antwoorden

10 Zonnestelsel
Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo
Uitwerking toetsvragen
1
De omlooptijd van de planeten in ons zonnestelsel is groter naarmate hun baanstraal groter is. Planeten met een
omlooptijd van meer dan één aardjaar staan dus verder van de zon af dan de aarde.
2
a
b
3
a
b
c
4
a
b
c
Snelheid op evenaar: v = 2π·R/T = 4,7·102 m/s (met R de straal van de aarde en T = 24 h).
Snelheid aarde in baan rond de zon: v = 2π·r/T = 3,0·104 m/s (met r de baanstraal van de aarde en T = 365 d).
Verhouding snelheden: v = 2π·r/T → vA/vB = rA/rB = 0,75. Verhouding middelpuntzoekende krachten: Fmpz,A/Fmpz,B =
(vA/vB)2·(rB/rA) = 0,75.
De massa en de snelheid van beide auto’s is gelijk, dus op de auto met de kleinste baanstraal moet de grootste
middelpuntzoekende kracht werken: auto A.
Verhouding middelpuntzoekende krachten: Fmpz,A/Fmpz,B = rB/rA = 1,3.
Spankracht: Fs = Fmpz = m·v2/r = 12 N.
Snelheid: Fs = Fmpz = m·v2/r = 20 → v = 4,7 m/s.
Na het breken van het touw beweegt de kogel verder langs een rechte lijn in de richting van de raaklijn aan de
cirkelbaan in het punt waar het touw brak.
5
In het hoogste punt van de baan moet de zwaartekracht op het water in de emmer dan net nog groot genoeg zijn
voor de benodigde middelpuntzoekende kracht: Fz = Fmpz → m·g = m·v2/r → v = 3,1 m/s.
6
a
b
c
d
e
7
a
b
Op de grote schijf is de benodigde middelpuntzoekende kracht groter naarmate de baanstraal r groter is. Want: uit
Fmpz = m·v2/r en v = 2π·r/T volgt Fmpz = c·r. De benodigde middelpuntzoekende kracht is dus het grootst aan de
buitenkant van de grote schijf. Als de passagier in dat punt dan ook nog een extra snelheid heeft door het draaien
van de kleine schijf, wordt de benodigde middelpuntzoekende kracht extra groot. De draairichting van de kleine schijf
moet dus hetzelfde zijn als de draairichting van de grote schijf.
Omlooptijd kleine schijf: T = 2,5 s.
Grote schijf: v = 2π·r/T = 5,28 m/s, Fmpz = m·v2/r = 4,8·102 N.
Kleine schijf: v = 3,77 m/s, Fmpz = 6,8·102 N.
Middelpuntzoekende kracht: Fmpz = (4,8 + 6,8)·102 = 11,6·102 N = 1,6·Fz.
De middelpuntzoekende kracht mag 2 x zo groot zijn, de snelheid dus √2 x zo groot en de omlooptijd √2 x zo klein:
T = 5,0/√2 = 3,5 s.
Omlooptijd: T = 2π·R/v = 4,2·10–3 s. Dat komt overeen met 2,4·102 omwentelingen per seconde en dus 1,4·104
omwentelingen per minuut.
Middelpuntzoekende kracht: Fmpz = m·v2/r = m·9,0·105 = 9,2·104·Fz.
8
Binnenbocht (halve cirkel): r = 94/π = 29,9 m. Fmpz = m·v2/r = 5,38·102 N. Buitenbocht: r = 29,9 + 4,0 = 33,9 m.
Fmpz = m·v2/r = 5,38·102 N → v = 15 m/s.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 1 van 6
9
a
b
c
De wiek beweegt in 0,125 s over een hoek van 23o. Omlooptijd: T = (360/23)·0,125 = 2,0 s. Toerental: f = 1/T = 0,50
omwentelingen per seconde, dus 30 omwentelingen per minuut.
Tipsnelheid: v = 2π·r/T = 69 m/s.
Voor de tip van de wiek geldt: Fmpz = Fs + Fz ≈ Fs → Fs = m·v2/r = 3,29·102 N. Dus: Fs/Fz = 22. Opmerking: we
verwaarlozen dus de bijdrage van de zwaartekracht op de tip van de wiek aan de middelpuntzoekende kracht.
10
a De planeten van ons zonnestelsel bewegen in ellipsbanen rond de zon.
b De positie van de zon is in één van de twee brandpunten van de ellips.
c De gravitatiekracht van de zon op een planeet werkt als middelpuntzoekende kracht.
