10 Zonnestelsel Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo Uitwerking

10 Zonnestelsel
Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo
Uitwerking diagnostische toets
1
a
b
c
De omlooptijd T van de cilinders A en B is even groot. Dus: TA = TB.
De baansnelheid v van cilinder A is tweemaal zo groot als die van cilinder B. Want: 𝑣 = 2𝜋 ∙ 𝑟/𝑇 met rA tweemaal zo
groot als rB en TA = TB.
De middelpuntzoekende kracht Fmpz op cilinder A is tweemaal zo groot als die op cilinder B. Want: 𝐹mpz = 𝑚 ∙ 𝑣 2 /𝑟
met vA tweemaal zo groot als vB en rA tweemaal zo groot als rB.
2
a
b
3
a
b
c
d
4
a
b
5
a
b
c
d
6
a
De omlooptijd T wordt tweemaal zo klein, de baansnelheid v dus tweemaal zo groot (want: 𝑣 = 2𝜋 ∙ 𝑟/𝑇) en de
middelpuntzoekende kracht Fmpz dus viermaal zo groot (want: 𝐹mpz = 𝑚 ∙ 𝑣 2 /𝑟).
De antwoorden bij 1a t/m c veranderen daardoor niet.
De wrijvingskracht Fw tussen de cilinders en de draaischijf werkt als middelpuntzoekende kracht.
De wrijvingskracht Fw neemt toe tot een bepaalde maximale waarde Fw, max en is daarna constant.
De maximale wrijvingskracht Fw,max is kleiner dan de benodigde middelpuntzoekende kracht.
Cilinder A. Want: voor cilinder A is de benodigde middelpuntzoekende kracht het grootst. De middelpuntzoekende
kracht op A zal dus bij een toenemende draaisnelheid eerder gelijk zijn aan de maximale waarde van de
wrijvingskracht.
𝑣 = 2𝜋 ∙ 𝑟/𝑇 = 7,37 ∙ 103 m/s (met 𝑟 = 𝑅 + ℎ = 7,25 ∙ 106 m)
𝐹mpz = 𝑚 ∙ 𝑣 2 /𝑟 = 8,11 ∙ 103 N.
De gravitatiekracht wordt onder andere bepaald door het product van de twee massa’s die elkaar aantrekken, en
dat product is voor beide personen gelijk.
𝐹g = 𝐺 ∙ 𝑚1 ∙ 𝑚2 /𝑟 2 = 5,0 ∙ 10−8 N.
𝐹z = 𝑚 ∙ 𝑔 ≈ 500 N → 𝐹z ≈ 107 ∙ 𝐹g .
De zwaartekracht is de gravitatiekracht van de aarde op de personen. De massa van de aarde is veel groter dan de
massa van die personen, zodat de gravitatiekracht van de aarde op de personen veel groter is dan de
gravitatiekracht die de personen onderling op elkaar uitoefenen.
𝐹g,ZopM = 𝐺 ∙ 𝑀 ∙ 𝑚/𝑟 2 = 4,4 ∙ 1020 N (met M de massa van de zon en r de afstand zon-maan, die ruwweg even
groot is als de afstand zon-aarde).
𝐹g,AopM = 𝐺 ∙ 𝑀 ∙ 𝑚/𝑟 2 = 2,0 ∙ 1020 N (met M de massa van de aarde en r de afstand aarde-maan).
Dus: 𝐹g,ZopM /𝐹g,AopM = 4,4/2,0 ≈ 2
b
7
a
b
De gravitatiekracht van de zon op de maan werkt als middelpuntzoekende kracht die de maan (net als de aarde) in
een cirkelbaan rond de zon laat bewegen.
De straal van de planeet Jupiter is groter dan die van de aarde, waardoor de zwaartekracht aan het oppervlak van
Jupiter minder dan 300 maal zo groot is.
Voor de valversnelling g aan het planeetoppervlak geldt: 𝐹z = 𝐹g → 𝑔 = 𝐺 ∙ 𝑀/𝑅 2 → 𝑅2 = 𝐺 ∙ 𝑀/𝑔. In vergelijking
met de aarde is M 300 maal zo groot en g 3 maal zo groot, zodat R2 100 maal zo groot is, en R dus 10 maal zo
groot.
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 1 van 3
8
a
b
9
a
b
c
Voor het verband tussen baansnelheid v en baanstraal r geldt: 𝐹mpz = 𝐹g → 𝑣 2 ∙ 𝑟 = 𝐺 ∙ 𝑀. Bij een gegeven
baanstraal is de baansnelheid dus niet afhankelijk van de massa m van de planeet. De massa van de aarde heeft
dus geen invloed op de omlooptijd. Of, met een andere redenering: als de massa m van de aarde 100 maal zo
groot zou zijn, is – bij dezelfde baanstraal en baansnelheid – de benodigde middelpuntzoekende kracht van de zon
op de aarde 100 maal zo groot, maar is de gravitatiekracht van de zon op de aarde die als middelpuntzoekende
kracht werkt ook 100 maal zo groot – en deze gravitatiekracht is dus nog steeds even groot als de benodigde
middelpuntzoekende kracht.
