “ 5k met k P Z.
Maar dan is y ´ x “ 5 ¨ ´k, dus ook 5 | py ´ xq, en y „ x.
3. Transitiviteit Stel dat x „ y en y „ z, dus 5 | px ´ yq en 5 | py ´ zq, dus
x ´ y “ 5k en y ´ z “ 5l met k, l P Z. Dan x ´ z “ z ´ y ` y ´ z “ 5pk ` lq,
dus 5 | px ´ zq en x „ z.
Dit laat zien dat „ een equivalentierelatie is.
Onderdeel b)
Uitwerking.
Geef de equivalentieklassen van 0 en 1.
De equivalentieklasse van 0 is
E0 “ tx P Z : x „ 0u
“ tx P Z : 5 | x ´ 0u
“ tx P Z : x “ 5k met k P Zu
“ 5Z
Net zo is de equivalentieklasse van 1
E1 “ tx P Z : x „ 1u
“ tx P Z : 5 | x ´ 1u
“ tx P Z : x “ 5k ` 1 met k P Zu
“ 5Z ` 1
Onderdeel c)
Hoeveel equivalentieklassen zijn er?
Uitwerking. Er zijn 5 equivalentieklassen; bijvoorbeeld de klassen van 0, 1, 2, 3
en 4. Het verschil van twee van deze getallen is nooit een vijfvoud (dus we
tellen geen klassen dubbel) en voor ieder getal x P Z geldt dat x5 ´ t x5 u P r0, 1q,
dus k “ x ´ 5t x5 u P r0, 5q. Dit betekent dat x ´ k “ 5t x5 u een vijfvoud is, met
k “ 0, 1, 2, 3 of 4. Dus het getal x zit altijd in de equivalentieklasse van 0, 1, 2, 3
of 4, en dit betekent dat we alle equivalentieklassen hebben gevonden.
Onderdeel d)
Beschrijf de partitie van Z die deze equivalentierelatie geeft.
Uitwerking. Z wordt onderverdeeld in de 5 hierboven genoemde equivalentieklassen, 5Z ` k met k “ 0, 1, 2, 3 of 4. Dit zijn allemaal verzamelingen met
oneindig veel elementen, waar opeenvolgende getallen op afstand 5 van elkaar
liggen.
Bijvoorbeeld: 5Z ` 3 “ t..., ´12, ´7, ´2, 3, 8, 13, 18, ...u.
1
Opgave 5
Laat X, Y disjunctie verzamelingen, d.w.z. X X Y “ ∅. Zij tAα : α P Iu een partitie
van X en tBα : α P Ju een partitie van Y . Laat zien dat
tAα : α P Iu Y tBα : α P Ju
een partitie van X Y Y is.
Uitwerking. Laat AX “ tAα : α P Iu en AY “ tBα : α P Ju, dan willen we
bewijzen dat A “ AX Y AY een partitie van X is. Hiervoor moeten we drie
eigenschappen nagaan.
Stel dat C P A dan C P AX of C P AY . In beide gevallen is C niet leeg
omdat AXŤen AY partities zijn. Dit bewijst de eerste eigenschap.
Bekijk CPA C. Nu geldt
ď
C“p
ď
Cq Y p
CPAX
CPA
ď
Cq “ p
ď
Aα q Y p
αPI
CPAY
ď
Bα q “ X Y Y.
αPJ
Dit bewijst de tweede eigenschap.
Kies nu C en D in A, dan moeten we bewijzen dat C “ D of C XD “ H. Als
C en D beide bevat zijn in AX of beide bevat zijn in AY volgt dit omdat AX en
AY partities zijn. Nu het geval over dat C P AX en D P AY , dan geldt C Ă X
en D Ă Y , dus C X D Ă X X Y “ H. Het geval over dat C P AY en D P AX is
analoog aan het vorige geval. Bij elkaar bewijst dit de derde eigenschap.
Opgave 6 (huiswerk)
Defeinieer de relatie „ op R door x „ y desda t2xu “ t2yu. Herinner: voor z P R is
tzu het grootste gehele getal kleiner gelijk z.
Onderdeel a)
Uitwerking.
Bewijs dat „ een equivalentierelatie is.
We gaan de eigenschappen na.
1. Reflexiviteit. Voor alle x P R geldt t2xu “ t2xu, dus geldt x „ x.
2. Symmetrie Stel dat x „ y, dan t2xu “ t2yu, dus t2yu “ t2xu, dus ook y „ x.
3. Transitiviteit Stel dat x „ y en y „ z, dan t2xu “ t2yu en t2yu “ t2zu, dus
t2xu “ t2zu, dus ook x „ z.
Dit laat zien dat „ een equivalentierelatie is.
Onderdeel b)
Geef de equivalentieklassen van 0 en π.
“
˘
“
˘
Uitwerking. Er geldt E0 “ 0, 21 en Eπ “ 3, 3 ` 12 .
We bewijzen deze uitspraak voor Eπ . (Dit is voor de opgave niet noodzakelijk.)
Merk op dat 2π “ 6.28...,
˘ “ 6. We moeten nu alle getallen x zoeken
“ dus t2πu
zodat t2xu “ 6. Stel x P 3, 3 ` 12 , dan 6 ď 2x ă 7, dus t2xu “ 6 “ t2πu, dus
x „ π. Stel x ă 3 dan 2x ă 6, dus t2xu ă 6, dus ongelijk aan 6, dus in dit geval is
aan
x niet equivalent met π. Stel x ě 3 ` 21 , dan 2x ą 7 en t2xu ě 7, dus ongelijk
“
˘
6, dus in dit geval is x niet equivalent met π. Hieruit volgt dat Eπ “ 3, 3 ` 21 .
2
Onderdeel c)
titie.
De equivalentieklassen geven een partitie van R. Beschrijf deze par-
˘ “
˘
“
Uitwerking. Deze partitie bestaat uit de intervallen n, n ` 12 en n ` 21 , n ` 1
voor n P Z. Analoog aan (b) kan bewezen worden dat al deze intervallen equivalentieklassen zijn voor „ en het is duidelijk dat ieder element van R bevat is
in een van deze intervallen. Hieruit volgt dat dit de gevraagde partitie is.
3