11
Als de baanstraal r en de omlooptijd T van een satelliet bekend zijn, is de baansnelheid v te berekenen met v =
2π·r/T. Doordat de gravitatiekracht van het hemellichaam op de satelliet als middelpuntzoekende kracht werkt (dus:
Fmpz = Fg), geldt: v2·r = G·M. Met de (bekende) waarden van v, r en G is dan de massa M van het hemellichaam te
berekenen: M = v2·r/G.
12
Als de ring uit één stuk bestaat, is de omlooptijd van deeltjes aan de binnen- en buitenkant van de ring gelijk. Dan is
de baansnelheid van een deeltje aan de binnenkant van de ring kleiner dan aan de buitenkant (want: v = 2π·r/T).
Dat is niet in overeenstemming met de waarnemingen. De ring moet dus uit losse deeltjes bestaan. In dat geval
geldt namelijk dat de baansnelheid omgekeerd evenredig is met de wortel uit de baanstraal (want: Fmpz = Fg → v2·r =
G·M). Bij een kleinere baanstraal aan de binnenkant van de ring hoort dan een grotere baansnelheid. En dat is wel
in overeenstemming met de waarnemingen.
13
Voor de baanveranderingen is gebruik gemaakt van de gravitatiekracht van de drie planeten op de ruimtesondes.
14
a Aan het aardoppervlak geldt: Fg = Fz → G·m·M/R2 = m·g → G·m·M = m·g·R2. Voor de gravitatiekracht op een
hoogte h boven het aardoppervlak geldt: Fg = G·m·M/(R + h)2. Invullen van de eerste vergelijking in de tweede
vergelijking levert de gevraagde formule.
b Valversnelling op hoogte h: gh = Fg/m = 4,9 → R2/(R + h)2 = 0,5 → R/(R + h) = √0,5 = 0,71. Uitwerken levert: h =
0,41·R = 2,6·106 m.
15
a
b
c
De zwaartekracht aan het aardoppervlak hangt af van de massa en de straal van de aarde. Bij het krimpen van de
aarde blijft de massa gelijk en wordt de straal kleiner. Daardoor wordt de zwaartekracht aan het aardoppervlak
groter.
Voor de zwaartekracht aan het oppervlak van een planeet met massa M en straal R geldt: Fz = Fg = G·m·M/R2. De
zwaartekracht aan het oppervlak van een planeet is dus omgekeerd evenredig met het kwadraat van de straal van
de planeet.
Voor de zwaartekracht op een massa m aan het oppervlak van de maan geldt: Fz,M = G·m·Mm/R2. Voor de
zwaartekracht op eenzelfde massa aan het oppervlak van een gekrompen aarde (met dezelfde straal als de maan)
geldt: Fz,A = G·m·MA/R2. De zwaartekracht aan het oppervlak van een gekrompen aarde is dus MA/MM = 81 x zo
groot als de zwaartekracht aan het oppervlak van de maan.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 2 van 6
16
Valversnelling zonoppervlak: g = G·M/R2 = 2,7·102 m/s2
17
a De massa van een planeet is evenredig met de derde macht van de straal. Want: M = ρ·V = ρ·(4/3)π·R3. Dus: als de
straal R 2x zo groot is, is de massa M van de planeet 23 = 8x zo groot als die van de aarde.
b Als de massa 8x en de straal 2x zo groot is, is de valversnelling aan het oppervlak van de planeet 8/22 = 2x zo groot
als op aarde: g = 19,6 m/s2. Want: g = G·M/R2.
18
Massa: m = M = ρ·(4/3)π·R3 = 4,08 kg.
Gravitatiekracht: Fg = G·m·M/r2 = 6,9·10–9 N.
19
Gravitatiekracht aarde op TU24: Fg = G·m·M/r2 = G·m·2,0·10–7.
Gravitatiekracht zon op TU24: Fg = G·m·8,8·10–7.
Op die plaats werd TU24 dus sterker door de zon dan door de aarde aangetrokken.
20
a Gravitatiekracht: Fg = G·m·M/R2 = 4,7·1011 N.
b In dit geval moet de gravitatiekracht (zie a) net groot genoeg zijn om de benodigde middelpuntzoekende kracht te
leveren: Fg = Fmpz = m·v2/R = 4,7·1011 N → v = 7,8·107 m/s. Omlooptijd: T = 2π·R/v = 1,0·10–3 s.
21
a Massa planeet: Fg = G·m·M/R2 = 2,7 N → M = 3,2·1023 kg.
b Baansnelheid ster: v = 2π·r/T = 2,6·104 m/s. Massa ster: v2·r = G·M → M = 2,6·1030 kg.