Bij dezelfde baanstraal r en een 100 maal zo grote massa van de ster (in vergelijking met de zon) is v2 100 maal zo
groot (want: 𝑣 2 = 𝐺 ∙ 𝑀/𝑟), v dus 10 maal zo groot, en T dus 10 maal zo klein (want: 𝑇 = 2π ∙ 𝑟/𝑣). De omlooptijd is
dan veel korter dan een jaar.
De gravitatiekracht van de aarde op het ISS werkt als de middelpuntzoekende kracht die nodig is om het ISS in een
cirkelbaan rond de aarde te laten bewegen.
𝐹g = 𝐺 ∙ 𝑀 ∙ 𝑚/𝑟 2 = 8,8 N.
𝐹mpz = 𝑚 ∙ 𝑣 2 /𝑟 = 8,8 N. De gravitatiekracht op een massa van 1 kg is dus even groot als de benodigde
middelpuntzoekende kracht op die massa. Voor het ISS als geheel is zowel de gravitatiekracht als de benodigde
middelpuntzoekende kracht evenredig met de massa van het ISS. De gravitatiekracht op het ISS is dus precies
groot genoeg om het ruimtestation in de gegeven baan om de aarde te laten draaien.
10
a
Voor het verband tussen baansnelheid v en baanstraal r geldt: 𝐹mpz = 𝐹g → 𝑣 2 ∙ 𝑟 = 𝐺 ∙ 𝑀 → 𝑣 2 = 𝐺 ∙ 𝑀/𝑟 = 1,04 ∙
b
106 → 𝑣 = 1,02 ∙ 103 m/s.
𝑇 = 2π ∙ 𝑟/𝑣 = 2,37 ∙ 106 s. Volgens Binas: T = 27,32 d = 2,36·106 s.
11
Voor de planeten in ons zonnestelsel werkt de gravitatiekracht van de zon met massa M als middelpuntzoekende
kracht, zodat 𝑣 2 ∙ 𝑟 = 𝐺 ∙ 𝑀 (zie opgave 8). Het product 𝐺 ∙ 𝑀 is voor alle planeten hetzelfde, zodat bij een grotere
baanstraal r van een planeet een kleinere baansnelheid v hoort.
12
Bij een grotere baanstraal r van een planeet is de baansnelheid v kleiner (zie opgave 11) en de omtrek 2π ∙ 𝑟 van
de cirkelbaan groter, zodat de omlooptijd T groter is (want: 𝑇 = 2π ∙ 𝑟/𝑣).
13
a
𝐸g,r = −𝐺 ∙
b
Aan het aardoppervlak: 𝐸g,R = −𝐺 ∙
14
a
b
𝑀∙𝑚
𝑟
= −1,56 ∙ 1013 J
𝑀∙𝑚
𝑅
= −1,64 ∙ 1013 J. Arbeid: 𝑊 = 𝐸g,r − 𝐸g,R = 0,08 ∙ 1013 J
Bij een beweging vanaf het planeetoppervlak naar een punt op oneindig grote afstand onder invloed van alleen de
gravitatiekracht wordt kinetische energie omgezet in gravitatie-energie. De toename van de gravitatie-energie is
dus gelijk aan de afname van de kinetische energie. Beide energiesoorten zijn recht evenredig zijn met de massa
van het voorwerp. Bij een (bijvoorbeeld) driemaal zo grote massa is de toename van de gravitatie-energie driemaal
zo groot, maar is ook de afname van de kinetische energie (bij dezelfde beginsnelheid) driemaal zo groot. De
toename van de gravitatie-energie is dus altijd gelijk aan de afname van de kinetische energie, ongeacht de massa
van het voorwerp.
De massa van het zonnestelsel is ruwweg gelijk aan de massa van de zon. Voor de ontsnappingssnelheid vanaf
het zonnestelsel zou dus gerekend kunnen worden met de massa M van de zon, met als vertrekpunt de aarde op
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 2 van 3
een afstand rZA van de zon:
2∙𝐺∙𝑀
𝑣0 = √
𝑟ZA
= 4 ∙ 104 m/s
Een ontsnappingssnelheid van ruwweg 40 km/s dus.
15
a
b
De gravitatie-energie van een voorwerp is altijd negatief omdat volgens afspraak het nulniveau van de gravitatieenergie op een oneindig grote afstand van een hemellichaam ligt. Bij een beweging naar het oppervlak van het
hemellichaam neemt de gravitatie-energie (net als de zwaarte-energie) af, en wordt dus negatief.
Bij een toenemende hoogte h boven het aardoppervlak wordt de afstand r tot het middelpunt van het hemellichaam
𝑀∙𝑚
groter. De gravitatie-energie wordt daardoor minder negatief (want: 𝐸g = −𝐺 ∙
), en neemt dus toe.
𝑟
© ThiemeMeulenhoff bv
Pagina 3 van 3