De school bezorgt mij stress

Hoofdstuk 6: Driehoeksmeting
Hoofdstuk 6: Driehoeksmeting
6.1 Goniometrische getallen van willekeurige hoeken
a) Goniometrische getallen van willekeurige hoeken
boek p. 30-32
 Hoeken kunnen voorgesteld worden in een goniometrische cirkel: een cirkel
met als middelpunt de oorsprong en straal 1.
De goniometrische cirkel bestaat uit vier kwadranten: I, II, III en IV.
 Om een hoek voor te stellen op de goniometrische cirkel:


één been van de hoek valt samen met de positieve x-as
het tweede been ligt boven de x-as
Elke hoek heeft een beeldpunt op de goniometrische cirkel: het snijpunt van het
tweede been van de hoek met de cirkel.
Duid de vier kwadranten op de cirkel aan.
Duid het beeldpunt A aan van de hoek   45 .
Duid ook de x- en de y-coördinaat van dit
beeldpunt aan.
 Teken een willekeurige scherpe hoek  en het
overeenkomstige beeldpunt A. Teken de
loodrechte projectie van het beeldpunt A op de
x-as. Noem de projectie Q. Bekijk de driehoek
OAQ. Dit is een ……………………….…. driehoek.
In deze rechthoekige driehoek kunnen we
goniometrische getallen uitdrukken:
 de cosinus van een hoek  : cos  



 de sinus van een hoek  : sin  



 de tangens van een hoek  : tan  



1
Hoofdstuk 6: Driehoeksmeting

tabel
hoek 
0°
kwadrant I
90°
kwadrant II
180°
sin 
cos 
tan 
 hoofdformule van de goniometrie = grondformule
Bekijk opnieuw de rechthoekige driehoek OAQ.
We passen de stelling van Pythagoras toe in deze driehoek:
Dit is de hoofdformule (of grondformule) van de driehoeksmeting:
oefeningen in de klas: boek p. 32 oefeningen 2(5,6) en 6
Extra oefeningen: groene kopie reeks 20
indienen: ………………………………………
2
Hoofdstuk 6: Driehoeksmeting
boek p. 33-34
b) Supplementaire hoeken
 definitie: Twee supplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan
.....................................................................................
in symbolen:  en …………
zijn twee supplementaire hoeken.
op de goniometrische cirkel:
de beeldpunten van supplementaire hoeken zijn elkaars
……………........................................................................................
 voorbeelden van supplementaire hoeken:
 formules
sin(180-  ) =
cos(180-  ) =
tan(180-  ) =
oefeningen in de klas: boek p. 34 oefeningen 10 en 11(2)
3
Hoofdstuk 6: Driehoeksmeting
boek p. 35
c) Complementaire hoeken
 definitie: Twee complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan
.....................................................................................
in symbolen:  en …………
zijn twee supplementaire hoeken.
 voorbeelden van supplementaire hoeken:
 formules
sin(90-  ) =
cos(90-  ) =
tan(90-  ) =
oefeningen in de klas: boek p. 35 oefeningen 14
boek p.46 oefening 38(1,4)
Extra oefeningen: groene kopie reeks 21
indienen: ………………………………………
4
Hoofdstuk 6: Driehoeksmeting
boek p. 36-37
d) Verband tussen rico en tangens
 Hoe bereken je de rico (richtingscoëfficiënt) a
van een rechte door twee gegeven punten
A x1 , y 1 en Bx 2 , y 2  ?


Wat is de vergelijking van een rechte door de oorsprong en met een gegeven
rico a?
 Gegeven is de goniometrische cirkel waarin een
hoek  getekend is en het beeldpunt A van deze
hoek.
Duid de coördinaten van het punt A aan op de
cirkel: A (………… , …………)

Wat is de rico a van de rechte OA?
met  de hoek tussen de x-as
en de rechte

Wat is de vergelijking van de rechte OA?

Noteer nu de vergelijking van een rechte
die door het punt A x1 , y 1 gaat en


een hoek  met de x-as maakt:
oefeningen in de klas: boek p. 37 oefeningen 17(a,c,e)
boek p.46 oefening 18(2)
Extra oefeningen: groene kopie reeks 22
indienen: ………………………………………
5
Hoofdstuk 6: Driehoeksmeting
6.2 Driehoeksmeting in willekeurige driehoeken
doel:
 je kan reeds goniometrische getallen berekenen van scherpe hoeken in
een rechthoekige driehoeken
 in dit onderdeel leer je goniometrische getallen berekenen van hoeken
in willekeurige (dus niet-rechthoekige) driehoeken
boek p. 38-40
a) De cosinusregel
 formules
a ²  b²  c ²  2bc. cos 
b²  a ²  c ²  2ac. cos .......
c ²  ...............................................
 Wat wordt de cosinus één van de hoeken, bijvoorbeeld , 90° is?
Besluit: de …………………………………………………… is een bijzonder geval van de
cosinusregel, of de cosinusregel is een ……………………………………………. van
de ………..
 bewijs van de tweede formule: (analoog bewijs voor de andere formules)


trek een hoogtelijn uit A op BC  , noem het voetpunt van de hoogtelijn D
in de rechthoekige driehoek ADB geldt:
sin  

(1)
cos  

(2)

uit (2) volgt: DC =
(3)

pas de stelling van Pythagoras toe in de rechthoekige driehoek ADC en vul
daarna de uitdrukkingen (1) en (3) in:
6
Hoofdstuk 6: Driehoeksmeting
oefeningen in de klas: boek p. 40 oefeningen 20(a)
boek p.40 oefening 21(2)
boek p. 41-43
b) De sinusregel
 formules
a
b
c


sin  sin  sin 
 bewijs van de eerste formule:
a
b

sin  sin 

trek een hoogtelijn uit C op  AB  , noem
het voetpunt van de hoogtelijn D

in de rechthoekige driehoek ADC geldt:
sin  

(1)
in de rechthoekige driehoek BDC geldt:
sin  



(2)
uit (1) en (2) volgt:
oefeningen in de klas: boek p.42 oefeningen 27(4)
boek p.43 oefening 28(4)
Extra oefeningen: groene kopie reeks 23
indienen: ………………………………………
7
Hoofdstuk 6: Driehoeksmeting
boek p. 44-45
c) Berekeningen in willekeurige driehoeken
wanneer gebruik je welke methode?
gekend
gevraagd
3 hoeken
3 zijden
2 zijden en de
ingesloten hoek


cosinusregel
de derde hoek kan je snel
vinden: som van de hoeken in
een driehoek is 180°
derde zijde
cosinusregel
andere hoeken
cosinusregel
andere zijden
1 zijde en 2 hoeken
2 zijden en een nietingesloten hoek
methode
derde zijde


sinusregel
opmerking: eventueel moet je
eerst de derde hoek bepalen
(som van de hoeken in een
driehoek is 180°)
bepaal eerst de andere hoeken met
de sinusregel
en daarna de derde zijde via de
sinusregel of cosinusregel
Opmerking: maak bij vraagstukken eerst een schets!
oefeningen in de klas: boek p.46 oefeningen 35(1,2,3)
boek p.43 oefening 30
boek p.47 oefening 43
Extra oefeningen: groene kopie reeks 24
indienen: ………………………………………
8