22
De gravitatiekracht van de aarde en de benodigde middelpuntzoekende kracht op de satelliet zijn beide evenredig
met de massa van de satelliet. Als de satelliet in een cirkelbaan rond de aarde beweegt, werkt de gravitatiekracht als
middelpuntzoekende kracht: Fg = Fmpz. Bij een (bijvoorbeeld) tweemaal zo grote massa van de satelliet met dezelfde
snelheid in dezelfde baan is de gravitatiekracht tweemaal zo groot, maar is ook de benodigde middelpuntzoekende
kracht tweemaal zo groot. Dan geldt dus nog steeds Fg = Fmpz. De baan van de satelliet hangt dus niet af van de
massa van de satelliet.
23
Hoe groter de baanstraal is, des te kleiner is de baansnelheid (want: v2·r = G·M). De satelliet in de lage baan haalt
dus de satelliet in de hoge baan in.
24
a Massa Uranus volgens Binas: M = 86,8·1024 kg.
b Omlooptijd: T = 5,51·104 s. Baanstraal: r = 76,4·106 m. Baansnelheid: v = 2π·r/T = 8,71·103 m/s. Massa Uranus
volgens deze baangegevens: v2·r = G·M → M = 8,68·1025 kg. Dit is in overeenstemming met de waarde in Binas.
c Met 'een baan om de planeet op een afstand van 76.416 kilometer' wordt de baanstraal r bedoeld (zoals waarvan in
vraag b is uitgegaan). Als hiermee de hoogte h boven het Uranusoppervlak was bedoeld, zou de baanstraal groter
dan die ‘76.416 kilometer’ zijn, en zou de massa van Uranus op een van Binas afwijkende waarde uitkomen.
25
a Een polaire baan is een baan rond de aarde over de noord- en zuidpool. In zo’n baan draait de aarde onder de
satellietbaan door, waardoor de satelliet in elke omloop een volgend deel van het aardoppervlak kan scannen.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 3 van 6
b
c
Baanhoogte: h = 6,40·105 m. Baanstraal: r = R + h = 7,01·106 m. Baansnelheid: v2·r = G·M → v = 7,54·103 m/s.
Omlooptijd: T = 2π·r/v = 5,84·103 s = 1,6 uur.
Volgens het artikel zou de satelliet 'om de drie dagen over hetzelfde gebied komen', dus na 72 uur. In deze tijd moet
de satelliet dan een geheel aantal volledige omlopen uitvoeren. Aantal omlopen: n = 72/1,6 = 45. Dat klopt dus: de
uitspraak is ruwweg juist.
26
De afstand tussen beide satellieten is 4,0 km. Vergeleken met de baanstraal van de satellieten (r = R + h = 7,4·103
km) is die afstand een ‘afwijking’ van 4,0/7,4·103 = 5,4·10–4 ofwel 0,05%. De baansnelheid van Ralph is gegeven
met een nauwkeurigheid van 0,05/7,4 = 0,007 ofwel 0,7%. De onnauwkeurigheid in de gegeven baansnelheid van
Ralph is dus groter dan de afwijking in de afstand, zodat een berekening van de baansnelheid van Norton dezelfde
waarde als die van Ralph zal opleveren.
Baanstraal Ralph: rR = 7,371·106 m. Baanstraal Norton: rN = 7,375·106 m. Voor beide satellieten geldt: v2·r = G·M.
En dus: vR2·rR = vN2·rN → vN = 7,4·103 m/s. Deze baansnelheid van Norton heeft dus dezelfde waarde als die van
Ralph.
27
a Gemiddelde baansnelheid: v = 1,8·106 m/s. Omlooptijd: T = 15 jaar = 4,7·108 s. Gemiddelde baanstraal: v = 2π·r/T
→ r = v·T/2π = 1,3·1014 m.
b Massa in de kern van ons Melkwegstelsel: v2·r = G·M → M = 6,3·1036 kg = 3·106·Mzon. Het object in de kern van het
Melkwegstelsel heeft dus inderdaad een massa van zo’n 3 miljoen zonsmassa’s.
c De baanstraal in het punt van de baan dat het dichtst bij de kern van het Melkwegstelsel ligt volgt uit de
baansnelheid in dat punt (v = 5·106 m/s) en de massa van het object in de kern van het Melkwegstelsel (M =
3·106·Mzon = 6·1036 kg). Baanstraal: v2·r = G·M → r = 1,6·1013 m. Met een zonnestelselstraal rzs van 6·1012 m (zie
Binas: afstand zon-Pluto) volgt: r ≈ 3·rzs. Het object in de kern van het Melkwegstelsel moet zich dus inderdaad
schuilhouden ‘in een gebied dat hooguit drie keer zo groot is als ons zonnestelsel’.
