Zonnestelsel 10

Cirkelbaan en gravitatiekracht
Samenvatting
10
Zonnestelsel
Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo | Samenvatting
Zonnestelsel
•
In ons zonnestelsel draaien de planeten in een baan rond de zon, en
draaien de manen in een baan rond hun planeet.
•
De baan van de planeten en manen is een ellipsbaan die maar heel weinig
afwijkt van een cirkelbaan.
Ellipsbaan
Figuur 1
10
Zonnestelsel
Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo | Samenvatting
Eenparige cirkelbeweging
•
•
•
•
De planeten en manen in ons zonnestelsel voeren
bij benadering een eenparige cirkelbeweging uit.
Een eenparige cirkelbeweging is een cirkelbeweging
met een baansnelheid die steeds even groot is.
De richting van de baansnelheid is volgens de raaklijn
aan de cirkel.
Bij een eenparige cirkelbeweging wordt het verband
tussen baansnelheid 𝑣, baanstraal 𝑟 en omlooptijd 𝑇
gegeven door:
𝒗=
𝟐𝛑 ∙ 𝒓
𝑻
De baansnelheid
verandert voortdurend
van richting.
Figuur 2
10
Zonnestelsel
Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo | Samenvatting
Eenparige cirkelbeweging
•
Voor een eenparige cirkelbeweging is een naar het
middelpunt van de cirkelbaan gerichte kracht nodig:
de middelpuntzoekende kracht.
•
De grootte van de benodigde middelpuntzoekende
kracht 𝐹mpz hangt af van de massa 𝑚,
de baansnelheid 𝑣 en de baanstraal 𝑟:
𝑭𝐦𝐩𝐳
𝒎 ∙ 𝒗𝟐
=
𝒓
Voor een eenparige
cirkelbeweging is een
middelpuntzoekende
kracht nodig.
Figuur 3
10
Zonnestelsel
Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo | Samenvatting
Gravitatiekracht
•
Bij de cirkelbeweging van planeten rond de zon en
van manen rond een planeet werkt de
gravitatiekracht als middelpuntzoekende kracht.
•
De gravitatiekrachten die twee voorwerpen op
elkaar uitoefenen zijn even groot en
tegengesteld gericht langs de verbindingslijn
De gravitatiekracht werkt
als middelpuntzoekende
kracht.
Figuur 4
tussen de middelpunten van de voorwerpen.
•
De grootte van de gravitatiekracht 𝐹g hangt af
van de massa’s 𝑚 en 𝑀 van de voorwerpen
en hun onderlinge afstand 𝑟:
𝒎∙𝑴
𝑭𝒈 = 𝑮 ∙
𝒓𝟐
In deze formule is 𝐺 de gravitatieconstante.
De gravitatiekrachten
die twee voorwerpen op
elkaar uitoefenen zijn
even groot en
tegengesteld gericht.
Figuur 5
10
Zonnestelsel
Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo | Samenvatting
Valversnelling
•
Het aan elkaar gelijkstellen van de formules voor
de zwaartekracht en de gravitatiekracht levert
het verband tussen de valversnelling 𝑔 aan
het oppervlak en de massa 𝑀 en straal 𝑅
van een planeet of maan:
𝑴
𝑹𝟐
Deze formule hoef je niet te kennen:
𝑭𝒛 = 𝑭𝒈 → 𝒈 = 𝑮 ∙
•
als je deze formule nodig hebt, kun je
hem eenvoudig afleiden.
De gravitatiekracht is de
zwaartekracht.
Figuur 6
10
Zonnestelsel
Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo | Samenvatting
Baansnelheid
•
Het aan elkaar gelijkstellen van de formules voor
de middelpuntzoekende kracht en de gravitatiekracht
levert het verband tussen baanstraal 𝑟 en baansnelheid 𝑣 van planeten rond de zon met massa 𝑀:
𝑭𝒎𝒑𝒛 = 𝑭𝒈 → 𝒗𝟐 ∙ 𝒓 = 𝑮 ∙ 𝑴
•
•
Deze formule hoef je niet te kennen: als je deze
De gravitatiekracht werkt
formule nodig hebt, kun je hem eenvoudig afleiden.
als middelpuntzoekende
kracht.
De formule geldt ook voor de beweging van manen
Figuur 7
rond hun planeet, maar dan is 𝑀 de massa van de planeet.
De baansnelheid 𝑣 van
de planeten in ons
zonnestelsel is
omgekeerd evenredig
met de wortel uit de
baanstraal 𝑟.
Figuur 8
10
Zonnestelsel
Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo | Samenvatting
Geostationaire baan
•
Een satelliet in een geostationaire baan staat stil ten opzichte van het
aardoppervlak.
•
De omlooptijd van een satelliet in een geostationaire baan is gelijk aan de
tijd waarin de aarde eenmaal rond zijn draai-as draait (zo’n 24 uur). Dat is
het geval bij een baanstraal van zo’n 42 ∙ 103 km.
•
Het baanvlak van de satelliet staat loodrecht op de draai-as van de aarde.
Geostationaire baan
Figuur 9
10
Zonnestelsel
Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo | Samenvatting
Gravitatie-energie
•
Een voorwerp onder invloed van de gravitatiekracht heeft
gravitatie-energie.
•
De gravitatie-energie is gelijk aan de arbeid die de
gravitatiekracht verricht tijdens het vallen naar het
oppervlak van een hemellichaam.
•
Het nulpunt van de gravitatie-energie is gekozen op
een oneindig grote afstand van het hemellichaam, en
daardoor is de gravitatie-energie altijd negatief.
•
De grootte van de gravitatie-energie 𝐸g hangt af van
de massa’s 𝑚 en 𝑀 van de voorwerpen en hun
onderlinge afstand 𝑟:
𝑬𝐠 = −𝑮 ∙
De arbeid 𝑊Fg van de
gravitatiekracht 𝐹g is te
bepalen uit het 𝐹g , 𝑟diagram
𝒎∙𝑴
𝒓
In deze formule is 𝐺 de gravitatieconstante.
Het nulpunt van de
gravitatie-energie 𝐸g ligt op
een oneindig grote afstand 𝑟
10
Zonnestelsel
Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo | Samenvatting
Ontsnappingssnelheid
•
De snelheid die een voorwerp aan het oppervlak van
een hemellichaam moet krijgen om aan de
gravitatiekracht te ontsnappen (dus: om tot op een
oneindige grote afstand van het hemellichaam te komen)
is de ontsnappingssnelheid.
•
De grootte van de ontsnappingssnelheid 𝑣0 hangt af
van de massa 𝑀 en de straal 𝑅 van het hemellichaam:
𝒗𝟎 =
𝟐∙𝑮∙𝑴
𝑹
In deze formule is 𝐺 de gravitatieconstante.
•
Deze formule hoef je niet te kennen: als je deze
formule nodig hebt, kun je hem eenvoudig afleiden uit
de wet van behoud van mechanische energie.
De formule voor 𝑣0 volgt
uit de wet van behoud van
mechanische energie, met
𝐸k + 𝐸g = 0 op een
oneindig grote afstand 𝑟
Figuur 12