28
Volgens de derde wet van Kepler geldt voor alle planeten in ons zonnestelsel: r3/T2 = k → rM3 = (687/365)2·rA3 →
rM = 2,29·1011 m.
29
Omlooptijd: T = 5,76·103 s. Baanstraal (met derde wet van Kepler): r3/T2 = G·M/4π2 → r = 6,95·106 m. Baanhoogte:
h = r – R = 5,74·105 m. Baansnelheid: v = 2π·r/T = 7,58·103 m/s.
30
a Baansnelheid voor cirkelbaan: v2·r = G·M (met M de massa van de zon) → v = 1,61·104 m/s. Deze snelheid is
kleiner dan de werkelijke snelheid.
b De aantrekkingskracht van de zon kan de kromming van de baan verklaren. Zolang er een snelheidscomponent
loodrecht op de verbindingslijn bestaat, zal de baan gekromd zijn. De draaiing van de aarde heeft geen blijvende
werking.
c Afstand: s = 631·1015 m = 4,22·106 AE. Snelheid: v = 2,6 AE/jaar. Tijdsduur: s = v·t → t = 1,6·106 jaar.
d Fw = (Δm/Δt)·v = ρ·(ΔV/Δt)·v = ρ·A·(Δx/Δt)·v = A·ρ·v2
e F = m·a = A·ρ·v2 (met A = π·R2) → ρ = 2,36·10–16 kg/m3
31
a Als de ringen vergeleken kunnen worden met een DVD-schijf moet voor de Saturnusringen gelden:
RSr/dSr ≈ 6·10–2/1·10–3 = 60 → dSr ≈ 2·106 m.
De Saturnusringen zijn met een dikte van 100 m dus in verhouding veel dunner dan een DVD-schijf.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 4 van 6
b
c
d
e
f
g
Zie de figuur hiernaast. De aarde bevond zich in 1612 in het draaivlak van de
ringen, waardoor Galilei tegen de dunne zijkant aankeek en deze door de
Figuur 1
beperkingen in zijn telescoop niet kon onderscheiden.
Intensiteitsafname: I(x) = I0·(½)x/d1/2 → x = 151 m. Dikte: d = x·sin θ = 75 m.
Beide stellingen zijn juist. Stelling 1: Als de deeltjes in de ring stil zouden staan, zouden ze door de zwaartekracht
naar Saturnus vallen. Maar als ze voldoende snel draaien levert de zwaartekracht de benodigde middelpuntzoekende kracht. Stelling 2: De deeltjes bewegen in een cirkelbaan rond Saturnus. Dit gebeurt ook bij een
stilstaande (niet om zijn as draaiende) Saturnus. De draaiing van de ringen is alleen
afhankelijk van de gravitatiekracht en onafhankelijk van de draaiing van de planeet.
Uit T = k·r3/2 volgt: hoe groter r is, des te groter is T. Voor een volledige omloop
hebben de buitendeeltjes dus meer tijd nodig dan de binnendeeltjes, en de
buitendeeltjes raken daardoor achter op de binnendeeltjes: stelling 3 is juist.
Zie de figuur hiernaast.
In punt L is de gravitatiekracht groter dan de benodigde middelpuntzoekende kracht,
en in punt N is de gravitatiekracht kleiner dan de benodigde middelpuntzoekende
kracht. Het rotsblok zal rond punt L dus richting Saturnus willen bewegen, en rond
punt N juist in de tegengestelde richting. Als de kracht die het rotsblok bij elkaar
Figuur 2
houdt te klein is, zal het daardoor uit elkaar vallen.
32
Op aardoppervlak: Eg = -G·M·m/R = -1,25·1010 J. Op hoogte h (met r = R + h): Eg = -G·M·m/r = -1,88·109 J.
Toename gravitatie-energie: 1,06·1010 J.
33
a Kinetische energie: Ek = ½·m·v2 combineren met v2·r = G·M geeft Ek = ½·G·M·m/r.
b Som van kinetische energie en gravitatie-energie: Ek + Eg = ½·G·M·m/r – G·M·m/r = -½·G·M·m/r.
c Op aardoppervlak: v = 2π·R/T = 4,63·102 m/s → Ek = ½·m·v2 = 3,22·107 J. Eg = -G·M·m/R = -1,88·1010 J. Op hoogte
h (met r = R + h): Ek + Eg = -½·G·M·m/r = -8,70·109 J. Energietoename: 1,01·1010 J.
d De lancering kost in werkelijkheid meer energie dan berekend bij vraag c vanwege het lage rendement van de
raketmotor die de satelliet vanaf het aardoppervlak in zijn baan rond de aarde moet brengen.
34
a Baanstraal: r = h + R = 23 222 + 6 378 = 29 600 km = 29,600·106 m. Baansnelheid: v2·r = G·Maarde → v = 3,67·103
b
c
d
m/s. Kinetische energie: Ek= ½·m·v2 = 3,54·109 J.
Op aarde: Ek = ½·m·v2 = 35,9·106 J. De toename in kinetische energie is dus 3,50·109 J.
Op aarde: Eg = -G·M·m/r = -3,28·1010 J. In GPS-baan: Eg = -7,1·109 J. De toename in gravitatie-energie is dus
2,57∙1010 J.
De toename in kinetische energie en gravitatie-energie is 2,92·1010 J. Dit is 2,5% van de energie die de brandstof
moet leveren. De brandstof moet dus 1,17∙1012 J energie leveren. (Dat komt overeen met zo’n 3,5·104 L benzine.)
35
Op aarde: Eg = -G·M·m/R = -2,00∙1011 J. In een geostationaire baan: Eg = -G·M·m/r = -3,0∙1010 J (met r = 4,22·107
m). W = ∆Eg = 1,70∙1011 J.
36
Fg = G∙M∙m/r2 = 1,84∙106 N (met r = 6,72·106 m).
W = Fg∙s = 1,84∙108 J.
37
a Kinetische energie: Ek = ½·m·v2 = 62,7·106 J = 62,7 MJ. Om aan de aarde te ontsnappen is 62,5 MJ energie nodig.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 5 van 6
b
Het voorwerp een kinetische energie van 62,7 MJ (of een snelheid van 11,2 km/s) geven is dus net voldoende om
aan de aarde te ontsnappen.
Als de ontsnappingssnelheid v 55 x zo groot is, dan is de kinetische energie 55² = 3025 x zo groot. Er is dus 3025 x
zoveel energie nodig om iets van de zon weg te schieten naar een punt op een oneindig grote afstand.
38
Bekijk een massa van 1 kg. Bij de inslag op aarde geldt: Ek = ½•m•v2 = 450 MJ en Eg = -G·M·m/R = -62,5 MJ. De
totale energie is dus 387,5 MJ. Ver van de aarde bestond die energie uit alleen maar kinetische energie: Ek = 387,5•
106 = ½•m•v2 → v = 27,8•103 m/s = 27,8 km/s.
De snelheidstoename van de meteoor als gevolg van de gravitatiekracht van de aarde is dus 2,2 km/s.
39
a Op aardoppervlak: Eg = -G·M·m/R = -18,768·109 J. Toename gravitatie-energie: 1,375·109 J.
b Afname kinetische energie: ΔEk = (8,760 – 8,696)·109 = 0,064·109 J.
Wrijvingskracht: WFw = Fw·s = ΔEk → Fw = 8,9·10–5 N.
40
a Massa zon: Mz = ρ·V = ρ·(4/3)·π·Rz3. Voor een bol met de helft van de massa is R3 2x zo klein, en dus is R 1,25 x zo
klein, zodat Rbol ≈ 0,8·Rz.
b Mbol = ½·Mz ≈ 1,0·1030 kg. Rbol ≈ 0,8·Rz = 5,6·108 m.
c Gravitatie-energie Eg op r = ∞ is volgens afspraak 0 J.
d Gravitatie-energie Eg als de bollen elkaar raken: Eg = -G·Mbol·Mbol/(2·Rbol) ≈ -6,0·1040 J. De vrijkomende gravitatieenergie is dus ruwweg 6,0·1040 J.
e Uitgestraald vermogen zon: Pz = 3,85·1026 W. Levensduur: Pz = Eg/t → t ≈ 1,5·1014 s ≈ 5·106 jaar.
f
Uit schattingen van de ouderdom van de aarde volgt dat de zon al minstens 5 miljard jaar bestaat. Met alleen
gravitatiecontractie als bron van energieproductie komt de ouderdom van de zon volgens vraag e uit op zo’n 5
miljoen jaar. Het proces van gravitatiecontractie levert dus niet voldoende energie om de huidige levensduur van de
zon te verklaren.
© ThiemeMeulenhoff bv
CONCEPT
Pagina 6 van 6